MODUL INTEGRAL Sekils Info Orng yng pertm kli menemkn integrl tertent dlh George Friedrih Bernhrd Riemnn, seorng Mtemtikwn sl Jermn yng lhir pd thn 6. Riemnn menjelskn integrl tertent dengn menggnkn ls derh yng dihitngny menggnkn poligon dlm dn poligon lr. Untk mengenng jsny, integrl tertent terset dinmkn integrl Riemnn. Riemnn meninggl pd thn 66. Smer : lls nd Geometry Anlti. Stndr Kompetensi : Memhmi integrl tk tent dn integrl tent fngsi ljr dn trigonometri Kompetensi Dsr : Menggnkn konsep, sift dn trn dlm perhitngn integrl tk tent dn integrl tent Menggnkn integrl ntk menghitng ls derh dn volme end ptr
BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Dlm modl ini And kn mempeljri penyelesin integrl tk tent dn integrl tent fngsi ljr dn trigonometri, menghitng integrl dengn metode stitsi dn integrl prsil, menghitng ls derh terttp yng ditsi oleh krv dn menghitng volme end ptr dri derh yng diptr terhdp sm koordint. B. Prsyrt Untk mempeljri modl ini, pr sisw dihrpkn telh mengsi konsep diffrensil fngsi ljr dn fngsi trigonometri sert sisw mmp menggmr grfik st fngsi pd idng koordint.. Petnjk Penggnn Modl Untk mempeljri modl ini, hl-hl yng perl And lkkn dlh segi erikt:. Untk mempeljri modl ini hrslh errtn, kren mteri yng mendhli merpkn prsyrt ntk mempeljri mteri eriktny.. Phmilh ontoh-ontoh sol yng d, dn kerjknlh sem sol ltihn yng d. Jik dlm mengerjkn sol And menemi keslitn, kemlilh mempeljri mteri yng terkit.. Kerjknlh sol evlsi dengn ermt. Jik And menemi keslitn dlm mengerjkn sol evlsi, kemlilh mempeljri mteri yng terkit.. Jik And mempnyi keslitn yng tidk dpt And pehkn, ttlh, kemdin tnykn kepd gr pd st kegitn ttp mk t lh referensi lin yng erhngn dengn mteri modl ini. Dengn mem referensi lin, And jg kn mendptkn pengethn tmhn. D. Tjn Akhir Setelh mempeljri modl ini dihrpkn And dpt:. Menentkn penyelesin integrl tk tent fngsi ljr dn trigonometri.. Menghitng integrl tent fngsi ljr dn trigonometri. Mermskn integrl tent ntk ls derh yng ditsi oleh krv dn menghitngny.. Mermskn integrl tent ntk ntk volm end ptr dri derh yng diptr terhdp sm koordint dn menghitngny.
BAB II. PEMBELAJARAN. Kegitn Beljr. Definisi : Jik F() dlh fngsi yng ersift F () = f(), mk F() merpkn ntitrnn t integrl dri f(). t dengn kt lin ntegrl merpkn opersi likn (invers) dri diffrensil. Integrl tk tent. Defnisi Integrl tk tent : f ( ) d F( ) F '( ) f ( ), dimn dlh konstnt. Teorem Pengintegrln Teorem Jik k merpkn st konstnt mk k d k ; = konstnt ontoh.. d. d. d Teorem Jik n merpkn ilngn rsionl dn n, mk dimn = Konstnt d n n n,
ontoh.:. d 6 6. d d.. d d d ontoh. :. dt t dt t t t Jik f () dlh st fngsi yng terintegrlkn dn k dlh konstnt mk ) ( ) (. f k d f k Teorem
. d d ontoh.:. d d d d ;. d d d d d d. d d 6 6 6 6 6 Jik f () dn g() dlh fngsi-fngsi yng terintegrlkn mk d g d f d g f ) ( ) ( ) ( ) ( Teorem
6 Teorem Teknik Integrl stitsi Jik () st fngsi yng dpt didifrensilkn dn r st ilngn rsionl tk nol, mk n r. dimn dlh konstnt dn r -. r n'( ) d r ontoh. : d. 6 Mislkn : d d d d d 6 d mk 6 d 6 d.d 9 9 9 9 d. 9 Mislkn : ( ) d 9 d d d ( ) d d ( ) d
mk d d d 9 6 6 9. d d Mislkn : d d d d d d mk : d d d d
. d d 6 6 d Mislkn : 6 d d d ( ) d mk : d 6 d 6 d 6 Teorem 6 Teknik Integrl Prsil Jik () dn v() fngsi-fngsi yng dpt didifrensilkn, mk dv v v d ontoh.6 :. d
9 Mislkn : d v dv v d dv d d d d mk : v d v dv d d ;
. d Mislkn : d v d dv d d mk : vd v dv d d 6 6 ;. d Mislkn : d v d dv d d
d dv v vd d Teorem 6 Teknik Integrl Prsil Jik () dn v() fngsi-fngsi yng dpt didifrensilkn, mk dv d:pt diintegrlkn dengn metode : () (fngsi ()didiffrensilkn)............ dv (fngsi dv diintegrlkn)............... + + dst ontoh.6 d. d Mislkn : dv d dv (didifrensilkn) d (diintegrlkn) +
d. dv d 6 6 d 9 d 9 9 9 9 6 9 6 6 9 6
Teorem Teknik Integrl Fngsi Trigonometri..... 6... 9... os d sin sin d os se d tn ot.ose d os e tn.se d se ose d ot os d sin sin d os n n n sin d sin.os n n sin n n n os d os.sin n n os n n d d ontoh. :. sin d 6 6 os 6 6 6 6os 6 6. os d os os sin dri os sin persmn...*) sin sin * dn ** mk: os os os os....**)
Mk os d os d. sin sin. sin os d Mislkn: sin sin d os d os d d 6 6 6 sin 6. sin.os sin d Mislkn : sin d sin os d sin.os d sin d sin.os d d sin d. sin d sin d sin sin os sin
sin Mislkn : d os d sin d d sin d sin sin os os os d sin sin 6. d Mislkn : sin d d d d sin d sin d os os d d d. d d d d Integrl Tent Definisi : Integrl tent : f ( ) d F( ) F( ) Teorem yng dignkn ntk menghitng integrl tent sm teorem yng pd integrl tk tent di ts.
6 ontoh. :. d ) ( (). ) ( d d 9 6 (). d Mislkn : d d ) ( mk d d 6 6
. sin Mislkn: os d sin d os d d os d sin os d. os d os d Sin os d sin os d sin os sin os sin os
Rngkmn. Teorem pengintegrln. fngsi konstn k d k, k dn dlh konstn n n. pngkt d, n ilngn rsionl dn n n k. f d k f. Perklin konstn dengn fngsi d. penjmlhn d fngsi f g d f d g e. pengrngn d fngsi f g d f d g n f. Teknik integrl stitsi ' g. Teknik integrl prsil dv. v h. os d sin i. sin d os d v d. Integrl tent dri fngsi f() pd intervl n n, dlh f d d d Tgs. Tentkn integrl erikt :. d. f. d g. d 6. d h. d d. e. d d. Tentkn fngsi f() jik dikethi. f '. f ' 6 dn f. f ' t dn f d. ' t t dn f t f dn f i. sin d d sin j. d os
9. Hitnglh integrl erikt :. 9. d f. os sin d d g. os sin d. tn se d h. d. os d 6 os os d i. sin d e. sin os d j. os d. Kegitn Beljr Apliksi Integrl Tjn Pemeljrn :. Menggmrkn st derh yng ditsi oleh eerp krv. Mermskn integrl tent ntk ls derh dn menghitngny. Mermskn integrl tent ntk volme end ptr dri derh yng diptr terhdp idng koordint dn menghitngny. Menghitng Ls Derh Teorem Ls derh dits sm- Jik derh R dlh derh yng dtsi oleh krv y f, sm-, gris = dn gris = dengn f dn kontin pd selng, mk ls derh R dlh : L( R) f d
ontoh. :. Ls derh yng ditsi krv f, sm- gris = dn gris = Jdi ls derhny dlh stn ls. Ls derh yng ditsi krv y, sm-, gris = dn gris = L R d y= + + R + Jdi ls derhny dlh stn ls Teorem Ls derh di wh sm- Jik derh S dlh derh yng dtsi oleh krv y f, sm-, gris = dn gris = dengn f dn kontin pd selng, mk ls derh S dlh : L( s) f d
ontoh. Ls derh yng ditsi krv y, sm-, gris = dn sm-y. - Jdi ls derhny dlh 6 stn ls Teorem Jik derh T dlh derh yng dtsi oleh krv y f, sm-, gris = dn gris = dengn f pd intervl, dn f pd intervl mk ls derh T dlh : L ( T) f d f d ontoh. Ls derh yng ditsi krv sin, f dn sm- Jdi ls derhny dlh stn ls
Teorem Jik derh U dlh derh terttp yng dtsi d krv yit y f dn y g, gris = dn gris = pd intervl, mk ls derh U dlh : L ( U) f d g d f g d ontoh. : Ls derh terttp yng ditsi oleh krv f, Tentkn ts pengintegrln dengn r menri titik potong ked krv gris = dn gris y = y y kren derh ditsi oleh gris = mk ts pengintegrln yng dimil dlh dn. L U y y d d Jdi ls derhny dlh stn ls
Teorem Ls derh ntr d krv yng sling erpotongn di d titik dlh f() D D L 6 g(). Menghitng Volme Bend Ptr Teorem Jik derh R dlh derh yng dtsi krv y f, sm-, gris = dn gris = dengn jik derh R diptr mengelilingi sm- sejh 6 o mk volme end ptr terset dlh : V f d Teorem 6 Jik derh S dlh derh yng dtsi krv f y, sm-y, gris = dn gris = dengn jik derh S diptr mengelilingi sm-y sejh 6 o mk volme end ptr terset dlh : V f y d
ontoh.6 : Volme end ptr, derh yng ditsi oleh krv diptr sejh 6 o mengelilingi :. sm-. sm-y f, sm-, sm-y. 6 Jdi volmeny jik diptr mengelilingi sm- dlh stn volme. Untk menentkn volme end ptr yng mengelilingi sm-y, mk fngsi y dih menjdi fngsi dengn vriel y, sehingg fngsiny menjdi y y y Sehingg volmeny Jdi volmeny jik diptr mengelilingi sm-y dlh stn volme
Teorem f dn g f g pd intervl Jik derh T ditsi oleh krv, dengn, diptr mengelilingi sm-, sejh 6 o mk volme end ptr terset dlh : V T f g d ontoh. : Volme derh yng ditsi oleh krv f ( ), Sm-, sm-y, gris = dn y = - yng diptr sejh 6 o mengeliling sm- Jdi volmeny dlh stn volme
6 Rngkmn. Ls derh terttp yng terletk. di ts sm- L f d. di wh sm- L f. di ts dn di wh sm- L f d f d d. di ntr d krv L f g D D e. di ntr d krv yng sling erpotongn di d titik L 6 d d. Volme end ptr dri derh yng dtsi krv dn diptr mengellingi :. sm- V f. sm-y V f y d d. sm- dn ditsi krv f() dn g() V f g d. sm-y dn ditsi krv f(y) dn g(y) V f y gy d d Tgs. Gmrlh dn hitnglh ls derh-derh terttp yng ditsi oleh krv-krv erikt :. y, sm-, grs =, dn gris = 6. f sin pd intervl, dn sm-. f dn y d. y sin dn y os pd intervl, e. y dn y
f. y dn y. Tentkn volme end ptr dri derh yng ditsi oleh krv erikt. y, sm- diptr mengelilingi sm- sejh 6 o. y, sm- dn gris = diptr mengelilingi sm- sejh 6 o. y tn, sm- dn gris d. y dn diptr mengililingi sm- sejh 6 o d. y diptr mengelilingi sm-y sejh 6 o. e. y, y dn gris y = diptr mengelilingi sm-y sejh 6 o.
BAB III. TES FORMATIF