Sistem Kendali dengan Format Vektor - Matriks Oleh : Rohani Jahja Widodo Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2008 Hak Cipta 2008 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit. Candi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta 55511 Telp. : 0274-4462135; 0274-882262 Fax. : 0274-4462136 E-mail : info@grahailmu.co.id Widodo, Rohani Jahja Sistem Kendali dengan Format Vektor Matriks /Rohani Jahja widodo - Edisi Pertama Yogyakarta; Graha Ilmu, 2008 viii + 160 hlm, 1 Jil. : 23 cm. ISBN: 978-979-756-334-9 1. Teknik I. Judul
KATA PENGANTAR D iktat ini disusun untuk menunjang pelaksanaan kuliah Sistem Pengaturan II (EL 434) pada semester 8, di jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Bandung. Materi yang dibahas pada diktat ini Analisa dan Perancangan Sistem Pengaturan dengan pendekatan variable keadaan. Bab I memuat konsepsi analisa sistem dengan variable keadaan. Bab II diuraikan metode mencari solusi persamaan keadaan dan output. Bab III membicarakan proses transformasi persamaan bentuk umum ke bentuk khusus (kanonik dan diagonal). Didalam bab IV dibahas konsepsi system dapat dikontrol dan dapat diamati. Bab V memuat metode analisa kestabilan menurut Liapunov. Pada setiap bab disertai beberapa contoh penyelesaian soal dan kumpulan soal. Daftar pustaka juga dicantumkan pada diktat ini. Diktat ini diterbitkan berkat kerjasama dan bantuan berbagai pihak, antara lain, Fakultas Teknologi Industri ITB, staf pengajar
vi Sistem Pengaturan Modern dan karyawan di Laboratorium Sistem Pengaturan dan Komputer FTI-ITB. Atas segala bantuan dan kerjasama tersebut penulis mengucapkan terima kasih. Harapan penulis, semoga diktat ini bermanfaat dan saran saran perbaikan dari pembaca akan dapat menyempurnakan diktat ini. Bandung, September 2007 Penulis, R.J. Widodo
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB 1 KONSEP VARIABEL KEADAAN 1 1.1 Pendahuluan 1 1.2 Pengertian Keadaan 4 1.3 Pembentukan Persamaan 7 1.4 Kumpulan Soal-soal 24 BAB 2 MENCARI SOLUSI PERSAMAAN KEADAAN DAN OUTPUT 29 2.1 Pendahuluan 29 2.2 Solusi dari Persamaan Keadaan 29 2.3 Solusi Persamaan Keadaan Non-Homogen 40 2.4 Beberapa Contoh Penyelesaian Solusi Persamaan Keadaan dan Output 43 2.5 Kumpulan Soal-soal 49 BAB 3 BENTUK-BENTUK KHUSUS PERSAMAAN KEADAAN 53 3.1 Pendahuluan 53 3.2 Transformasi Linier 54
viii Sistem Pengaturan Modern 3.3 Transformasi ke Bentuk Kanonik Variabel Fasa 54 3.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen 60 3.5 Transformasi ke Bentuk Diagonal 62 3.6 Matriks Transisi dan Solusi Persamaan Keadaan Pada Bentuk Diagonal 66 3.7 Transformasi dari Bentuk Kanonik ke Bentuk Diagonal 75 3.8 Bentuk Kanonik Jordan 78 3.9 Kumpulan Soal-soal 82 BAB 4 DAPAT DIKONTROL DAN DAPAT DIAMATI 87 4.1 Pendahuluan 87 4.2 Dapat Dikontrol 87 4.3 Dapat Diamati 94 4.4 Bentuk Lain Syarat Dapat Dikontrol 99 4.5 Bentuk Lain Syarat Dapat Diamati 103 4.6 Kumpulan Soal-soal 106 BAB 5 METODA LIAPUNOV 109 5.1 Pendahuluan 109 5.2 Berapa Pengertian Dasar 110 5.3 Kestabilan Menurut Liapunov 113 5.4 Tanda Suatu Fungsi 117 5.5 Dalil Metode Liapunov 121 5.6 Menentukan Fungsi Liapunov 130 5.7 Fungsi Liapunov untuk Menghitung Waktu Transisi 146 5.8 Kumpulan Soal-soal 151 DAFTAR PUSTAKA -oo0oo-
Bab Satu KONSEP VARIABEL KEADAAN 1.1 PENDAHULUAN U ntuk menganalisa suatu system dapat dilakukan berbagai cara, antara lain dengan metode input output. Sebagai contoh adalah suatu system linier invariant waktu orde n yang dinyatakan dengan persamaan diferensial berikut: b n n d y n dt dy +. + b 1 + bo y = u (1.1) dt Untuk suatu input u (t), maka output y (t) dapat diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan diferensial di atas. Dengan transformasi Laplace, persamaan (1.1) ditransformasikan menjadi: (b n s n +..+ b 1 s + b o ) = U (s) + [ b n y (n-1) (0) + (b n s + b n-1 ) y (n-2) (0) +. + (b n s n-1 + b 1 ) y (0) ] k dimana y (k) d y adalah, k = 1, 2,, n (1.2) k dt
2 Sistem Pengaturan Modern Hal khusus dimana kondisi mula y (0), y (1) (0),., y (n-1) (0) adalah nol, maka persamaan (1.2) dapat ditulis: (b n s n + + b 1 s + b o ) Y (s) = U (s) atau Y (s) U (s) = b n s n 1 + K+ b s + b 1 o 1.3) Perbandingan Y(s) dengan U(s) (dengan kondisi mula sama dengan nol) dikenal sebagai transfer function (fungsi pindah). Output time responsenya dapat dicari sebagai berikut: 1 Y (s) = U(s) n b s + K + b s b n 1 + o Y (t) = L -1 [Y (s)] (1.4) Metode input-output ini mempunyai beberapa kelemahan antara lain: 1. Dalam analisa dan disain: multi-input multi-output system, time variant system, non-linear system, system dengan kondisi mula tidak nol, sampled data system, system dengan time delay, stochastic system, dan sebagainya. 2. Dalam analisa dan disain system pengaturan yang optimal. 3. Tidak diketahuinya proses sebenarnya yang terjadi di dalam system, karena peninjauan dilakukan semata-mata terhadap input dan outputnya saja. Untuk itu maka akan diperkenalkan suatu metode lain, yaitu metode variable keadaan. Metode ini didasarkan atas kenyataan bahwa ada informasi lain yang menentukan output dari system selain inputnya, yakni keadaan dari system.