Integrl AntiTurunn (Antiderivtive) AntiTurunn dri seuh fungsi f dl seuh fungsi F sedemikin hingg Dierikn Pd Peltihn Guru-Guru Aceh Jy 5 Septemer 0 Oleh: Ridh Ferdhin, M.Sc F f E. AntiTurunn dri f ( ) 6 dl F( ) krn F( ) f ( ). Pernytn: f ( ) d dic integrl tk tentu dri f terhdp, Artiny dl mendptkn semu ntiturunn dri f. Tnd Integrl Integrl Tk Tentu f ( ) d Integrnd diseut peuh integrsi Konstnt dri Integrsi Setip ntiturunn F dri f hrus dlm entuk F() = G() + C, dimn C dl seuh konstnt. Perhtikn 6d C Mewkili semu ntiturunn yng mungkin dri 6.
Aturn Pngkt dri Integrl TkTentu, Bgin I E. n n d C if n n d 4 4 C Aturn Pngkt dri Integrl TkTentu, Bgin II d d ln C Integrl TkTentu dri e dn e d e C d ln C Aturn Jumlh dn Kurng E. f g d fd gd d d d Aturn Perklin dengn Konstn E. kf ( ) d k f ( ) d ( k constnt) 4 4 C d d C C 4 Contoh: E. Dptkn integrl tk tentu dri: 7 e u 6 u u u e 7 u 6 u u e 7ln u u 6u C
Integrsi dengn Sustitusi Integrsi dengn Sustitusi Metode integrsi yng erhuungn dengn turn rnti. Jik u dl fungsi dlm, mk kit is mengunkn formul/persmn f fd / d E. Dptkn integrl: 9 u Amil u d 0 u C 0 5, mk ( +5) 9 d 5 0 0 C d Sutitusi Integrlkn Sustitusi ulng E. Dptkn Let 5 7 then 0 u d / 5 7d u 0 5 7d / u 0 / 5 7 / 5 C C Tentukn u, dptkn Sustitusi Integrlkn Sustitusi E. Dptkn d ln Let u ln then d d ln u u ln C C
E. Dptkn t e t e dt t Let u e + then dt t e t e dt t e u ln u C t ln e C Ekspresi Integrl yng mengnng + Aturn n n d C n ( n ) d ln C e d e C c d c C ln c Integrl Fungsi Trigonometri Integrl Tk Tentu dri Fungsi Trigonometri cos d sin C sin d cos C sec E. cos sin d tn C d sin cos C 5 E. Sustitusi Dptkn Penyelesin: u= +6 Jdi d = +6= ( + ) tu sin 6 d sin 6 Sustitusikn kedlm integrl, shg sin u d d= ( + ) sin u cos u C cos 6 C 6
Sustitusi E. sin d Let u then d sin d sinu cos u C cos C Integrl Tk Tentu dri Fungsi Trigonometri tn cot d ln cos C d ln sin C sec d ln sec tn C csc d ln csc cot C 7 8 Mengp tn d ln cos C? Tuliskn tn sg (sin )/(cos ) dn tetpkn u = cos, shg: tn d sin d cos sin u sin u ln u C ln cos C u cos Jdi d dn d sin sin 9 Integrl mengnng ( + ) sin cos d C d C cos sin E. 7sin 5 d 7 cos 5 C 0
Integrl mengnng ( + ) tn d ln cos C cot d ln sin C sec d ln sec tn C csc d ln csc cot C TEKNIK PENGINTEGRALAN Integrtion y Prts (Pengintegrln Pergin) TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Setip turn turunn psti mempunyi turn integrl yng erhuungn Contoh: Aturn Sustitusi erhuungn dengn turn rnti untuk turunn. Aturn integrsi yng erhuungn dengn turn kli pr turunn dlh turn pengintegrln pergin.
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Aturn Perklin mengtkn, jik f dn g dlh fungsi yng is diturunkn, mk d f ( ) g ( ) f ( ) g '( ) g ( ) f '( ) d Penulisn integrl tk tentu dri persmn ts menjdi PENGINTEGRALAN PERBAGIAN tu f ( ) g '( ) g( ) f '( ) d f ( ) g( ) f ( ) g '( ) d g( ) f '( ) d f ( ) g( ) Persmn dits is kit tur kemli spt: PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Rumus f ( ) g '( ) d f ( ) g( ) g( ) f '( ) d PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Jik u = f() dn v = g(). Mk, turunnny dl: = f () d nd dv = g () d
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Rumus Shg, dgn turn sustitusi, mk rumus integrl pergin menjdi: u dv uv v Contoh Dptkn sin d Misl f() = dn g () = sin d. Mk, f () = dn g() = cos. Contoh PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Menggunkn rumus : sin d f ( ) g( ) g( ) f '( ) d ( cos ) ( cos ) d cos cos d cos sin C Co turunkn fungsiny. PERHATIKAN Tujun kit menggunkn pengintegrln pergin dl untuk mendptkn entuk integrl yg sederhn, jdi jik entukny leih rumit (sulit) untuk diselesikn mk pengintegrln kurng enr.
Dri contoh Jik kit pilih u = sin dn dv = d, mk = cos d dn v = /. Jdi, pengintegrln pergin menjdi: PERHATIKAN sin d (sin ) cos d Wlpun enr nmun cos d leih sush diinteglkn. PERHATIKAN Jdi, dlm memilih u dn dv, sehrsny u = f() dipilih sdh sehingg menjdi fungsi yg leih sederhn ketik diturunkn. Nmun, pstikn jug hw dv = g () d is diintegrlkn dengn mudh. PENGINTEGRALAN PERBAGIAN PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh Dptkn ln d u ln dv d d v Contoh ln d d ln ln d ln C
INTEGRAND MENGANDUNG n + Sustitusi dengn MERASIONALKAN SUBSTITUSI Selesikn Selesikn INTEGRAND MENGANDUNG Sustitusi dengn Shg kn kit dptkn
Selesikn Selesikn Sustitusi Shg Sustitusi Shg dn MELENGKAPKAN KUADRAT Selesikn
Jumlhn Riemnn Jik f dl sh fungsi yg kontinu, mk jumlhn Riemnn dri n gin yng sm untuk f sepnjng selng [, ] didefinisikn n sg: f k0 k f ( ) f ( )... f ( ) 0 n f ( ) f ( )... f ( ) 0 n dimn ( ) / n 0 n dl gin Integrl Tentu Jik f dl fungsi yg kontinu, integrl tentu f dri ke didefinisikn sg n f ( ) d lim f n k 0 fungsi f diseut integrnd, ngk dn diseut limits dri integrsi, dn peuh diseut peuh dri integrsi. k Pendektn Integrl Tentu E. Hitung jumlhn Riemnn utk integrl d menggunkn n = 0. 0 n 9 f k 5 k k 0 k 0 (/ 5) ( / 5)... (9 / 5) (/ 5).8 Integrl Tentu f ( ) d dic integrl dri ke dri f()d. Peuh is diruh menjdi peuh p sj, contoh f ( ) d f ( t) dt
Are diwh Kurv Ler: n (n persegi pnjng.) Ide: Mendptkn re seenrny (tept/persis) diwh kurv sh fungsi. y f ( ) Metode: Menggunkn tk hingg persegipnjng dgn ler yg sm dn menghitung re dgn limit. Memperkirkn Are Perkirkn re diwh kurv Menggunkn n = 4. f ( ) on 0, A f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 A f 0 f f f 9 7 A 0 Are Diwh Kurv Teorem Dsr Klkulus y f kontinu, tknegtif pd [, ]. Are dl Are lim n n k 0 k f f ( ) d f ( ) Jik f dl fungsi yg kontinu pd [, ].. If A( ) f ( t) dt, then A( ) f ( ).. Jik F dl serng ntiturunn yng kontinu dri f dn is didefinisikn pd [, ], mk f ( ) d F ( ) F ( )
Teorem Dsr Klkulus 4 E. If A( ) t 5 tdt, find A( ). 4 A( ) 5 Mengevlusi Integrl Tentu E. Hitung 5 d 5 5 d ln 5 ln 5 5 ln 8 ln 5 6.9056 Sustitusi untuk Integrl Tentu / E. Hitung 0 d let u then / 4 eruh / d u 0 0 4 / 6 u Perhtikn hw limit integrsi 0 Menghitung Are E. Dptkn re yg ditsi oleh sumu, gris vertikl = 0, = dn kurv y. 0 d 4 d 0 4 0 4 0 dl tk negtif pd [0, ]. 8 Antiturunn Teorem Dsr Klkulus
Penggunn Integrl : Lus Kurv Penggunn Integrl : Lus Kurv Dptkn re diwh kurv y= + Dri = ke = Are= =[ = ( +)d + ] Dptkn re diwh kurv Sumu y, y = dn y= 5 y= 5 Are= ( y +)dy =[ 5 y + y ] y = = y + =45 Penggunn Integrl : Lus Antr Kurv Penggunn Integrl : Lus Antr Kurv Dptkn re yng ditsi oleh y=, =0,dn y= y=, jdi = y / d Are= f ( y)dy c Are=Lus= [ f ( ) f ( )]d= ( y y )d
Penggunn Integrl : Lus Antr Kurv d Are= f ( y)dy c = ( y / )dy 0 =[ 4 y 4 /]0 Penggunn Integrl : Lus Antr Kurv Dptkn re yng ditsi oleh y= +5,dn y= Are= ( y y )dy kurv y= dits y= +5 =.45 Penggunn Integrl : Lus Antr Kurv Titik perpotongn terjdi pd +5= =, tu =0.5 Are= ( y y )dy = 0.5 [( ) ( +5)]d 0.5 [ 5 ]d = =[ 5 0.5 ] =4.9 Penggunn Integrl :Volume Bend Putr Dierikn re yng ditsi oleh y =, sumu dn = Diputr mengelilingi sumu-, 60 derjd
Penggunn Integrl :Volume Bend Putr Penggunn Integrl :Volume Bend Putr V =π r h V =π y d V =π Menurut integrl Riemnn y d V =π f ()d V =π y d =π () d 0 =π 0 9 d =π [ ] 0 = π