MINGGU KE VIII & IX DISTRIBUSI DESCRETE Tujuan Instruksional Umum : 1. Mahasiswa mampu memahami dengan apa yang dimaksud dengan distribusi diskrit 2. Mahasiswa memahami manfaat dan kegunaan dari distrubusi diskrit 3. Mahasiswa memahami apa yang dimaksud dengan Permutasi 4. Mahasiswa memahami apa yang dimaksud dengan Kombinasi 5. Mahasiswa memahami berbagai cara perhitungan distribusi dikskrit Tujuan Instruksional Khusus 1. Mahasiswa mampu menghitung probabilita dengan permutasi dan kombinasi 2. Mahasiswa mampu mengghitung probabilita dengan menggunakan distribusi binomial 3. Mahasiswa mamapu menghitung probabilita dengan menggunakan distribusi poisson 4. Mahasiswa mampu menguhitung probabilita dengan menggunakan distribusi hipergemetrik 5. Mahasiswa mampu mengaplikasikan program komputer dalam menghitung distribusi diskrit A. Pengertian Distribusi Descrete Diistrribusi Descrete dikenal juga sebagai sebutan distribusi teoritis. Distribusi teoritis terbentuk dari random variable, yaitu nilai yang ditentukan dari sebuah event atau peristiwa. Contohnya adalah apabila sebuah mata uang dilempar sebanyak satu kali maka probabilita keluar angka adalah 0.5 dan probabilita keluar gambar adalah 0.5. jika percobaan dilakukan sebanyak 100 kali maka frekuensi teoritis keluar angka adalah 50 sedangkan frekuensi teoritis keluar gambar adalah 50 (0.5 x 100).
B. Permutasi Permutasi adalah penyusunan obyek tersebut ke dalam urutan yang teratur. Jenis permutasi : Permutasi dari seluruh obyek npn n! Permutasi sebanyak r dari n obyek apabila ada 3 orang mahasiswa (ABC) dipermutasikan masing masing 2, maka permutasi sebagai berikut : AB, AC, BA, BC, CA dan CB (jumlah 6), maka dapat dirumuskan : n! npr maka ; ( n r)! 3! 3 21 3P 2 6 (3 2)! 1 Permutasi keliling Permutasi dari obyek yang membentuk suatu lingkaran. Dirumuskan sebagai : ( n 1)! Permutasi sebanyak r dari n obyek dengan pengembalian Dirumuskan : r nrr n 3 orang mahasiswa (ABC) dipermutasikan sebanyak 2, dengan pengembalian, maka jumlah permutasinya : 3R 2 3 2 9 Permutasi dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan Dirumuskan : n! n1, n2,... nk n! n!... n! 1 2 k JIka diketahui dari 5 mahasiswa Jurusan Manajemen, 2 orang dari angkatan 2005, 2 orng dari angkatan 2006 dan 1 orang dari angkatan 2004, berapa permutasinya djika seluruh obyek tersebut dipermutasikan? 5! 5 4 3 21 30 2!21!! (21)(21) 1
Permutasi dari n obyek yang seluruhnya tidak dapat dibedakan Apabila obyek tidak dapat dibedakan maka jumlah permutasinya hanya akan berjumlah 1 saja. C. Kombinasi Kombinasi merupakan cara pemilihan obyek tanpa menghiraukan urutan obyek tersebut. Kombinasi dipilih sebanyak r dari obyek sebanyak n dengan ketentuan n n! 0 < r < n dinotasikan atau ncr = r r!( n r)! Dalam berapa carakah sebuah panitia yang beranggotakan 5 orang dapat dibentuk dari 6 pria dan 3 wanita jika paling sedikit panitia tersebut harus beranggotakan 3 orang pria? a. Panitia yang beranggotakan 3 Pria 3 Pria dari 6 Pria 6! 6 C 3 20 3!6 3 )! 2 wanita dari 3 Wanita 3! 3C 2 3 2!(3 2)! Maka kombinasinya ; 20 3 60 b. Panitia yang beranggotakan 4 Pria 4 Pria dari 6 Pria 6! 6C 4 15 4!(6 4)! 1 Wanita dari 3 Wanita 3! 3C 1 3 1!(3 1)! Maka Kombinasinya; 15 3 45 c. Panitia yang beranggotakan 5 Pria
Beranggotakan 5 pria artinya tidak ada wanita (0) 6! 5C 6 6 5!(6 5)! Maka susunan panitia yang paling sedikit beranggotakan 3 orang pria adalah sejumlah 60 + 45 + 6 =111 cara. D. Distribusi Binomial Distribusi Binomial adalah probabilita dari event yang memiliki dua kemungkinan hasil. Asumsi dari distribusi binomial adalah : Probabilita peristiwa sukses dirumuskan pada sebuah bilangan yang tetap Terdapat dua peristiwa yang mungkin akan terjadi Masing masing peristiwa merupakan kejadian yang independent Probabilta dari setiap peristiwa adalah tetap dari percobaan yang berulang-ulang Distribusi Binomial dirumuskan sebagai berikut : n r r P r p q n ( ) r Dimana r : jumlah peristiwa sukses n : jumlah percobaan p : Probability sukses dari sejmlah percobaan q 1 p 1. Berapa probabilita memperoleh sisi gambar 4 dan sisi angka 6 pada pelemparan mata uang sebanyak 10 kali? x 4 n 10 p 0.5 q 0.5 Maka, P (4;10 ) P 10 (0.5) 4 4;10 105 512 4 (0.5) 10 4
2. Berapa probabilita memperoleh sisi dadu bernilai 1 pada pelemparan dadu sebanyak 6 kali? 5 P(1;5) 1 P 1;5 3. 125 1 1 1 1 6 6 51 E. Distribusi Poisson Pada dasarnya distribusi Poisson sama dengan distribusi Binomianl, tetapi dignakan apabila n 20 dan p 0. 05. Sehingga disribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan distribusi binomial. Rumus persamaan Poisson adalah ; e P( r) r! Dimana; np e 2.71828 r Apabila dikethio sebuah toko penjual alat-alat listrik mencatat penjualan lampu neon setiap hari rata-rata lima buah. Permintaan lampu nenon mengikuti distribusi poisson. Berapa probabilita permintaan lampu neon maksimal 2 buah? 0 5 5 e 1 0.00674 P(0) 0.00674 0! 1 1 5 5 e 5 0,00674 P(1) 0.00337 1! 1 2 5 2 5 e 5 0.00674 P(2) 0.08425 2! 21 P(0,1,2) 0.00674 0.00337 0.08425 0.12469 Distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk mengukur kedatangan dalam periode waktu tertentu, dirumuskan :
P( r) e t ( t) x! r Dimana; t : satuan waktu x : jumlah kedatangan dalam t unit waktu : rata-rata kedatangan pada periode waktu tertentu Sebuah kereta api listrik memiliki waktu kedatangan di stasiun cikini sebanyak 72 kali dalam 1 jam. Berapa probabilita lewatnya 4 kereta api listrik di stasiun cikini dalam waktu 3 menit? 72 ; 1 jam 60 menit dan 3 menit = 1 Sehingga t 72 3. 6 dan x =4 20 Maka ; e P ( x) 3.6 3.6 4! 4 0.191 3 60 1 20 F. Distrbusi Hypergeometric Distribusi Probabilita hipergeometric dilakukan karena terjadinya keterbatasan pada distribusi binomial dan dilakukan apabila n 0. 05N. Distribusi probability Hypergemetric dirumuskan : P ( r ) Dimana; R N r n N n R r N : Jumlah populasi n : Jumlah sample R : Jumlah peristiwa sukses dalam populasi r : Jumlah peristiwa sukses dalam sample
Sebuah perusahaan penghasil ban mobil dalam satu hari menghasilkan 50 ban mobil, (populasi 50) diyakini bahwa dari total poppulasi tersebut 40 ban diantaranya tidak memiliki kerusakan. Kemudian dari 50 ban tersebut diambil sample sebanyak 5 ban mobil untuk dicari probabilita jumlah ban mobil yang rusak.