Teori Graf The whole of mathema,cs consists in the organiza,on of a series of aids to the imagina,on in the process of reasoning. Alfred North Whitehead 1
Struktur Graf Simpul (vertex // verbces) Sisi (edge // edges) o Lintasan o Sirkuit 2
Jenis Graf Graf (dak berarah dan graf berarah Misal suatu graf dengan: Himpunan simpul = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} Himpunan sisi = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} Contoh fungsi sisi- endpoint Sisi Endpoint e1 {v1, v2} e2 {v1, v3} e3 {v1, v3} e4 {v2, v3} e5 {v5, v6} e6 e7 {v5} {v6} Contoh fungsi sisi- endpoint Sisi Endpoint e1 (v1, v2) e2 (v1, v3) e3 (v1, v3) e4 (v2, v3) e5 (v5, v6) e6 e7 (v5) (v6) 3
Terminologi Graf Bertetangga (adjacent) Suatu simpul bertetangga dengan simpul yang dihubungkan dengan sisi yang sama Suatu sisi bertetangga dengan sisi yang memiliki endpoint pada simpul yang sama Bersisian (incidentcy) Suatu sisi bersisian dengan simpul yang menjadi endpoint- nya. Simpul terpencil (isolated vertex) 4
Graf Spesial Graf sederhana Graf Bdak sederhana Graf bipar,te lengkap Subgraf Cut set Graf berbobot. dan sebagainya 5
Konsep Derajat Misal G adalah suatu graf dan v adalah simpul dari G. Derajat dari simpul v, dinotasikan dengan deg(v) adalah jumlah sisi yang bersisian dengan v, dimana suatu sisi yang membentuk loop dihitung dua kali. Derajat total dari G adalah jumlah derajat semua simpul pada G. Teorema Jabat Tangan: Jika G adalah suatu graf, maka jumlah derajat semua simpul pada G adalah dua kali jumlah sisi pada G. 6
Representasi Graf Lis Ketetanggaan (adjacency list) Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) Matriks Bersisian (incidency matrix) 7
Lis Ketetanggaan Tentukan lis ketetanggaan graf graf berikut ini: (i) (ii) Sumber: Kenneth H. Rosen Discrete Mathema,cs and Its Applica,ons, 7 th Ed 8
Matriks Ketetanggaan Tentukan matriks ketetanggaan graf graf berikut ini: (i) (ii) Sumber: Kenneth H. Rosen Discrete Mathema,cs and Its Applica,ons, 7 th Ed 9
Matriks Bersisian Tentukan matriks bersisian graf graf berikut ini: (i) (ii) Sumber: Kenneth H. Rosen Discrete Mathema,cs and Its Applica,ons, 7 th Ed 10
Keterhubungan Misal G adalah suatu graf. Dua simpul v dan w pada G dikatakan terhubung jika dan hanya jika ada lintasan dari v ke w. Graf G dikatakan terhubung jika dan hanya jika diberikan sembarang simpul v dan w pada G, maka ada lintasan dari v ke w. 11
Contoh Graf Terhubung dan Tidak Terhubung Sumber: Kenneth H. Rosen Discrete Mathema,cs and Its Applica,ons, 7 th Ed 12
Sirkuit Euler Misal G adalah suatu graf. Sirkuit Euler pada G adalah sirkuit yang memuat semua simpul dan semua sisi pada G. Pada sirkuit Euler, semua simpul dikunjungi minimal satu kali, sedangkan semua sisi dilewab tepat satu kali saja. Teorema: 1. Jika suatu graf memiliki sirkuit Euler, maka semua simpulnya memiliki derajat berupa bilangan genap posibf. 2. Jika suatu graf terhubung dan semua simpulnya memiliki derajat berupa bilangan genap posibf, maka graf tersebut memiliki sirkuit Euler. 13
Contoh Sirkuit Euler Sumber: Susanna S. Epp Discrete Mathema,cs with Applica,ons 4 th Ed. 14
Sirkuit Hamiltonian Misal G adalah suatu graf. Sirkuit Hamilton pada G adalah sirkuit sederhana yang melewab semua simpul pada G. Pada sirkuit Hamilton, semua simpul hanya dikunjungi tepat satu kali saja, kecuai simpul awal dan akhir. 15
Contoh Sirkuit Hamiltonian Sirkuit Hamiltonian ditandai dengan garis berwarna hitam Sumber: Susanna S. Epp Discrete Mathema,cs with Applica,ons 4 th Ed. 16
Graf Isomorfik Dua buah graf, G dan G dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu- satu antara simpul- simpul keduanya dan antara sisi- sisi keduanya sedemikian sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G, maka sisi e yang berkorespon di G juga harus bersisian dengan simpul u dan v. - Rinaldi Munir 17
Contoh Graf Isomorfik Sumber: Susanna S. Epp Discrete Mathema,cs with Applica,ons 4 th Ed. 18
Referensi Susanna S.Epp. Discrete Mathema-cs with Applica-ons 4 th Ed. Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema-cs and Its Applica-ons 7 th Ed. Rinaldi Munir. Matema-ka Diskrit edisi ke-ga. 19