1. Konsep Peluang EL2002-Probabilitas dan Statistik Dosen: Andriyan
Isi 1. Ruang Cuplikan (Sample Space) 2. Kejadian (Events) 3. Operasi Terhadap Kejadian 4. Pencacahan Titik Cuplikan 5. Peluang Kejadian 6. Hukum Peluang 7. Peluang Bersyarat 8. Aturan Bayes
1.1 Ruang Cuplikan (sample space)
Data Mentah Hasil pengamatan: pencacahan atau hasil numerik dari suatu pengukuran Def.1.1: Data mentah adalah rekaman dalam bentuk asal, baik berupa hasil pencacahan maupun pengukuran Percobaan (statistik): segala macam proses yang menghasilkan data mentah Contoh: pencacahan trafik kendaraan, pelantunan mata uang atau dadu, pengamatan besaran fisik dalam eksperimen di Lab, dll
Ruang Cuplikan Def.1.2: Himpunan semua hasil percobaan statistik disebut sebagai ruang cuplikan dan dituliskan sebagai S. Setiap titik dalam ruang cuplikan disebut titik cuplikan (sample point), atau elemen/anggota ruang cuplikan. Contoh ruang cuplikan: Pelantunan uang logam (koin): S = {H, T} S = {x x kota dengan penduduk diatas 1 juta jiwa} S={(x,y)} x 2 + y 2 4} Pelantunan dadu: S 1 ={1, 2, 3, 4, 5, 6} S 2 = {ganjil, genap}
1.2 Kejadian/Peristiwa (Events)
Definisi kejadian Def.1.3: Suatu kejadian (peristiwa) adalah himpunan bagian dari ruang cuplikan Contoh: A={3,6} adalah kejadian dalam pelantunan dadu dimana mata dadu yang muncul dapat dibagi 3 Untuk t yng menyatakan umur komponen elektonik, kejadian A dimana komponen berumur kurang dari 5 tahun adalah A={t t<5}, dengan S={t t 1}
Kejadian sederhana dan kejadian majemuk Def.1.4: Jika suatu kejadian berupa himpunan yang hanya mengandung satu titik cuplikan, maka kejadian ini disebut sebagai kejadian sederhana. Kejadian majemuk adalah kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan dari beberapa kejadian sederhana Contoh: Untuk percobaan/pengamatan jenis kartu, dimana S={,, }, maka A={ } adalah kejadian sederhana, sedangkan B = {, } adalah kejadian majemuk. NB: heart, spade, club, diamond Sebaliknya, jika S = {seluruh 52 buah kartu yang dilihat satu persatu}, maka A={semua kartu } adalah kejadian majemuk.
Ruang null Def.1.5: Ruang null atau ruang kosong adalah himpunan bagian dari ruang cuplik yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan sebagai. Contoh null-space Hasil pengamatan organisme mikroskopis dng matatelanjang B={x x faktor nonprima dari 7} Hasil percobaan pelantunan dadu (biasa) yang memberi mata tujuh
Diagram Venn B A C S S = ruang cuplikan A, B, C: kejadian A={kartu warna merah} B={kartu J, Q, K } C={kartu As} Penggambaran relasi antar himpunan.
1.3 Operasi terhadap kejadian
Irisan dua kejadian Def.1.6: Irisan antara kejadian A dengan kejadian B, dilambangkan sebagai A B, adalah kejadian yang mengandung semua elemen yang berada di A dan di B sekaligus. A B S Contoh: Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B={2, 4, 6, 8}, maka A B={2,4} Jika P = {a, i, u, e, o} dan Q={s,t}, maka P Q = Pada contoh terakhir, P dan Q tdk dapat terjadi bersamaan.kejadian spt ini disebut mutually exclusive.
Kejadian mutually exclusive Def.1.7: Dua buah kejadian A dan B disebut mutually exclusive jika A B = A B S
Gabungan kejadian Def.1.8: Gabungan dua buah kejadian, A dan B, dilambangkan sebagai A B, adalah kejadian yang mengandung semua elemen dari A, atau B, atau keduanya. A B S Contoh: Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B={2, 4, 6, 8}, maka A B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} Jika P = {a, i, u, e, o} dan Q={s,t}, maka P Q ={a, i, u, e, o, s, t}
Kejadian Komplementer Def.1.9: Komplemen dari kejadian A terhadap S, dituliskan sebagai A, himpunan semua elemen S yang tidak berada dalam A. A S Contoh: Jika S = {1, 2, 3, 4, 5} dan A={2, 4}, maka A ={1, 3, 5} Untuk S={,, } dan A={ }, maka A ={,, } A
Hasil-hasil penting A = A = A A A = A A = S S = = S (A ) = A
1.4 Pencacahan Titik Cuplikan (Counting)
Isi Prinsip-prinsip dasar pencacahan: Aturan perkalian (Product rule --Theorem 1.1) Aturan perkalian umum (Generalized Product rule--theorem 1.2) Permutasi (Def. 1.10) Permutasi n-objek berlainan (Theorem 1.3) Permutasi n-objek berlainan, diambil r-objek sekaligus (Theorem 1.4) Permutasi sirkular (Theorem 1.5) Permutasi berlainan untuk n-objek dengan masing-masing ada n 1 objek jenis pertama,, n k objek jenis ke-k (Theorem 1.6) Partisi himpunan dari n-objek kedalam r-sel dengan n 1 -elemen, dst (Theorem 1.7) Kombinasi n-objek, diambil r-objek sekaligus Theorem 1.8. Tambahan EL2009: Aturan penjumlahan (Sum Rule) Aturan penjumlahan umum (Generalized sum rule) NB: Counting kita terjemahkan sebagai pencacahan
Aturan perkalian Teorema 1.1: Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n 1 buah cara, dan untuk setiap operasi ini dapat dilakukan operasi kedua sebanyak n 2 buah cara, maka kedua operasi ini dapat dilakukan bersamaan dengan n 1 n 2 cara Contoh: Soal: Tentukan jumlah titik cuplikan dalam pelantunan dua buah dadu! Jawab: Dadu pertama memberikan 6 macam keluaran. Untuk setuap hasil, dadu kedua menghasilkan 6 macam keluaran juga. Dengan demikian, sepasang dadu akan menghasilkan 6.6=36 macam keluaran. Tugas Mhs: Berikan daftar ke-36 buah keluaran ini! Ulangi untuk pelantunan uang logam dengan hasil {H, T}
Aturan perkalian yang diperumum Teorema 1.2: Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n 1 buah cara, dan untuk setiap operasi ini dapat dilakukan operasi kedua sebanyak n 2 buah cara, dan untuk setiap operasi ini dapat dilakukan operasi ketiga sebanyak n 3 buah cara, dst, maka k buah operasi ini dapat dilakukan bersamaan sebanyak n 1 n 2 n k cara Contoh: Suatu restoran memiliki 4 jenis lauk-pauk, 3 jenis sayuran, 5 jenis kerupuk, dan 4 macam jus. Ada berapa banyak menu yang bisa dibuat oleh restoran tersebut, jika setiap menu terdiri dari satu buah lauk, satu mangkuk, 1 bungkus kerupuk, dan 1 gelas jus? Jawab: akan ada 4 3 5 4 = 240 macam menu
Permutasi Def.1.10: Permutasi adalah penyusunan dari seluruh atau sebagian dari sekumpulan objek. Contoh: Tiga buah huruf a, b, c dapat disusun sebagai abc, acb, bac, bca,cab, dan cba Berdasarkan aturan perkalian, untuk n buah objek akan ada: n(n-1) 2 1 = n! Teorema 1.3: Jumlah permutasi dari n objek berlainan adalah n! Contoh: 4 buahhurufa, b, c, d dapat di-permutasikan sebanyak 4! = 4 3 2 1 = 24
Permutasi r dari n objek Untuk keempat huruf tadi, permutasi per-dua huruf adalah: ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, bd, cb, db, cd, dc; ada sebanyak 12 buah. Dengan Teorema 1.2, ada 4 buah untuk pilihan pertama, dan ada 3 buah untuk pilihan kedua sehingga ada 4 3=12 permutasi. Pada umumnya, n objek berlainan diambil r buah sekaligus akan menghasilkan pengaturan sebanyak n (n-1) (n r + 1)= n!/(n-r)! Teorema 1.4: Jumlah r buah permutasi dari n objek berlainan adalah n P r = n!/(n-r)! Contoh: Banyaknya cara mengambil tiket undian untuk pemenang pertama dan kedua, dari 20 tiket adalah 20 P 2 = 20!/(20-2)! = 20 19 =380
Permutasi Sirkular Permutasi yang muncul dalam pengaturan objek secara melingkar disebut permutasi sirkular. Dua permutasi sirkular berbeda jika keduanya didahului atau diikuti objek yang berbeda, ketika dilihat dalam arah putar jarum jam. Permutasi sirkular dapat dihitung dengan mengambil satu objek tetap, kemudian melakukan permutasi objek sisanya. Dengan demikian, permutasi n objek secara sirkular akan menghasilkan (n-1)! susunan berlainan. Teorema 1.5: Jumlah permutasi sirkular dari n objek berlainan adalah (n-1)!
Permutasi beberapa jenis objek Tinjau permutasi tiga huruf a,b,c. Jika huruf b=c=x, maka permutasi menjadi axx, axx, xax, xax, xxa, dan xxa; sehingga menjadi 3 buah yang berbeda. Teorema 1.6: Jumlah permutasi berlainan dari n buah objek yang terdiri dari n 1 objek jenis pertama, n 2 jenis kedua,, n k jenis ke k adalah n! n! n!... n 1 2 k Contoh: ada berapa banyak cara berbeda untuk menyusun lampu warna-warni dalam seuntai tali jika ada 3 yang berwarna merah, 4 kuning, dan 2 biru? Jawab: ada sebanyak 9!/(3!4!2!) = 1260!
Partisi himpunan Partisi himpunan n objek kedalam r himpunan bagian (subset) atau sel: Partisi berhasil jika irisan sebarang dua subset adalah dan gabungan seluruh subset menghasilkan himpunan asal. Contoh: Partisi S = {a, e, i, o, u} kedalam dua sel yang masing-masing mengandung 4 dan 1 buah anggota adalah: {(a, e, i, o), (u)}, {(a, i, o, u), (e)}, {(a, e, o, u), (i)}, dan {(a, e, i, u), (o)}. Sehingga ada 5 buah: 5 = 4,1 5! 41!! = 5 Teorema1.7: Banyaknya cara untuk mempartisi suatu himpunan n objek kedalam r buah sel dengan masing-masing n 1 objek untuk sel pertama, n 2 objek untuk sel kedua,, n r objek untuk sel ke r adalah dimana n 1 + n 2 + + n r = n. n n! n1, n2,..., n = r n1! n2!... nr!
Kombinasi Pengaturan r-objek dari sekumpulan n-buah objek tanpa memperhatikan urutan disebut kombinasi. Suatu kombinasi pada dasarnya adalah partisi dua sel, yang pertama mengandung r-objek dan yang kedua ada (n-r) objek. Dengan demikian banyaknya kombinasi r-objek dari n kumpulan adalah n n atau biasa ditulis r, n r r karena sudah pasti sel kedua beranggotakan n-r Teorema1.9: Kombinasi r dari n buah objek berlainan adalah n = r n! r!( n r)!
1.5 Nilai Peluang
Inferensi dan Arti Peluang Ahli statistik berurusan dengan pengambilan kesimpulan (inferensi) dalam eksperimen yang menyangkut ketidakpastian. Beberapa contoh: Chris John kemungkinan memenangkan pertandingan tinju malam ini. Saya punya peluang 50-50 untuk mendapatkan angka genap jika dadu ini dilantunkan Nanti malam kemungkinan besar saya tidak akan memenangkan undian. Kebanyakan mahasiswa STEI lulus dalam 8 semester Dalam contoh-contoh diatas, kita mengekspresikan keluaran hasil eksperimen yang tidak pasti. Akan tetapi dengan mengetahui informasi yang lalu atau struktur dari eksperimen, kita punya derajat keyakinan tertentu akan validitas dari pernyataan-pernyataan diatas.
Pembobotan titik cuplikan Teori Matematika untuk peluang dari ruang pencuplikan berhingga menyediakan sekumpulan bilangan yang disebut sebagai pembobot (weights), dengan nilai antara 0 sampai 1, sebagai cara mengevaluasi kebolehjadian (likelihood) munculnya suatu peristiwa dari eksperimen statistik. Setiap titik dalam ruang pencuplikan diboboti sedemikian rupa hingga jumlah keseluruhan dari pembobot menjadi 1. Kejadian dengan kemungkinan tinggi diberi bobot mendekati 1. Kejadian yang lebih mustahil diberi bobot mendekati 0.
Nilai Peluang dari Kejadian Peluang dari kejadian A dihitung dengan menjumlahkan seluruh bobot titik cuplikan didalam A. Jumlah ini disebut sebagai ukuran (measure) dari A, atau peluang A dan dituliskan sebagai P(A). Dengan demikian, P( ) = 0 P(S) = 1 Def. 1.11: Nilai peluang dari kejadian A adalah hasil penjumlahan pembobot dari semua titik cuplikan didalam A. Sehingga 0 P(A) 1, P( ) = 0 P(S) = 1
Contoh Soal:Sebuah uang logam dengan sisi H dan T dilantunkan dua kali. Berapa peluang muncul sedikitnya satu buah sisi H? Jawab: Himpunan titik cuplikan dari percobaan ini adalah S={HH, HT, TH, TT}. Dengan menganggap uang logam tak bias, setiap hasil memiliki kebolehjadian yang sama. Jika masingmasing pembobot adalah w, maka S w = 4w = 1. dengan demikian w = ¼. Jika A menyatakan kejadian muncul sedikitnya satu kali H, maka A = {HH, HT, TH} dan P(A) = A w = 3/4
Peluang Kejadian Sederhana Pembobot dapat diasosiasikan dengan kejadian sederhana. Jika eksperimen dilakukan sedemikian rupa hingga pembobot setiap titik cuplikan didalam S bernilai sama, maka nilai peluang dari kejadian A adalah nisbah antara jumlah elemen A dengan jumlah elemen S. Teorema 1.9: Jika suatu eksperimen menghasilkan satu dari N buah hasil berbeda dengan kebolehjadian yang sama, dan jika n buah dari kejadian ini berasal dari kejadian A, maka nilai peluang dari kejadian A adalah P(A) = n/n
Contoh Soal:Tentukan peluang terambilnya kartu dari setumpukan lengkap kartu. Jawab: Banyaknya titik cuplikan didalam S adalah sejumlah kartu, yaitu 52, dimana ada 13 buah kartu. Dengan demikian P(A) = 13/52 = ¼ Catatan: jika pembobot tidak seragam, nilai peluang harus didasarkan pada sifat eksperimen yang diketahui sebelumnya (prior knowledge) atau bukti-bukti eksperimental.
1.6 Beberapa Hukum Peluang
Hukum penjumlahan Teorema 1.10: Untuk sebarang dua kejadian A dan B akan berlaku P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) A B S Bukti: Tinjau diagram Venn disamping. Perdefinisi, P(A B) adalah jumlah pembobot titik cuplikan dalam A B. Akan tetapi P(A) + P(B) adalah jumlah seluruh pembobot di A dengan seluruh pembobot di B, sehingga kita telah menambahkan A B dua kali. Oleh karena itu, kita harus mengurangi P(A) + P(B) dengan P(A B) untuk mendapatkan P(A B) semestinya.
Peluang kejadian yang saling bebas Corollary 1: Jika A dan B adalah kejadian yang saling bebas (mutually exclusive), maka P(A B) = P(A) + P(B) Corrolary 1 ini adalah hasil langsung dari teorema 1.10, karena jika A dan B saling bebas, maka P(A B) = P( ) =0. Hasil ini dapat diperumum: Corollary 2: Jika A 1, A 2, dan A n, adalah kejadian yang saling bebas (mutually exclusive), maka P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n ) Kita ingat, jika A 1, A 2, dan A n adalah partisi dari ruang pencuplikan S, maka P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A n )
Contoh Soal 1: Peluang seorang mahasiswa lulus kuliah Matematika adalah 2/3, sdangkan peluang lulusnya untuk kuliah Biologi adalah 4/9. Jika peluang lulus sedikitnya satu dari kedua kuliah tsb adalah 4/5, berapa peluang lulus kedua kuliah tsb? Jawab: Sebut M sebagai kejadian lulus Martematika sedangkan B sebagai kejadian lulus Biologi. Berdasarkan teorema 1.10, maka P(M B) = P(M) + P(B) - P(M B) = 2/3 + 4/9 4/5 = 14/45
Peluang kejadian komplementer Teorema 1.11: Jika A adalah kejadian komplementer dari kejadian A, maka P(A ) = 1 P(A) Bukti: Karena A A = S dan karena himpunan A tak beririsan dengan A, maka 1 = P(S) = P(A A ) = P(A) + P(A ) Akibatnya, P(A ) = 1 P(A)
Contoh Soal: Suatu uang logam dengan muka H dan T dilantunkan enam kali berturut-turut. Berapa peluang sedikitnya satu H muncul? Jawab: Andaikan E adalah kejadian muncul sedikitnya satu kepala. Ruang pencuplikan S terdiri dari 2 6 = 64 buah titik cuplikan karena setiap lantunan memiliki dua jenis keluaran. Kita ketahui P(E) = 1 - P(E ) dimana E adalah kejadian tidak munculnya sisi H, yang hanya bisa terjadi sekali yakni seluruh lantunan menghasilkan T. Oleh karena itu, P(E ) = 1/64 dan kita dapatkan P(E) = 1 P(E ) = 1-1/64 = 63/64.
1.7 Peluang Bersyarat
Pengertian Nilai peluang dari munculnya kejadian B, jika diketahui adanya kejadian A disebut peluang bersyarat P(B A). Dibaca: peluang B, diberikan A Tinjau kejadian B dari pelantunan dadu yang menghasilkan bilangan kuadrat sempurna (kuad. sempurna: 1, 4, 9, ). Dadu dibuat sdemikian hingga bilangan genap muncul duakali lebih sering dibanding bilangan ganjil. Karena S={1,2,3,4,5,6} maka P(1)=P(3)=P(5)= v, dan P(2)=P(4)=P(6) = 2v, tetapi 3v+2 3v = 1 => v=1/9. Jadi dadu ganjil berpeluang 1/9, dadu genap 2/9. Andaikan diketahui pelantunan menghasilkan angka diatas 3, jadi A={4,5,6} S. Untuk menghitung B, nilai peluang dari titik cuplikan di A harus ditentukan lagi shg totalnya 1, dng demikian pembobot w untuk A adalah 2w+w+2w=5w=1, atau w=1/5; Relatif terhadap A, B mengandung satu elemen saja, yaitu 4, atau B A={4}. Dengan demikian: P(B A) = 2/5, atau P(B A) = (2/9) / (5/9) = P(A B) / P(A)
Definisi Def. 1.12: Peluang bersyarat dari B, diberikan A, dituliskan sebagai P(B A) didefinisikan sebagai P(B A) = P(A B)/P(A) jika P(A)>0 Contoh: Suatu populasi memiliki data sbb: Bekerja (E) Tdk bekerja Laki-laki 460 40 Perempuan 140 260 Tinjau dua kejadian dari seleksi acak berikut M: terpilih Laki-laki, E: yang terpilih punya pekerjaan Dengan demikian, nilai peluang bersyarat M E adalah P(M E)=460/(460+140) = 23/30 Def.1.12 juga memberikan hasil sama karena P(E M) = 460/900, sedangkan P(E)=600/900, shg P(M E) = P(E M)/P(E) = 23/30
Teorema perkalian Teorema 1.12: Jika dalam suatu eksperimen peristiwa A dan B dapat terjadi, maka berlaku P(A B) = P(A) P(B A) Soal: dalam satu kotak terdapat 20 buah sekering, 5 diantaranya cacat. Jika 2 buah sekering dipilih secara acak dan diambil dari kotak secara berturutan, tanpa penggantian, berapa peluang kedua sekering yang terambil itu cacat? Jawab: Andaikan A kejadian terambilnya sekering cacat yang pertama dan B kejadian terambilnya sekering cacat kedua, kejadian A B harus ditafsirkan bahwa A terjadi, kemudian B terjadi setelah A terjadi. Peluang terambilnya sekering pertama cacat adalah 5/20=1/4, sedangkan terambilnya sekering kedua cacat adalah (5-1)/(20-1) = 4/19. Dengan demikian P(A B) = (1/4) (4/19) = 1/19. P(A) P(B A)
Generalisasi teorema perkalian Teorema 1.13: Jika dalam suatu percobaan kejadian A 1, A 2, A 3, dapat muncul, maka berlaku P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 )
Kejadian saling bebas Def.1.13 Kejadian A dan B disebut saling bebas (independent) jika, dan hanya jika, P(A B) = P(A) P(B) Soal: sepasang dadu dilantunkan dua kali. Berapa peluang mendapatkan jumlah 7 dan 11? Jawab: Jika A 1, A 2, B 1, dan B 2 peristiwa saling bebas bahwa jumlah 7 pada lemparan pertama, jumlah 7 pada lemparan kedua, jumlah 11 pada lemparan pertama, dan jumlah 11 pada lemparan kedua muncul. Kita akanmencermati kejadian mutually exclusive A 1 B 2 dan B 1 A 2. Oleh karena itu P[(A 1 B 2 ) (B 1 A 2 )] = P(A 1 B 2 ) + P(B 1 A 2 ) = P(A 1 ) P(B 2 ) + P(B 1 ) P(A 2 ) = (1/6) (/18) + ((1/18) (1/6)= 1/54
Aturan Bayes
Kembali ke contoh sebelumnya: Ilustrasi Bekerja (E) Tdk bekerja Laki-laki 460 40 Perempuan 140 260 Dengan mudah diperoleh P(E) = (460+140)/(460+140+40+260) = 600/900=2/3 Soal: Andaikan diketahui juga, 36 dari yang bekerja dan 12 dari yang tdk bekerja adalah anggota Rotary Club (RC), berapa peluang seseorang yang bekerja adalah anggota RC? Jawab: Misalkan A peristiwa orang yang terpilih adalah anggota RC, peluang bersyarat yang kita cari adalah: P(E A) = P(E A)/P(A)
Lanjutan Tinjau diagram Venn disamping Peristiwa A dapat dinyatakan sebagai gabungan dua peristiwa yang mutually exclusive, yaitu E A dan E A. Jadi A = (E A) (E A) Berdasarkan Corollary 1,Teorema 1.10, maka: P(A) = P(E A) + P(E A) Sehingga bisa kita tuliskan E A S E P(E A) = P(E A) /{P(E A) + P(E A)} Dengan demikian, untuk soal sebelumnya, kita bisa hitung: P(E A) = 36/900 = 1/25 P(E A) = 12/900 = 1/75 P(E A) = (1/25)/{(1/25) + (1/75)} = 3/4
Aturan Bayes Umum Teorema 1.14 (Aturan Bayes). Andaikan {B 1, B 2, B 3, } sekumpulan peristiwa yang membentuk partisi dari ruang cuplikan S, dimana P(B i ) 0, untuk i=1, 2,, n. Andaikan A sebarang peristiwa dalam S sedemikian hingga P(A) 0. Maka, untuk k = 1, 2,,n berlaku P ( B A) k i= 1 ( B A) P k P = = n n P P ( B A) i i= 1 ( B ) P( A B ) k ( B ) P( A B ) i k i B 1 B k B 3 B4 B 2 A B n
Sekian