Mteri: BAB IV. ENGGUNAAN TURUNAN Hmpirn linier menggunkn turunn Gerk bend sepnjng gris lurus Lju yng berkitn Deret Tylor Mksimum dn minimum globl dn lokl Kemonotonn dn kecekungn Menggmbr grik cnggih Teorem Nili Rt-rt untuk turunn Menghitung it bentuk tk tentu Hmpirn linier menggunkn turunn Ingt kembli deinisi turunn : h h h
Deinisi tersebut menytkn bhw untuk nili h yng cukup kecil, mk Akibtny tu h h h h h h n turunn,hmpirilhnili menggunk Dengn. Contoh,5.. yitu, diperoleh mk turunn Menggunkn hmpirn. dn, mk Jik. mk, dn Mislkn Jwb: h h h h
Contoh : Hmpirilh nili sin 8 Jwb : 8 o sin 8 o o π sin 6. Berrti sin, o π o π, h π. 6 8 9 h h π π cos,5,5.,866 9 6,7. Gerk Bend Sepnjng Gris Lurus Bil posisi sutu bend yng bergerk sepnjng gris lurus setip st dinytkn oleh s t t 9t t Jelskn bgimn gerk bend tersebut.
ds v t t sedngkn 8t dv d s t 6t 8 keceptn setipst. menytknkeceptn gerk bend setipst, menytknperceptn, yitu perubhn Bend bergerk ke knn bil vt > dn bergerk ke kiri bil vt <. ds v t t 8t t 6t 8 t t - - - - - - - - - - - - - - - - - - Jdi, sebelum t dn sesudh t bend bergerk ke knn, sedngkn di ntr t dn t bend bergerk ke kiri. d st t dn t bend berhenti tidk bergerk
Keceptn bend berkurng bil t <, yitu bil t <. Keceptn bend bertmbh setelh t. t st vt t - - 5 - -8 6 9 - -6 8-6 6 5 9 6 6 8 7 7 5 5
t t 5 t t t t t 6-8 6 8 6 s Lju yng berkitn Contoh. Udr dipompkn ke dlm blon bundr sehingg volumeny bertmbh dengn lju cm /detik. Seberp cept jri-jri blon bertmbh ketik gris tengh blon 5 cm? Jwb: Mislkn Vt volume blon pd st t dn rt jri-jri blon pd st t. Dikethui Ditnykn : : dv dr, cm ketik / detik. r 5 cm 6
Hubungkn Jdi jri - jri blon bertmbh dengn lju gris V t dn tengh blon 5 m. r t : V t dv dv Gunkn turn rnti : dr dv dr πr dr r 5 π.5 dr. π.5 5π dr πr,. dengn dv dr.πr m/detik ketik 5π πr Contoh. Sebuh tngg yng pnjngny 6 m bersndr pd dinding tegk. Jik ujung bwh tngg bergeser menjuhi dinding dengn lju m/detik, seberp cept ujung ts tngg bergeser ke bwh pd st ujung bwh tngg berjrk m dri dinding? 7
Mislkn t dn Dikethui: Ditnykn: y t d dy jrk ntr dinding dn ujung bwh tngg, jrk ntr lntidn ujung ts tngg untuk y 6 d m/detik Hubungkn t dn Turunkn t erhdp t : y t : d y substitusi kn... y, 6, sehingg Jdi ujung ts tngg bergeser ke bwh dengn lju m/detik ketik jrk ntr ujung bwh tngg dengn dinding m. dy y 6. dy dy 8
Strtegi menyelesikn mslh lju yng berkitn : Bc mslh dengn cermt Bil memungkinkn gmbrkn situsi yng dihdpi dengn digrm Kenli besrn-besrn yng berubh terhdp wktu, berilh lmbng notsi Nytkn inormsi yng telh dikethui dn p yng ditnykn Tentukn hubungn ntr besrn yng dikethui dn besrn yng kn dihitung Dierensilkn hubungn yng diperoleh terhdp wktu Substitusikn inormsi yng dikethui dn tentukn lju yng tidk dikethui. Contoh. Air dipompkn dengn lju m ke dlm sutu tngki yng berbentuk kerucut terblik dengn ls berbentuk lingkrn. Jik jri-jri ls kerucut m dn tinggi kerucut m, tentukn lju bertmbhny tinggi permukn ir, pd st kedlmn ir m. 9
r Mislkn pd st t Vt volume ir di tngki rt jri-jri permukn ir ht tinggi permukn ir mk V π r h dv Dikethui : dh Ditnykn:, bil h Dengn memntkn kesebngunn segitig diperoleh r h sehingg r h dn dv dv dh π Akibtny h dh π dh dh h V dh 8 9π h h π h,8. π h
Contoh. Mobil A meluncur ke brt dengn lju 5 km/jm, dn mobil B meluncur ke utr dengn lju 6 km/jm. Keduny bergerk lurus menuju ke persimpngn kedu jln yng merek llui. Dengn lju berpkh kedu mobil tersebut sling mendekt ketik mobil A berd pd posisi, km sebelum persimpngn dn mobil B berd pd posisi, km sebelum persimpngn? C A y z B
Hmpirn ungsi menggunkn OLINOM TAYLOR Jik dlm hmpirn linier digunkn deinisi it : mk, diperoleh m c. Dengn demikin nili di sekitr dpt dihmpiri oleh gris singgung di. Hmpirn ini cukup bik untuk nili yng dekt dengn. Nmun tidk demikin untuk nili yng juh dri. erhtikn bhw erbiki dengn hmpirn kudrt : dn Mislkn A B C Akn ditentukn A, B, dn C sehingg merupkn hmpirn yng bik untuk, dengn syrt, dn
C C B C B C B A C B A Jdi C B A C B Bil hmpirn kudrt msih kurng bik, dpt diperbiki dengn hmpirn kubik, yitu D C B A dn,, dengn syrt :
dst...,........ D C B A D C B D C D D D C D C D C B D C B D C B A D C B A!!!!. Diperoleh
Secr umum, bil perbikn hmpirn dilnjutkn, kn diperoleh iv!! n! n K K n! Bentuk T k k k! k! n n K K n! disebut urin ekspnsi Tylor dri di sekitr. Bil, diperoleh urin Mc Lurin dri, yitu L k k k k!! n n K K n! 5
Contoh: Bil sin, tentukn urin Mc Lurin dri. n K K! n! n n n sin cos -sin -cos - sin 5 cos n sin....!!! 5 7 9! 5! 7! 9!! k k k! k. 5! 5 K 6. 6! 7. 7! K 6
7
cos..!.!.!. 5 5!. 6 6! 7. 7! K!! 6 6! 8 8!! ο k k k! k Nili Mksimum dn Minimum Globl Lokl Deinisi: Fungsi diktkn mencpi mksimum minimum globl di titik c, c jik c c, di derh sl. Bil mencpi mksimum tu minimum globl di titik c, c mk c disebut nili ekstrim dri, sedngkn titik c, c disebut titik ekstrim dri. Deinisi: Fungsi diktkn mencpi mksimum minimum lokl di titik c, c jik c c, di sutu selng buk yng memut c. 8
Contoh-contoh:. Fungsi sin mencpi mksimum globl dn lokl di titik-titik π nπ,, n,,,, K dn mencpi minimum globl dn lokl di titik-titik. Fungsi π n π, -, n,,,, K Mencpi minimum globl di titik, nmun tidk memiliki titik mksimum globl. Bil pd selng [,6] mk memiliki titik minimum lokl di, dn mksimum lokl di titik 6,6.. Fungsi Tidk memiliki titik minimum mupun mksimum globl. Bil pd selng [-,5] mk memiliki titik minimum lokl di -,- dn mksimum lokl di titik 5,5. 9
TEOREMA KEUJUDAN TITIK EKSTRIM Jik kontinu pd selng tertutup [,b] mk memiliki titil ekstrim mksimum dn titik ekstrim minimum. TEOREMA TITIK KRITIS Mislkn terdeinisi pd selng tertutup [,b] dn c terletk di selng [,b]. Jik c dlh nili ekstrim mk c,c hruslh sutu titik kritis, yitu c,c mungkin berup slh stu dri yng berikut ini c,c dlh titik ujung selng c,c dlh titik stsioner dri, yitu c,c dlh titik singulr dri, yitu c tidk d c ROSEDUR MENENTUKAN TITIK EKSTRIM. Kumpulkn semu titik kritis dri pd selng [,b]. Hitung nili pd setip titik kritis tersebut. Nili yng terbesr menjdi titik ekstrim mksimum, sedngkn yng terkecil menjdi titik ekstrim minimum
Contoh:. Tentukn semu titik ekstrim dri ungsi - pd selng tertutup [-/,]. Jwb: Titik-titik kritis: i. Titik-titik ujung: -/, dn,-7. ii. Titik-titik stsioner: 6 c 6c 6c c c c 6 6c Jdi titik stsioner:, dn,. iii. Titik-titik singulr: tidk d sebb c sellu d. Jdi titik-titik kritis: {-/,,,-7,,,,}. Titik ekstrim mksimum: -/, dn,. Titik ekstrim minimum:,-7.
. Tentukn semu titik ekstrim dri ungsi / pd selng [-,]. Jwb: Titik-titik kritis: i. Titik-titik ujung: -, dn,. ii. Titik-titik stsioner: c c Tidk d c yng memenuhi. Jdi titik stsioner tidk d. iii. Titik-titik singulr: c tidk d bil c c Jdi titik singulr:,. Jdi titik-titik kritis: {-,,,,, }. Titik ekstrim mksimum: Titik ekstrim minimum:,.,.
rosedur menyelesikn mslh mksimum-minimum:. Butlh gmbr / skem permslhn. Butlh rumus untuk besrn yng kn dimksimumkn tu diminimumkn, mislkn F. Mntkn kondisi-kondisi yng dikethui untuk membut F menjdi ungsi yng hny bergntung pd stu vribel sj, mislkn. Tentukn selng untuk nili-nili yng mungkin 5. Tentukn semu titik-titik kritis clon titil ekstrim 6. Di ntr titik-titik kritis, tentukn titik ekstrim. Contoh:. Sebuh kotk yng terbuk bgin tsny kn dibut dri selembr seng berbentuk segiempt dengn lebr cm dn pnjng cm. d keempt sudut seng dipotong bujursngkr-bujursngkr kecil berukurn sm. Kemudin sis seng dilipt ke ts sehingg terbentuk kotk. Tentukn ukurn kotk tersebut gr kpsitsny mksiml.. Tentukn ukurn sebuh tbung lingkrn tegk dengn volume sebesr mungkin, yng dpt dimsukkn ke dlm sebuh kerucut lingkrn tegk setinggi cm dengn jri-jri ls cm.. Tentukn titik pd hiperbol y - yng jrkny pling dekt dengn titik,.
TEOREMA: Mislkn ungsi kontinu pd selng terbuk,b yng memut titik kritis c,c. Jik berubh dri negti ke positi di titik c mk c dlh nili minimum lokl. Jik berubh dri negti ke positi di titik c mk c dlh nili mksimum lokl. Jik tidk berubh tnd di titik c mk c bukn nili ekstrim lokl TEOREMA: Uji ekstrim lokl untuk titik stsioner Mislkn ungsi dn d, b dn c, b sert. Jik c < mk c dlh nili ekstrim mksimum lokl. Jik c > mk c dlh nili ekstrim minimum lokl c
KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN Deinisi kemonotonn : Mislkn terdeinisi pd sutu selng, mk,. diktkn monoton nik pd selng tersebut jik berlku < jik <. diktkn monoton turun pd selng tersebut jik, berlku > jik < Deinisi kecekungn : Mislkn d, b, mk. grik ungsi cekung ke ts pd selng,b jik monoton nik pd selng,b. grik ungsi cekung ke bwh pd selng,b jik monoton turun pd selng,b Titik tempt berubhny kecekungn dri cekung ke ts menjdi cekung ke bwh tu seblikny disebut TITIK BALIK tu TITIK BELOK 5
Teorem Kemonotn : Mislkn kontinu pd selng,b dn. Jik > mk grik ungsi monoton nik pd selng,b. Jik < mk grik ungsi monoton turun pd selng,b Teorem Kecekungn : Mislkn kontinu pd selng,b dn d, b d, b. Jik > mk grik ungsi cekung ke ts pd selng,b. Jik < mk grik ungsi cekung ke bwh pd selng,b Contoh: >, jik >. - dn > <, jik <,, Jdi monoton turun pd selng monoton nik pd selng dn cekung ke ts di mn-mn.. >, jik > 9 > bil, dn 8 <, jik < Jdi monoton nik di mn-mn, cekung ke bwh pd selng cekung ke ts pd selng,, dn, dlh titik belok., 6
SKETSA GRAFIK CANGGIH Lngkh-lngkh:. Tentukn tnd dri untuk meliht di mn grik berd di ts sumbu dn di mn grik berd di bwh sumbu.. Tentukn tnd dri untuk meliht kemonotonn grik. Tentukn tnd dri untuk meliht kecekungn grik. eriks kesimetrin 5. eriks semu simtot yng d 6. Dtrlh titik-titik penting sebgi titik-titik bntun 7. Skets grik Contoh: Sketslh grik ungsi Lngkh : eriks tnd dri 5 y 5 7
-------------------- ----------------------------- Lngkh : eriks tnd dri Jdi < bil < tu < < dn > bil < < tu > 5 6 5 5 ----------------------------------------------------------- Jdi monoton nik bil < - tu >, dn monoton turun bil - < <. 8
Lngkh : eriks tnd dri 6 6 6 -------------------- ----------------------------- Jdi cekung ke bwh bil < tu < < dn cekung ke ts bil < < tu > Lngkh : eriks kesimetrin 5 5 5 Kren - - mk dlh ungsi gnjil sehingg grikny simetris terhdp titik sl,. 9
Lngkh 5: eriks simtot: tidk d simtot. Lngkh 6: rkn titik-titik bntun - 7 8 7 8 -
Lngkh 7: skets grik berdsrkn inormsi yng diperoleh dri lngkh-lngkh sebelumny. Sol: Sketslh grik ungsi.. y y 7 dengn [ 7,8]. Menghitung it bentuk tk tentu. Bentuk tk tentu g g. g Mislkn dn d dn Jik mk g. g
. Bentuk tk tentu. mk dn Jik g g g ± ± Menghitung it bentuk tk tentu dengn cr tersebut diktkn menggunkn DALIL L HOSITAL Contoh: 8 7 8 7 8 6 8 8 7... cos sin cos sin sin cos sin sin sin. cos sin. π π π π
Sol-sol: Bil d, tentukn nili it berikut ini. 9. 8. 7. cos 6. 5.... sin tn. e e e π π
TEOREMA NILAI RATA_RATA untuk turunn Jik kontinu pd selng tertutup [,b] dn terdierensilkn di selng terbuk,b mk terdpt c, dengn < c < b sehingg b c b c b c c c b Contoh : Jik pkh teorem nili rt rt berlku pd Sit turunn yng sm:,,? Jik g,, b mk k sehingg g k,, b.