BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing secara optimal, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Sebagai contoh sederhana sebuah bank hendak mengalokasikan dananya untuk mencapai kemungkinan hasil tertinggi.dalam hal ini bank tersebut harus beroperasi dalam peraturan likuiditas yang dibuat oleh pemerintah dan harus mampu menjaga fleksibilitas yang memadai untuk memenuhi permintaan pinjaman dari para nasabah. Dalam penerapaya program linier menggunakan model matematis dalam pemecahan berbagai persoalan.kata sifat linier digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua atau lebih variabel, hubungan yang berlangsung haruslah berupa fungsi yang linier.sedangkan kata program menyatakan penggunaan teknik matematika tertentu untuk mendapatkan kemungkinan pemecahan terbaik dari persolan yang melibatkan sumber yang serba terbatas.memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan. 2.1.1 Syarat Utama Program Linier Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahanyang dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus dipenuhi:
1. Tujuan Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsitujuan. 2. Alternatif perbandingan Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktuterlambat dan biaya terendah. 3. Sumber daya Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. 4. Perumusan kuantitatif Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalamapa yang disebut model matematika. 5. Keterkaitan peubah Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harusmemiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan. 2.1.2 Asumsi dalam Model Program Linier Dalam menggunakan model program linear, diperlukan beberapa asumsi sebagai berikut: 1. Asumsi kesebandingan (proportionality) a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan. b. Konstribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas linier juga sebanding dengan nilai keputusan itu. 2. Asumsi penambahan (additivity) a. Konstribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi keputusan bersifat bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. b. Konstribusi suatu variabel keputusan pada nilai dari variabel keputusan ruas kiri dari setiap pembatas linier bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.
3. Asumsi pembagian(divisiblity) Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa pecahan. 4. Asumsi kepastian (certainty) Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien fungsi kendala diasumsikan dapat diketahui secara pasti. 2.1.3 Karakteristik Program Linier Dalam membangun model dari formulasi suatu persoalan akan digunakan karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier, yaitu: 1. Peubah keputusan Peubah keputusan adalah peubah yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat. 2. Fungsi tujuan (objective function) Fungsi tujuan merupakan fungsi dari peubah keputusan yang akan dimaksimumkan (untuk pendapatan) atau diminimumkan (untuk ongkos). Untuk menyatakan fungsi tujuan biasanya digunakan peubah z sehingga fungsi tujuan dapat dinyatakan: zz = ff(xx) 3. Pembatas Linier (linier constraints) Pembatas linear merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak dapat menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang. Koefisien dari variabel keputusan pada pembatas linear dinamakan koefisien fungsi kendala, sedangkan bilangan yang ada di sisi (ruas) kanan setiap pembatas linear dinamakan ruas kanan pembatas. 4. Pembatas tanda / kondisi pengetat Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel keputusaya diasumsikan hanya berharga noegatif atau variabel keputusaya tidak terbatas dalam tanda (boleh positif - boleh negatif).
Secara umum model program linier dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimum atau minimumkan Kendala zz = cc jj xx jj aa iiii bb jj bb jj (ii = 1, 2,, mm) xx jj 0 (jj = 1, 2,, ) Keterangan: xx jj = variabel keputusan cc jj = koefisien fungsi tujuan aa iiii = koefisien fungsi kendala bb jj = jumlah masing-masing sumber daya yang ada (ruas kanan pembatas) 2.2 Metode Simpleks Cara yang paling sederhana unrtuk menyelesaikan permasalahan program linier adalah dengan pendekatan grafikal. Namun cara tersebut hanya bisa diterapkan untuk program linier dengan dua variabel keputusan. Pada kenyataaya sebagian besar permasalahan program linier mempunyai lebih dari dua variabel keputusan.hal ini tentu sulit untuk menerapkan pendekatan grafikal untuk memperoleh penyelesaian dari permasalahan tersebut. Oleh karen itu, pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaiakn permasalahan program linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah feasible (ruang sousi) menuju titik ekstrim yang optimum. Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks: 1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada setiap koefisien tujuaya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut: a. Untuk batasan bernotasi ( ) diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack. b. Untuk batsan bernotasi ( ) atau (=) deselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangan besar) sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi maka dibuat M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method). 2. Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks Tabel 2.1. Bentuk Tabel Simpleks CC jj CC 1... CC Variabel Harga Basis Basis XX 1... XX Basis XX BB1 CC BB1 aa 11... aa 1 bb 1 XX BBmm CC BBBB aa mm1... aa mmmm bb mm ZZ jj CC jj ZZ jj CC jj... ZZ jj CC jj CC BB bb
3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai ZZ jj CC jj yang paling positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai ZZ jj CC jj yang paling negatif untuk kasus minimasi. 4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci, 5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci. 6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel-variabel slack baru. a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemen cell. b. Baris Z baru dan baris-baris laiya ditentukan dengan cara: Baris lama (nilai kolom kunci baris yang sesuai baris kunci baru) c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel. 7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris ZZ jj CC jj sudah tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optiamal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3. 2.3 HimpunanFuzzy Istilah fuzzylahir dari gagasan seorang guru besar pada University of California, Berkeley, Amerika Serikat, Prof. Lotfi Asker Zadeh.Sejak tahun 1960 Zadeh telah merasa bahwa sistem analisis matematika tradisional yang dikenal sampai saat itu bersifat terlalu eksak sehingga tidak dapat berfungsi dalam banyak masalah dunia nyata yang seringkali amat kompleks.pada akhirnya di tahun 1965 Zadeh mempublikasikan karangan ilmiahnya berjudul Fuzzy Set. Terobosan baru yang deperkenalkan oleh Zadeh ini telah memperluas konsep himpunan klasik menjadi himpunan fuzzy yang dapat mempresentasikan nilai-nilai ketidakpastian yang ditemui dalam kehidupan nyata.
Menurut Zadeh, himpunan fuzzy (fuzzy set) adalah sebuah kelas dari obyek denganserangkaian kesatuan dari nilai keanggotaan. Sebuah set dikarakterisasikan oleh sebuah fungsi keanggotaan yang memberikan tiap obyek sebuah nilai keanggotaan yang rentang nilainya antara 0 dan 1. 2.4 Fungsi Keanggotaan Fuzzy Sebuah himpunan fuzzy AA pada X ditandai oleh fungsi keanggotaan ff AA (xx) yang berhubungan dengan setiap titik di X, sebuah bilangan riilpada interval [0,1] dengan nilai dari ff AA (xx) pada x mewakili derajat keanggotaan x pada AA. Maka, semakin dekat nilai ff AA (xx)ke semesta pembicaraan, semakin tinggi derajat keanggotaan x pada AA. Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik titik input data ke dalam nilai keanggotaan yang mempunyai interval antara 0 sampai 1. Definisi 2.1: X adalah sebuah himpunan tak kosong. Sebuah himpunan fuzzy AA pada X ditandai oleh fungsi keanggotaaya: AA : XX [0,1] Dan AA (xx)diinterpretasikan sebagai derajat keanggotaan dari elemen x pada himpunan fuzzyaa.untuk setiap xx XX. Nilai 0 digunakan untuk mewakili bukan anggota, nilai 1 digunakan untukmewakili keanggotaan penuh, dan nilai nilai di antaranya digunakan untuk mewakili derajat keanggotaan menengah. Pemetaan AA juga disebut sebagai fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzyaa. Definisi 2.2: Sebuah himpunan fuzzy adalah kosong jika dan hanya jika fungsi keanggotaaya sama dengan 0 pada AA.
2.5 Bilangan Fuzzy Konsep bilangan fuzzy muncul dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam aplikasi teori fuzzy dalam bentuk besaran yang dinyatakan dengan bilangan yang tidak tepat, misalnya kurang lebih 10 orang, kira-kira 3 jam, sekitar 5 km, dan lain sebagainya. Secara intuitif dapat diterima bahwa ungkapan kurang lebih 10 dapat dinyatakan dengan suatu himpunan kaburpada semesta bilangan riil, di mana bilangan 10 mempunyai derajat keanggotaan kurang dari 1, dan semakin jauh bilangan itu dari derajat keanggotaanya semakin mendekati 0. Definisi 2.3: Sebuah bilangan fuzzy AA adalah himpunan fuzzy dalam semesta bilangan riil yang memenuhi kondisi normal dan konveks. Definisi 2.4: Sebuah bilangan fuzzy AA = (aa, bb, cc, dd)disebut bilanga trapezoidal fuzzy jika fungsi keanggotaanya diberikan oleh: μμ AA (xx) = 0 ; laiya xx aa bb aa ; aa xx bb 1 ; bb xx cc dd xx dd cc ; cc xx dd Fungsi keanggotaan trapezoidalfuzzy AA = (aa, bb, cc, dd)digambarkan sebagai berikut: μμ(xx) 1 0 xx a b c d Gambar 2.1Grafikfungsikeanggotaantrapezoidal fuzzy (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002)
Definisi 2.5: Misalkan AA = (aa, bb, cc, dd) dan BB = (ee, ff, gg, h) adalah dua bilangan trapezoidal fuzzy, maka (i) AA BB = (aa, bb, cc, dd) (ee, ff, gg, h) = (aa + ee, bb + ff, cccc, dd + h) (ii) AA BB = (aa, bb, cc, dd) (ee, ff, gg, h) = (aa + ee, bb + ff, cccc, dd + h) (iii) AA BB (αα, ββ, γγ, δδ) di mana αα = minimum (aaaa, aah, dddd, ddh) ββ = minimum (bbbb, bbbb, cccc, cccc) γγ = maksimum (bbbb, bbbb, cccc, cccc) δδ = maksimum (aaaa, aah, dddd, ddh) (iv) kk(aa, bb, cc, dd) = (kkkk, kkkk, kkkk, kkkk) untuk kk 0 (v) kk(aa, bb, cc, dd) = (kkkk, kkkk, kkkk, kkkk) untuk kk 0 Definisi 2.6: Sebuah fungsi rangking R: FF(RR) RR, di mana FF(RR) adalah himpunan dari semua bilangan fuzzy yang terdefinisi dalam himpunan bilngan rill, adalah pemetaan setiap bilangan fuzzy ke dalam himpunan bilangan rill. Untuk bilngan trapezoidal fuzzyaa = (aa, bb, cc, dd), maka fungsi rangkingnya adalah: R AA = 1 (aa + bb + cc + dd) 4 2.6 Program Linier Fuzzy Program Linier Fuzzy adalah sebuah aplikasi dari teori himpunan fuzzy pada masalah proses pengambilan keputusan linear, di mana sebagian besar dari masalah tersebut terkait dengan permasalahan program linear dengan variabel fuzzy. Secara umum model program linier fuzzy dinyatakan oleh: Maksimumkan atau minimumkan zz = cc jj xx jj
Kendala aa iiii xx jj R bb ii (ii = 1, 2,, mm) xx jj R 0 (jj = 1, 2,, ) di mana koefisien fungsi tujuan (cc jj ) dan koefisien fungsi kendala (aa iiii ) adalah koefisien crisp dan bb ii adalah konstanta fuzzyserta xx jj adalah variabel keputusan fuzzy. 2.7 Program Linier Fuzzy Penuh Program Linier Fuzzy adalah sebuah aplikasi dari teori himpunan fuzzy pada masalah proses pengambilan keputusan linear, di mana semua parameter yaitu koefisien, variabel maupun konstanta dalam model berupa bilangan fuzzy. Bentuk umum program linier fuzzy penuh dengan mm buah kendala pertidaksamaan fuzzy dan buah variabel fuzzy: Maksimumkan atau Minimumkan zz = cc jj xx jj Kendala aa iiii xx jj R bb ii (ii = 1, 2,, mm) xx jj R 0 (jj = 1, 2,, ) denganaa iiii, cc jj, xx jj, bb jj adalah bagian dari himpunan semua bilangan fuzzy yang terdefinisi dalam himpunan bilangan rill.