E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D ) Perhtikn hw jik Y = U. V Mk Y = U. V + U. V d ( UV ) Atu is ditulis = U. d ( V ) Jik semu rus diklikn dengn mk tu d ( U ) +. V d ( UV ) = U. d(v) + V. d(u) U. d(v) = d ( UV ) V d (U) Sehingg il semu rus diintegrlkn : U. d( V ) = U. V V. d( U ) Contoh:. Tentukn hrg ln ( ). Jw: Misl U = ln mk d(u) = d(v) = (X ), mk V = ( ) = ln ( ) = ln.. = ln. = ln = ln. + c = (ln ) + c
Pedomn untuk memislkn U * Jik slh stu fktorny dlh fungsi logritm, mk i hrus dimil segi U ln =U * Jik tk d fungsi logritm, tetpi d fungsi pngkt, mk fungsi pngkt terseut yng dimil segi U n = U * Jik tidk d fungsi logritm mupun fungsi pngkt tetpi d fungsi eksponensil, mk fungsi eksponensil sg U e k = U contoh. Crilh hrg dri Jw : sin. Misl U = ; du =. dv= sin ; V = -cos U. dv = U. V V. du sin. = ( cos ) ( cos ). misl U = dv= cos = - cos - ( cos ) = - cos + cos dimislkn lgi ; du = ; v = sin cos = {.sin - Kemudin ditulis semu sin. } = { sin + cos + c } = sin + cos + c sin = - cos + cos = - cos + sin + cos + c
INTEGRASI DAN PECAHAN PARSIAL Mislkn kit menjumpi persoln: ( + ) Bukn entuk ku ( + ) Pemilngny ukn koefisien deferensil dri penyeutny Mk penyelesinny : kit hrus menyelesiknny segi pechn prsil. Kidh-Kidh Pechn Prsil. Pemilngny hrus leih rendh derjtny dripd penyeutny. Jik tidk hrus digi dhulu.. Fktorknlh penyeutny menjdi fktor-fktor primny, contoh: -+, difktorkn menjdi (-)(-) A. Fktor linier (+) memerikn pechn prsil erentuk ( + ). Fktor (+) A B kn memerikn pechn prsil + ( + ) ( + ) 5. Fktor (+) kn memerikn pechn prsil A ( + ) B ( + ) + C ( + ) + 6. Fktor kudrt ( + + c ) memerikn pechn prsil ( A + B) + + c Contoh : ( + ). ( + ) Jw : + difktorkn menjdi + + ( )( ) Dri kidh dits diseutkn hw (+) memerikn pechn prsil erentuk A ( + )
Sehingg : + ( )( ) A B = + ( ) ( ) Kemudin kedu rus diklikn (-)(-) + = A(-) + B(-) Dri persmn ini kemudin dicri hrg A dn B dengn cr memsukkn hrg semrng. Jik mungkin, pilih yng memut slh stu hrg dlm tnd kurung erhrg nol. - Amil (-) = 0; rtiny kit sustitusikn = + = A(-) + B(-) = A(0) + B() B = - Amil (-) = 0 ; rtiny kit sustitusikn = + = A(-) + B(-) = A(-) + B(0) A = - + Jdi = + ( )( ) ( ) ( ) + Sehingg = ( )( ) = = ln(-) ln(-)
( + ). Hitunglh ( ) Penyelesin : + ( ) A B = + ( ) ( ) misng-msing rus diklikn (-) + = A (-) + B = = A (0) + B B = = - 0 = A ( - ) + A = + Jdi = + ( ) ( ) Mengunkn kidh Sehingg : + = + ( ) ( = + ( ) = ln (-) - + c ( ) ) +. Tentukn ( + ) Jw : + ( + ) A B C + ( + ) ( + ) = + + msing-msing rus diklikn (+ ) + = A (+) + B(+) + C = - + = A(0) + B(0) + C 5 = C (kidh 5) 5
dimil semrng : = 0 = A + B + 5 - = A + B.() = - 7 = A B + 5 = A B.() jik persmn () dn () dieliminsi 8 = 8A A = Msukkn hrg A = pd persmn () - = + B 8 B = - = - Sehingg + ( + ) = + ( + ) 5 + ( + ) + Jdi = + 5 ( + ) + ( + ) ( + ) 5 = ln (+) + + c ( + ) ( + ) 5 = ln (+) + + c ( + ) ( + ). Hitunglh ( )( + ) Jw : (-) menggunkn kidh dn ( +) menggunkn kidh 6 ( )( A B + C = + + ) ( ) ( + ) msing-msing diklikn ( ) ( +) = A( + ) + ( B + C ) ( - ) misl = = 5A + (B+C).0 jdi A = /5 6
misl = 0 0 = A C 0 = C 5 C = 5 C = /5 = A( + ) + ( B + C ) ( - ) misl = = A B C = 8/5 B /5 B = 6/5 B = /5 Jdi ( )( /5 /5 + /5 = + + ) ( ) ( + ) Sehingg : /5 /5 + /5 = ( )( + ) + ( ) ( + ) ) = +. + + 5 ( ) 5 ( ) 5 ( + ( ) = + + + 5 ( ) 0 ( ) 5 + = ln( ) + ln( + ) + ln( + ) + C 5 0 5 f ( ) ingt = ln[ f ( ) ] + C f ( ) 7
INTEGRAL TERTENTU Jik f ( ) = F( ) + C Mk Jdi f ( ) = [ F( ) + C] = [ F() + C ] [ F() + C ] = F () F () f ( ) = F( ) F( ) Perhtikn hw nili konstnt (c), dlm hl integrl tertentu menjdi hilng. Keterngn : : ts wh : ts ts f() : integrn Sift-Sift Integrl Tertentu. f ( ) = f ( ) c. ) = f ( ) + c f ( f ( ) dimn hrg < < c. f ( ) = 0. Bil f () dn f () dlh fungsi-fungsi yng dpt di integrlkn, mk: [ f ( ) + f( )] = f( ) + f ( ) 5. Bil c dlh sutu konstnt : c. f ( ) = c f ( ) 8
contoh sol :. crilh hrg dri ( / + ) jw : / + ) = ( (/ + ).. d(/ + ) = + =.(. + ) ( ) + = 7 J. PENERAPAN INTEGRASI. Menghitung lus di wh kurv. y y = f() Lus derh yng dirsir : L = f ( ) = f ( ) f ( ) Contoh : Hitunglh lus derh yng di wh kurv y = + 5 Yng ditsi gris = dn =, sert sumu Jw : 9
L = ( + 5) = [ + 5] = ( 7 + 8 5 ) ( + -5 ) = 0 + = Jdi lus derh diwh kurv y = + 5 yng ditsi oleh gris =, X = dn sumu dlh stun. Menghitung Lus Derh ntr Du kurv f() g() Lus derh yng dirsir dlh : Lus derh diwh kurv f() yng ditsi oleh gris =, = dn sumu dikurngi Lus derh diwh kurv g() yng ditsi oleh gris =, = dn sumu Atu is ditulis L = f ( ) g( ) L = { f ( ) g( )} 0
Contoh : y y = + y = - + Hitunglh lus derh yng ditsi oleh kurv y = - + dn y = +