ANALYSIS OF VARIANS (ANOVA) A. Memahami ANOVA Analysis of variance (ANOVA) atau Analisis Variansi (ANAVA) adalah tehnik statistik yang dikembangkan dan diperkenalkan pertama kali oleh Sir. R. A. Fisher. ANOVA dapat dipahami sebagai perluasan dari uji-t yang penggunaannya tidak terbatas kepada pengujian perbedaan dua buah rata-rata populasi, namun dapat juga untuk menguji perbedaan tiga buah rata-rata populasi atau lebih sekaligus. Sebagai gambaran misalkan kita ingin mengetahui apakah ada perbedaan motivasi belajar Matematika siswa yang berasal dari keluarga yang tingkat ekonominya rendah (miskin), menengah, dan tinggi (kaya). Untuk dapat melaksanakan maksud ini, kita memiliki tiga perangkat skor motivasi belajar siswa, yaitu skor motivasi belajar yang tergolong miskin, menengah, dan kaya yang diandaikan reratanya berturut-turut Tujuan kita yaitu ingin menguji perbedaan rata-rata pada tahap probabilitas (keberartian) tertentu. Apakah Seperti yang sudah diketahui bahwa Uji-t yang dibahas sebelumnya tidak dapat digunakan untuk menguji perbedaan dari rata-rata ketiga perangkat itu secara sekaligus tetapi hanya dapat diatasi dengan cara melakukan sejumlah pengujian perbedaan rata-rata secara berulangulang. Cara seperti di atas memang tampak logis, hanya saja penggunaan uji-t secara berulang-ulang dapat menjerumuskan peneliti melalui peningkatan risiko kekeliruan Tipe I (menolak hipotesis yang benar) yang tidak terkontrol (Furqon,2011:199), dengan kata lain akan memperluas daerah kekeliruan tipe I (tahap keberartian. Misalnya kita ingin melakukan sejumlah uji-t dengan tingkat keyakinan 95% dengan masing-masing, maka kita akan menghadapi masalah bahwa peluang atas risiko kekeliruan tipe I pada penelitian secara keseluruhan lebih besar dari 0,05. Jika kita melakukan tiga kali uji-t secara independent, maka peluang untuk tidak tidak terlibat kekeliruan tipe I atas seluruh keputusan yang dilakukan adalah (0,95) 3 = 0,8574 atau sekitar 86%. Sehingga peluang atas kekeliruan tipe I dari penelitian itu adalah sekitar 14% dan bukan 5% seperti yang diharapkan. Oleh karena ketidakjelasan konsekuensi pelanggaran terhadap besarnya peluang kekeliruan tipe I pada pengujian hipotesis dengan uji-t secara berulang untuk melihat adanya perbedaan dua buah rata-rata, maka pengujiannya diganti dengan ANOVA. 1 P a g e
Kunci untuk dapat memahami ANOVA terdapat pada Istilah analisis variansi itu sendiri. ANOVA digunakan untuk menguji sejumlah rata-rata populasi dengan cara membandingkan variansinya. Pada dasarnya Anov dibagi menjadi dua kelompok besar, yaitu: 1. Beberapa kelompok yang dihadapi merupakan pembagian dari satu independent variabel (variabel bebas). Kondisi ini yang sering disebut dengan single factor experiment (analisis variance satu arah). 2. Beberapa kelompok yang dihadapi merupakan pembagian dari beberapa independent variabel (variabel bebas). Kondisi ini yang sering disebut dengan two factor exsperiment (analisis variance dua arah). Konsep yang mendasari ANOVA ialah variansi total dari nilai-nilai (skor-skor) itu dapat ditumpukan kepada dua buah sumber. Yang pertama adalah variansi inter kelompok yaitu variansi kekeliruan. Dengan kata lain, ANOVA itu dipergunakan untuk melihat apakah ada perbedaan antara dua buah rata-rata atau lebih yang mungkin timbul dari hanya kekeliruan pemilihan sampel. Yang kedua adalah variansi antar kelompok, yaitu variansi yang disebabkan oleh adanya perlakuan. Dalam bahasa ANOVA, variansi inter kelompok merupakan istilah dari rata-rata jumlah kuadrat dalam kelompok (RJKD) atau mean of squares within groups (MS W ) dan variansi antar kelompok merupakan istilah dari rata-rata jumlah kuadrat antar kelompok (RJKA) atau mean of squares between groups (MS B ). Dari sini kita memiliki dua ukuran statistik, yaitu MS B atau RJKA dan MS W atau RJKD (ratarata variansi sampel), yang masing-masing merupakan penaksir yang tidak bias bagi variansi populasi. Oleh karena itu, jika seluruh sampel diambil secara acak dari populasi yang sama, maka MS B = MS W atau RJKA = RJKD Sehingga ANOVA digunakan untuk menguji hipotesis nol tentang perbedaan dua buah rata-rata atau lebih. Secara formal hipotesis tersebut dapat ditulis sebagai berikut: o o 2 P a g e
Dalam menguji hipotesis nol tersebut, ANOVA melakukan perbandingan antara variansi antar kelompok (MS B ) dengan variansi dalam kelompok (MS W ), yaitu jika nilai F hitung F kritis maka Ho diterima artinya kedua variansi itu sama maka seluruh sampel yang dianalisis berasal dari populasi yang sama, sehingga kita tidak memiliki dasar untuk menolak hipotesis nol. Namun, apabila F hitung > F Kritis maka Ho di tolak artinya ada nilai rata-rata yang jauh berbeda dengan nilai rata-rata sampel lainnya. B. UJI ANOVA SATU ARAH Jika kita mempunyai dua rata-rata dari populasi yang sedang dikaji, maka pengujian hipotesis dapat menggunakan distribusi normal (Z) dan distribusi student (t), baik pengujian rata-rata (satu ratarata dan beda dua rata-rata) ataupun pengujian proporsi (satu proporsi dan beda dua proporsi). Untuk pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih, seperti yang dijabarkan sebelumnya maka digunakan distribusi F dengan teknik ANOVA. Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan teknik ANOVA dapat dibedakan atas tiga jenis, yaitu pengujian ANOVA satu arah, ANOVA dua arah tanpa interaksi, dan ANOVA dua arah dengan interaksi. Pada kesempatan kali ini, pembahasan materi akan lebih fokus kepada uji ANOVA satu arah. Uji ANOVA satu arah merupakan pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan satu faktor (peubah bebas) yang berpengaruh. Misalnya, peubah jenis kelamin terdiri hanya atas dua kategori (laki-laki dan wanita). Adapun langkah-langkah uji anova satu arah adalah sebagai berikut : 1. Menentukan Formulasi Hipotesis H 0 = µ 1 = µ 2 = µ 3 =... = µ k H 1 = tidak semua populasi memiliki rata-rata hitung (mean) yang sama 2. Menentukan taraf nyata (α) beserta F kritis Taraf nyata (α) ditentukan dengan derajat pembilang (v 1 ) dan derajat penyebut (v 2 ). Dengan: v 1 = k-1 dan v 2 = k(n-1) serta F α(v1;v2) =... 3. Menentukan kriteria Pengujian Ho diterima apabila F hitung F α(v1;v2) 3 P a g e Ho di tolak apabila F hitung > F α(v1;v2)
4. Membuat analisis variansnya dalam bentuk tabel ANOVA Sumber varians Jumlah kuadrat Derajat bebas Rata-rata kuadrat F hitung Antar kelompok (between) SS B k-1 Dalam kelompok SS W k(n-1) (within) Total SS T nk-1 Untuk ukuran sampel (n) yang sama banyak, maka : SS W = SS T SS B Dengan : k = kolom n= baris Sedangkan untuk sampel n berbeda (tidak sama banyak), maka : Sumber varians Jumlah kuadrat Derajat bebas Rata-rata kuadrat F hitung Antar Kelompok (between) SS B k-1 Dalam Kelompok (within) SS W N-k Total SS T N-1 SS T SS B SS W = SS T SS B 4 P a g e
Untuk menentukan harga-harga yang diperlukan dalam ANOVA baik untuk sampel yang jumlah data (n) sampelnya sama atau berbeda dapat juga menggunakan rumus seperti di bawah ini. a. Jumlah kuadrat dalam kelompok (JKD) atau SS W, yaitu: SS W n i ( Y ) N k ij 2 j1 Yij j1 j1 ni 2 b. Jumlah kuadrat antar kelompok (JKA) atau SS B, yaitu: SS B k j1 ni ni 2 2 Yij Yij i1 i1 ( ) ( ) n N j c. Jumlah kuadrat total (JKT) atau SS T, yaitu: SS T N j1 Y N ( Yij ) N 2 i1 ij 2 5. Membuat kesimpulan Menyimpulkan Ho diterima atau di tolak dengan membandingkan antara langkah ke-4 dengan kriteria pengujian pada langkah ke-3. Contoh : Misalkan diketahui hasil belajar Matematika siswa yang belajar dengan 5 model pembelajaran yang berbeda A, B, C, D, dan E sebagai berikut: Model pembelajaran A B C D E 5 4 8 6 3 9 7 8 6 9 3 5 2 3 7 2 3 4 1 4 7 6 9 4 7 Jumlah 26 39 20 14 33 5 P a g e
Ujilah dengan taraf nyata 5%, apakah hasil belajar Matematika siswa pada setiap kelompok tersebut tidak berbeda! Penyelesaian : 1. Formulasi Hipotesis statistik Ho = µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5 H 1 = sekurang-kurangnya ada dua rata-rata tidak sama 2. Taraf nyata (α) dan nilai F tabel : α = 5% = 0,05 dengan v 1 = 5-1 = 4 v 2 = 5(5-1) = 20 F 0,05(4;20) = 2,87 3. Kriteria pengujian : Ho diterima apabila F hitung 2,87 Ho di tolak apabila F hitung > 2,87 4. Analisis varians : n = 5 k = 5 n 1 = 5 n 2 = 5 n 3 = 5 n 4 = 5 n 5 = 5 N = 25 T 1 = 26 T 2 = 39 T 3 = 20 T 4 = 14 T 5 = 33 T.. = 132 SS T = 5 2 + 4 2 +... + 7 2-137,04 SS B = SS W = 137,04 79,44 = 57,6 Tabel ANOVA Sumber Varians SS Df MS F hitung 79,44 4 19,86 (Between) 6,90 Antar kelompok Dalam kelompok (within) 57,6 20 Total 137,04 24 2,88 6 P a g e
5. Kesimpulan Pada tahap keberartian dengan derajat kebebasan 4 x 20 ( 0,95 F 4,20 ) Karena F hitung = 6,90 lebih besar dari F kritis, maka Ho ditolak. Jadi, rata-rata hasil belajar Matematika siswa tidak sama untuk kelima model pembelajaran tersebut. Pengujian dengan SPSS 19 Sebelum melanjutkan uji ANOVA perlu diingat bahwa salah satu asumsi dari uji ANOVA adalah variansnya sama. Dari tabel Test of Homegeneity of Variances di bawah ini: Test of Homogeneity of Variances Hasil Belajar Matematika Levene Statistic df1 df2 Sig..394 4 20.810 Terlihat bahwa hasil uji menunjukan bahwa varians kelima kelompok tersebut sama (P-value = 0,810) karena nilai sig. > 0,05, sehingga uji ANOVA valid untuk menguji hubungan ini. Selanjutnya untuk melihat apakah ada perbedaan hasil belajar matematika siswa dengan menggunakan kelima model tersebut, kita lihat tabel ANOVA di bawah ini: Hasil _Belajar_Matematika ANOVA Sum of Squares df Mean Square F Sig. Between Groups 79.440 4 19.860 6.896.001 Within Groups 57.600 20 2.880 Total 137.040 24 Dari tabel di atas pada kolom Sig. diperoleh nilai P (P-value) = 0,001. Karena Sig. < 0,05. Dengan demikian pada taraf nyata = 0,05 kita menolak Ho, sehingga kesimpulan yang didapatkan adalah ada perbedaan yang bermakna rata-rata hasil belajar berdasarkan kelima model belajar tersebut. Karena hasil uji Anova menunjukan adanya perbedaan yang bermakna, maka uji selanjutnya adalah melihat kelompok mana saja yang berbeda. Untuk menentukan kelompok mana saja yang berbeda kita gunakan uji lanjutan (Post Hoc Test). Untuk menentukan uji lanjut mana yang digunakan, maka kembali kita lihat tabel 7 P a g e
Test of Homogeneity of Variances. Bila hasil tes menunjukan varian sama, maka uji lanjut yang digunakan adalah uji Scheffe. Namun bila hasil tes menunjukan varian tidak sama, maka uji lanjut yang digunakan adalah uji Dunnett. Dari Test of Homogeneity menghasilkan bahwa varian kelima model tersebut sama, maka uji lanjut (Post Hoc Test) yang digunakan adalah Uji Scheffe. Dependent Variable:Hasil Belajar Matematika Multiple Comparisons Mean 95% Confidence Interval (I) Model (J) Model Difference (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound Scheffe Model A Model B -2.600 1.073.249-6.23 1.03 Model C 1.200 1.073.866-2.43 4.83 Model D 2.400 1.073.322-1.23 6.03 Model E -1.400 1.073.789-5.03 2.23 Model B Model A 2.600 1.073.249-1.03 6.23 Model C 3.800 * 1.073.037.17 7.43 Model D 5.000 * 1.073.004 1.37 8.63 Model E 1.200 1.073.866-2.43 4.83 Model C Model A -1.200 1.073.866-4.83 2.43 Model B -3.800 * 1.073.037-7.43 -.17 Model D 1.200 1.073.866-2.43 4.83 Model E -2.600 1.073.249-6.23 1.03 Model D Model A -2.400 1.073.322-6.03 1.23 Model B -5.000 * 1.073.004-8.63-1.37 Model C -1.200 1.073.866-4.83 2.43 Model E -3.800 * 1.073.037-7.43 -.17 Model E Model A 1.400 1.073.789-2.23 5.03 Model B -1.200 1.073.866-4.83 2.43 Model C 2.600 1.073.249-1.03 6.23 Model D 3.800 * 1.073.037.17 7.43 *. The mean difference is significant at the 0.05 level. Tabel uji lanjut (Post Hoc Test) di atas memperlihatkan bahwa kelompok yang menunjukan adanya perbedaan rata-rata hasil belajar siswa (ditandai dengan tanda bintang "*" pada mean 8 P a g e
difference) adalah antara model B dengan model C, model B dengan model D, serta model D dengan model E. C. Uji Lanjutan ANOVA (Post Hoc Test) ANOVA sebagai mana kita ketahui hanya melihat ada tidaknya perbedaan rata-rata, tidak sampai kepada mengetahui rata-rata mana yang berbeda secara signifikan. Artinya setelah ANOVA menolak hipotesis nol bahwa seluruh kelompok berasal dari populasi yang sama, persoalan berikutnya adalah kelompok mana yang memiliki rata-rata yang berbeda dengan kelompok lain. Untuk menjawab persoalan ini banyak tehnik yang telah dikembangkan. Namun pada makalah ini, hanya akan diperkenalkan mengenai uji Scheffe dan Uji Kruskal-Wallis. 1. Uji Scheffe Uji Scheffe yang dikembangkan oleh Shceffe untuk melihat perbedaan rata-rata dengan ANOVA satu jalur dapat digunakan untuk menguji perbedaan dua buah rata-rata secara berpasangan (1 vs 2, 1 vs 3, dan 2 vs 3) dan perbedaan antara kombinasi rata-rata yang kompleks (seperti [1+2]/2 vs 3) (Furqon,2011:213). Hipotesis yang diuji pada uji lanjutan ANOVA hakekatnya sama dengan uji dua kelompok, yakni : Ho: 0 VS H : 0 i j a i j Jika kelompok yang dibandingkan pada ANOVA ada 3, maka banyaknya pasangan hipotesis yang diuji ada 3 buah. Secara umum banyaknya hipotesis yang diuji dalam uji lanjutan ANOVA adalah k C 2, dengan k menyatakan banyaknya kelompok pada ANOVA. Sehingga jika ANOVA dilakukan untuk menguji perbedaan tiga buah rata-rata, maka ada tiga buah pasangan hipotesis nol yang hendak diuji dengan uji Scheffe, yaitu: a. b. c. Uji Scheffe berlaku pula untuk membandingkan kelompok yang banyak anggota perkelompoknya berbeda (Gay dalam Ruseffendi,1993:419). Sehingga adapun langkah pengujian hipotesis di atas 9 P a g e
untuk membandingkan rata-ratanya apabila jumlah subjek antar kelompoknya berbeda dengan uji Scheffe adalah: 1) Menentukan nilai F dari rata-rata yang dibandingkan dengan rumus uji Scheffe sebagai berikut: Dengan derajat kebebasan pembilang dan derajat kebebasan penyebut. 2) Untuk melihat diterima atau tidaknya hipotesis nol, dengan tahap keberartian yang diinginkan, nilai F hitung dibandingkan dengan F kritis dengan derajat kebebasan. Jika F hitung lebih besar dari F kritis maka hipotesis nol ditolak. Bila sebaliknya, hipotesis nol diterima. Jika jumlah subjek antar kelompok sama besar ( hipotesis nol di atas adalah sebagai berikut:, adapun langkah menguji ketiga 1) Untuk menguji ketiga hipotesis nol rumus uji Scheffe dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut: Dengan : C adalah nilai kontras (perbedaan antara rata-rata yang dibandingkan), adalah rata-rata kuadrat dalam kelompok pada tabel ANOVA, n adalah besarnya sampel (jumlah subjek). 10 P a g e 2) Kemudian nilai t yang diperoleh dibandingkan dengan nilai kritis bagi uji scheffe (t s ) yang ditentukan sebagai berikut:
Dengan : k adalah jumlah kelompok (kategori) dalam ANOVA, adalah nilai pada distribusi F pada tingkat keyakinan dengan derajat kebebasan pembilang dan derajat kebebasan penyebut. 3) Untuk melihat diterima atau tidaknya hipotesis nol, dengan tahap keberartian yang diinginkan, nilai t dibandingkan dengan t s (nilai kritis bagi uji scheffe), jika t lebih besar dari t s maka hipotesis nol ditolak. Bila sebaliknya, hipotesis nol diterima. Contoh : Pengaruh tiga model pelatihan AMT (Achievement Motivation Training) terhadap motivasi belajar siswa. Penelitian ini ditujukan untuk menguji hipotesis statistic sebagai berikut: Misalnya peneliti menetepkan bahwa hipotesis nol akan diuji pada tingkat keyakinan 99% atau pada Kemudian setelah mengambil sampel acak sebanyak 18 orang dari sumber populasi, peneliti kemudian membagi sampel tersebut secara acak menjadi tiga kelompok sehingga setiap kelompok terdiri dari enam orang untuk menerima salah satu model AMT (Model 1, Model 2, dan Model 3) pada akhir eksperimen, peneliti melakukan pengukuran motivasi belajar seluruh sampel sehingga diperoleh data seperti tabel 1.1 di bawah ini: Tabel 1.1 Skor Motivasi Belajar Siswa Dari Tiga Model AMT* Model1 Model 2 Model 3 34 26 33 35 34 33 35 30 37 28 31 30 28 22 24 29 27 22 Rata-rata= 32,50 Variansi=10,70 31,83 11,77 25,33 9,47 *) perangkat data ini diadaptasi dari Kennedy dan Brush(1985,h.94) 11 P a g e
12 P a g e Pengujian One-Way ANOVA dengan manual dan dilengkapi analisis dengan SPSS 19 SOWANTO-KEMPO
Penyelesaian: Apabila dihitung secara manual statistik yang diperoleh dari ANOVA dapat dirangkum seperti tabel 1.2 berikut: Tabel 1.2 Rangkuman Hasil ANOVA Sumber Variasi dk Jumlah kuadrat Rata-rata kuadrat F Antar Kelompok 3-1 188,11 94,06 8,84 Dalam Kelomok 18-3 159,67 10,64 Total 18-1 347,78 - - Selain itu,diketahui pula rata-rata setiap kelompok yang hendak dibandingkan,yaitu : kelompok 1 = 32,50 kelompok 2 = 31,83 Kelompok 3 = 25,33 Atas dasar itu, nilai kontras untuk setiap pasangan adalah sebagai berikut: C 1 (1 vs 2) = 32,50 31,83 = 0,67 C 2 (1 vs 3) = 32,50 25,33 = 7,17 C 3 (2 vs 3) = 31,83 25,33 = 6,50 Dengan demikian, nilai t untuk setiap pasangan tersebut kemudian ditentukan seperti berikut : t 1 =0,67/ [2(10,64)/6] = 0,36 t 2 = 7,17/[2(10,64)/6] = 3,81 t 3 = 6,50/[2(10,64)/6] = 3,45 Jika perbedaan rata-rata setiap pasangan itu hendak diuji pada tingkat keyakinan 99%( ), maka nilai F kritis dengan derajat kebebasan 2 (pembilang) dan 15 (penyebut) adalah 6,36. Atas dasar itu, kita dapat menentukan nilai kritis t s sebagai berikut: t s = (3-1) 6,36 t s = 3,57 Dari hasil perhitungan diatas ternyata hanya ada satu pasangan yang rata-ratanya berbeda signifikan, yaitu pasangan kelompok 1 dengan kelompok 3. Nilai t untuk pasangan tersebut adalah 3,81 yang lebih besar dari nilai kritis uji scheffe (t s = 3,57). Oleh karena itu, hipotesis nol bahwa rata-rata kedua populasi tersebut adalah sama harus ditolak. Nilai t untuk kedua pasangan 13 P a g e
lainnya ternyata lebih kecil daripada nilai kritisnya, sehinggga hipotesis nol yang bersangkutan tidak dapat ditolak. Secara simbolik, kesimpulan tersebut dapat ditulis sebagai berikut :. Pengujian dengan SPSS 19 Sebelum melanjutkan dengan uji lanjutan (Post Hoc Test), dilihat terlebih dahulu apakah ada perbedaan motivasi belajar siswa dengan menggunakan ketiga model tersebut, kita lihat tabel ANOVA di bawah ini: Motivasi_Belajar_Siswa ANOVA Sum of Squares df Mean Square F Sig. Between Groups 188.111 2 94.056 8.836.003 Within Groups 159.667 15 10.644 Total 347.778 17 Dari tabel di atas pada kolom Sig. diperoleh nilai P (P-value) = 0,003. Karena Sig. < 0,01. Dengan demikian pada taraf nyata = 0,01 kita menolak Ho, sehingga kesimpulan yang didapatkan adalah ada perbedaan yang bermakna rata-rata motivasi belajar siswa berdasarkan ketiga model belajar tersebut. Karena hasil uji ANOVA menunjukan adanya perbedaan yang bermakna, maka uji selanjutnya adalah melihat kelompok mana saja yang berbeda. Untuk menentukan kelompok mana saja yang berbeda kita gunakan uji lanjutan (Post Hoc Test). Untuk menentukan uji lanjut mana yang digunakan, maka kembali kita lihat tabel Test of Homogeneity of Variances. Bila hasil tes menunjukan varian sama, maka uji lanjut yang digunakan adalah uji Scheffe. Namun bila hasil tes menunjukan varian tidak sama, maka uji lanjut yang digunakan adalah uji Dunnett C. Dari Test of Homogeneity menghasilkan bahwa varian ketiga model tersebut sama, maka uji lanjut (Post Hoc Test) yang digunakan adalah Uji Scheffe. Dependent Variable:Motivasi_Belajar_Siswa Multiple Comparisons (I) (J) Mean 99% Confidence Interval Model_Pem Model_Pemb Difference belajaran elajaran (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound 14 P a g e
Scheffe Model 1 Model 2.667 1.884.940-6.05 7.38 Model 3 7.167 * 1.884.006.45 13.88 Model 2 Model 1 -.667 1.884.940-7.38 6.05 Model 3 6.500 1.884.012 -.22 13.22 Model 3 Model 1-7.167 * 1.884.006-13.88 -.45 Model 2-6.500 1.884.012-13.22.22 Dunnett C Model 1 Model 2.667 1.935-8.88 10.21 Model 3 7.167 1.833-1.88 16.21 Model 2 Model 1 -.667 1.935-10.21 8.88 Model 3 6.500 1.881-2.78 15.78 Model 3 Model 1-7.167 1.833-16.21 1.88 Model 2-6.500 1.881-15.78 2.78 *. The mean difference is significant at the 0.01 level. Tabel Post Hoc Test di atas memperlihatkan bahwa kelompok yang menunjukan adanya perbedaan rata-rata motivasi belajar (ditandai dengan tanda bintang "*"pada mean difference) adalah antara model 1 dengan model 3. Secara simbolik, kesimpulan tersebut dapat juga ditulis 2. Uji Kruskal-Wallis Uji ini merupakan uji statistik untuk membedakan rata-rata dari tiga kelompok atau lebih, juga digunakan sebagai alternatif uji ANOVA bila datanya ditulis dalam bentuk peringkat dan untuk melihat apakah K buah sampel bebas yang diambil dari populasinya masing-masing datang dari populasi yang rata-ratanya sama. Adapun hipotesis yang akan diuji dengan uji Kruskal-Wallis adalah H : K buah populasi yang diambil sampelnya, rata ratanya sama. 0 H : rata rata semuanya berbeda. 1 Adapun langkah pengujian dengan uji Kruskal-Wallis adalah sebagai berikut: 1) Skor-skor itu dikumpulkan menurut kelompok sampelnya masing-masing, 2) Kemudian, skor-skor itu diberi peringkat mulai dari peringkat 1 untuk skor yang paling kecil, peringkat 2 untuk skor kedua terkecil, dan seterusnya sampai dengan peringkat N untuk skor yang paling besar, 15 P a g e
3) Peringkat untuk masing-masing kelompok sampel dijumlahkan dan diberi notasi P k, dengan k = 1,2,,K. 4) Bila n k merupakan ukuran sampel ke-k yang lebih besar dari 5. Untuk setiap sampel, statistik H adalah: ( ) ( ) Mendekati distribusi X 2 dengan derajat kebebasan (K-1). 5) Untuk melihat diterima atau tiaknya hipotesis, dengan tahap keberartian yang diinginkan, H hitung dan X 2 kritis dibandingkan, jika H hitung lebih besar dari X 2 kritis maka hipotesis nol ditolak. Bila sebaliknya, hipotesis nol diterima. Contoh: Andaikan kita ingin mengetahui apakah rata-rata skor matematika Uas untuk jurusan Matematika, Kimia, Fisika, dan Biologi di FPMIPA sama atau tidak. Untuk kepengtingan ini andaikan kita mengambil secara acak skor matematika dari keempat jurusan tersebut. Skor matematika untuk kelompok matematika, Kimia, Fisika, dan Biologi itu adalah sebagai berikut: Matematika : 68 75 84 70 49 68 85 55 90 Kimia : 72 69 51 46 38 50 39 Fisika : 66 70 42 59 60 40 Biologi : 58 73 34 45 54 64 36 40 Penyelesaian: Kita ingin mengetahui apakah rata-rata skor matematika Uas untuk jurusan Matematika, Kimia, Fisika, dan Biologi di FPMIPA sama atau tidak. Penelitian ini ditujukan untuk menguji hipotesis statistic sebagai berikut: Ho : 1 2 3 4 H : 1 1 2 3 4 Untuk menguji hipotesis di atas kita akan menggunakan uji nonparametric sebab, pertama ukuran sampelnya kecil dan kedua kita tidak berhasil menunjukan bahwa distribusi induknya berdistribusi 16 P a g e
normal. Setelah data disusun kembali dan perigkatnya dihitung, serta peringkat skor per kelompok dijumlahkan, hasilnya adalah sebagai berikut. Matematika Kimia Fisika Biologi Skor Peringkat Skor Peringkat Skor Peringkat Skor Peringkat 68 20,5 72 25 66 19 58 15 75 27 69 22 70 23,5 73 26 84 28 51 12 42 7 34 1 70 23,5 46 9 59 16 45 8 49 10 38 3 60 17 54 13 68 20,5 50 11 40 3,5 64 18 85 29 39 4 36 2 55 14 40 5,5 90 30 P 1 = 202,5 P 2 = 86 P 3 = 88 P 4 = 88,5 n 1 = 9 n 2 = 7 n 3 = 6 n 4 = 8 N = K = 4 Sehingga dengan ( ) ( ), maka diperoleh: ( ) ( ) ( ) ( ) 17 P a g e
X 2 kritis pada dengan derajat kebebasan 3 adalah 7,81473. Karena H hitung lebih besar dari X 2 kritis = 7,81473 maka hipotesis nol ditolak. Itu berarti rata-rata UAS Matematika untuk keempat jurusan itu bereda. Pengujian dengan SPSS 19 Dengan menggunakan uji non parametric dengan independent samples pada SPSS 19, maka diporeloh tabel hasil pengujian non parametric dengan Kruskal-Wallis seperti di bawah ini: Dari tabel di atas pada kolom Sig. diperoleh nilai P (P-value) = 0,033. Karena Sig. < 0,05. Dengan demikian pada taraf nyata = 0,05 kita menolak Ho, sehingga kesimpulan yang didapatkan adalah rata-rata UAS Matematika untuk keempat jurusan itu berbeda. 18 P a g e
DAFTAR ISI Furqon. 2009. Statistika Terapan untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta. Ruseffendi, H. E. T. 2012. Statiska Dasar untuk Penelitian Pendidikan. Bandung: Dikti. 19 P a g e