3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1
3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti 1 Dengn bntun klkultor dpt diperoleh nili bil mendekti 1, seperti pd tbel berikut 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1 1.9 1.99 1.999 1.9999.0001.001.01.1
Secr grik º Dri tbel dn grik dismping terliht bhw mendekti jik mendekti 1 Secr mtemtis dpt dituliskn Sebgi berikut 1 1 1 1 Dibc it dri 1 dlh 1 1 untuk mendekti Deinisiit secr intuisi. Untuk mengtkn bhw L berrti c bhw bilmn dekt, tetpi berlinn dengn c, mk dekt ke L 3
Contoh 1. 3 1 5 8 3 1. 1 5 3. 9 9 3 9 9 3 3 3 9 9 9 3 9 3 6 4. sin1/ 0 Ambil nili yng mendekti 0, seperti pd tbel berikut / / / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 /8 0 sin 1/ 1 0-1 0 1 0-1 0? Dri tbel terliht bhw bil menuju 0, sin1/ tidk menuju ke stu nili tertentu sehingg itny tidk d 4
Deinisi it c L jik 0, 0 0 c L L º L º c Untuk setip 0 Terdpt c 0 sedemikin sehingg L º L L L º c c c c 0 c L 5
Limit Kiri dn Limit Knn c c c L c Jik menuju c dri rh kiri dri rh bilngn yng lebih kecil dri c, it disebut it kiri, notsi c c Jik menuju c dri rh knn dri rh bilngn yng lebih besr dri c, it disebut it knn, notsi Hubungn ntr it dengn it sepihkkiri/knn Jik c c L mk dn c c L tidk d 6
Contoh Dikethui 1., 3, 0 0 1, 1. Hitung 0 Jwb b. Hitung Jik d c. Hitung 1 d. Gmbrkn grik. Kren turn ungsi berubh di =0, mk perlu dicri it kiri dn it knn di =0 7
0 0 0 0 0 0 0 0 b. Kren turn ungsi berubh di =1, mk perlu dicri it kiri dn it knn di =1 1 1 1 1 1 3 3 Kren 1 1 1 Tidk d c. Kren turn ungsi tidk berubh di =, mk tidk perlu dicri it kiri dn it knn di = 3 3 8
d. 3 º Untuk 0 Grik: prbol 1 Untuk 0<<1 = Grik:gris lurus di =1 it tidk d Untuk 1 3 Grik: gris lurus Klkulus 1 9
. Tentukn konstnt c gr ungsi 3 c, 1 c, 1 mempunyi it di =-1 Jwb Agr mempunyi it di =-1, mk 1 1 1 1 3 c 3 c 1 1 c 1 c Agr it d 3+ c=1-c c=-1 10
Sol Ltihn A. Diberikn grik sutu ungsi seperti gmbr berikut. Cri it /nili ungsi berikut, tu nytkn bhw it /nili ungsi tidk d. 1. 3 5. 1. 3. 4. 1 1 1 6. 7. 8. -3-1 1 11
Sol Ltihn B. 1. Dikethui : 1, 1, 1.Hitung 1 1 1 g 3 dn b. Selidiki pkh d, jik d hitung itny. Dikethui, hitung bil d : g. g g b. c. 3. Dikethui, hitung bil d. b. c. 1
13 G g L dn G L g g Sit it ungsi Misl it dri, g d dn berhingg mk LG g g 0, bil G G L g g. 3. 4. n n,n bilngn bult positi n n n L 5. bil n genp L hrus positi 1.
Limit Fungsi Trigonometri sin 1. 1 0. cos 1 0 tn 3. 1 0 sin 4 Contoh:... 0 tn Jwb: sin 4 tn sin 4 tn 0 0 sin 4.4 40 4 tn. 0 =1 0 ekivlen dgn 4 0 14
Sol Ltihn Hitung 1.. tn 3t t0 t tn 0 sin 15
Limit Tk Hingg dn Limit di Tk Hingg Limit Tk Hingg Misl L 0 dn g 0, mk i, jik L 0 dn g 0 dri rh ts ii, jik L 0 dn g iii, jik L 0 dn g iv, jik L 0 dn g 0 dri rh bwh g 0 dri rh bwh 0 dri rh ts Ctt : g 0 dri rh ts mksudny g menuju 0 dri nili g positi. g 0 dri rh bwh mksudny g menuju 0 dri nili g negti. 16
Contoh: Hitung. Jwb 1 1 1 b. c. 1 1 sin. 1 1 0 1 Sehingg b. 1 0 1 Sehingg 1 1 1 1 1,g=-1 kn menuju 0 dri rh bwh, kren 1 dri kiri berrti kurng dri 1, kibtny -1 kn bernili negti g 1kn menuju 0 dri rh ts, kren -1 dri kiri berrti kurng dri -1, tpi bilngn negti yng kurng dri -1 jik dikudrt kn pstilh lebih dri 1 sehingg 1 bernili positi 17
c. Kren 0 dn =sin Jik menuju dri rh knn mk nili sin menuju 0 dri rh bwhrh nili sin negti sehingg sin 18
19 Limit di Tk Hingg L. jik 0 0 L M M tu mendekti L jik menuju tk hingg L Contoh: Hitung 4 5 Jwb: 1 4 5 4 5 4 5 1 = 1/
b. L jik 0 M 0 M L tu mendekti L jik menuju minus tk hingg L Contoh: Hitung Jwb: 5 4 5 4 5 4 4 5 = 0 0
Sol Ltihn Hitung: 1.. 3 3 3 3 4. 3. 4. 5. 1 1 1 6. 1 1 Klkulus 1 1
Kekontinun Fungsi Fungsi diktkn kontinu pd sutu titik = jik i d ii d iii Jik pling kurng slh stu syrt dits tidk dipenuhi mk diktkn tidk kontinu di = i º tidk d tidk kontinu di =
ii L L 1 Kren it kiril1 tidk sm dengn it knnl mk tidk mempunyi it di = Fungsi tidk kontinu di = iii d L º d Tpi nili ungsi tidk sm dengn it ungsi Fungsi tidk kontinu di = 3
iv d d kontinu di = º Ketkkontinun yng terhpuskn Ketkkontinun ksus i bis dihpus dengn cr mendeinisikn nili ungsi dititik tersebut = it ungsi 4
Contoh: Periks pkh ungsi berikut kontinu di =, jik tidk sebutkn lsnny 4 4, 1,. b. c. 1, Jwb : 3,. Fungsi tidk terdeinisi di = bentuk 0/0 tidk kontinu di = b. - = 3 4-4 - tidk kontinu di = 5
6 c. 3 1 - - 3 1 3 1 3 - Kren semu syrt dipenuhi kontinu di =
Kontinu kiri dn kontinu knn Fungsi disebut kontinu kiri di = jik Fungsi disebut kontinu knn di = jik Fungsi kontinu di = jik kontinu kiri dn kontinu knn di = Contoh : Tentukn konstnt gr ungsi, 1, Kontinu di = 7
Jwb : Agr kontinu di =, hruslh kontinu kiri di = 1 4 1 kontinu knn di = + = 4 1-3 = -3 = 1 1 4 1 1 4 1 Sellu dipenuhi Jdi gr kontinu di =, mk = 1. 8
9 1. Dikethui 1, 1 1, selidiki kekontinun ungsi di = -1 Sol Ltihn. Agr ungsi, 3,1 1 1, b kontinu pd R, tentukn nili dn b!
Kekontinun pd intervl Fungsi diktkn kontinu pd intervl buk,b bil kontinu pd setip titik di dlm intervl tersebut. Sedngkn diktkn kontinu pd intervl tutup [,b ] bil : 1. kontinu pd,b. kontinu knn di = 3. kontinu kiri di = b Bil kontinu untuk setip nili R mk diktkn kontinu dimn-mn. 30
Teorem 3. Fungsi Polinom kontinu dimn-mn Fungsi Rsionl kontinu pd Dominny Mislkn n, mk kontinu di setip titik di R jik n gnjil kontinu di setip R positi jik n genp. Contoh : tentukn selng kekontinun 4 Dri teorem dits diperoleh kontinu untuk -4>0 tu >4. 4 4 4 0 4 Sehingg kontinu pd [4, kontinu knn di =4 31
Sol Ltihn Crilh titik diskontinu dri ungsi 1. 3 3. 3 4 8 3
Limit dn Kekontinun Fungsi Komposisi Teorem Limit Fungsi Komposisi: Jik g L dn kontinu di L, mk g g L Teorem kekontinun ungsi komposisi: Jik g kontinu di, kontinu di g, mk ungsi kontinu di. Bukti g g g g kren kontinu di g = g kren g kontinu di = og 33
Contoh: Tentukn dimn ungsi cos 4 3 1 3 4 kontinu Jwb : Fungsi dpt dituliskn sebgi komposisi du ungsi tu dengn g h h 4 3 3 1 4 dn g = cos Kren h kontinu di R-{-4,1} dn g kontinu dimn-mn mk ungsi kontinu di R-{-4,1} 34