MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt empt dn ush pr hli mtemtik untuk menemukn metode menentukn kr-kr persmn polinom () bgin pembhsn yitu penurunn rumusrumus untuk menentukn kr-kr persmn pngkt empt () bgin penutup yng berisi ringksn rumus untuk menentukn krkr persmn pngkt empt. Kt Kuni: polinom, kr, persmn pngkt empt Pendhulun Bentuk umum persmn polinom dlm berderjt n dlh:.x n x n- x n- n- x n, dengn i (i,,, n) dlh konstnt rel. Jik vribel x derjt dengn sutu bilngn kompleks sedemikin hingg kli mt tersebut menjdi pernytn yng bernili benr, mk bilngn kompleks tersebut dinmkn krkr persmn polinom. Untuk polinom berderjt du tu persmn kudrt yng berbentuk x² bx,, krkrny dpt diri dengn menggunkn rumus ABC yitu: b b² x b b² x Untuk polinom berderjt tig tu persmn kubik yng ber-bentuk x x² x dengn i (i,,, ) konstnt rsionl, kr-krny dpt diri dengn memislkn: b dn d Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt 9
sehingg persmn kubik dibentuk menjdi: x bx² x d p x z z pw² x z w z x z w² dengn w b pw z b b i z dlh slh stu kr persmn: z z p R 7 p Pembhsn R tu R b² q b b q d 7 Perhtikn bentuk umum persmn pngkt empt berikut: x x x² x.. () dengn i (i,,,, ) konstnt rel. Jik dimbil b b b b, mk persmn () dpt dibentuk menjdi: x b.x b.x² b.x b () dengn b, b, b, dn b konstnt rel. Mislkn x y k, k konstn, persmn () dpt ditulis: (y k) b (y k) b (y k) b (y k) b tu y (k b)y (6k² b k b )y² (k bk² b k b )y (k b k b k² b k b ). Jik dimbil k /b diperoleh: y b 6 bb b b.b b / bb b mk y² y b b 6 tu dpt ditulis dlm bentuk: y y² y () dengn: b b Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt
b bb b b b.b - 6 b b b 6 Persmn () merupkn persmn pngkt empt yng direduksi. Jdi persmn pngkt empt dlm bentuk () dpt direduksi menjdi bentuk () dengn mengmbil x y b.... () selnjutny persmn () dpt ditulis dlm bentuk: y y² y. () Jik kedu rus persmn () ditmbh z²y²z z y² mk diperoleh: (y³ z)² ( z)y² - y (.z z²) (6) Bentuk persmn (6) pilih z sedemikin hingg rus knn berbentuk kudrt sempurn. Hl ini dpt dipenuhi jik: ( z)( z z) tu z z² ( )z tu dpt ditulis z d z² d z d (7) dengn d d d Persmn (7) dpt diselesikn dengn reduksi. Misl z w diperoleh: w d d w d. () d dd d 7 ditulis w e.w e. (9) dengn: e e d d d d d 7 d Selnjutny untuk menyelesikn persmn (9), mislkn w r k () (r k) e (r k) e, tu r k e (rk e ) (rk), Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt
Ambil r k e dn (rk e ) (r k), r k Diperoleh rk e tu rk e rk e... () Dri r k e diperoleh : r k e... () Dengn mensubstitusi persmn () ke persmn (), diperoleh: ( k e )k k e k e 7 e 7 tu () Persmn () merupkn persmn kudrt dlm k², sehingg dpt diselesikn dengn rumus kudrt: k e e e 7 tu k e e e 7. Dengn mensubstitusikn slh stu nili k ke persmn (), diperoleh nili r. Selnjutny nili k dn r disubstitusi ke persmn (), diperoleh nili w k r. Nili w disubstitusi ke persmn (), sehingg diperoleh: z k r d () Selnjutny substitusi nili z dri persmn () ke persmn (6) y² k r - d ( k k d ).y² - y ditulis: k r - tu dpt (y² n)² j.y² y n² () dengn n k r d dn j k r d mk dpt diurikn menjdi: (y² n)² j.(y m)² (6) dengn m. j Persmn (6) dpt diselesikn sebgi berikut: (y² n) (y m) j tu (y² n) (y m) j Sehingg diperoleh: y² - y j n m j tu y² y j n m j Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt
Dengn menggunkn rumus kudrt diperoleh: y y y y j j n m j j j j n m j j n m j j n m Nili-nili y, y, y, dn y disubstitusikn ke persmn () sehingg diperoleh: y y y y dengn: j j n m j j j n m j j j n m j j j n m j n k r d j j b b b b m j Jdi x, x, x, dn x persmn pngkt empt. Contoh penggunn rumus: kr-kr. Tentukn kr-kr persmn pngkt empt: x x x² x Penyelesin: Dri persmn pngkt empt di ts dikethui: b b b dn b sehingg diperoleh: b b (6) 6 9 b b b b (6) - ()() b b b b b 6 b 6 j k r d d (9) Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt
d (9)² d ( 9)() (6) 6 d e d 7 e d dd d 6 7 () k e e 7 7 e r n k r d 9 7 j k r d z 9 6 m j x 7 6 6 6 () x 7 6. 6 6 7 7 x () 7 6. 6 6 k () Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt
7 6. 6 6 x () Jdi kr-kr persmn x x x² x, dlh:,,,.. Tentukn kr-kr persmn pngkt empt x x x² x 9 Penyelesin: Dri persmn pngkt empt di ts dikethui: b b b b b 9 sehingg: b ( )² b b b b 9 d () d ()² 7 d () ()() d e d e d d d k e k 7 ( 7 ()(7) d 7 e 7 7 e 7 6 6 7 7 7 k r n k r d b b b 6 b 6 b b j k r d z Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt
m j x x x i x i i Jdi kr-kr persmn i x x x² x, dlh: i i i. Tentukn kr-kr persmn pngkt empt: 6x x x² x Penyelesin: Dri persmn pngkt empt di ts dikethui: b b b b 6 b sehingg: b ( )² b b b b b b b b b 6 b 6 6 () 6 ( ) 6 d () 6 Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt
d ()² d () e d ()() ( )² d e d d d d 7 7 ()() ( ) 7 k e e e 7-7 79 96,777 k,7967 r,797 n k r d,99 j k r d,9 m,99 j x (b ) j j n m j,979,999 i x j j n m j (b ),979,999 i x x j j n m j (b ),776 j j n m j (b ),779 Jdi kr-kr persmn 6x x x² x dlh:,779,979,999 i,776,979,999 i Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt 7
. Tentukn kr-kr persm-n pngkt empt 6x x x² x Penyelesin: Dri persmn pngkt empt di ts dikethui: b b b b 6 sehingg: b b b b b b ( )² () ()² b b b b b 6 b 6 6 6 () ( ) ( ) () 6 d () d ()² () d () (6) d e d d d d e d 7 79 () () () - k e e e 7 7 79, 6 666 666,6769 k,776 r,669 n k r d,669 Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt
j k r d,79 m,96 j x x x x j j n m j (b ), j j n m j (b ),966 j j n m j (b ),7999,9 i j j n m j (b ),7999,9 i Jdi kr-kr persmn 6x x x² x dlh:,,7999 Penutup,9 i,966,7999,9i Persmn dengn bentuk umum pngkt empt x x x x, i (i,,,, ) konstn-t rel, dpt ditulis dlm bentuk x b x b x b x b b, b, b, dn b konstnt rel deng-n b b. b b Persmn tersebut mempunyi empt kr komplek, yng dpt ditentukn rumus sebgi berikut: x x x x j j n m j j j n m j j j n m j dengn: j j n m j n k r d (b ) (b ) (b ) (b ) Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt 9
j k r d m j Dftr Pustk Nielsen, Kj. L 969 Algebr: A Modern Approh With Review.Question & Answer A Brnes & Nolle Outline. Vne E.P. 97. Modern Algebr nd Trigonometri. Inri Edition, Addisonwesley Publishing Compny. In. Supriyono: Menentukn Akr-kr Persmn Pngkt Empt