PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Sift Akr Polinom Dn Penerpnny Pd Sistem Persmn Non Linier A 5 Oleh: Drs. Arjudin, M.Si. Dosen Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Mtrm ABSTRAK Persmn kudrt berbentuk + b + c = dengn kr-kr dn mempunyi sift jumlh kr + = -b/ dn hsil kli kr = c/. Sift-sift kr ini dpt diperumum ke polinom berpngkt lebih tinggi. Untuk persmn kubik berbentuk + b + c + d = dengn kr-kr, dn, berlku sift-sift: + + = -b/, + + = c/, dn = -d/. Demikin jug untuk persmn pngkt empt berbentuk 4 + b + c + d + e = dengn kr-kr,, dn 4, berlku sift-sift: + + + 4 = -b/, + + 4 + + 4 + 4 = c/, + 4 + 4 + 4 = -d/, dn 4 = e/. Dengn menggunkn sift-sift kr tersebut dpt diselesikn beberp bentuk sistem persmn non linier. Kt-kt kunci: kr, polinom, persmn, non linier. A. PENDAHULUAN Seiring dengn perkembngn ilmu pengethun dn teknologi, Mtemtik jug senntis menglmi perkembngn. Di smping mengembngkn berbgi penerpn Mtemtik pd bidng ilmu lin dn penerpn prktis dlm kehidupn sehri-hri, pr Mtemtikwn jug mengembngkn pemikirn-pemikirn tentng teori Mtemtik itu sendiri tu disebut pengembngn Mtemtik murni. Dlm pembeljrn Mtemtik di SMA, sisw mempeljri tentng persmn kudrt. Mteri persmn kudrt meliputi cr mencri penyelesin, sift-sift kr, sert pennggunnny dlm menyelesikn permslhnpermslhn terkit bik mslh Mtemtik mupun mslh dlm kehidupn sehri-hri. Untuk persmn berderjt lebih tinggi, jug dibhs cr penyelesinny dengn cr Pembgin Horner. Akn tetpi pembhsn tentng sift-sift kr hny terbts smpi pd persmn kudrt sj. Dengn demikin permslhnpermslhn terkit yng dpt dipechkn jug hny terbts pd penggunn siftsift kr persmn kudrt, yitu sift jumlh dn hsil kli kr. Berdsrkn ltr belkng di ts dirumuskn permslhn pkh sift jumlh dn hsil kli kr yng berlku pd persmn kudrt dpt diperumum ke persmn polinom berderjt lebih tinggi. Pengembngn sift-sift kr ke Mklh dipresentsikn dlm Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik dengn tem Mtemtik dn Pendidikn Krkter dlm Pembeljrn pd tnggl Desember di Jurusn Pendidikn Mtemtik FMIPA UNY
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 persmn polinom berderjt lebih tinggi sekligus kn mengembngkn ke pemechn permslhn-permslhn yng terkit dengn sift-sift kr tersebut. Oleh kren itu, tulisn ini bertujun menentukn sift-sift kr pd persmn kubik + b + c + d = dn persmn berderjt empt 4 + b + c + d + e = sert persmn polinom berderjt lebih tinggi, sert menggunkn siftsift kr untuk menyelesikn permslhn yng berkitn. Adpun mnft dri tulisn ini dihrpkn bgi guru dpt memperlus wwsn dlm pembeljrn Mtemtik khususny tentng pembeljrn polinom berderjt tig tu lebih tinggi. Sedngkn bgi penggemr mtemtik dihrpkn dpt digunkn sebgi cun untuk pengembngn Mtemtik lebih lnjut. B. PEMBAHASAN. Persmn Kudrt dn Sift-sift Akrny Persmn kudrt mempunyi bentuk umum + b + c =, dimn, b, c bilngn riil dn. Untuk mencri kr-kr persmn kudrt dpt dilkukn dengn tig cr, yitu pemfktorn, melengkpkn kudrt, dn rumus-bc. b ± b 4c =. Bentuk D = b 4c disebut diskriminn yng membedkn kr-kr persmn kudrt menjdi kemungkinn, yitu du kr riil berbed (D > ), du kr riil kembr (D = ), dn du kr kompleks sling konjugte (D < ). Mislkn kr-kr persmn kudrt + b + c = dlh dn. Dengn menggunkn rumus-bc dpt ditentukn sift jumlh dn hsil kli kr-kr b persmn kudrt tersebut, yitu + = dn c =. Bentuk jumlh dn hsil kli ini dpt digunkn untuk menytkn bentuk-bentuk yng lin, ntr lin: () + = ( + ) - () + = ( + ) - ( + ) () 4 + 4 = ( + ) ( ) (4) + + = (5) + ( + ) + + = = =. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 44
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Dengn menytkn bentuk-bentuk tersebut dlm jumlh dn hsil kli, bentuk-bentuk opersi yng memut dn dpt dihitung niliny tnp hrus mencri nili msing-msing krny terlebih dhulu.. Polinom Berderjt Lebih Tinggi Yng dimksud polinom berderjt tinggi dlh polinom yng pngkt vribelny lebih dri du. Secr umum fungsi polinom berderjt n mempunyi bentuk f() = n + n- + + n- + n. Seperti dikethui bhw persmn kudrt dpt diselesikn dengn rumusbc. Untuk persmn kubik + p + q + r =, kr-krny dpt diperoleh dengn rumus: = 6 p q α + p, α dimn α = 6 pq 8r 8 p + 4q p q 8 pqr + 7r + 4 p r, k ± k 4 n dn. =, dimn k dn n memenuhi persmn k = p, n k = q tu n = r. (Arjudin, : 56) Secr lebih umum, cr mencri penyelesin persmn polinom berderjt lebih tinggi dpt dilkukn dengn cr pemfktorn. Sutu pembgin polinom f() oleh polinom g() km memberikn hubungn yng unik dlm kitnny dengn hsil bgi H() dn sis S(), yitu f() = H()g() + S(), dengn derjt S() kurng dri g(). Pemfktorn polinom dpt dilkukn dengn cr pembgin bersusun, seperti hlny bilngn dn dengn cr pembgin Horner. Cr pembgin Horner disebut jug cr pembgin sintetis. (Keedy, 996: 48) Untuk pembgin polinom secr bersusun, mislny pembgin suku bnyk + b + c + d oleh ( k) dpt dilkukn sebgi berikut. + (k + b) + (k + bk + c) k + b + c + d k _ (k+b) + c + d Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 45
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 (k+b) (k +bk) _ (k + bk + c) + d (k + bk + c) (k + bk + ck) _ k + bk + ck + d Dri pembgin bersusun di ts diperoleh bhw pembgin + b + c + d oleh ( k) memberikn hsil pembgin H() = + (k + b) + (k + bk + c) dn sis S = k + bk + ck + d. Pembgin + b + c + d oleh ( k) dengn cr Horner dilkukn sebgi berikut : b c d k k + bkk +bk +ck k+b k +bk+c k + bk + ck + d Keterngn : : diklikn k. + Pd skem di ts, bris terts dituliskn koefisien-koefisienny sj, yitu koefisien, b koefisien, c koefisien, dn d konstnt. Pd bris pling bwh di bgin kiri merupkn hsil pembginny yng ditunjukkn oleh koefisien-koefisien dengn pngkt berkurng stu dripd fungsi yng dibgi, sedngkn bgin pling knn menytkn sisny. Hsil yng diperoleh sm dengn cr bersusun yitu hsil pembginny H() = + (k + b) + (k + bk + c) dn sis S = k + bk + ck + d. Teorem Sis menytkn bhw jik f() dibgi oleh ( k), mk sis pembginny dlh f(k). (Soedyrto, 8: 59). Kren derjt dri g() = k dlh, mk dpt diperoleh f() = (-k)g() + r, dengn r konstnt. Jik = k, diperoleh f(k) = r. Bilngn k merupkn kr dri persmn polinom f() =, jik f(k) =. Dlm hl ini berlku bhw bilngn k merupkn kr polinom f() pbil f() hbis dibgi oleh ( - k). Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 46
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Untuk melkukn pembgin suku bnyk f() dengn (m k) terlebih dhulu nytkn m k = m( m k ). Selnjutny lkukn pembgin f() dengn ( - m k ) seperti urin di ts, mislny diperoleh hsil bginy H() dn sisny S. Sehingg k H ( ) diperoleh f() = ( - )H() + S = (m k) + S. m m Apbil sisny kn diperoleh bentuk pemfktorn. Hl ini mengrh pd teorem sis yng menytkn bhw jik f() dibgi b ( b), mk sis pembginny dlh f( ).. Sift sift Akr Persmn Polinom Berderjt Tinggi Perhtikn persmn kubik f() =, dimn f() = + + + dengn dn mislkn, dn dlh kr-krny. Dpt dinytkn f() = ( )( )( ), sehingg + + + = ( ( + + ) + ( + + ) - Dengn menymkn koefisien-koefisienny diperoleh + + =, + + = =., dn Selnjutny, perhtikn persmn polinom pberderjt empt f() =, dimn f() = 4 + + + + 4, dengn dn mislkn,,, dn 4 dlh kr-krny. Dengn cr serup di ts, dpt dinytkn f() = ( )( )( )( 4 ), sehingg 4 + + + + 4 = ( 4 ( + + + 4 ) + ( + + 4 + + 4 + 4 ) ( + 4 + 4 + 4 ) + 4. Dengn menymkn koefisien-koefisienny jug diperoleh Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 47
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 + + + 4 =, = + + 4 + + 4 + 4, + + = 4 4. 4 4 =, dn Kit perhtikn bhw sift jumlh dn hsil kli kr pd persmn kudrt dpt diperumum ke persmn kubik menjdi sift-sift: jumlh kr, jumlh perklin du fktor, dn hsil kli kr. Demikin jug pd persmn polinom berpngkt empt berlku sift-sift kr: jumlh kr, jumlh perklin du fktor, jumlh perklin tig fktor, dn hsil kli kr. Sift-sift kr polinom ini dpt diperumum ke polinom berderjt n. Terlebih dhulu diperkenlkn penggunn notsi Σ sebgi berikut: () Σ menytkn jumlh kr, yitu Σ = + + +... + n, () Σ menytkn jumlh du fktor, yitu Σ = + +...+ n + + 4 +... + n +... + n- n- + n- n + n- n, () Σ menytkn jumlh tig fktor, yitu Σ = + 4 + 5 +... + n + 4 + 5 +...+ n +... + n- n- n- + n- n- n + n- n- n. dn seterusny, (4) Σ... n- menytkn penjumlhn n- fktor, yitu Σ... n- =... n- +... n- n, dn (5) Σ... n =... n merupkn hsil kli kr dn ditulis... n sj. Selnjutny untuk persmn polinom berderjt n berbentuk n + n- + n- +... + n- + n =, dengn, dpt dimislkn kr-kr persmn polinomny,,,..., n. Dpt dinytkn f() = ( )( )( )( 4 )...( n ), sehingg Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 48
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 n + n- + n- +... + n- + n = ( n ( + + +... + n ) n- + ( + +... + n + + 4... + n +...+ n- n ) n- +... + (-) n- (... n- +... n ) + (-) n... n. Dengn menymkn koefisien-koefisienny dpt diperoleh sift-sift kr polinom: =, =, =,... n... n = ( ) n n 4... n = ( ). n 4. Penerpn Sift Akr Polinom pd Sistem Persmn Non Linier Terlebih dhulu kit ingt rumus-rumus binomil dn multinomil sebgi berikut:. Perpngktn suku (binomil): () ( + ) = + + () ( + ) = + + + () ( + ) 4 = 4 + 4 + 6 + 4 4 + b. Perpngktn suku: (4) ( + + ) = + + + ( + + ) (5) ( + + ) = + + + ( + + + + + ) + 6. Selnjutny kn diurikn tentng fungsi polinom simetris yng merupkn lndsn untuk pembhsn sift-sift kr polinom. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 49
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Definisi: (Fungsi Simetris) Sutu fungsi dlm vribel, b, c,. diktkn simetris dlm, b, c,. jik tidk kn menglmi perubhn oleh permutsi (pertukrn), b, c,. (Depdikns, 999: 9). b Contohny, + b dn + dlh simetris dlm dn b, tetpi b dlh tidk b simetris. Fungsi simetris dlm vribel p, q, dn r ntr lin: p + q + r, pq + pr + qr, pqr. Sesui dengn notsi Σ yng dimksud di ts, du fungsi pertm bisny dinytkn berturut-turut dengn Σp dn Σpq. Ketig fungsi tersebut disebut fungsi simetris sederhn dlm p, q, dn r. (Pryitno, : 9) Adpun fungsi simetris sederhn dlm p, q, r, dn s dlh Σp = p + q + r + s, Σpq = pq + pr + ps + qr + qs +rs, Σpqr = pqr +pqs + qrs, dn pqrs. Teorem: (Teorem Newton) Setip polinom simetri dlm,,, n dpt dinytkn sebgi polinom dlm fungsi simetri sederhn,,, n. (Depdikns, 999: 4) Sebgi contoh: () + b + c = ( + b + c) (b + c + bc), dpt ditulis + b + c = (Σ) Σb. () + b + c + d = (+b+c+d) (b+c+d+bc+bd+cd), dpt ditulis + b + c + d = (Σ) Σb. () + b + c = ( + b + c) (+b+c)(b+c+bc) + bc, dpt ditulis + b + c = (Σ) (Σ)(Σb) + bc Dri urin tentng sift kr polinom, terliht keterkitn bhw fungsi simetris sederhn dri kr-kr polinom dpt ditentukn niliny dengn menggunkn siftsift kr polinom yng diurikn di ts, dimn niliny bergntung pd koefisienkoefisien persmn polinomny. Selnjutny berdsrkn Teorem Newton yng menytkn bhw setip polinom simetris dpt dinytkn dlm fungsi-fungsi simetri sederhn, mk sistem persmn non linier yng simetris dpt diselesikn dengn menggunkn sift-sift kr polinom. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 5
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Contoh : Tentukn solusi dri sistem persmn : p + q + r =, p + q + r = 9, pqr = -4. Jwb : Nili p, q, r yng memenuhi sistem persmn di ts merupkn kr-kr dri persmn suku bnyk + + + =, dengn koefisien yng bersesuin. Kit tetpkn koefisien = dn koefisien-koefisien yng lin dlh : = = -Σp = -, dn dri hubungn Σp = (Σp) - (Σpq), diperoleh = Σpq = sert = -pqr = 4. ( p) p 9 = = -4, Persmn polinomny dlh 4 + 4 =. Dengn menggunkn pembgin horner diperoleh pemfktorn 4 + 4 = ( - )( + ) = ( )( )( + 4). Akr-kr persmn polinomny dlh =, =, 4 = -4. Kren sistem persmnny simetris mk himpunn penyelesinny = {(, y, z) :, y, z {,, -4}, y z} tu secr singkt ditulis (,, -4) sj. Contoh : Selesikn sistem persmn non linier berikut: + y + z = -, + y + z = 6, + y + z = -8. Jwb: Nili, y, z yng memenuhi sistem persmn di ts merupkn kr-kr dri persmn suku bnyk r + r + r + =, dimn kit tetpkn koefisien = dn koefisien-koefisien yng lin dlh : = = -Σ =, dn dri hubungn Σ = (Σ) -(Σy) diperoleh Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 5
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 = Σy = ( ) 4 6 = = -. Selnjutny, perhtikn bhw ( + y + z) = + y + z + ( + y + z)(y + z + yz) yz Mk -yz = (Σ) (Σ ) (Σ)(Σy) Sehingg = -yz = = -. ( ) ( )( y) ( ) = ( 8) ( ) ( ) Persmn polinomny dlh + - =. Dengn menggunkn pembgin horner diperoleh pemfktorn + - = ( - )( + + ) = ( )( + )( + ). Akr-kr persmn polinomny dlh = -, = -, 4 =. Jdi penyelesin dri sistem persmn di ts dlh (-, -, ). C. SIMPULAN DAN SARAN. Simpuln Berdsrkn hsil pembhsn dpt dikemukkn simpuln sebgi berikut:. Persmn polinom derjt n berbentuk n + n- + n- +... + n- + n =, dengn kr-kr,,,..., n mempunyi sift-sift kr: =, =, =,... n n... n = ( ), dn n n 4... n = ( ). b. Secr khusus, untuk persmn kubik + b + c + d = dengn kr-kr, dn mempunyi sift-sift: b + + =, c + + =, dn d =. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 5
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Untuk persmn polinom derjt empt berbentuk 4 + b + c + d + e = dengn krkr,, dn 4 mempunyi sift-sift: b + + + 4 =, c + + 4 + + 4 + 4 =, d + 4 + 4 =, dn e 4 =. c. Sift-sift kr polinom dpt digunkn untuk menyelesikn sistem persmn non linier simetris... Srn Dengn meliht kesimpuln di ts, disrnkn kepd pengjr Mtemtik bik di sekolh mupun pergurun tinggi hendkny dlm pembeljrn dpt memberikn wwsn yng lebih lus kepd sisw/mhsisw, berkitn dengn pembeljrn polinom. Apbil selm ini hny dibhs sift kr persmn kudrt, mk perlu ditmbhkn wwsn pd persmn kubik tu pngkt lebih tinggi. DAFTAR PUSTAKA Arjudin.. Penyelesin Umum Persmn Kubik dlm Pengjrn Mtemtik. Jurnl Ilmu Pendidikn, No.55 Thun XV, hl.45-57. Depdikns. 999. Bhn Pembinn Clon Pesert IMO 999. Jkrt: Direktort Dikmenum. Keedy, M.L. & Bittinger, M. L. 986. Algebr nd Trigonometry, Function Approch, Fourth Edition. New York: Addyson-Wesley Publishing Compny. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 5
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Pryitno, S. dkk.. Mteri Peltihn Pembinn Guru Mtemtik SMU se-ntb untuk Olimpide Mtemtik. Mtrm: Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Mtrm Purcell, Edwin J. & Vnberg, D. 995. Klkulus dn Geometri Anlitis, Jilid, Edisi Kelim (Terjemhn). Jkrt: Penerbit Erlngg. Soedyrto, N. & Mrynto. 8. Mtemtik untuk SMA dn MA Kels XI Progrm IPA. Jkrt: Pust Perbukun Depdikns. Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik Yogykrt, Desember MA 54