B IX : Bol Silinder dn Kerucut 7 BAB IX BOLA SILINDER DAN KERUCUT 9.. Tempt Kedudukn di dlm Rung Tempt kedudukn disingkt TK dlh himpunn titik-titik ng memnuhi srt-srt ng ditentukn. TK mungkin hmp stu titik erup kurv (gris lengkung /lurus) erup permukn (surfce/idng) tupun seluruh rung itu sendiri. Dlm menghdpi mslh TK kit mempuni cr-cr menelesikn segierikut : A. Mengmil titik semrng pd TK llu mencri huungnhuungn ng diperoleh vriel dieliminsi sehingg didpt huungn-huungn ntr sj. Dengn menghpus indek nol dri huungn terseut (diktkn: mejlnkn titik ( )): diperoleh TK ng dintkn. Contoh 9 : Tentukn TK titik-titik ng erjrk dri idng XOY sert jumlh kudrt jrkn ke () dn (-) dlh tetp = 6 Penelesin : Amil P ke TK. Kren erjrk dri idng XOY (idng = ) mk : tu... () kudrt jrkn P ke () dlh ) ( dn kudrt jrk P ke (-) dlh Sehingg jumlh kudrt jrkn = ) (. ) ( ) ( dikethui jumlh kudrt jrkn = 6. Atu 7... () Dri kedu huungn () dn () es dri vriel sehing dengn menghpus indeks nol diperoleh TK : 7 B : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
7 Geometri Anlitik Dtr dn Rung TK terseut erentuk sepsng lingkrn Secr teori himpunn dpt kit tulis: TK= 6 U 7 B. Adn / munculn prmeter. Dengn mengeliminsi prmeterprmeter terseut diperoleh TK ng dintkn. klu terdpt (n + ) huungn n uh prmeter mk TK merupkn permukn. klu (n + ) huungn dengn n uh prmeter mk TK merupkn kurv Contoh 5 : Tentukn TK titik dengn vektor posisin vekotr ng ng mempuni persmn = [] = [tt ] dimn t sutu prmeter Penelesin : [] = [tt ] dpt ditiulis menjdi = = = t = t. terdpt tig huungn dengn seuh prmeter TK merupkn kurv pelepn prmeter menghsilkn TK terseut erentuk prol. Cttn: Titik dpt diwkili oleh vektor posisi titik terseut. Hl ini memungkin kit menggunkn vektor C. Pengmiln titik semrng pd TK dismping prmeter ng d / muncul. pelepn prmeter dn menjlnkn terseut menghsilkn TK ng dintkn Contoh 5 : Seuh gris lurus digerkkn sejjr = dn sellu memotong kurv-kurv: C : 8 dn C : tentukn TK-n
B IX : Bol Silinder dn Kerucut 75 Penelesin :: Amil P pd TK terseut il [c]merupkn rh gris dits diperoleh persmn c... () sutu prmeter kren memotong C dengn eliminsi () terdpt huungn ( / c).( / c)... () Dn memotong C diperoleh / ) 8( c / )... () ( Kren () sejjr dengn = errti =. Eliminsi c dengn = dri () dn () menghsilkn menjlnkn. dn diperoleh TK sutu permukn dengn persmn 9.. Persmn Bol Permukn ol merupkn TK titik-titik ujung vektor didlm rung ng titik wln tertentu dn pnjng vektor terseut konstn. Titik wl ng tertentu itu diseut titik pust dn pnjng ng konstn itu diseut jri-jri ol tu. Permukn ol dlh TK titik-titik di dlm rung ng erjrk sm terhdp seuh titik tertentu. Mislkn pust ol M(c) jri-jri = r. Amil titik P pd olmk MP = QP QM = c r pnjng MP dikethui = r errti : c Dengn menjlnkn P. Diperoleh persmn ol: c r. Sehingg ol ng pustn di () jri-jri r dlh : r. Cttn: Secr umum persmn A B C D Mentkn persmn ol. Secr simolis ditulis: ol S =. Dlm hl ini pust B C dn jri-jri A B C D A B : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
76 Geometri Anlitik Dtr dn Rung Contoh 5 : Tentuk jri-jri () 8 6 () Penelesin : () A = 8 B = - C = -6 D = Pust (-5) jri-jri r (8) ( ) ( 6) = 7 () Diuh dhulu menjdi Pust jri-jri ) () () Jdi ol terseut merupkn titik ( Cttn : Pd persmn A B C D terdpt tig kemungkinn terhdp A B C D itu Bil r : ol terseut dlh ol sejti Bil r = : ol erjri-jri nol (titik) Bil r : ol merupkn ol khl Contoh 5 : merupkn ol khl kren A B C D
B IX : Bol Silinder dn Kerucut 77 B : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com Cttn: Persmn S = mengndung empt prmeter ABC dn D. Krenn ol kn tertentu il dikethui mellui empt titik ng tidk seidng. Secr diterminn persmn ol mellui empt titik. dlh: Atu dpt jug menghilngkn ABC dn D dri sistem persmn linier dengn empt persmn Contoh 5 : Tentukn persmn ol mellui titik P(). Q(). R(c). Dn O() Penelesin : Dengn determinn c c tu c c kolom dikurngi c kli kolom c c c
78 Geometri Anlitik Dtr dn Rung kolm dikurngi kli kolom c c Atu: c. Digi c ol ng dimint. Dengn permisln: D C B A Mellui titik (..) : D D C B A Mellui titik P(): A D C B A Mellui titik Q(): B D C B A Mellui titik R(c): c C D Cc B A c Jdi ol terseut c Cttn:Jels dimengerti il ol mellui titik wl () mk nili D =. 9.. Bol dn Bidng Rt Bol S = erjri-jri r pust M. idng P = dengn d = jrk pust M ke idng. Huungn ol dn idng rt ntr lin segi erikut :. V memotong ol. Bil d < r : perpotongnn seuh lingkrn Bil d = r : perpotongn seuh titik (idng meninggung ol). V tidk memotong ol il d > r
B IX : Bol Silinder dn Kerucut 79 S = S = M d r r d V = V = M S = S = d r V = Contoh 55 : Bgimn kedudukn ol S = + + + + + 6 = dn idng + + =? Bil perpotongn tentukn pust dn jri-jri lingkrn perpotongnn!. Penelesin : : Jri-jri ol : () (6) (6) 6 5 Pust M (---) d = jrk M ke nidng V = itu : d ()( ) ()( ) ()( ) B : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
8 Geometri Anlitik Dtr dn Rung Ternt d < r jdi idng memotong ol menurut seuh lingkrn. Jri-jri lingkr NP = 5 9 (Phitgors) Pust lingkrn N dlh titik temus gris g ng mellui M dn tegk lurus idng V =. Jdi rh gris = norml V = []. Persmn gris g : = - + = - + = - +.() Yng disustitusikn ke + + = menghsilkn : (- + ) + (- + ) + (- + ) = mk = sehingg dr persmn () = = = tu () dlh pust lingkrn ng dimint. Cttn: Bidng singgung di N ( ) pd ol. Mislkn ol S = + + + A + B + C + D = pust M (-/A -/B -/C) Titik singgung N ( ) S = M N Q Kren MN idng singgung (Q) MN NQ mk MN NQ MN MQ MN Bidng singgung
B IX : Bol Silinder dn Kerucut 8 MN MQ MN MN -r = Jels hw MN merupkn norml idng singgung V jdi persmn V mudh dihitung segi erikut : MN = [ + / A + / B + / C] sehingg persmn V : ( + //A ( ) + ( + / B) ( ) + ( + / C) ( ) = + + + / A + / B + / C (+ / A + / B + / C ) = (*) tetpi ( ) pd ol errti : + + + A + B + C = - D sehingg (*) menjdi + + + / A ( + ) + / B ( + ) + / C ( + ) + D = merupkn idng singgung ng ditnkn. Klu ol ( ) + ( ) + ( c) = r mk idng singgungn dlh ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( - c) ( c) = r Dn il ol + + = r mk idng singgungn dlh : + + = r. Cttn: Rumus idng singgung di ts mengikuti kidh "MEMBAGI ADIL" itu penggntin : - menjdi menjdi menjdi. - menjdi / ( + ) menjdi / ( + ) menjdi / ( + ) - menjdi / ( + ) Contoh 56 : Tentukn persmn idng singgung pd ol + + + + + = di titik ()! Penelesin : : Titik () pd ol jdi dpt dipki kidh memgi dil + + + ( + ) + ( + ) + ( + ) = dimn ( ) = () errti + + = dlh idng singgung ng ditnkn. B : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
8 Geometri Anlitik Dtr dn Rung Cttn : Persmn Lingkrn di dlm Rung Untuk mentkn persmn lingkrn di dlm rung. Kit dpt mengmil seuh idng rt dn seuh ol ng sling erpotongn menurut lingkrn terseut. Jdi persmn lingkrn itu dintkn dengn du persmn : V Lingkrn S Contoh 57 : Tentukn persmn lingkrn L ng mellui tig titik P() Q() dn R(c)!. Penelesin : : Diut idng ng mellui P Q dn R. Mislkn V A + B + C + D = Mellui P A + D = A = -D/ Mellui Q B + D = B = -D/ Mellui R Cc + D = C = -D/c Jdi idng V -D/ - D/ D/c + D = tu / + / + /c = Kemudin diut ol ng mellui P Q R dn stu titik tmhn serng (slkn keempt titik terseut tidk seidng). Pd umumn dimil titik wl () ng pd contoh sol ini memungkinkn. Persmn ol ng dimksud dlh S + + c = / / /c Jdi lingkrn L : c Cttn: Selin perpotongn ol dn idng sutu lingkrn jug dpt dintkn segi erikut : - Perpotongn du ol - Perpotongn silinder tu kerucut lingkrn tegk lurus dengn idng prleln ( = idng ng tegk lurus poros).
B IX : Bol Silinder dn Kerucut 8 9.. Kus Titik Pndng ol S () = dn titik G ( ) serng. Didefinisikn : kus titik G terhdp ol dlh nili k = S ( ). Contoh 58 : Kus titik P () terhdp ol S + + 6 + 8 8 = dlh : k = S () + + 6() + 8 () () 8 = - (titik P di lur ol S) Cttn : Sudh diphmi hw titik G ( ) terletk pd S () =. il S ( ) = mk; Titik G di lur ol k > Titik G pd ol k = Titik G di dlm ol k < Arti Ilmu Ukur dn Kus Titik Pndng ol S + + + A + B + C + D = dn G ( ). Trik gris semrng mellui G dengn cosinus rh cos cos cos Yitu : cos cos..(*) cos Kit tentukn titik potong dengn ol. Susitusikn (*) ke persmn ol diperoleh: ( cos ) ( cos ) ( cos ) A( cos) B( cos) C( cos ) D tu (cos cos cos ) ( ` A) cos ( ` B) cos ( ` ) cos + ( C A B C D. (**) Yng merupkn persmn kudrt dlm. Klu D > diperoleh du hrg ng ered (d du titik potong) D = diperoleh du hrg ng kemr (titik singgung) D < diperoleh du hrg ng rill (gris tidk memotong ol) B : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
8 Geometri Anlitik Dtr dn Rung Mislkn diperoleh du hrg erlinn dn mk titik potong diperolh (dri(*)): P cos cos cos dn Q cos cos cos Jrk GP = ( cos ) ( cos ) ( cos ) Mk perklin GP.GQ =. ( A B C D (dri persmn (**) dengn sipt perklin kr). Yng es dri cos.cos. cos. Jdi GP.QP = S ) = hrg mutlk kus titik G terhdp ol S() = ( Atu : Bil dri titik tertentu G ditri semrng gris ng memotong ol di P dn Q mk hrg GP. GQ dlh konstn. Klu G dilur ol mk hrgn = kus G dn klu G di dlm ol mk hrg negtifn = kus G. Contoh 59 : Tentukn koordint titik potong gris 8 g : dn 5 Bol s :! Penelesin : : Cosinus rh dri g : 5 5 5 5 5 Dn persmn G dpt ditulis : (*) 5 5 8 5 Bil disusitusikn kepersmn ol diperoleh : 5 5 5 5 Jdi titik-titik potong (dri (*)) : (5-9--) Cttn.dpt jug dikerjkn tnp dihitung cosinus rh cukup dengn rh [-5] sj.
B IX : Bol Silinder dn Kerucut 85 9.5. Bidng Kutu Definisi Bidng Kutu Pndng ol S = dn titik O ( ) trik gris g mellui G ng memotong ol di P dn Q. titik R ( ) pd gris g sedemikin sehingg P Q sekwn hrmonis dengn G R. mk tempt kedudukn dri titik R pil g ergerk merupkn sutu idng rt ng diseut idng kutu (idng polr) ol S = dengn kutu (titik Kutu) titik G. Q R P G Cttn : P Q sekwn hrmonis dengn G R rtin il GP : QP = : mk GQ : RQ = - : contoh (dri gmr) misln : QR = RP = PG = errti GP : RP = : dn GQ : RQ = - : Jdi P Q sekwn hrmonis dengn G R Persmn Bidng Kutu Persmn idng kutu. ol S = + + r = dengn kutu G ( ). Amil R ( ). Pd gris semrng mellui g. titik ng memgi GR ts perndingn : erkoordint : Agr titik di ts terletk pd ol hruslh : r B : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
86 Geometri Anlitik Dtr dn Rung Atu r r r.() Dengn kr-kr persmn kudrt dn menunjukkn perndingn dimn titik P dn Q memgi GR. Agr pemgin terseut sekwn hrmonis errti = - tu + = sehingg dri persmn () dengn sift kr : + + r = dn dengn menjlnkn titik ( ) diperoleh persmn idng kutu : + + = r. Cttn: Persmn idng kutu mengikuti pol kidh memgi dil dimn ( ) menunjukkn titik kutun. Klu titik kutu dilur ol mk idng kutu merupkn idng ng memut lingkrn ng erpotongn ol dengn kerucut seluung ol ng punckn di titik terseut. Contoh 6 :. Tentukn idng kutu ol + + 6 + + 6 = dengn titik kutu (6-8)! Penelesin : ; Dengn kidh memgi dil idng kutu : + + ( + ) + ( + ) + ( + ) 6 = dimn ( ) = (6-8) errti diperoleh : + 5 6-6 =. Tentukn titik kutu dri idng + 5 = terhdp ol + + =! Penelesin : : Bidng kutu ol + + = dlh + + =. kit identikkn dengn + 5 = tu 6 8 + =. jdi titik-titik kutu (6-8 )
B IX : Bol Silinder dn Kerucut 87 9.6. Kedudukn Du Bol Bol S = pust M jri-jri r S = pust M jri-jri r d = jrk pust M M (sentrl). Tidk erpotongn il d > r + r. Bersinggungn lur il d = r + r. Berpotongn il r r < d < r + r. Bersinggungn dlm il d = r r 5. Bol ng stu di dlm ol ng lin il d < r r ) ) d r r r r S = S = S = S = ) r r ) S = S = S = 5) S = S = S = B : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
88 Geometri Anlitik Dtr dn Rung Contoh 6: Bgimn kedudukn ol-ol ini :. S = + + = 6 dn S = + + + =. S = + + + + + = dn S = + + + + 6 = c. S = + + + + + = dn S = + + = Penelesin : :. S = pust M () jri-jri r = S = pust M ( - / ) jri-jri r = / d = M M = / r r = 5/ d < r r. Jdi ol S = erd di dlm ol S =. S = pust M (---) jri-jri r = S = pust M (-6-) jri-jri r = 7 d = r r =. r + r =. Ternt r r < d < r + r. Jdi kedu ol erpotongn c. S = pust M (---) jri-jri r = S = pust M () jri-jri r = d = 6 r + r = 6. Ternt d = 6. Jdi kedu ol ersinggungn lur Cttn: - Sudut perpotongn du ol dlh sudut ntr idng-idng singgung pd slh stu titik persekutun du ol. Atu sudut ntr jri-jri ng mengrh ke titik terseut. - Du ol erpotongn tegk lurus pil sudut perpotongn 9 o. dengn sift-sift segi erikut : S = -r r S = M M (M M ) = r + r Kus M terhdp S = esrn r Kus M terhdp S = esrn r
B IX : Bol Silinder dn Kerucut 89 Contoh 6 : Tentukn persmn ol ng mellui titik T() sert memotong tegk lurus ol-ol S = + + + + = S = + + - + = S = + + + + 6 + = Penelesin : Mislkn persmn ol ng dimint ( ) - + ( ) + ( c) = r pust M(c) jri-jri = r Kren tegk lurus S S dn S mk kus M terhdp tig ol terseut sm itu = r Kus M terhdp S : + + c + +..() terhdp S = + + c - +..() terhdp S = + + c + 6 +..() dri () dn () diperolh = dri () dn () diperoleh = errti M(c) ol mellui T errti (MT) = r = 9 + + + ( c) = 7 c c...() dri () kus M terhdp S : c + = r (5) dri () dn (5) : c =. kemlikn ke (5) r = 7 jdi persmn ol + + ( ) = 7 Cttn : Bol Memgi Du Sm Besr Bol lin S = dn S = erpotongn dengn lingkrn perpotongn merupkn lingkrn esr (lingkrn ng pust dn jri-jrin sm dengn pust dn jri-jri ol) ol S mk diktkn S memgi du S sm esr Sift sift : - (M M ) = r - r - Kus M terhdp S esrn = -r (kren M terletk di dlm S ) S = M M S = B : Turmudi E-mil : toermoed@hoo.co.id log: www.toermoed.wordpress.com
9 Geometri Anlitik Dtr dn Rung Contoh 6 : Tentukn persmn ol ng mellui (-) memotong tegk lurus S : + + - - + + = memgi du sm esr S : + + + + 8 - + =. selin itu dikethui hw kus titik (--) terhdp ol ng dintkn terseut sm dengn! Penelesin : : S = pust M (-6) jri-jri r = 7 S = pust M (--) jri-jri r = 7 Mislkn ol ng dintkn S : + + + A + B + C + D = Mellui (-) : 6 + A B + C + D =....() Kus (--) : 7 A B + D = (dikethui) tu A B + D =. () Bol S memotong S tegk lurus errti kus M terhdp S dlh r = 7 = + A + B 6C + D tu + A + B 6C + D =..() ol S memgi du sm esr S errti kus M terhdp S dlh : -r = - 7 = A B + C + D tu 8 A B + C + D =... () Bil keempt persmn () () () dn () diselesikn diperoleh A = - B = 6 C = dn D = - 6. Jdi persmn ol ng dimint S : + + - + 6-6 = 9.7.Bidng Kus Sistem Bol Bidng kus dri ol S = + + + A + B + C + D = dn S = + + + A + B + C + D = dlh tempt kedudukn titik-titik K( o o o ) ng kusn terhdp S dn terhdp S sm