1.1 Konsep Probabilitas

TEORI DASAR PROBABILITAS 1.1 Konsep Probabilitas Probabilitas/peluang secara umum dapat diartikan sebagai ukuran matematis terhadap kecenderungan akan munculnya sebuah kejadian. Secara matematis peluang memiliki kisaran nilai dari 0 hingga 1. Seperti terlihat pada Gambar 2-1, nilai peluang 0 berarti bahwa munculnya kejadian tersebut sangat tidak mungkin, dan nilai peluang 1 berarti kejadian tersebut pasti muncul. Sebagai contoh, peluang manusia akan hidup selamanya adalah 0 karena tidak ada mahasiswa yang abadi dan peluang bahwa manusia akan mati suatu saat adalah 1 artinya manusia pasti akan mati suatu saat. 0 0,5 1 Absolute impossibility Pelemparan koin Absolute certainty Gambar Rentang nilai peluang Nilai peluang juga bisa berada diantara dua nilai absolut diatas, atau dengan kata lain nilai peluang akan mucul diantara hasil yang diharapkan dan hasil yang tidak diharapkan. Dalam konteks sistem rekayasa, dua kondisi absolut tersebut adalah sistem gagal dan sistem sukses. Dalam konteks ini peluang sukses dan gagal dapat diartikan sebagai berikut: P (sukses) = jumlah kejadian sukses jumlah semua kejadian yang mungkin... P (gagal) = jumlah kejadian gagal jumlah semua kejadian yang mungkin... Jika s = jumlah kejadian sukses 1

f = jumlah kejadian gagal maka peluang sukses dan peluang gagal berturut-turut adalah: s P (sukses) = p = s + f... f P (gagal) = q = s + f... Dan p + q = 1... Contoh 2,1: Sebuah koin dengan sisi muka dan sisi belakang. Peluang mendapat sisi muka pada pelemparan koin tersebut satu kali adalah 1/2 = 0.5 Contoh 2.2: Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluang mendapat sisi dengan gambar 4 adalah 1/6. Contoh 2.3: Dua buah dadu dilempar satu kali. Berapakah peluang mendapat jumlah mata dadu sembilan. Mata dadu yang memberikan jumlah sembilan adalah: (3+6), (4+5), (5+4), (6+3) dari 36 kombinasi yang ada, sehingga peluangnya adalah 4/36 atau 1/9. 1.2 Permutasi dan Kombinasi Pada tiga contoh diatas, peluang sukses dan gagal dihitung dengan mengevaluasi semua kejadian yang mungkin secara fisik. Jika jumlah kejadian yang dimungkinkan semakin besar, maka proses tersebut akan sangat menyulitkan, dan peluang terjadinya kesalahan akan semakin besar. Dibandingkan dengan secara fisik mengkalkulasi semua peluang yang ada, 2

maka akan lebih sederhana dan efektif jika konsep persamaan 2-1 dipergunakan untuk mengkelompokkan peluang sukses dan gagal melalui konsep permutasi dan kombinasi. Permutasi memperhitungkan susunan masing-masing kejadian, sementara kombinasi tidak memperhitungkan susunan di dalamnya. Jumlah PERMUTASI dari n item yang berbeda adalah jumlah susunan yang berbeda yang dimungkinkan dari item-item tersebut. Jika semua item digunakan dalam susunan, maka permutasi di tuliskan dengan n P n. Jika sebagian item saja (r) yang disusun dari n jumlah item yang ada (r<n) maka permutasinya dituliskna dengan n P r. Contoh 2.4: Permutasi 3 buah buku A, B dan C dimana semua buku yang ada dipergunakan adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB dan CBA. Dengan demikian 3 P 3 adalah 6. Dengan kata lain, posisi pertama dapat diisi oleh 3 buah Buku, posisi kedua dapat diisi oleh 2 buah buku (mengingat buku yang sudah terambil tidak bisa dipakai lagi), serta posisi ketiga diisi oleh 1 buah buku. Karena itu 3 P 3 adalah 3 x 2 x 1 = 3! = 6 Dengan demikian permutasi n item jika n item dipergunakan adalah n!, dan permutasi n item jika hanya r item yang dipergunakan adalah P r n n! =... ( n r)! Dimana nilainya adalah n! Jika n=r, sebab nilai 0! adalah sama dengan 1. Contoh 2.5: Dalam berapa cara 3 buku dapat disusun dari 7 buku yang tersedia? 7! 7! 1x2x3x4x5x6x7 7 P 3 = = = = 5x6x7 = 210 (7 3)! 4! 1x2x3x4 Persamaan 2-6 hanya dapat dipergunakan pada beberapa kondisi yakni: (1) Semua item berbeda (2) Tidak ada batasan dalam menentukan posisi item yang ada 3

(3) Tidak ada item yang bisa dipergunakan lebih dari satu kali. Contoh 2.6: Ada berapa bilangan dalam 3 digit yang bisa disusun dari angka 0~9 jika setiap angka dapat dipakai lebih dari satu kali dan jika angka hanya bisa dipakai satu kali saja? Jika angka bisa dipakai lebih dari satu kali, maka pada digit pertama hanya bisa diisi oleh 9 angka (0 tidak bisa), digit kedua bisa diisi 10 angka dan digit ketiga bisa diisi 10 angka. Dengan demikian susunan yang dimungkinkan adalah 9x10x10 buah susunan yaitu 900 susunan. Jika angka tidak bisa diulang maka digit pertama bisa diisi oleh 9 angka, digit kedua bisa diisi oleh 9 angka dan digit ketiga bisa diisi oleh 8 angka. Dengan demikian susunan yang dimungkinkan adalah 9x9x8 buah susunan yaitu 648 susunan. Contoh 2.7: Berapa susunan yang berbeda yang dapat dibuat dari 12 bola yang terdiri dari 3 bola biru, 2 bola merah dan 7 bola hijau? Jika semua bola memiliki warna yang berbeda maka susunan yang mungkin adalah 12! Atau sama dengan 479,001,600 susunan. Jika r item dapat disusun dalam r! Susunan maka dengan demikian akan terdapat 3! susunan bola biru, 2! susunan bola merah dan 7! susunan bola hijau. Dengan demikian jumlah susunan yang dimungkinkan dalam dari ketiga warna bola tersebut adalah 12! = 7920 susuanan 3!2!7! Dengan demikian susunan yang dimungkinkan dari n item yang terdiri dari r 1 item sejenis, r 2 item sejenis, hingga r k item sejenis adalah n! permutasi =... r! r!... r! 1 2 k Jumlah KOMBINASI dari n item yang berbeda adalah jumlah susunan dari r item yang berbeda tanpa memperhitungkan susunan dari item-item tersebut. Kombinasi r item dari n item yang ada dituliskan dengan n C r. 4

n C r = n Cr n! n( n 1)...( n r + 1) = = r! r!( n r)! r!... Contoh 2.8: Dari 6 siswa laki-laki (L) dan 5 siswa perempuan (P) akan dibentuk sebuah panitia yang terdiri dari 6 anggota dimana panitia tersebut paling sedikit harus terdiri dari 3 perempuan. Berapa jumlah panitia yang berbeda yang mungkin dibentuk? Panitia dengan syarat seperti di atas mungkin terdiri dari 3 P dan 3 L, 4 P dan 2 L serta 5 P dan 1 L. Dengan demikian masing-masing perbandingan jumlah panitia Laki dan Perempuan tersebut dapat tersusun dari: 5C P3. 6 C L3 + 5C P4. 6 C L2 + 5 C P5. 6 C L1 = 281 panitia yang berbeda Contoh 2.9: 4 bola diambil dari sebuah kotak yang terdiri dari 10 bola hitam dan sepuluh bola putih. Berapakah peluang mendapat bola yang semuanya berwarna hitam?, peluang mendapat bola dengan warna yang sama?, peluang mendapat bola hitam jika setiap bola yang terambil dikembalikan sebelum melakukan pengambilan berikutnya? Jumlah kejadian yang mungkin 4 bola hitam yang dapat diambil dari 20 bola yang ada adalah 20 C 4 = 4845. Jumlah kejadian yang mungkin 4 bola hitam terambil dari 10 bola hitam dan 10 bola putih yang ada adalah 10 C H4 =210. Dengan demikian peluang mendapat 4 bola hitam adalah 210/4845 = 0.043344. Jumlah kejadian mendapat 4 bola dengan warna yang sama tentunya adalah penjumlahan jumlah kejadian mendapat 4 bola hitam dan jumlah kejadian mendapat 4 bola putih dari 10 bola hitam dan bola putih yang ada, yaitu 10C H4 + 10 C P4 =420. Dengan demikian peluang mendapat 4 bola dengan warna yang sama adalah 420/4845 = 0.086687 Jika setiap bola digantikan sebelum pengambilan selanjutnya, maka jumlah kejadian mendapat 4 bola adalah 20 4 dan jumlah kejadian mendapat 4 bola 5

hitam adalah 10 4. dengan demikian peluang mendapat 4 bola hitam adalah 10 4 /20 4 = 0.0625. 1.3 Diagram Venn Pada penilaian keandalan sistem rekayasa kadang kita berhadapan dengan masalah penggabungan peluang dari beberapa kejadian menjadi peluang sistem keseluruhan. Pemahaman atas beberapa aturan penggabungan peluang akan lebih dipermudah dengan bantuan diagran Venn. Diagram Venn umumnya digambarkan dengan sebuah persegi panjang yang mewakili total peluang yang ada. Ada dua atau lebih kejadian didalamnya yang mana peluang masingmasing kejadian akan digabungkan. Seperti terlihat pada Gambar 2-2, dua kejadian A dan B digambarkan dalam 3 kondisi berbeda. Kondisi (a) kejadian A adalah bagian (subset) dari kejadian B, kondisi (b) kejadian A beririsan dengan kejadian B, dan kondisi (c) kejadian A terpisah dari kejadian B. S B A S A B S A B (a) (b) (c) Gambar Diagram Venn 1.3.1 Independent Events (Kejadian Bebas) Dua kejadian A dan B dikatakan bebas satu sama lain jika munculnya kejadian A tidak akan berpengaruh terhadap peluang munculnya kejadian B. Kejadian pelemparan dadu dan koin secara bersama-sama adalah dua buah kejadian bebas dimana angka berapapun yang muncul pada pelemparan dadu tidak akan berpengaruh terhadap peluang munculnya gambar muka atau belakang pada koin. 6

Pada evaluasi keandalan sistem rekayasa, banyak kejadian yang diasumsikan bebas satu sama lain mengingat sulitnya menentukan tingkat ketergantungan antara dua kejadian tersebut. 2 pompa yang terhubung dalam rangkaian paralel kerap diasumsikan bebas satu sama lain mengingat kegagalan pada pompa pertama dianggap tidak akan mempengaruhi peluang kegagalan pompa kedua. 1.3.2 Mutually exclusive events Dua kejadian dikatakan mutually exclusive saru sama lain jika kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersama-sama (lihat Gambar 2-2.c). Kejadian mendapat gambar muka dan kejadian mendapat gambar belakang pada satu kali pelemparan sebuah koin adalah dua kejadian yang mutually exclusive. 1.3.3 Complementary events B A Dua kejadian A dan B dikatakan complementary, jika kejadian A tidak muncul, maka kejadian B pasti muncul. Gambar Complementary events Diagran Venn diatas juga mendasari munculnya persamaan 2-5 dimana: P ( A) + B) = 1 atau B) = A)... Dimana A) adalah peluang kejadian A tidak terjadi (kejadian B terjadi). Dari sini terlihat bahwa kejadian complementary adalah pasti kejadian mutually exclusive, namun tidak berlaku sebaliknya. 1.3.4 Conditional events Conditional events (kejadian bersyarat) adalah kejadian yang terjadi jika kejadian lainnya sudah terjadi. Peluang kejadian A terjadi jika kejadian B sudah terjadi ditulis dengan A B) (dibaca kejadian A jika B), atau peluang bersayarat A jika B telah terjadi. Nilai ini dapat dihitung dengan didasarkan pada diagram Venn Gambar 2-2b. A B) = jumlah kejadian A dan B dapat muncul bersama jumlah kejadian B dapat muncul... 7

S Kejadian A dan B yang muncul bersama-sama A B digambarkan pada daerah arsiran seperti pada gambar sebelah dan diwakili oleh persamaan (A B) dimana: P A I B S ( A I B) = dan ( B) Dengan demikian P = B S S. A I B) A I B) A B) = = S. B) B)... A I B) B A) = A)... 1.3.5 Simultaneous occurence events Simultaneous occurence events A dan B adalah kejadian munculnya A AND B, seperti terlihat pada Gambar 2-2b. Secara matematis sering dikenal dengan istilah irisan dan dituliskan dengan: (A I B) ( A AND B) atau (AB) Pada kasus ini terdapat dua kondisi dimana kejadian A dan B muncul bersamasama. Kondisi pertama adalah jika A dan B adalah 2 kejadian bebas (independent) satu sama lain dan kejadian yang kedua adalah jika 2 kejadian tersebut tergantung satu sama lain (dependent). Jika kejadian A dan B bebas satu sama lain, maka peluang munculnya kejadian A tidak dipengaruhi oleh kejadian B demikian pula sebaliknya. Dengan demikian: P ( A B) = A) dan B A) = B) Sehinga, dari persamaan 2.8 didapat bahwa ( A I B) A). B) P =... 8

Jika terdapat n kejadian bebas maka: P Contoh 2.10: n 1 Ai ) i= 1 ( A I A2 I... I Ai I... I An ) =... Seorang mekanik melakukan seleksi terhadap 2 pompa sentrifugal A dan B untuk dipakai pada sistem pendingin sebuah motor disel. Peluang mendapat pompa A yang baik adalah 0.9 dan peluang mendapat pompa B yang baik adalah 0.95. Dengan demikian peluang mendapat pompa A dan B yang baik adalah: A baik B baik) = A baik) B baik) = 0.9 x 0.95 = 0.855 Jika kejadian A dan B tergantung satu sama lain (dependent), maka: ( A I B) = B A). A) A B). B) P =... Contoh 2.11: Sebuah kartu diambil dari sebuah kotak remi dengan isi 52 buah lembar kartu. Jika A adalah kejadian munculnya/mendapat kartu merah dan kejadian B adalah kejadian mendapat kartu bergambar (jack, queen, king). Maka berapakah peluang munculnya kejadian A dan B secara bersama-sama? Peluang muncul kejadian A adalah peluang mendapat kartu berwarna merah yaitu A) = 26/52. Peluang muncul kejadian B jika kejadian A sudah terjadi adalah Peluang mendapat kartu bergambar dari semua kartu berwarna merah yang besarnya adalah B A)=6/26. Sehingga ( A I B) = B A). A) A B). B) P = =26/52. 6/26 = 6/52. 1.3.6 Occurence of at least one of two events Kejadian ini diekspresikan dengan (A U B) ( A OR B) atau (A + B) dan secara matematis dikenal dengan konsep union (gabungan) serta dapat ditunjukkan oleh diagram Ven berikut: 9

S A B Pada kasus ini terdapat 3 (tiga) kondisi yakni, dua kejadian A dan B bebas satu sama lain tetapi tidak mutually exclusive, dua kejadian A dan B bebas satu sama lain dan mutually exclusive, serta dua kejadian A dan B adalah bukan dua kejadian bebas. Jika A dan B adalah dua kejadian bebas tetapi bukan mutually exclusive, maka dengan metode analitis didapat bahwa: A U B) = A OR B OR BOTH A AND B) = 1-NOT A and NOT B) = 1 A I B) = 1- A ). B) = 1 (1 A)).(1 B)) = A) + B) A).B)... Pada diagram Ven diatas terlihat bahwa daerah yang dilingkup oleh A U B) adalah gabungan kedua daerah A dan B, atau: P (A U B) =A) + B) AWB)... Mengingat A dan B adalah dua kejadian bebas, maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi A) + B) A).B)... Yang sama hasilnya dengan persamaan 2.12 Contoh 2.12: Contoh 2.10 dapat diselesaikan dengan: A baik U B baik ) = A baik )+B baik )-A baik ).B baik ) = 0.9 + 0.95 0.9x0.95 = 0.995 Jika A dan B adalah dua kejadian bebas dan mutually exclusive, maka P (A U B) =A) + B) dimana pada gambar diagram Ven, kejadian A dan kejadian B tidak beririsan (terlepas). Jika terdapat sejumlah n kejadian bebas dan mutuallu exclisive maka 10

n 1 A2 A3... An ) = A i ) i 1 A U U... Jika A dan B adalah dua tidak kejadian (dependent) maka didapat A U B) = A) + B) A B) = A) + B) B A). A) = A) + B) A B). B) 1.3.7 Aplikasi Kejadian Bersayarat B1 A B2 Jika kejadian A tergantung dari lebih satu kejadian yakni B 1, B 2, B 3 hingga B n, dan semua kejadian syarat tersebuat adalah mutually B3 B4 exclusive maka didapat bahwa: A BB1) = A B 1 ).B 1B ) A BB2) = A B 2 ).B 2B ) A BBn) = A B n ).B nb ) Selanjutnya jika kita gabungkan: n i 1 n A I B ) = A B ). B )... i i 1 Jika sisi sebelah kiri dari persamaan diatas dijumlahkan, maka: n i 1 i i A I B ) A)... n i 1 i = A) = A B ). )... i B i Contoh 2.13: 11

Alat penukar panas diproduksi di dua pabrik. Pabrik I membuat 70% dari total produk dan pabrik ke II membuat 30% dari total produk. Dari pabrik I, 90% produknya memenuhi syarat, dan dari Pabrik II hanya 80% saja yang memenuhi syarat. Tentukan (a) dari 100 penukar panas yang dibuat, berapa persen yang memenuhi syarat (b) jika diambil satu penukar panas dan ternyata memenuhi syarat, berapakan peluang penukar panas tersebut di produksi di pabrik II? Jika kejadian A adalah kejadian mendapat penukar panas yang memenuhi syarat, kejadian B 1 adalah kejadian penukar panas di produksi di pabrik I dan kejadian BB2 menunjukkan bahwa penukar panas di produksi di pabrik II, maka A BB1) = 0.9 A B 2B ) = 0.8 B 1 ) = 0.7 B 2 ) = 0.3 n A) = A B ). ) = 0.9x0.7 + 0.8x0.3 = 0.87 i 1 i B i Dengan demikian jika 100 penukar panas di produksi, maka jumlah yang memenuhi syarat adalah 100 x 0.87 = 87 buah penukar panas. (a) Peluang mendapat penukar panas yang memenuhi syarat dan diproduksi di pabrik II adalah B 2 A) dimana: B A I B A) = A) ) B = ). A B A) ) 0.3x0.8 = 0.87 2 2 2 2 = 0.276 Dengan demikian peluang komponen yang memenuhi syarat tersebut di produksi di pabrik II adalah 0.276 1.4 Probability Distributions Agar teori probabilitas dapat diaplikasikan, maka salah satu syarat adalah kejadian harus terjadi secara acak. Sebagai contoh: laju kegagalan komponen, waktu yang dibutuhkan pada proses perawatan, kekuatan material adalah beberapa variabel yang secara acak dan memiliki variasi terhadap waktu dan ruang. Variabel acak dikelompokkan menjadi dua jenis yakni discrete random variable dan continuous random variabel. 12

Variable acak diskrit (discrete random variable) adalah variabel yang memiliki nilai diskrit, atau nilai yang dapat dihitung. Sebagai contoh, eksperimen pelemparan koin adalah variabel diskrit mengingat hanya ada dua kejadian diskrit yang dimungkinkan yakni kejadian mendapat sisi muka dan belakang. Begitu pula dengan eksperimen pelemparan dadu. Variabel acak kontinyu (continuous random variabel) memiliki jumlah yang tidak terbatas (infinite number of values). Ini tidak berarti bahwa rentang yang dimungkinkan mencakup - hingga +, akan tetapi nilai yang dimungkinkan tidak terbatas. Sebagai contoh; arus listrik pada satu kondisi memiliki rentang arus sebesar 5A hingga 10A. 1.4.1 Density and distribution function Data empiris yang telah dikumpulkan melalui eksperimen khusus untuk selanjutnya akan dianalisa untuk dapat dijadikan informasi berkaitan dengan tahapan evaluasi selanjutnya. Hal ini dapat dilakukan dengan mengevaluasi probability density function (PDF) atau probability distribution function (cummulative - CDF). Beberapa properti dasar dari PDF dan CDF akan diberikan melalui sebuah kasus berikut: Contoh 2.14: Sebuah mesin potong memotong pelat baja dengan panjang sekitar 6 m. Setelah terpotong, bagian quality control melakukan evaluasi terhadap 20 lembar sample pelat yang telah terpotong dan menemukan hasil pengukuran sebagai berikut: 5.97 5.97 5.98 5.98 5.98 5.99 5.99 5.99 5.99 5.99 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.01 6.01 6.02 6.02 6.02 Hasil pengukuran ini selanjutnya bisa di plot sebagai distribusi frekuensi seperti terlihat pada gambar dibawah ini. 13

5 0.25 4 0.20 frekuensi 3 2 1 0.15 0.10 0.05 Probabilitas 5.97 5.98 5.99 6.00 6.01 6.02 panjang, m Gambar 2-x Distribusi frekuensi dan probability mass functiont Cara lain untuk menyajikan data serupa adalah dengan mengelompokkan data jika jumlah data relatif besar seperti terlihat pada gambar berikut. 10 0.5 9 8 0.4 7 6 0.3 frekuensi 5 4 3 0.2 Probabilitas 2 0.1 1 5.97 5.98 5.99 6.00 6.01 6.02 panjang, m Gambar 2-x Distribusi frekuensi dan probability mass functiont data kelompok 14

1.0 0.9 0.8 Commulative probability 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 5.97 5.98 5.99 6.00 6.01 6.02 panjang, m 15

1.0 0.9 0.8 Commulative probability 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 5.97 5.98 5.99 6.00 6.01 6.02 panjang, m 1.0 0.9 0.8 Commulative probability 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 5.97 5.98 5.99 6.00 6.01 6.02 panjang, m 1.0 Commulative probability, F(x) 0 x 16

1.0 Probability density function, f(x) 0 x 17

18