Statistik Deskriptif DEVIASI RATA-RATA / RATA-RATA SIMPANGAN Mean Deviasi atau Average Deviation atau Deviasi Mean dari deviasi nilai-nilai dari Mean dalam suatu distribusi, diambil nilainya yang absolut. Dalam hal ini, deviasi absolut adalah nilai-nilai yang positif. Secara aritmetik mean deviasi dapat didefinisikan sebagai mean dari harga mutlak dari deviasi nilai-nilai individual. Selanjutnya untuk dapat menyelesaikan pekerjaan mencari mean deviasi, pertama-tama haruslah ditemukan mean. Kemudian ditentukan berapa besarnya penyimpangan tiap-tiap dari nilai mean. Dalam statistika, deviasi diberi simbol dengan huruf-huruf kecil seperti x, y, z, d, dan sebagainya. Deviasi rata-rata (rata-rata simpangan) data yang belum dikelompokkan Berbeda dengan tiga cara sebelumnya, maka deviasi rata-rata melibatkan seluruh data observasi dalam penghitungannya. Disini, variabilitas diukur dengan membandingkan data observasi secara individual dengan pusat datanya (biasanya rata-rata). Perhitungan dilakukan dengan mencari rata-rata beda absolut antara data observasi secara individual dengan pusat datanya. Apabila tersedia data X1, X2,, Xi,, Xn, dan rata-rata, maka simpangan terhadap ratarata hitung diartikan sebagai berikut: (X1- ), (X2 - ),, (Xi- ),, (Xn- ). Deviasi rata-rata (MD)/ Rata-rata simpangan adalah rata-rata hitung dari nilai absolut simpangan yang dirumuskan: MD X n i X, MD : Deviasi Rata-rata; X i: data ke i ; X : rata-rata, n : jumlah data 2.4. Perhatikan bahwa hasil pengurangan data observasi dengan rata-ratanya berada pada dua tanda garis tegak. Tanda ini menunjukkan bahwa hasil pengurangan tersebut berbentuk absolut /mutlak (senantiasa positif). 10
Ukuran Penyebaran Contoh 2.5 Soal: Berdasarkan data pada contoh 2.2, hitunglah nilai deviasi rata-rata nilai penjualan pada dua kota tersebut? Rata-rata penjualan di Surabaya = = 1.500.000 Rata-rata penjualan di Malang = = 1.500.000 Perhitungan Deviasi Rata-rata (MD) adalah sebagai berikut Tabel 2.3 Perhitungan MD Nilai penjualan di kota Surabaya Xi 900.000,00 1.500.000,00 600.000,00 1.100.000,00 1.500.000,00 400.000,00 2.200.000,00 1.500.000,00 700.000,00 1.400.000,00 1.500.000,00 100.000,00 1.600.000,00 1.500.000,00 100.000,00 1.800.000,00 1.500.000,00 300.000,00 Jumlah 2.200.000,00 Deviasi rata-rata (MD) = = 366.667 Tabel 2.4 Perhitungan MD Nilai penjualan di kota Malang Xi 1.600.000,00 1.500.000,00 100.000,00 1.400.000,00 1.500.000,00 100.000,00 1.500.000,00 1.500.000,00 0 1.500.000,00 1.500.000,00 0 1.700.000,00 1.500.000,00 200.000,00 1.300.000,00 1.500.000,00 200.000,00 Jumlah 600.000,00 Deviasi rata-rata (MD) = = 100.000 11
Statistik Deskriptif Jika Deviasi rata-rata dihitung berdasarkan Simpangan terhadap median diartikan sebagai berikut: (X1 med), (X2 med), (Xn med), Jadi, simpangan terhadap median dirumuskan: MD n X i med MD : Deviasi Rata-rata, Xi: data ke i med: nilai median, n: ukuran data 2.5 Contoh 2.5 Soal Cari rata-rata simpangan, baik terhadap rata-rata hitung maupun terhadap median dari data berikut X1 = 30, X2 = 40, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 70 Deviasi rata-rata data yang telah dikelompokkan Seperti halnya ketika menentukan ukuran pusat data yang telah dikelompokkan, diperlukan penaksir data observasi (asli) dari kelas-kelas data yang terdapat dalam sebuah distribusi frekuensi, yaitu titik-ttitik tengah masing-masing kelas.bila nilai-nilai observasi sudah dikelompokkan ke dalam bentuk distribusi frekuensi, maka deviasi rata-ratanya dirumuskan sebagai berikut: Untuk n (sampel) Deviasi rata rata MD X i X f i n 2.6 Xi : Titik tengah kelas ke-i fi : Frekuensi kelas ke-i : Rata-rata sampel n : Ukuran sampel 12 2.7
Ukuran Penyebaran Untuk N (populasil) Deviasi rata rata MD = Xi : Titik tengah kelas ke-i µx : Rata-rata populasi fi : Frekuensi kelas ke-i N : Ukuran populasi X i μ x f i N Contoh 2.6 Soal: Berikut adalah data yang sudah dikelompokkan dari harga saham pilihan pada bulan Juni 2007 di BEJ. Hitunglah Deviasi rata-rata tersebut! Tabel 2.5 Data harga saham Kelas ke- Interval Jumlah Frekuensi (F) 1 160 303 2 2 304 447 5 3 448 591 9 4 592 735 3 5 736 878 1 dari data a. Menghitung nilai tengah kelas. Untuk memperoleh nilai tengah data (X), maka nilai tengah kelas dikalikan dengan frekuensi masing-masing kelas (fx). Jumlah dari perkalian antara frekuensi dengan nilai tengah kelas dibagi dengan jumlah data mendapatkan nilai rata-rata hitung data berkelompok ( fx/n) b. Langkah kedua menghitung deviasi setiap kelas dengan cara mengurangkan nilai tengah kelas dengan rata-rata hitungnya ( Xi - ) c. Langkah ketiga mengalikan frekuensi dengan deviasi setiap kelas f ( Xi - d. Menjumlahkan hasil perkalian frekuensi dengan deviasi setiap kelas kemudian membaginya dengan jumlah data (n). Langkah langkah disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut: 13
Statistik Deskriptif Tabel 2.6 Interval Titik f f.xi Xi - f Xi - tengah (Xi) 160 303 231,5 2 463,0-259,2 518,4 304 447 375,5 5 1.877,5-115,2 576,0 448 591 519,5 9 4.677,5 28,8 259,2 592 735 663,5 3 1.990,0 172,8 518,4 736 878 807,0 1 807,0 316,3 316,3 20 a. b. f f - Contoh 2.7 Soal: Upah untuk 50 Orang karyawan P.T ABADI (dalam Ribuan Rp/hari), datanya telah diolah dalam tabel sebagai berikut : Tabel 2.7 Perhitungan Deviasi Rata-Rata Nilai Upah Karyawan Upah x 130-134,5 4 538 30,6 139 122,4 140-144,5 6 867 20,6 149 123,6 150-154,5 8 1236 10,6 159 84,8 160-164,5 12 1974 0,6 169 7,2 170-174,5 9 1570,5 9,4 179 84,6 180-184,5 7 1291,5 19,4 189 135,8 190-194,5 4 778 29,4 199 117,6 50 8255 120,6 676 14
Ukuran Penyebaran X n fixi i 1 = = 165,1, MD= n i 1 f i = = 13,2 Hasil penghitungan variabilitas dengan menggunakan deviasi ratarata ini tentu saja lebih baik daripada menggunakan jangkauan (range), inter-kuartil, dan deviasi-kuartil, karena penghitungan deviasi melibatkan seluruh data observasi. Akan tetapi deviasi rata-rata masih memiliki kelemahan, untuk memperoleh nilai-nilai beda data obervasi dengan ratarata yang positif, metode ini menganggap sama antara nilai-nilai negatif dan positif. Secara matematik, kedua sifat bilangan tersebut baik positif maupun negatif harus dibedakan dengan tegas. Keunggulan mean deviasi terhadap pengukuran variabilitas dengan range tersebut adalah dipenuhinya definisi tentang variabilitas oleh mean deviasi itu, yaitu penyebaran nilai-nilai yang ditinjau dari tendensi sentral. Akan tetapi mean deviasi mempunyai satu kelemahan pokok, karena cara perhitungannya mengabaikan tanda-tanda plus dan minus. Oleh karena itu mean deviasi tidak dapat dikenai perhitungan-perhitungan matematik yang tetap mempertahankan nilai-nilai plus dan minus. Untuk mengatasi kelemahan itu, maka timbullah cara pengukuran variabilitas lain, yaitu standard deviasi 15