= mv Momentum akhir setelah tumbukan pertama:

1.79. Sebuah bola baja berassa = 50 g jatuh dari ketinggian h = 1,0 pada perukaan horisontal sebuah papan tebal. Tentukan oentu total yang diberikan bola pada papan setelah terpental beberapa kali, bila setiap kali tubukan kecepatan bola berkurang η = 1,5 kali! Ketika bola dijatuhkan dari ketinggian h aka energi potensial diberikan enjadi energi kinetik (gh = 1 v ) atau v = gh. Moentu sebelu tubukan pertaa: P 1 = v Moentu akhir setelah tubukan pertaa: ( ) P 1 = -v η (tanda negatif karena bola berbalik arah). Jadi, perubahan oentu bola setelah tubrukan pertaa: P 1 = P 1 P 1 Tubukan kedua. P 1 = -v 1 1 η + Moentu awal: P = v η Moentu akhir setelah tubrukan kedua: P' = - v η Jadi, perubahan oentu setelah tubrukan kedua: P = P P P = - v 1 η η + 1 Dengan cara yang saa, untuk tubrukan ketiga: P 3 = - v 1 η η + 1 Dengan deikian, perubahan total oentu bola: atau, P = P 1 + P + P 3 ( = -v η + 1) 1 1 1 + + + η... η η ( = -v η + 1) 1 η 1 1 η ( P = - gh η + 1) ( η 1) Jadi, oentu yang diberikan pada papan: P = - P dengan easukkan angkanya kita peroleh: P = 0, kg./s. 44 Mekanika I

M V 0 M 1.80. Seorang berassa berdiri di atas sebuah rakit yang berassa M. Orang ini keudian bergerak dengan kecepatan v' (dan percepatan a') relatif terhadap rakit sejauh L'. Hitung perpindahan rakit relatif terhadap pantai! Hitung juga gaya endatar yang dikerjakan oleh orang itu terhadap rakit selaa gerakan! VR (a) Anggap rakit bergerak dengan kecepatan V R dan orang bergerak relatif terhadap rakit dengan kecepatan V 0. Moentu orang (terhadap tanah) (V 0 - V R ) Moentu rakit (terhadap tanah) -MV R. (V 0 - V R ) - MV R = 0 V R = M + V 0 Waktu yang diperlukan orang enepuh L adalah L ' V0 Jadi perpindahan rakit enurut pantai adalah L = V R. t = M + V L ' 0 = L' V M + 0 M 1 (b) Dari persaaan L di atas kita bisa katakan bahwa percepatan rakit adalah: a ' a = M + Dengan huku Newton, kita peroleh bahwa besarnya gaya yang diberikan orang pada rakit adalah: F = Ma ' M + 1.81. Pada sebuah katrol dilewatkan seutas tali kuat. Pada salah satu ujung tali tergantung sebuah tangga dengan seorang berassa berada di dasar tangga. Pada ujung lain digantungkan beban berassa M. Orang ini keudian naik setinggi h' relatif terhadap tangga, lalu berhenti. Abaikan assa tali dan gesekan, hitung perpindahan pusat assa siste! Anggap orang () naik sejauh x 1 dari posisi seula dan tangga (M - ) turun sejauh x dari posisi seula. Karena tali tidak lentur aka beban M naik sejauh x (akibat turunnya tangga). Perubahan posisi pusat assa siste adalah x ( M ) x + Mx = M + + ( M ) = ( x 1 + x ) M = h ' M 1 Mekanika I 45

1.8. Sebuah eria berassa eluncur di atas bidang iring dengan sudut iring α. Setelah eria enepuh jarak l sebuah peluru ditebakkan dala arah endatar dengan oentu P. Sebagai akibatnya, eria berhenti. Anggap assa peluru diabaikan bila dibandingkan dengan assa eria, tentukan laa tebakan. α Kecepatan eria setelah enepuh jarak l (gunakan gh = 1 v ) adalah: Moentu awal eria: v = gl sinα P 1 = gl sinα Selaa t detik gravitasi eberikan ipuls sebesar (g sin α)t. Koponen oentu arah sejajar bidang iring harus bisa engalahkan ipuls gravitasi dan oentu awal ini sehingga atau P cos α = gl sinα + (g sin α)t t = P cosα gl sinα g sinα θ l 1.83. Sebuah peluru berassa ditebakkan ke dala suatu balok berassa M yang digantungkan oleh dua utas tali dengan panjang l. Balok ini berayun sedeikian sehingga tali ebentuk sudut θ (aksiu) dengan vertikal. Anggap M, hitung: (a) kecepatan peluru sebelu enubuk balok; (b) energi kinetik yang berubah enjadi panas. (a) Kenaikan balok setelah peluru asuk adalah: h = l l cos θ Ketika balok naik energi kinetik diubah enjadi energi potensial. Sehingga: 1 (M + )v = ( + M)g h v disini adalah kecepatan balok setelah ditubuk peluru. Sekarang perhatikan tubukan peluru dengan balok: Sebelu tubukan: P = v Sesudah tubukan: P = (M + )v Karena oentu kekal (balok dan peluru dianggap benda titik) aka: v = (M + )v Dari persaaan energi dan persaaan oentu di atas kita peroleh: v = M + gl sin θ 46 Mekanika I

M Bila M, aka; (b) Energi kinetik awal siste: v = M gl sin θ E k = 1 v Energi kinetik akhir siste setelah tubukan inelastis: E k ' = 1 (M + )v' = 1 v ( M + ) Jadi energi yang hilang adalah: E k =E k M ( M + ) 1.84. Sebuah cakra kecil berassa diletakan di atas benda berassa M yang terletak pada bidang datar licin. Cakra keudian diberi kecepatan v. Hitung sapai ketinggian berapa cakra ini akan naik setelah eninggalkan benda M! Abaikan seua gesekan. v y v x Cakra dan benda M akan bertubukan. Anggap ketika cakra encapai ujung atas bidang, kecepatan M (dan ) arah endatar adalah v x. Kekekalan oentu arah subu x: v = (M + )v x Kekekalan energi (tubukan elastik) di ujung bidang, cakra punya koponen kecepatan v x dan v y. 1 v = 1 (v x + v y ) + 1 Mv x Benda akan lepas dari M dengan kecepatan v y. Ketinggian yang akan dicapai adalah h (gunakan 1 v y = gh). v y = gh Dari ketiga persaaan diatas kita akan peroleh: h = Mv g ( M + ) 1.85. Sebuah benda kecil berassa eluncur ke bawah suatu bukit licin dari ketinggian h tanpa kecepatan awal. Di dasar bukit benda engenai papan berassa M. Karena gesekan antara benda dan papan, benda diperlabat dan keudian bergerak bersaa papan dengan kecepatan saa. Hitung usaha total yang dilakukan oleh gaya gesekan dala proses ini! Massa jatuh dari ketinggian h. Dengan engingat bahwa Mekanika I 47

energi potensial diubah enjadi energi kinetik (gh = 1 v ), kecepatan benda di dasar bukit adalah: v = gh Tubukan antara assa dan papan (oentu kekal): v = (M + )v Dari kedua persaaan di atas kita peroleh nilai v'. Usaha yang dilakukan gaya gesekan papan dengan benda saa dengan perbedaan energi kinetik: Diana dan W = E k = E k ' E k E k = 1 v E k = 1 (M + )v Dari persaaan-persaaan di atas kita peroleh, W = - Mgh M + 1.86. Sebuah batu jatuh bebas dari ketinggian h. Batu enghanta tanah dengan kecepatan v 0 = gh relatif terhadap bui. Hitung kecepatan batu ketika enghanta tanah dilihat oleh orang yang berada dala suatu kerangka A jatuh (bukan naik) dengan kecepatan v 0! A akan elihat batu bergerak naik dengan kecepatan v 0 diperlabat oleh g. Posisi batu enurut A adalah Y = v 0 t - 1 gt setelah waktu t 0 = v 0 g Y = v 0 t 0-1 g t 0 Posisi batu setelah enepuh jarak h = v 0 t 0 - h diana t 0 = v 0 g Jadi, h = 1 g t 0 h t 0 = g v 0 g = h g v 0 = gh 1.87. Sebuah benda berassa 1 kg bergerak dengan kecepatan v 1 = 3,0i,0j enubuk secara tidak lenting saa sekali benda lain yang berassa kg yang sedang bergerak dengan kecepatan v = 4,0 j 6,0k. Tentukan kecepatan benda-benda ini setelah tubukan! (seua satuan dala MKS). 48 Mekanika I

Pada tubukan tidak elastik, setelah tubukan kedua benda akan bergerak dengan kecepatan saa. atau, ( 1 + )v = 1 v 1 + v v = v + v 1 1 + 1 Dengan easukkan nilainya, kita peroleh: v = 1,0i +,0j 4,0k Besar kecepatannya: v = 4,6 /s 1.88. Tentukan perubahan energi kinetik dari suatu siste yang terdiri dari dua benda asing-asing berassa 1 dan yang bertubukan secara tidak lenting saa sekali, bila kecepatan awal benda-benda ini adalah dan v! Pada tubukan tidak elastik, kecepatan sesudah tubukan dari kedua benda saa besar. Huku kekekalan oentu: Energi kinetik awal siste Energi kinetik akhir siste Perubahan energi kinetik ( 1 + )v = 1 + v E k = 1 1 + 1 v E k = 1 ( 1 + )v E k = E k E k Dengan enyelesaikan persaaan di atas, kita peroleh: E k = - ( v v ) ( + ) 1 1 1 A 1.89. Suatu partikel A berassa 1 enubuk secara lenting sepurna partikel B yang dia dan berassa. Hitung berapa bagian energi kinetik partikel A yang hilang, bila: (a) partikel A enyipang tegak lurus dari gerakan seula! (b) tubukannya adalah tubukan sentral! θ B (a) Anggap u adalah kecepatan partikel A sebelu tubukan. Anggap v A dan v B adalah kecepatan A dan B setelah tubukan. Moentu arah subu x: Moentu arah subu y: 1 u + 0 = 0 + v B cos θ Mekanika I 49

0 = 1 v A v B sin θ Kekekalan energi kinetik (tubukan elastik): 1 1 u = 1 1v A + 1 v B Dari ketiga persaaan di atas kita akan peroleh: va ( u ) = 1 1 + Energi yang hilang dari partikel A: Ε k = 1 1 u 1 1v A Dan bagian energi kinetik yang hilang dari partikel A adalah: E = k = 1 E + k 1 (b) Pada tubukan sentral, partikel A dan B akan bergerak pada arah subu x. Kekekalan oentu: 1 u = 1 v A + v B Kekekalan energi kinetik: 1 1 u = 1 1v A + 1 v B Dari kedua persaaan di atas, kita peroleh: dan ( u = 1 + ) v ( v A = 1 ) v B 1 Bagian energi kinetik partikel A yang hilang: atau v = 1 A = 1 1 u 1 + = 1 B 4 1 1 + ( ) 1.90. Partikel 1 bertubukan elastik dengan partikel yang dia. Tentukan perbandingan assa kedua partikel, bila: (a) setelah tubukan sentral, partikel-partikel bergerak berlawanan dengan kecepatan saa! (b) setelah tubukan, partikel-partikel bergerak secara sietri dengan sudut 60 o! 50 Mekanika I

(a) Kekekalan oentu: 1 1 u 1 = 1 v diana, u 1 adalah kecepatan awal partikel 1. Karena v 1 = v = v aka, v = u 1 1 1 Kekekalan energi kinetik: 1 1 u 1 = 1 1 + 1 v Selanjutnya dari persaaan-persaaan di atas kita akan peroleh: θ 1 θ 1 = 1 3 (b) Karena partikel terpisah secara sietris pada sudut 60 o, θ 1 + θ = 60 o, aka θ 1 = 30 o dan θ = 30 o. Kekekalan oentu: Arah subu x: Arah subu y: Kekekalan Energi: 1 u 1 = ( 1 + v ) cos 30 o 1 sin 30 o = v sin 30 o 1 1 u 1 = 1 1 + 1 v Dari persaaan-persaaan diatas kita peroleh: atau 4 cos 30 o = 1 + 1 1 = 1.91. Sebuah peluru bergerak dengan kecepatan v = 500 /s. Peluru ini keudian pecah enjadi tiga bagian yang saa sehingga energi kinetik siste eningkat η = 1,5 kali. Hitung kecepatan terbesar dari antara ketiga koponen ini! Kekekalan oentu: v = 3 + 3 v + 3 v 3 Mekanika I 51

Karena η = 1,5, aka η = ( ) + ( ) + ( ) v v v 3 3 3 v 1 1 1 1 3 1 3ηv = + v + v 3 Dari persaan di atas kita peroleh, atau, 3ηv = + v + 9v 6v + v 6vv v1 (3v v ) + [(9 3η)v + v 6vv ] = 0 Dengan enggunakan ruus abc kita akan peroleh. Pada ruus abc, nilai yang berada dala akar (diskriinan) haruslah lebih besar atau saa dengan nol. Dengan kata lain: 4(3v v ) 4 [(9 3η)v + v 6vv ] 0 dengan enyelesaikan dan enyederhanakan persaaan di atas diperoleh: Jadi, v v(1 + η ) v (aksiu) = v(1 + η ) = 1 k/s 1.9. Partikel 1 yang bergerak dengan kecepatan v = 10 /s enubuk sentral partikel yang dia. Kedua partikel berassa saa. Akibat tubukan ini energi kinetik siste berkurang η = 1,0%. Tentukan besar dan arah kecepatan partikel 1 setelah tubukan! Jawab : Anggap kecepatan partikel-partikel ini setelah tubukan adalah dan v. Kekekalan oentu: Kekekalan energi total: v = + v Energi ula-ula = Energi akhir + Energi yang hilang 1 v = 1 + 1 v + η( 1 v ) dari kedua persaaan di atas kita peroleh, vv1 + ηv = 0 jadi, ( = 1 ± 1 η ) v Disini, tanda positif sebelu akar kuadrat tidak diperbolehkan karena akan ebuat v negatif dan hal ini tidak ungkin. 5 Mekanika I

Jadi, ( = 1 1 η ) v dan, jika η 1, aka dengan enggunakan ekspansi binoial kita peroleh: = ηv = 5 c/s Catatan: Ekspansi binoial adalah sebagai berikut: (a + b) n = a n + na n-1 b + 1 n(n 1)an- b +... 1.93. Sebuah partikel A berassa enubuk partikel B yang dia dan berassa M. Partikel A keudian enyipang dengan sudut π, sedangkan partikel B enyipang dengan sudut θ = 30 o terhadap gerakan awal partikel A. Berapa persen perubahan energi kinetik siste setelah tubukan jika M = 5,0? y u x v A 30 0 v B Anggap kecepatan awal partikel A sebelu tubukan adalah u dan kecepatan setelah tubukan adalah v A dan v B. Kekekalan oentu: Arah subu x: Arah subu y: Energi kinetik awal: u = Mv B cos 30 o v A Mv B sin 30 o = 0 E k = 1 u Energi kinetik akhir: E k = 1 v A + 1 v B Dari persaaan-persaaan di atas kita peroleh: E E ' k Selanjutnya kita akan peroleh: k = ( ) M cos 30 E E k k = tan 30 M cos 30 + ( ) 1 Dengan easukkan angka-angkanya kita peroleh bahwa: E k -40% E k 1.94. Dua partikel berassa 1 dan bergerak saling tegak lurus satu saa lain dengan kecepatan dan v. Hitung (dala kerangka pusat assa): (a) oentu setiap partikel! (b) energi kinetik total! (a) Kecepatan pusat assa siste adalah (analog dengan ruus koordinat pusat assa) Mekanika I 53

v p = v + v 1 1 + 1 Moentu partikel pertaa dala kerangka pusat assa siste: P1( p ) = 1 (v 1 v p ) = 1 ( v 1 v ) 1 + Sedangkan partikel kedua eiliki oentu: P v v 1 p p v v ( ) = ( ) = - ( 1 ) + Karena v 1 v, aka: P 1( p) = P ( p) = 1 + 1 1 v1 + v (b) Energi kinetik partikel pertaa dala kerangka pusat assa siste adalah: E 1( p) = 1 1 v 1 + v 1 1 + = 1 Dengan cara yang saa, ( + ) 1 1 E p ( ) = 1 (v 1 + v ) ( + ) 1 1 Jadi, energi kinetik total pusat assa adalah: E k = E 1( p) + E ( p). E k = 1 1 + 1 (karena tegak lurus v 1 v = 0). ( + v ) (v 1 + v ) A u B 1.95. Sebuah partikel A berassa 1 enubuk partikel B yang dia dan berassa ( 1 > ) secara elastik. Tentukan sudut aksiu partikel A setelah tubukan! θ 1 θ v Kekekalan oentu: Arah subu x: Arah subu y: 1 u = 1 cos θ 1 + v cos θ 0 = 1 sin θ 1 v sin θ Kekekalan energi kinetik (tubukan elastik): 1 1 u = 1 1 + 1 v 54 Mekanika I

Dari persaaan-persaaan di atas kita akan peroleh, u ( 1 1 ) + u( 1 v1 cos θ 1 ) (1 + 1 ) = 0 Dengan ruus abc kita bisa enghitung u. Tetapi diskriinan (bilangan yang terdapat dala akar kuadrat persaaan abc) harus lebih besar atau saa dengan nol. Sehingga: atau, 4 1 4 cos θ 1 4 ( 1 1 )( 1 + 1 ) cos θ 1 1 1 Jadi, agar nilai θ 1 aksiu (atau nilai cos θ 1 iniu) atau: cos θ = 1 1 1 θ = cos -1 1 1 d V' 1.96. Tiga bola identik A, B, dan C terletak pada suatu bidang datar licin. Bola A bergerak dengan kecepatan v dan enubuk bola B dan C yang sedang V" dia secara bersaaan. Jarak pusat assa B dan C sebelu tubukan adalah ηd diana d adalah diaeter bola. Tentukan kecepatan A setelah tubukan. Pada nilai η berapakah bola akan tertolak ke belakang; berhenti; terus bergerak? V" d } η/ θ 1 - η 4 d Anggap sudut ABC adalah θ, aka: dη cos θ = = η d Tinjau oentu arah subu endatar. Anggap setelah tubukan, kecepatan B dan C adalah v" sedangkan kecepatan A adalah v'. Kekekalan oentu: v = v' + v" cos θ v - v' = v" cos θ (v - v') = 4v" cos θ... (1) Kekekalan energi kinetik: 1 v = 1 v' + 1 v" 1 dan v - v' = v"... () ( v v ') ( v v ') ( v v ') ( v + v ') = cos θ v ' = v η 6 η Mekanika I 55

y x Ketika A tertolak ke belakang, v' harus negatif. Jadi, > η atau, η < Agar A berhenti, v' = 0 jadi, η = Agar A bergerak ke ke depan, v' adalah positif. Jadi, η > 1.97. Sebuah olekul enubuk olekul sejenis yang sedang dia. Buktikan bahwa kedua olekul akan ebentuk sudut 90 o ketika tubukannya lenting sepurna! Kekekalan oentu: Arah subu x: u θ 1 θ A B v Arah subu y: 1 u = 1 cos θ 1 + v cos θ 0 = 1 sin θ 1 v sin θ Dari kedua persaaan di atas (dengan engingat assa kedua olekul saa) aka kita peroleh: u = + v + v1 v (cos θ 1 cos θ sin θ 1 sin θ ) Kekekalan energi kinetik: 1 1 u 1 = 1 1 + 1 v Dari persaaan-persaaan di atas kita akan peroleh persaaan berikut: atau, dengan kata lain: 0 = v cos(θ 1 + θ ) cos(θ 1 + θ ) = 0 θ 1 + θ = π Bila tubukan tidak lenting sepurna aka atau, cos(θ 1 + θ ) 0 θ 1 + θ π 1.98. Sebuah bola berassa dileparkan dengan sudut elevasi α dan dengan kecepatan awal v 0. Hitung besar oentu sudut terhadap titik awal pada titik tertinggi lintasan bila = 130 gra, α = 45, dan v 0 = 5 /s! Abaikan habatan udara. 56 Mekanika I

y α v 0 R H x Pada titik tertinggi: v = v x = v 0 cos α dan v y = 0. Dengan ruus y = v 0y t 1 gt dan v y = v 0y gt serta persaaan di atas kita akan peroleh tinggi titik tertinggi adalah: vektor oentu atau H = v sin α g 0 P = v P = (v 0 cos α)i Vektor posisi dari titik tertinggi adalah: r R = i + Hj diana R adalah jangkauan proyektil. Jadi, oentu sudut partikel terhadap titik asal, ketika partikel berada pada titik tertinggi adalah: L = r P = R ( i + Hj ) (v 0 cos α)i = -Hv 0 cos α k atau L v = - sin α cosα k g 0 3 L = 37 kg. /s z P y P α O O 1.99. Sebuah benda A berassa eluncur pada perukaan datar licin dengan kecepatan v. Benda ini enubuk dinding di titik O secara elastik dengan sudut datang α (terhadap garis noral). Tentukan: (a) titik-titik terhadap ana oentu sudut benda konstan! (b) besar perubahan vektor oentu sudut L relatif terhadap titik O' yang terletak di dala bidang gerak (pada subu vertikal) dan berjarak l dari titik O! l (a) Gunakan ruus L = r P Anda dapat ebuktikan bahwa oentu sudut terhadap titik-titik pada garis noral adalah saa besar (konstan). (b) Besar oentu sudut awal: atau, L = -v 0 l cos α L = r P Tanda negatif enunjukkan bahwa oentu sudut awal epunyai arah subu z negatif. Mekanika I 57

1 α r 1 r v 1 = vk v = -vk atau O O O α l T sin α O Moentu sudut akhir: Perubahan oentu sudut: atau, L' = r P = v 0 l cos α L = v 0 l cos α (-v 0l cos α) L = v 0 l cos α 1.100. Sebuah bola kecil berassa digantung dengan benang yang panjangnya l pada titik O di suatu langit-langit. Bola bergerak dala suatu lingkaran endatar dengan kecepatan sudut konstan ω. Relatif terhadap titik anakah oentu sudut bola L tetap konstan? Tentukan perubahan vektor oentu sudut bola relatif terhadap titik O dala setengah putaran! T cos α g Pada gabar di atas arah subu x, y dan z dinyatakan oleh vektor satuan i, j,dan k. Gaya-gaya yang bekerja ditunjukkan pada gabar di bawah ini: Dala keadaan seibang: dan T cos α = g T sin α = ω l sin α cos α = sin α = 1 g ω l ( g ) ωl Dari gabar terlihat bahwa T sin θ engibangi gaya sentrifugal, dan selalu engarah ke pusat lingkaran horizontal O. Jelas juga terlihat bahwa titik O adalah titik diana resultan torsi adalah nol. Oleh karena itu, oentu sudut bola akan selalu konstan di titik O. Moentu sudut bola terhadap titik O ketika bola berada pada titik 1 adalah: Di titik : L 1 = r 1 v 1 L = r v Vektor posisi titik 1 dan terhadap titik O adalah: Sehingga kita peroleh: r 1 = l(-i sin α j cos α) r = l(i sin α j cos α) L 1 = vl(- j sin α + i cos α) L = -vl( j sin α + i cos α) Perubahan oentu sudut dala setengah putaran adalah: 58 Mekanika I

L = L L 1 O F = vl(-j sin α i cos α + j sin α i cos α) Gunakan v = ωl sin α, kita akan peroleh besarnya perubahan oentu sudut ini adalah: L = l ω cos α sin α L = gl ω 1 ( g ) 1.101. Sebuah benda berassa terikat pada suatu tali dala suatu bidang datar. Ujung tali yang lain diasukkan ke suatu lubang dala bidang datar itu dan ditarik dengan kecepatan konstan. Hitung tegangan tali sebagai fungsi jarak r antara benda dan lubang bila pada r = r 0 kecepatan sudut tali ω 0! ωl Tegangan tali dan gaya F arahnya ke pusat lintasan lingkatan (titik O) sehingga tidak akan eberikan oen gaya terhadap titik O. Karena oen gaya nol aka oentu sudut terhadap titik O kekal. r 0 ω0 = r ω atau, v = r 0 ω0 r Tegangan pada tali eberikan gaya sentripetal, sehingga: Sehingga kita peroleh: T = v r T = r r 0 4 ω0 3 A 1.10. Suatu bola berassa bergerak dengan kecepatan v 0. Bola ini enubuk secara elastik suatu "dub bell" (lihat gabar). Massa tiap bola pada dub bell itu asing-asing dan jarak antara kedua bola bulatan adalah l. Hitung oentu sudut L dub bell setelah tubukan, terhadap titik B pusat assa dub bell! l C Tubukan antara A dan B (lihat gabar): Kekekalan oentu: v 0 = v' 0 + ( ) Tubukan elastik (kekekalan energi kinetik): 1 v 0 = 1 v ' 0 + 1 ( ) diana v 0 dan adalah kecepatan bola A dan B setelah tubukan. Mekanika I 59

A l 0 awal Dari kedua persaaan di atas kita peroleh, = 4 v 0 3 pusat assa dub bell adalah: v p = ( ) + ( ) 4v0 3 0 ( + ) arah kecepatan pusat assa ini ke kanan. = v 0 3. Jadi kecepatan Kecepatan bola B dan C relatif terhadap pusat assa ini adalah: v 0 p = v p = 3 v p = v v p = v 0 (arah ke kiri). 3 Moentu sudut dub bell terhadap pusat assa adalah: L p = r 1p ( )v 1p + r p ( )v p Dala bentuk vektor: Sehingga kita peroleh: r 1p = ( l )j r p = ( -l )j v 1p = v ( 0 3 )i v p = - v ( 0 3 )i L p = - vl 0 k 3 Besar oentu sudut ini adalah: vl 0. 3 1.103. Dua benda asing-asing berassa, dihubungkan dengan sebuah pegas panjang l dan konstanta pegas k. Pada suatu ketika satu dari benda ini digerakan dala arah endatar dengan kecepatan v 0. Tentukan perubahan panjang pegas aksiu dala peristiwa ini. v 0 B v 0 + 0. 1 v p = = v + 0 (kecepatan pusat assa) Kecepatan B relatif terhadap pusat assa v r v B-p = v B - v p = v 0-1 v 0 = 1 v 0 A l + x akhir B Kecepatan A relatif terhadap pusat assa v A-p = v A - v p = 0-1 v 0 = - 1 v 0 60 Mekanika I

Moentu sudut awal terhadap pusat assa B v B-p 1 l 0 + A-p ( 1 l 0 ) =.( 1 v 0 ) 1 l 0 + (- 1 v 0 )(- 1 l 0 ) = 1 v 0 l 0 oentu akhir terhadap pusat assa = 1 v r (l + x) P c b F R r a Kekekalan energi 1 (v 0 ) + 1 (v 0 ) = 1 k x + 1 (v r ) + 1 (v r ) Gunakan kekekalan oentu sudut dan kekekalan energi. diperoleh x = v 0 kl 1.104. Sebuah planet berassa M = 1,65 10 30 kg, bergerak engelilingi Matahari dengan kecepatan v = 3,9 k/s (dala kerangka atahari). Hitung periode revolusi planet ini! Anggap lintasan planet elingkar. Gaya sentripetal yang enyebabkan planet bergerak elingkar adalah gaya gravitasi, sehingga dengan huku Newton: F = a. v = GM r r Perioda planet (waktu 1 putaran) adalah: T = πr v = πgm 3 v = 5 hari 1.105. Jika lintasan suatu planet berbentuk ellips, buktikan bahwa T sebanding dengan r 3 (huku Keppler III), diana T adalah perioda planet dan r adalah jarak planet ke Matahari! Q v t Luas daerah yang diarsir adalah (anggap luas segitiga) A =1/ R v t Karena oentu sudut planet adalah L = R v aka: ( ) A t = L Ini artinya laju luas yang disapu oleh gerakan planet adalah konstan (ingat oentu sudut planet konstan). Jika t = T adalah perioda, aka luas ellips A dapat ditulis: ( ) A T = L Mekanika I 61

Karena luas ellips adalah A = πab, aka T = π ab L Sekarang perhatikan keadaan planet di titik P (jarak Matahari ke titik P adalah R p ) dan titik Q (jarak atahari ke titik Q adalah R Q ). Kekekalan oentu sudut: Kekekalan energi: R p v p = R Q v Q = L 1 v P GM R P = 1 v Q GM R Q Dari kedua persaaan di atas kita peroleh, ( ) (R P + R Q ) = GMR P R Q L Dala ellips terdapat hubungan berikut: R P + R Q = a R P = a(1 e) R Q = a(1 + e) b = a a e diana e adalah eksentrisitas ellips. Dari persaaan-persaaan di atas kita akan peroleh: L = GMb a Selanjutnya kita akan peroleh: T = 4 π a 3 GM 1.106. Periode revolusi Yupiter 1 kali periode revolusi Bui. Anggap orbit planet elingkar, tentukan: (a) perbandingan jarak Yupiter-Matahari dengan Bui-Matahari! (b) kecepatan dan percepatan planet Yupiter dala kerangka atahari! r (a) Anggap suatu planet berputar engelilingi atahari dengan perioda T dan jari-jari orbit r. Dari huku Newton (F = a) kita peroleh: Karena v = π T v r = GM r ( ) r, aka T = 4 π r 3 GM 6 Mekanika I

Diketahui bahwa: T Y TB = 1 Karena T sebanding dengan r 3 aka atau r Y = 5, r B r r Y B = T T y B 3 (b) Percepatan Yupiter engitari Matahari dapat dicari dengan ruus Newton F = a. Y a = GM Y ry atau karena a = v r a Y = GM r Y = GM ( ) 5, r B = 1 ( 5, ) g aka kecepatan planet Yupiter adalah: v Y = GM 5, r B 1.107. Sebuah planet berassa M bergerak engitari Matahari pada lintasan elips. Jika jarak iniu planet dari Matahari r dan jarak aksiu R. Tentukan periode revolusi planet engitari Matahari! Soal ini irip dengan soal sebelunya. Silahkan Anda buktikan bahwa: T = π GM s R + r 3 1.108. Sebuah benda kecil jatuh pada Matahari dari jarak yang saa dengan jari-jari lintasan Bui. Kecepatan awal benda nol enurut atahari. Dengan enggunakan Huku Kepler, tentukan berapa laa benda akan jatuh? Benda yang jatuh ke Matahari dapat dianggap sebagai suatu planet kecil yang lintasan ellipsnya sangat pipih dengan subu sei ayornya adalah R. Menurut Huku Keppler, T sebanding dengan r 3, sehingga: T T benda Bui = R R Waktu jatuh adalah t = T benda. Sehingga: t = T 1 3 3 ( ) = 65 hari Mekanika I 63