Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan barisan bilangan real. Sebagaimana telah diketahui bahwa barisan merupakan bentuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai real dengan domain bilangan asli. Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk fungsi bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konsep limit maka kedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini. 3.1 Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu Biasanya, notasi lim f(x) = L x c dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut 1. Jika x mendekati c maka f(x) mendekati L, semakin dekat x kepada c semakin dekat pula f(x) kepada L. 2. Nilai-nilai f(x) adalah dekat dengan L untuk x dekat dengan c. Pada pernyataan pertama, dekatnya f(x) terhadap L disebabkan oleh dekatnya x kepada c. Pernyataan ini banyak diambil sebagai denisi limit khususnya bagi mereka yang belum belajar analisis. Padahal sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk denisi limit. Pada pernyataan ini ada dua kriteria atau ukuran dekat. Kriteria dekatnya f(x) terhadap L memberikan kriteria dekatnya x kepada c. Kemudian, setiap x yang dekat dengan c dalam kriteria ini mengakibatkan nilai f(x) dekat dengan L. Sebelum masuk ke denisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertian titik limit (cluster point) suatu himpunan. Denisi 3.1. [Titik Limit] Misalkan A R. Sebuah titik c R dikatakan titik limit A jika setiap persekitaran V δ (c) := (c δ, c + δ) memuat paling sedikit satu anggota A selain c, atau (c δ, c + δ) A \ {c}, δ > 0. Catatan 1. Titik limit A boleh jadi anggota A atau bukan anggota A. Sebaliknya, suatu anggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A. Sebelum diberikan contoh diperhatikan teorema yang menjamin adanya barisan di dalam A yang konvergen ke titik limit A yang dapat dijadikan kriteria titik limit. Teorema 3.1. Sebuah bilangan c A titik limit A bila hanya bila terdapat barisan (a n ) dalam A dengan a n c untuk setiap n N sehingga lim(a n ) = c. Bukti. Misalkan c titik limit. Untuk setiap n N, bentuk persekitaran radius δ := 1 n, yaitu V 1 (c) = (c 1 n n, c+ 1 n ). Selalu ada a n A V 1 dengan a n c. Karena berlaku n a n c < 1 n maka disimpulkan lim(a n) = c. Sebaliknya, diketahui terdapat barisan 1
(a n ) dalam A, a n c dan lim(a n ) = c, dibuktikan c seperti ini adalah titik limit A. Karena diketahui lim(a n ) = c maka untuk sebarang δ > 0 terdapat bilangan asli K sehingga a n c < δ untuk setiap n K. Ini berarti, khususnya a K A, a K c dan a K V δ yaitu A V δ \ {c}. Terbukti c titik limit A. Contoh 3.1. Diberikan himpunan A yang didenisikan sebagai Tentukan himpunan semua titik limit A. A = { 1} {x R : 0 x < 1} {2}. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap x [0, 1] dan setiap δ > 0 maka berlaku (x δ, x + δ) A \ {x}. Jadi setiap x [0, 1] merupakan titik imit A. Diperhatikan x = 1 A. Kita dapat memilih δ 1 > 0 sehingga ( 1 δ 1, 1 + δ 1 ) A = { 1} sehingga ( 1 δ 1, 1 + δ 1 ) A \ { 1} =, jadi x = 1 bukan titik limit A. Argumen yang sama diterapkan untuk x = 2. Diperoleh himpunan titik lmit A adalah [0, 1]. Gambar 3.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan Diperhatikan pada contoh ini, 1 / A tetapi 1 titik limit A. Sebaliknya 2 A tetapi 2 bukan titik limit A. Bilangan di dalam interval [0, 1) kesemuanya anggota A dan sekaligus titik limit A. Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit: Himpunan yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titik limit. Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit. Himpunan bilangan rasional Q mempunyai titik limit semua bilangan real. Hal ini disebabkan sifat kepadatan bilangan rasional di dalam R. Himpunan A = { 1 n : n N} hanya mempunyai titik limit 0. Dalam kasus ini tidak satupun anggota A menjadi titik limitnya. Selanjutnya denisi limit fungsi diberikan sebagai berikut. Denisi 3.2. [Limit Fungsi] Misalkan A R dan f : A R, c titik limit A. Bilangan L dikatakan limit fungsi f di c, ditulis L = lim x c f(x) (3.1) adalah bilamana diberikan ɛ > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku 0 < x c < δ f(x) L < ɛ. (3.2) Pada denisi ini, nilai δ biasanya bergantung pada nilai ɛ yang diberikan sehingga kadangkadang ditulis sebagai δ(ɛ) untuk menunjukkan ketergantungan δ pada ɛ yang diberikan. Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakan juga konvergen ke L di c. Secara praktis, dapat dikatakan f(x) mendekati L bilamana x mendekati c. Ukuran dekat f(x) terhadap L diberikan oleh ɛ, dan kedekatan x dengan c diukur oleh δ. Pada ekspresi 2
diberikan V (L) L- L f(x)-l < L- terdapat V (c) c+ c c+ Gambar 3.2: Ilustrasi denisi limit fungsi (3.3) kita dapat membuat f(x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekat dengan c. Ilustrasi denisi limit fungsi diberikan pada Gambar 3.2. Pernyataan 0 < x c < δ pada (3.3) menunjukkan bahwa untuk berlakunya f(x) L < ɛ tidak memperhitungkan x yang sama dengan c. Artinya pada denisi limit, nilai f(c) tidak perlu ada. Ingat, titik limit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karena itulah, ilustrasi grak denisi limit menggunakan dot di titik x = c. Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di x = c, seperti diungkapkan berikut ini. Denisi 3.3. [Fungsi Kontinu] Misalkan A R dan f : A R, c A. Fungsi f dikatakan kontinu di c, adalah bilamana diberikan ɛ > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku x c < δ f(x) f(c) < ɛ. (3.3) Kontinu pada himpunan A berarti kontinu di setiap c A. Dalam kasus c A dan c titik limit A maka kedua pengertian limit dan kekontinuan sangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut. Teorema 3.2. Misalkan A R dan f : A R, c A. Bila c titik limit A maka kedua pernyataan berikut ekuivalen. (i) f kontinu di c (ii) lim x c f(x) = f(c) Bukti. Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut E 1 := {x A : 0 < x c < δ}, E 2 := {x A : x c < δ}. Jadi E 2 E 1. Diketahui f kontinu di c berarti x E 2 f(x) f(c) < ɛ. Misalkan x E 1 maka x E 2 atau x = c. Bila x E 2 maka (3.2) berlaku dengan L = f(c). Untuk kemungkinan x = c berlaku f(x) f(c) = f(c) f(c) = 0 < ɛ sehingga (3.2) juga dipenuhi. Terbukti lim x c f(x) = f(c). Sebaliknya, diketahui lim x c f(x) = f(c) yaitu x E 1 f(x) f(c) < ɛ. Karena E 2 E 1 maka berlaku x E 2 f(x) f(c) < ɛ, yaitu f kontinu di c. 3
Contoh 3.2. Misalkan f fungsi konstan pada R, katakan f(x) = b untuk setiap x R. Buktikan untuk sebarang c R, berlaku lim x c b = b. Kemudian simpulkan bahwa f kontinu di c. Penyelesaian. Diberikan ɛ > 0 sebarang, ambil δ := 1 maka diperoleh 0 < x c < δ f(x) L = b b = 0 < ɛ. Jadi terbukti lim x c f(x) = f(c). Karena c R merupakan titik limit maka dengan teorema 3.2 maka disimpulkan f kontinu di c. Catatan 2. Pengambilan δ pada pembuktian di atas dapat selain 1, bahkan berapapun boleh. Pembuktian ini menggunakan pola p q dimana q sudah dipastikan benar. Contoh 3.3. Buktikan untuk sebarang c R, lim x c x = c. bahwa f(x) := x kontinu di c. Kemudian simpulkan Penyelesaian. Untuk setiap ɛ > 0 yang diberikan, ambil δ := ɛ. Diperoleh 0 < x c < δ f(x) L = x c < δ = ɛ. Karena itu terbukti lim x c x = c. Karena berlaku lim x c f(x) = f(c) dan c titik limit maka disimpulkan f kontinu di c. Contoh 3.4. Misalkan f(x) = x 2, x R. Buktikan f kontinu pada R. Bukti. Misalkan c R. Kita perhatikan dulu penjabaran berikut f(x) f(c) = x 2 c 2 = x + c x c. Karena sudah ada suku x c maka kita perlu melakukan estimasi pada suku x + c. Untuk itu diasumsikan dulu x c < 1, maka berlaku x c x c < 1 1 < x c 1 x c + 1. }{{} Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada x + c, yaitu Secara keseluruhan diperoleh estimasi x + c x + c 2 c + 1. f(x) f(c) = x + c x c < (2 c + 1) x c. ( ) Agar kuantitas terakhir ini kurang dari ɛ maka haruslah x c < ɛ 2 c + 1. ( ) Karena sudah diasumsikan x c < 1 maka agar x c < maka diambil { } δ = δ(ɛ) := min 1,. ɛ 2 c + 1 ɛ 2 c +1 juga dipenuhi Jadi jika 0 < x c < δ maka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan f(x) f(c) < ɛ. Jadi, lim x c f(x) = f(c), dan terbukti f kontinu di c. Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik c dikarenakan ia tidak terdenisi di c, yaitu f(c) tidak ada. Tetapi, asalkan limitnya di c ada maka fungsi tersebut dapat diperluas menjadi fungsi kontinu. 4
Contoh 3.5. Diberikan fungsi f(x) = x2 1 x 1, x 0 tidak kontinu di 1 karena f(1) tidak ada. Namun, berlaku x 2 1 lim f(x) = lim x 1 x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2. x 1 Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada R sebagai berikut { x 2 1 f(x) = x 1 untukx 0 2 untukx = 0. 3.2 Kriteria Barisan untuk Limit dan Kekontinuan Untuk mengetahui limit dan kekontiunuan fungsi di suatu titik dapat dideteksi melalui limit barisan yang sudah dipelajari pada bab sebelumnya. Teorema 3.3. Misalkan f : A R dan c titik limit A. Maka kedua pernyataan berikut ekuivalen. (i) lim x c f(x) = L (ii) Untuk setiap barisan (x n ) di dalam A yang konvergen ke c, x n c untuk setiap n N, maka barisan (f(x n )) konvergen ke L. Bukti. (i) (ii). Diberikan ɛ > 0 sebarang. Karena diketahui lim x c f(x) = L, maka terdapat δ > 0 sehingga jika 0 < x c < δ berlaku f(x) L < ɛ. Misalkan lim(x n ) = c, x n c. Berdasarkan denisi limit barisan, untuk δ > 0 sebelumnya terdapat K N sehingga x n c < δ untuk setiap n K. Karena x n c maka dapat ditulis 0 < x n c < δ, sehingga berlaku f(x n ) L < ɛ untuk setiap n K. Ini menunjukkan bahwa barisan (f(x n )) konvergen ke L. (ii) (i). Dibuktikan melalui kontraposisinya. Diketahui lim x c f(x) L, berarti ada ɛ 0 > 0 sehingga setiap δ > 0 terdapat x δ A, 0 < x x δ < δ tetapi f(x) x δ ɛ 0. Bila diambil para δ > 0 tersebut sebagai δ := 1 n > 0 untuk setiap n N maka terbentuk barisan (x n ) dengan sifat 0 < x n c < 1 n, x n A tetapi f(x n ) L ɛ 0 untuk setiap n N. Ini berarti barisan (f(x n )) tidak mungkin konvergen ke L. Jadi ada barisan (x n ) dalam A, x n c tetapi (f(x n )) tidak konvergen ke L. Pernyataan (ii) salah. Bukti teorema selesai. Dengan demikian diperoleh kriteria divergen sebagai berikut: (a) lim x c f(x) L bila hanya bila ada barisan (x n ) dalam A dengan x n c, (x n ) konvergen ke c tetapi barisan lim (f(x n )) L. (b) lim x c f(x) tidak ada bila hanya bila ada barisan (x n ) dalam A dengan x n c, (x n ) konvergen ke c tetapi barisan f(x n ) tidak konvergen. (c) lim x c f(x) tidak ada bila hanya bila ada dua barisan (x n ), (y n ) dalam A dengan x n, y n c, (x n ) dan (y n ) konvergen ke c tetapi lim (f(x n )) lim (f(y n )). Contoh 3.6. Buktikan lim x 0 1 x tidak ada. Bukti. Di sini kita mempunyai f(x) = 1 x. Ambil barisan (x n) dengan x n := 1 n. Jelas barisan ) ini konvergen ke 0, x n 0. Sekarang perhatikan barisan (f(x n )) = ( 1 1/n = (n) = (1, 2, 3, ) tidak konvergen. Berdasarkan kriteria (b) maka terbukti limitnya tidak ada. 5
Contoh 3.7. Diberikan fungsi signum yang didenisikan sebagai berikut +1 untuk x > 0, sgn(x) : = 0 untuk x = 0, 1 untuk x < 0. Buktikan lim x 0 sgn(x) tidak ada. Bukti. Ambil dua barisan (x n ) dan (y n ) dengan x n := 1 n dan y n := 1 n. Jelas kedua barisan ini konvergen ke 0 dan setiap sukunya tidak ada yang sama dengan 0. Diperhatikan barisan (sgn(x n )) = ( sgn ( 1 n)) = (1) = (1, 1, ) konvergen ke 1, tetapi (sgn(y n )) = ( sgn( 1 n )) = ( 1) = ( 1, 1, ) konvergen ke 1. Berdasarkan kriteria (c) maka terbukti limitnya tidak ada. Cara lain dapat menggunakan sifat bahwa sgn(x) = x x untuk x 0. Dengan mengambil x n := ( 1)n n maka barisan (x n ) konvergen ke 0, x n 0. Tetapi ( ( )) (sgn(x n )) = ( 1) n sgn n = ( 1) n = ( 1, +1, 1, ) divergen. Teorema 3.4. Misalkan f : A R dan c A. ekuivalen. Maka kedua pernyataan berikut (i) f kontinu di c (ii) Untuk setiap barisan (x n ) di dalam A yang konvergen ke c, maka barisan (f(x n )) konvergen ke f(c). Bukti. Gunakan fakta f kontinu di c bila hanya bila lim x c f(x) = f(c) dan ambil L := f(c). Selanjutnya gunakan teorema kriteria barisan untuk limit. to be continued... 6