TUGAS AKHIR ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1/N Diajukan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam menyelesaikan pendidikan sarjana (S-1) pada Departemen Teknik Elektro Oleh : FLORENSA BR GINTING 110422040 DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO PROGRAM PENDIDIKAN SARJANA EKSTENSI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
ABSTRAK Sistem antrian sangat banyak terdapat dalam dunia nyata, diantaranya pada loket penjualan karcis, transaksi dibank, aliran paket pada jaringan data dan yang lainnya. Sistem antrian M/M/1/N adalah sistem antrian dengan satu pelayan (server) dengan tempat tunggu yang terbatas. Sistem antrian seperti ini banyak sekali penerapannya. Salah satu permasalahan pada sistem antrian adalah apabila laju kedatangan melebihi laju pelayanan yang menyebabkan sebagian paket akan diblok apabila tempat antri sudah penuh. Kondisi seperti ini apabila berlanjut dapat menyebabkan keluhan pelanggan terhadap kinerja sistem tersebut yang pada akhirnya pelanggan akan mencari sistem yang lebih baik. Pada tugas akhir ini dianalisis sistem antrian M/M/1/N yang terdapat pada sebuah jaringan paket data. Perolehan kinerja dilakukan secara simulasi dan secara teoritis. Selanjutnya kedua hasil analisis tersebut dibandingkan. Dari analisis yang dilakukan diperoleh bahwa untuk utilisasi sistem (ρ) = 5 diperoleh bahwa hasil simulasi hampir mendekati hasil teori. Pada pelanggan yang dibatasi (N) = 10 diperoleh rata-rata waktu antri yaitu 0,0177 dengan 0,0175. Untuk rata-rata waktu transaksi diperoleh yaitu 0,007 dengan 0,01. Untuk ratarata waktu dalam sistem yaitu 0,0248 dengan 0,0195. Untuk rata-rata jumlah paket dalam antri yaitu 9 dengan 8,75, rata-rata jumlah paket dalam fasilitas pelayanan yaitu 0,9833 dengan 1. Untuk rata-rata jumlah paket dalam sistem yaitu 10 dengan 9,75. Untuk utilisasi sistem (ρ) = 2, hasil simulasi juga hampir mendekati hasil teori tersebut. Kata kunci: Sistem Antrian M/M/1/N, Kinerja Antrian M/M/1/N
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas Berkah dan Rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir yang berjudul: ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1/N Tugas akhir ini merupakan bagian dari kurikulum yang harus diselesaikan untuk memenuhi persyaratan menyelesaikan pendidikan Sarjana Strata Satu (S-1) di Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik. Selama penulis menjalani pendidikan di kampus hingga diselesaikannya Tugas Akhir ini, penulis banyak menerima bantuan, bimbingan serta dukungan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terimakasih yang tulus dan sebesar-besarnya kepada: 1. Bapak Ir. M. Zulfin MT sebagai Dosen Pembimbing Tugas Akhir penulis yang selalu bersedia memberikan bantuan yang sangat dibutuhkan oleh penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini. 2. Bapak Ir. Masykur SJ sebagai Dosen Wali penulis yang membantu penulis selama menyelesaikan pendidikan di kampus USU. 3. Bapak Ir. Surya Tarmizi Kasim, M.Si sebagai Ketua Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik. 4. Bapak Rahmad Fauzi, ST, MT sebagai Sekretaris Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik. 5. Bapak Maksum Pinem, ST, MT sebagai Dosen Penguji penulis, yang memberikan arahan dan nasihat kepada penulis. 6. Seluruh Staf Pengajar dan Pegawai Departemen Teknik Elektro FT-USU. 7. Kedua orang tua penulis Mburak Ginting dan Ses Nirwana br Tarigan atas semangat dan doanya kepada penulis dengan segala pengorbanan dan kasih sayang yang tidak ternilai harganya. 8. Kepada saudara penulis Talenta Erixon Ginting dan Feliana Ginting, yang tak henti-hentinya memberikan dukungan penuh, doa kepada penulis.
9. Kepada orang yang disayangi penulis M. Andri Azhari Lubis yang selalu memberikan dukungan penuh, bantuan dan doa kepada penulis 10. Seluruh sahabat penulis Desy C. Silaban, Elisabeth Siregar, Isywalsyah Lani, Siti Aminah, Eva, Imelda, Agus Noble, Bevan, Mutiara, Lucky dan teman-teman ekstensi stambuk 2011 lainnya, atas kebersamaan dan dukungan yang diberikan selama penulis bergelut di kampus. 11. Seluruh senior dan junior di Departemen Teknik Elektro, atas dukungan dan bantuan yang diberikan kepada penulis. 12. Semua orang yang pernah mengisi setiap detik waktu yang telah dilalui bersama penulis yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Tanpa mereka, pengalaman penulis tidaklah lengkap. Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih banyak kekurangannya. Kritik dan saran dari pembaca untuk menyempurnakan Tugas Akhir ini sangat penulis harapkan. Kiranya Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Terimakasih Medan, Februari 2014 Penulis Florensa Br Ginting
DAFTAR ISI ABSTRAK... i KATA PENGANTAR... ii DAFTAR ISI... iv DAFTAR GAMBAR... vii DAFTAR TABEL... ix DAFTAR SINGKATAN... x DAFTAR SIMBOL... xi I. PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang Masalah... 1 1.2 Rumusan Masalah... 2 1.3 Tujuan Penulisan... 2 1.4 Batasan Penulisan... 3 1.5 Metodologi Penelitian... 3 1.6 Sistematika Penulisan... 4 II. LANDASAN TEORI... 6 2.1 Sejarah Teori Antrian... 6
2.2 Komponen Proses Antrian... 7 2.3 Struktur Dasar Proses Antrian... 9 2.4 Karakteristik Antrian... 12 2.5 Notasi Sistem Antrian... 15 2.6 Antrian M/M/1/N... 17 2.7 Diagram Transisi Kondisi... 19 2.8 Pembangkit Nilai Acak... 20 2.8.1 Penyelesaian RNG... 20 2.8.2 Multiplicate RNG... 21 2.9 Faktor - Faktor Sistem Antrian... 23 2.9.1 Bentuk Kedatangan... 23 2.9.2 Bentuk Pelayanan... 25 2.9.3 Kapasitas Sistem... 26 2.9.4 Utilisasi Sistem... 26 2.10 Simulasi Antrian... 27 III. SIMULASI SISTEM ANTRIAN M/M/1/N... 34 3.1 Model Antrian... 34 3.2 Diagram Alir (Flowchart) Simulasi... 35 3.2.1 Pembangkitan Bilangan Acak... 38 3.2.2 Waktu Antar Kedatangan Paket... 39 3.2.3 Waktu Transaksi Paket...... 40 3.2.4 Waktu Kedatangan Paket...... 41 3.2.5 Waktu Mulai Transaksi Paket... 41
3.2.6 Waktu Selesai Transaksi Paket... 42 3.2.7 Waktu Antri Paket... 43 3.2.8 Lama Waktu Paket Didalam Sistem... 47 IV. ANALISIS KINERJA SISTEM ANTRIAN M/M/1/N... 45 4.1 Hasil-hasil dari Simulasi... 45 4.2 Perhitungan Kinerja Sistem Antrian M/M/1/N secara Teoritis... 51 4.3 Perbandingan Hasil Simulasi dengan Perhitungan secara Teoritis 54 4.4 Analisis Kinerja Antrian M/M/1/N... 56 V. KESIMPULAN DAN SARAN... 59 6.1 Kesimpulan... 59 6.2 Saran... 60 DAFTAR PUSTAKA... xii LAMPIRAN
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Komponen Proses Antrian... 7 Gambar 2.2 Satu Saluran Satu Tahap... 10 Gambar 2.3 Banyak Saluran Satu Tahap... 10 Gambar 2.4 Satu Saluran Banyak Tahap... 11 Gambar 2.5 Banyak Saluran Banyak Tahap... 11 Gambar 2.6 Model Antrian Pelayanan Tunggal... 18 Gambar 2.7 Diagram Transisi Kondisi Sistem Antrian M/M/1/N... 20 Gambar 2.8 Interval Waktu Kedatangan Paket pada Proses Poisson... 23 Gambar 2.9 Distribusi Poisson dengan Interval Waktu T... 24 Gambar 2.10 Flowchart dari Tahapan Simulasi yang Sistematis... 33 Gambar 3.1 Model Antrian M/M/1/N...... 34 Gambar 3.2 Diagram Alir Pembangkitan Nilai Acak dengan Metode LCG...... 39 Gambar 3.3 Diagram Alir Waktu Antar Kedatangan Paket... 40 Gambar 3.4 Diagram Alir Waktu Transaksi Paket......40 Gambar 3.5 Diagram Alir Waktu Kedatangan Paket......41
Gambar 3.6 Diagram Alir Waktu Mulai Transaksi... 42 Gambar 3.7 Diagram Alir Waktu Selesai Transaksi Paket... 42 Gambar 3.8 Diagram Alir Waktu Antri...... 43 Gambar 3.9 Diagram Alir Waktu Dalam Sistem...... 44 Gambar 4.1 Tampilan Hasil Simulasi untuk Pelanggan dibatasi (N)=10... 50
DAFTAR TABEL Tabel 4.1 Nilai Bilangan Acak Metode LCG... 45 Tabel 4.2 Waktu Antar Kedatangan... 46 Tabel 4.3 Waktu Transaksi...... 46 Tabel 4.4 Waktu Kedatangan Paket...... 47 Tabel 4.5 Waktu Mulai Transaksi...... 47 Tabel 4.6 Waktu Selesai Transaksi...... 48 Tabel 4.7 Waktu Antri...... 48 Tabel 4.8 Waktu Dalam Sistem...... 48 Tabel 4.9 Hasil Simulasi untuk N=10, 15, 20 dan 25...... 50 Tabel 4.10 Hasil Simulasi untuk N = 10, 15, 20 dan 25 untuk ρ=2...... 50 Tabel 4.11 Hasil Perhitungan Teori untuk N =10,15,20 dan 25...... 52 Tabel 4.12 Hasil Perhitungan Teori untuk N=10, 15, 20,25 untuk ρ=2...... 54 Tabel 4.13 Perbandingan Hasil Simulasi dengan Perhitungan Teoritis untuk ρ=5...... 55 Tabel 4.14 Perbandingan Hasil Simulasi dengan Perhitungan Teoritis untuk ρ=2... 55
DAFTAR SINGKATAN FCFS LCFS FIFO LIFO SIRO PS RR RNG LCG First Come First Serve Last Come First Serve First In First Out Last In First Out Service In Random Order Priority Service Round Robin Random Number Geberator Line Linear Congruential Generators
DAFTAR SIMBOL λ 1/λ tingkat pelayanan waktu antar kedatangan rata-rata µ tingkat pelayanan 1/µ waktu pelayanan rata-rata ρ N M tar ttr L s L q tingkat kedatangan dibagi tingkat pelayanan / utilisasi sistem jumlah maksimum paket dalam sistem antrian Markov, kedatangan atau keberangkatan berdistribusi Poisson atau Eksponensial rata-rata waktu antar kedatangan rata-rata waktu transaksi rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem rata-rata jumlah pelanggan ditempat antri W W q rata- rata waktu tunggu didalam sistem :rata- rata waktu tunggu didalam sistem