M AT E M AT I K A E K O N O M I FUNGSI EKSPONENSIAL DAN FUNGSI LOGARITMIK TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 2
Pgkt Jik sutu bilg diklik diri sdiri sbk kli mk ditulis Bilg disbut kspo tu pgkt. Bbrp sift: kli 2 m + m ( ) m m m + ( m) m m m 0 Ekspo dpt diprlus k bilg rl.
Fugsi Pgkt 3 Fugsi pgkt mmiliki btuk: p : f ( ) k Jik p mk f fugsi lir, jik p 2 mk f fugsi kudrtik. Utuk tkgtif, bbrp grfik fugsi f dibrik olh: p > p < p
Fugsi Eksposil Jik kspo dipdg sbgi vribl dlm fugsi, mk diprolh fugsi ksposil: Bilg k dlh kofisi d disbut bsis. Utuk k : 4 f ( ) k, > 0., > 0, 0 < < 0
Fugsi Eksposil Nturl Di bk pliksi, bsis dipilih sm dg (bilg turl), shigg diprolh fugsi ksposil turl 2. 78288284 5904523536 028747352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 45738278 525664274... 5 f ( ) Rkor: 0 2 dijit, Shigru Kodo & Aldr Y (5 Juli 200), 224 jm
Sjrh Mucul prtm kli tidk scr ksplisit pd 68 di sbuh tbl lmpir olh Joh Npir. Jcob Broulli mcob mghitug ili kostt trsbut mgguk rumus: lim + 6 ( ) Gottfrid Libiz d Christi Hugs mgguk kostt trsbut, dilmbgk dg b, pd 690-69. Pd 727 Lohrd Eulr mgguk bilg trsbut d mlmbgk dg.
Brbgi Rumus 7 ( ) lim + 0! 2 + + 2 + + + 4 + + + 0 ( ) lim + lim!
Kurv Grfik 8 f ( ) 4 3 4 3 f ( ) 2 2-2.0 -.5 -.0-0.5 0.0 0.5.0.5 2.0.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. -2.0 -.5 -.0-0.5 0.0 0.5.0.5 2.0 f ( ) + -5-4 -3-2 - 0 2 3 4 5
Kurv Grfik 9 2 2 t 2 0 t 0 0 t
Itrprtsi 0 Pokok A g diivstsik pd tigkt bug r pr thu k brili V stlh t thu, itu: t V A( + r). Jik dlm stu thu pokok d bug dibrk sbk m kli, mk pd priod m pokok A k brili r mt V ( m) A( + m). Suku r/m mujukk bhw di stip priod dlm stu thu, h /m bgi dri sukubug r g dibrk. Sdgk kspo mt mtk bhw, kr bug hrus dibrk sbk m kli sthu mk d sbk mt kli pmbr dlm t thu.
Itrprtsi Jik pokok d bug dibrk scr kotiu spjg thu, itu m mjdi tkhigg, mk diprolh V lim V ( m) m r A lim( + ) m rt A. Jdi, di rug kotiu, pokok A g diivstsik dg bug r pr thu k brili V stlh t thu dg m mt A + k rt m lim[( k ) ], k : r m Diprolh: A V rt. rt disbut fktor disko. V rt A. Jik A, r 00%, t, mk V.
Fugsi Logritmik 2 Didfiisik: Cotoh: log b. b
Fugsi Logritmik Nturl Jik dimbil bsis b, mk Dpt ditulis jug 3 log l. l l. Trliht bhw fugsi ksposil d fugsi logritmik slig ivrs. 5 4 3 2 l -2-2 3 4 5 - -2
Sift-sift Fugsi Logritmik 4 l, l 0, l( b) l + l b, l l l b, b b l b l, l b log b, l log b log c log b. c
Trp Logritm Pskl logritmik: pji dt dlm skl logritm srigkli brmft pbil dt mmiliki rg g sgt bsr (tu sgt kcil). Cotoh: Skl Richtr: log(rg), ph: log(ktivits io hidroium). Plir α 5 Fugsi produksi Cobb-Dougls: Y α β K L α α logy log( β K L ) logy log β + α log K + ( α) log L Y β + α K + ( α) L.
Plir (rgrsi logistik): Trp Logritm 6 P b0 + b X+ b2 X 2 + + b X b0 b X b2 X 2 b X + + + + + P b0 + b X + b2 X 2 + + b X P P log b0 b X b2 X 2 b X P + + + + logit( P) b + b X + b X + + b X. 0 2 2
Mlsik prsm: Trp Logritm 7 b c 0 (, b, c > 0) b b c c l b l c l b l c l l c l. l b
Turu Turu fugsi logritmik: l '. Scr umum dg tur rti: 8 l g( ) ' g '( ) g ( ) Turu fugsi ksposil: l ' '. Scr umum: g ( ) g ( ) g ' '( ).
Puru Logritmik 9 Prhtik bhw: f ( ) g( ) l l f ( ) + l g( ) ' f '( ) + g '( ) f ( ) g( ) ' f '( ) + g '( ). f ( ) g( ) f ( ) g( ) l l f ( ) l g( ) ' f '( ) g '( ) f ( ) g( ) ' f '( ) g '( ). f ( ) g( ) f ( ) g ( ) l g( ) l f ( ) ' g '( )l f ( ) + g( ) f '( ) f ( ) ' g '( )l f ( ) + g( ) f '( ). f ( )
Puru Logritmik Cotoh: Ttuk d/d dri 2 2, 20 3si 2 ( + )(2 ) + 2 2 ( ), 2 2 3, l( ).
Trp Ekoomi Pimp ggur: Nili pjul ggur (wi) V stlh disimp slm t thu dibrik olh t rt V ( t) K, dg K kostt d r tigkt bug. Ttuk t g mmksimumk V. Pm ku: Nili pjul ku (timbr) V stlh t thu dibrik olh t rt V ( t) 2. Ttuk wktu pm ku g mmksimumk V. 2