- Yadi Nurhayadi - M O D U L S T A T I S T I K A BAB 1 PELUANG

- - M O D U L S T A T I S T I K A BAB 1 PELUANG Ilmu Statistika sering disebut sebagai ilmu peluang. Statistika bertanggung jawab atas banyak hal. Di setiap negara, lembaga yang sejenis dengan Biro Pusat Statistik merupakan lembaga resmi negara yang berwenang mengeluarkan data-data resmi yang akan menjadi landasan negara dalam mengeluarkan kebijakan ekonomi makro. Tak kurang data-data Produk Domestik Bruto (PDB), pendapatan per kapita, angka pertumbuhan ekonomi, tingkat inflasi, angka pengangguran, angka pertumbuhan penduduk, jumlah penduduk, dan masih banyak lagi adalah sebagian data-data yang didapat atas kerja lembaga tersebut. Ilmu statistika juga kerap bertanggung jawab melahirkan berbagai teori yang kelak mendasari teori keilmuan lain. Pengamatan statistika pada penelitian-penelitian ekonomi, sosiologi, kesehatan, biologi, bahkan matematika, fisika, dan sebagainya senantiasa mendasari kesimpulan yang diambil dari penelitian tersebut. Maka bukan hal berlebihan jika dikatakan bahwa ilmu statistika adalah ilmu yang selalu dibutuhkan dalam penelitian keilmuan. 1.1 Ruang Sampel Statistikawan atau orang yang memanfaatkan ilmu statistika pada dasarnya berurusan dengan penyajian dan penafsiran hasil yang berkemungkinan (belum pasti, belum dapat ditentukan sebelumnya) yang muncul dalam penelitian ilmiah. Kegiatannya berkaitan dengan cacah atau pengukuran yang berbentuk bilangan. Misalnya, ketika harus menentukan seberapa banyak loket yang optimal dibutuhkan pada gerbang tol Fatmawati di jalan T. B. Simatupang, statistikawan melakukan pengamatan jumlah kendaraan yang melalui jalan itu di saat jam sibuk, atau ketika harus menentukan jumlah stok obat batuk setiap pekannya di sebuah apotek, statistikawan mengamati seberapa banyak pembeli obat batuk setiap pekannya. Definisi 1.1 Informasi yang dicatat dan dikumpulkan dalam bentuk aslinya, baik dalam bentuk hitungan maupun pengukuran, disebut data mentah. Bilangan 1297, 1301, 1288, 1311, dan 1277 yang menunjukkan jumlah kendaraan yang melalui jalan T. B. Simatupang dekat gerbang tol Fatmawati pada jam 07.00 hingga 08.00 dalam 5 hari kerja merupakan sekelompok data mentah. Begitu pula bilangan 11, 15, dan 12 yang merupakan jumlah pembeli obat batuk dalam 3 pekan di sebuah apotek adalah sekelompok data mentah. Dalam statistika tiap proses yang menghasilkan data mentah disebut percobaan. Adanya perbedaan hasil cacah atau pengukuran pada setiap percobaan yang dikondisikan sama menunjukkan adanya unsur peluang dalam percobaan itu. Misalnya kita tidak akan pernah bisa menentukan secara pasti apakah muka atau belakang yang akan muncul di sisi atas pada percobaan lantunan mata uang. Definisi 1.2 Gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang S. Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel atau disebut titik sampel. Bila jumlah titik sampel berhingga maka ia dapat didaftar dengan menuliskannya di antara kurung kurawal, dengan masing-masing unsur dipisah tanda koma. Misalnya ruang sampel yang menyatakan semua hasil yang mungkin saat sebuah koin mata uang dilantunkan ditulis: 1

S = { M, B }, di mana M menyatakan muka dan B belakang. Ruang sampel dengan titik sampel yang banyak atau tak hingga ditulis dengan suatu pernyataan atau aturan. Misalnya ruang sampel dengan titik-titik sampelnya menyatakan nama pengunjung Pantai Ancol di hari Lebaran dapat ditulis: S = { x x nama pengunjung Pantai Ancol di hari Lebaran}, dibaca S kumpulan semua x, bila x menyatakan nama pengunjung Pantai Ancol di hari Lebaran. Begitu pula jika S menyatakan kumpulan semua titik ( x, y ) pada batas atau bagian dalam suatu lingkaran berjari-jari 2, dengan pusat di titik asal, dapat ditulis S = { ( x, y ) x 2 + y 2 4 }. Latihan 1.1 1. Sebuah dadu dilantunkan satu kali. Buat dua pernyataan ruang sampel yang mungkin dari hasil lantunan dadu itu! 2. Tiga jenis buah: kurma, lengkeng, dan strawberi diambil satu per satu dari dalam kotak. Nyatakan ruang sampel terbanyak yang menyatakan paket-paket 3 nama buah itu yang saling berbeda berdasarkan urutan pengambilan! 1.2 Kejadian Definisi 1.3 Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Tiap kejadian berkaitan dengan sekelompok titik sampel yang membentuk himpunan bagian ruang sampel. Himpunan bagian ini mewakili semua unsur yang membuat kejadian tersebut dapat muncul. Misalnya kejadian munculnya angka dadu ganjil A = { 1, 3, 5 } merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S = { 1, 2, 3, 4, 5, } pada percobaan: sisi atas dadu yang muncul di dalam 1 lantunan sebuah dadu. Ada kalanya suatu kejadian hanya melibatkan satu unsur dari ruang sampel. Ada kalanya pula suatu kejadian merupakan gabungan dari unsur-unsur dari ruang sampel itu, tapi masih merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Definisi 1.4 Kejadian yang hanya mengandung satu unsur ruang sampel disebut kejadian sederhana. Gabungan beberapa kejadian sederhana disebut kejadian majemuk. Misalnya, kejadian menarik kartu hati pada penarikan kartu bridge A = { hati }, merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S = { hati, intan, sekop, kriting }. Dalam hal ini A merupakan kejadian sederhana. Tetapi kejadian menarik kartu merah, B = { hati, intan } merupakan kejadian majemuk. Definisi 1.5 Ruang nol atau atau ruang hampa merupakan himpunan bagian ruang sampel yang tidak mempunyai unsur, dinyatakan dengan lambang Ø. Bila A menyatakan kejadian bilangan bulat yang merupakan hasil dari bilangan ganjil yang dibagi dua, maka A = Ø. Demikian pula bila B menyatakan kejadian manusia yang berhasil mencapai matahari, maka B = Ø. 2

Dalam hal mengungkapkan kejadian dan ruang sampel, kita mengenal Diagram Venn yang dapat menggambarkan hubungan antara kejadian dengan ruang sampel padanannya. Misalnya pada gambar 1.1 di bawah merupakan Diagram Venn yang menggambarkan ruang sampel angka di sisi atas yang muncul pada satu kali lantunan sebuah dadu. Dengan kejadian-kejadian: A = { x x < } B = { x x angka ganjil } C = { x x angka genap }. 3 B A C S Gambar 1.1 Diagram Venn Kejadian dan Ruang Sampel. Latihan 1.2 Tentukan angka-angka pada kejadian A, B, dan C dalam diagram Venn pada gambar 1.1! 1.3 Operasi dengan Kejadian Definisi 1. Irisan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan lambang A B, ialah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B, dinyatakan dengan aturan A B = { x x A dan x B }. Lambang menyatakan anggota atau termasuk dalam. Gambar 1.2 menunjukkan diagram Venn di mana daerah yang dihitami menyatakan A B. Gambar 1.2 Irisan A dan B Misalnya jika A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5,, 7, 8}, maka A B = {4, 5}. Pada kasus lain, misalkan A adalah mahasiswa UIN yang tinggal di asrama dan B adalah mahasiswa Fakultas Syariah UIN, maka A B adalah mahasiswa Fakultas Syariah UIN yang tinggal di asrama. Adakalanya dua kejadian pada satu ruang sampel tidak beririsan. Misalnya, pada ruang sampel bilangan asli yang kurang dari 11, jika A adalah kejadian bilangan ganjil dan B bilangan genap, maka A B = Ø. Kejadian A dan B disebut saling terpisah.

4 Definisi 1.7 Dua kejadian A dan B saling terpisah bila A B = Ø. Akan tetapi, jika yang dicari adalah satu kejadian dengan titik-titik sampelnya seluruh anggota dari kejadian A atau B, maka titik-titik sampel itu adalah A B. Unsurunsur A B dapat didaftar dengan aturan A B = {x x A atau x B }. Definisi 1.8 Gabungan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan lambang A B, ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya. Gambar 1.3 Gabungan A dan B. Definisi 1.9 Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialah himpunan semua unsur S yang tidak termasuk A, dinyatakan dengan lambang A. Unsur-unsur A didaftar dengan aturan A = {x x S dan x A }. Setelah memahami berbagai definisi dari kejadian dan berbagai operasinya di atas, maka dengan bantuan diagram Venn kita akan mengerti kebenaran kalimat-kalimat matematika berikut. 1. A Ø = Ø. 2. A U Ø = A. 3. A A = Ø. 4. A U A = S. 5. S = Ø.. Ø = S. 7. ( A ) = A. Latihan 1.3 Jika ruang sampel S adalah mahasiswa di kampus UIN, A adalah kejadian mahasiswa UIN di kampus UIN, B adalah kejadian mahasiswa bukan UIN di kampus UIN, dan C mahasiswa FSH UIN di kampus UIN, nyatakanlah: a. A B, b. C B, c. A U B, serta d. hubungan semua kejadian dan ruang sampel dalam diagram Venn. 1.4 Menghitung Titik Sampel Teorema 1.1 Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n 1 cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n 2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n 1 n 2 cara. Contoh, kita hitung berapa jumlah titik sampel jika dua koin uang dilantunkan bersama satu kali. Koin pertama dapat menghasilkan dua kemungkinan (M atau B). Untuk tiap posisi koin pertama itu koin kedua juga dapat menghasilkan dua

kemungkinan (M atau B). Maka dari kedua koin itu dapat menghasilkan (2) (2) = 4 kemungkinan, yaitu MM, MB, BM, dan BB. Teorema 1.1 dapat diperluas menjadi teorema 1.2 berikut, sehingga mencakup banyak kejadian. Teorema 1.2 Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n 1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan sebanyak n 2 cara, dan bila untuk setiap kedua cara itu operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n 3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n 1 n 2 n 3...n k cara. Misalnya sebuah rumah makan, selain nasi putih, menawarkan menu makan terdiri dari 5 macam lauk pauk, 4 macam sayuran, 3 macam buah, dan 2 macam minuman. Maka jumlah menu, terdiri dari lauk pauk, sayuran, buah, dan minuman masing-masing satu macam, yang dapat ditawarkan adalah (5)(4)(3)(2) = 120 menu. Perkalian n 1 n 2...n k kemungkinan ini membawa kita kepada permutasi. Definisi 1.10 Suatu permutasi ialah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya. Misalnya kita memiliki sekeranjang buah yang berisi sekumpulan tiga macam buah berbeda: kurma (K), lengkeng (L), dan strawberi (S). Jika kita harus mengambil tiga macam buah yang bercampur itu satu per satu dari keranjang, maka kemungkinan urutan tiga buah yang terambil itu adalah KLS, KSL, LSK, LKS, SKL, SLK. Kemungkinan pengambilan berdasarkan urutan seperti ini adalah termasuk permutasi. Teorema 1.3 Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n!. Pada contoh di atas, ada 3 macam buah berbeda, maka permutasinya adalah 3! = (3)(2)(1) =. Secara logis jika dipikirkan, untuk mengambil 3 macam buah berbeda itu, pada urutan pertama tiga macam buah itu berpeluang, di urutan kedua (karena 1 macam buah sudah di urutan pertama, maka) tinggal 2 macam buah berpeluang, di urutan ketiga (karena 2 macam buah sudah di urutan pertama dan kedua, maka) tinggal 1 macam buah berpeluang, atau (3)(2)(1) =. Akan tetapi, adakalanya kita tidak mengambil semua jenis buah, tetapi sebagian jenis buah saja. Misalnya ada 4 jenis buah: kurma (K), lengkeng (L), duku (D), dan strawberi (S), dan kita hanya boleh mengambil 2 macam buah berbeda. Maka di urutan pertama ada 4 macam buah yang mungkin terambil dan di urutan kedua tinggal 3 macam buah yang mungkin terambil. Atau (4)(3) = 12, yaitu KL, KD, KS, LD, LS, LK, DS, DK, DL, SK, SL, SD. Teorema 1.4 Banyak permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah P r n n! =. ( n r)! Pada pengambilan 2 macam dari 4 macam buah berbeda di atas merupakan permutasi 4 macam buah berbeda yang diambil 2 macamnya saja. Atau 4! 4 3 2 1 4 P 2 = = = 4 3 = 12. 2! 2 1 ( 4 ) Ada pula permutasi dari sejumlah benda berbeda yang disusun melingkar. Dalam hal ini rumusannya akan berbeda. Teorema 1.5 Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n 1)!. 5

Misalnya permutasi dari 4 orang berbeda pemain bridge yang duduk melingkar mengelilingi meja adalah (4-1)! = 3! = 3 2 1 =. Atau jika 4 orang yang mengelilingi meja itu kita sebut sebagai A, B, C, dan D, maka sketsa gambar permutasi melingkar mereka adalah seperti pada gambar 1.4. Gambar 1.4 Permutasi melingkar 4 pemain bridge. Permutasi-permutasi di atas adalah untuk sekumpulan benda-benda yang berbeda. Bagaimana jika kita ingin mengetahui permutasi dari sekumpulan benda bila dari sekumpulan itu ada benda yang sama jenisnya. Teorema 1. Banyak permutasi yang berlainan dari n benda bila n 1 di antaranya berjenis pertama, n 2 berjenis kedua,..., n k berjenis ke k adalah n! n1! n2!... nk! Contoh, berdasarkan teorema 1.3, permutasi dari 3 huruf A, B, dan C adalah 3! = 3 2 1 =, yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA. Akan tetapi, jika B = C = X, maka permutasinya akan menjadi AXX, AXX, XXA, XAX, XAX, dan XXA, yaitu hanya terdiri dari 3 susunan berbeda: AXX, XAX, dan XXA. Atau permutasi dari 3 huruf dengan dua huruf di antaranya sama 3! 3 2 1 = = 3. 2!1! 2 11 ( ) Seringkali kita harus memisah sekumpulan benda menjadi beberapa bagian, atau kita meletakkan sekumpulan benda itu ke dalam sekat-sekat atau sel-sel. Suatu penyekatan terjadi bila irisan semua sel yang banyaknya r merupakan himpunan kosong Ø, dan gabungan semua sel merupakan himpunan semula. Misalnya 5 orang ilmuwan dari satu negara (bernama A, B, C, D, dan E) sedang mengikuti seminar ilmiah di negara lain. Mereka ditempatkan di 2 kamar hotel. Kamar pertama hanya dapat diisi oleh 3 orang, sedangkan kamar kedua hanya 2 orang. Maka kemungkinan pengisian 2 kamar oleh 5 orang itu adalah: (ABC) (DE), (ABD) (CE), (ABE) (CD), (ACD) (BE), (ACE) (BD), (ADE) (BC), (BCD) (AE), (BCE) (AD), (BDE) (AC), dan (CDE) (AB), yaitu ada 10 kemungkinan. Teorema 1.7 Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel, masing-masing berisi n 1 dalam sel pertama, n 2 dalam sel kedua, dst, adalah n n! n1, n2,..., n = di mana n1 + n2 +... + nr = n. r n1! n2!... nr! Pada kasus 5 ilmuwan di dua kamar, berarti menyekat 5 orang ke dalam 2 kamar, masing-masing berisi 3 orang di kamar pertama, dan 2 orang di kamar kedua. Yaitu,

5 5! 5 4 3 2 1 = = = 10. 3, 2 3! 2! ( 3 2 1)( 2 1) Penyekatan sekumpulan benda ke dalam dua sel disebut pula sebagai kombinasi dari sekumpulan benda berlainan bila diambil sebagiannya. Dalam hal ini banyaknya cara mengambil r benda dari sekumpulan n benda itu tidak memperdulikan urutannya. Teorema 1.8 Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r n n! adalah =. r r!( n r)! Misalnya kita akan menentukan banyaknya cara mengambil 2 jenis buah berbeda dari 4 jenis buah: kurma (K), lengkeng (L), duku (D), dan strawberi (S), secara kombinasi. Berdasarkan teorema 1.8 di atas ada 4 4! 4 3 2 1 = = = cara. 2 2! ( 4 2 )! ( 2 1 )! ( 2 1 )! Yaitu: (KL), (KD), (KS), (LD), (LS), dan (DS). Perhatikan, di dalam kombinasi tidak diperdulikan urutan. (KL) adalah sama dengan (LK), yaitu 2 buah yang terambil adalah kurma dan lengkeng atau lengkeng dan kurma, ya sama saja. Coba bandingkan dengan permutasi pada teorema 1.4. Latihan 1.4 1. Tentukan permutasi dan kombinasi dari pembagian sedekah: beras (B), terigu (T), gula (G), minyak goreng (M), dan mi instan (I), yang masing-masing bernilai sama, kepada anak yatim, jika a. setiap anak hanya mendapat 2 jenis sedekah berbeda, dan b. setiap anak mendapat semua (5 jenis sedekah berbeda). Keterangan: 0! = 1. 2. Tentukan banyaknya permutasi yang disusun melingkar dalam sidang kabinet pemerintah yang terdiri dari 3 orang (presiden, wakil presiden, dan 34 orang menteri). 1.5 Peluang Suatu Kejadian Apakah makna bahwa peluang Manchester United (MU) menang melawan Liverpol adalah 0%? Kita membacanya berarti MU lebih besar berpeluang menang di banding kalah melawan Liverpol, dengan peluang kemenangan berbobot 0%, sedangkan peluang sisanya (berbobot 40%) mungkin seri atau kalah. Perhatikan, bobot dari suatu peluang bernilai 0 hingga 1, di mana bobot semakin dekat ke 0 berarti peluangnya semakin kecil, sedangkan bobot semakin dekat ke 1 berarti peluangnya semakin besar. Definisi 1.11 Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A, di mana 0 P(A) 1, P(Ø) = 0, dan P(S) = 1. Contoh, tentukan persentase peluang munculnya angka ganjil dalam satu kali lantunan dadu. Kita ingat bahwa dadu mempunyai enam sisi dengan tiga angka ganjil (1, 3, dan 5) serta tiga angka genap (2, 4, dan ). Dengan demikian peluang munculnya angka ganjil berbobot ½-nya atau 50%, sedangkan sisa ½-nya lagi (yang berbobot 50%) adalah angka genap. Teorema 1.9 Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah 7

8 P(A) = N n Dalam kasus satu kali lantunan dadu di atas, dari keseluruhan kemungkinan mata dadu (N = ) yang dapat muncul, ada 3 mata dadu (n = 3) yang berkaitan dengan kejadian munculnya angka ganjil. Atau peluang muncul angka ganjil n 3 1 P(angka ganjil) = = = = 50%. N 2 Bagaimana jika dari sisi dadu tersebut, ternyata masing-masing tidak berbobot sama? Misalnya sisi dadu pada angka-angka genapnya diberi pemberat sehingga peluang muncul angka genap dua kali lebih besar dibanding angka ganjil. Maka peta peluangnya akan berubah. Dengan ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, }, nyatakan bobot angka ganjil b maka bobot angka genap menjadi 2b. Karena jumlah semua bobot adalah 1, sedangkan pada dadu ada tiga angka ganjil dan tiga angka genap, maka 1 3 b + 3( 2b) = 1 9b = 1 b =. 9 Jadi bobot masing-masing angka ganjil adalah 1/9 dan masing-masing angka genap 2/9. Dengan demikian, peluang angka ganjil menjadi 1 3 1 P(angka ganjil) = 3 = =. 9 9 3 1. Beberapa Hukum Peluang Teorema 1.10 Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B). Akibat 1. Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P(A U B) = P(A) + P (B). Akibat 2. Bila A 1, A 2, A 3,..., A n saling terpisah, maka P(A 1 U A 2 U... U A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... + P(A n ). Teorema 1.11 Bila A dan A kejadian yang saling berkomplemen, maka P(A ) = 1 P(A). 1.7 Peluang Bersyarat Definisi 1.12 Peluang bersyarat B dengan diketahui A, dinyatakan dengan P(B A) ditentukan oleh P( A B) P(B A) = bila P(A) > 0. P( A) Teorema 1.12 Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan maka P A B = P A P B A. ( ) ( ) ( ) Gambar 1.5 Diagram Venn lantunan sebuah dadu. Contoh, kembali pada lantunan sebuah dadu, S = {1, 2, 3, 4, 5, }, A adalah kejadian muncul mata dadu dengan angka kurang dari, A = { x x < }, dan B adalah kejadian muncul angka genap, B = {x x angka genap}. Tentukan P(B A).

Untuk menjawabnya, kita deskripsikan dahulu hubungan antara ruang sampel dan kejadian menggunakan diagram Venn seperti pada Gambar 1.5 di atas. P(B A) berarti peluang terjadinya B bila A terjadi. Maka menurut definisi 1.12, ( ) ( ) 2 P A B 2 2 P B A = = = =, P( A) 5 5 5 2 5 di mana dalam hal ini P ( A B) = dan P ( A) =. Teorema 1.13 Bila dalam suatu percobaan, kejadian A 1, A 2, A 3,... dapat terjadi, maka P( A1 A2 A3...) = P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )... Definisi 1.13 Kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P A B = P A P B. ( ) ( ) ( ) 1.8 Aturan Bayes Teorema 1.14 (Aturan Bayes) Misalkan {B 1, B 2,..., B n } suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu sekatan ruang sampel S dengan P(B i ) 0 dengan i = 1, 2,..., n. Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A) 0. Maka, untuk k = 1, 2,..., n, P ( ) ( B ) ( ) ( ) = k A P B = k P A B P B k k A. n n P( Bi A) P( Bi ) P( A Bi ) i= 1 i= 1 9