FUNGSI
PENGERTIAN FUNGSI Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini. A B
ILUSTRASI FUNGSI A f B Input Kotak hitam Output Ditulis f : A B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut kodomain. Elemen a A disebut argumen dan f(a) B disebut bayangan(image) dari a. Himpunan R f := { y B : y = f(x) untuk suatu x A } disebut daerah jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S A maka himpunan f(s) := { f(s) : s S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.
ILUSTRASI FUNGSI (LANJ) A B Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan. Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan.
GRAFIK FUNGSI Misalkan f: A B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {(a,f(a) a A} Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb: B A
CONTOH FUNGSI 1. Fungsi kuadrat f : R R, dimana f(x) := x 2 +x+1. x 2. Fungsi nilai mutlak f : R R +, dimana f ( x) : fungsi ini ditulis juga f(x) := x. x 3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota di dunia, f : A B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia maka f(x) = Kuala Lumpur, f(inggris) = London. 4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan perintah diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb. Ini mendef. fungsi f : A Z + dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x. 5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif Fungsi f : A B dimana f(s) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S = (1001101) maka f(s) = 4. jika jika x 0 6. Bila f(s) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi? x 0
FUNGSI FLOORING dan CEILING 1. Fungsi flooring f : R Z, dimana f(x):= bil bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = x. 2. Fungsi ceiling f : R Z, dimana f(x):= bil bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = x. CONTOH : Beberapa nilai fungsi flooring dan fungsi ceiling: 0.5 = 0, 0.5 = 1, -0.5 = -1, -0.5 = 0 3.1 = 3, 3.1 = 4, 6 = 6, 6 = 6. Grafik flooring Grafik ceiling
SIFAT-SIFAT FUNGSI FLOORING DAN FUNGSI CEILING 1. x = n bila n x < n+1 2. x = n bila n-1< x < n 3. x = n bila x-1 < n x 4. x = n bila x n < x+1 5. x-1 < x x x < x+1 6. -x = - x 7. -x = - x 8. x+n = x +n 9. x+n = x + n
CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit. PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan 100/8 = 12.5 = 13 byte. CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik. PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar 500,000 * 60 = 30,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masingmasing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu 300,000,000/424 = 70,754 ATM.
OPERASI ALJABAR FUNGSI Misalkan f, g : A B maka fungsi f + g, cf dan f g didefinisikan oleh : (f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x). Contoh: misalkan f, g : R R dimana f(x) = x 2 dan g(x) := x x 2. Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x 3 -x 4. Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya. Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x 2-4)/(x+2) sama?
FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF) Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) x = y ], atau [x y f(x) f(y)]. Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE: x y [f(x) = f(y) x = y] atau x y [x y f(x) f(y)] maka fungsi f disimpulkan satu-satu. Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu. A B A B satu-satu tidak satu-satu
CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif? PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif. CONTOH: Apakah fungsi f: R R dengan f(x) = x 2 satu-satu? PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu. CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif? PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x y, diperoleh x + 5 y + 5 g(x) fgy). Jadi g injektif.
FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF) Fungsi f : A B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y B terdapat x A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut: y B x A sehingga y = f(x) maka f surjektif. Namun, bila ada y B sehingga setiap x A, f(x) y maka f tidak surjektif. A B A B kepada tidak kepada
CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x 2 dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x 2 = f(x) y. Jadi, f tidak surjektif. CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif? PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka y = x-3 x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.
FUNGSI BIJEKTIF Fungsi f : A B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu prabayangan di A. A B fungsi bijektif CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif. PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satusatu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.
INVERS FUNGSI Misalkan f : A B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B A. DKL, y = f(x) x = f -1 (y) f(a) f -1 (b)=a b=f(a) A f -1 (b) B Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.
CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya. PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel dengan f -1 (1)=c, f -1 (3)=b dan f -1 (2)=a. CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x 2. Apakah f invertibel. PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.
KOMPOSISI FUNGSI Misalkan g: A B dan f: B C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f g adalah fungsi f g: A C dengan (f g)(x):= f(g(x)). Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi f g terdefinisi hanya bila f(a) D. g f A B C f g