Pengantar Peluang Eksperimen Pengantar Peluang Bab IV Aturan Menghitung Kombinasi Permutasi Peluang Eksperimen Peluang adalah pengukuran numerik kemungkinan suatu kejadian terjadi Eksperimen Keluaran Eksperimen Melempar koin Kepala, Ekor Memilih item untuk inspeksi Cacat, sempurna Peluang: 0 1.0 0.5 Melakukan promosi Pembelian, tidak ada pembelian Melempar sebuah dadu 1,, 3,, 5, 6 Terjadi atau tidak terjadi?
Ruang Sampel Ruang Sampel untuk sebuah percobaan adalah himpunan semua keluaran yang mungkin terjadi dari percobaan Untuk melempar koin: S={kepala, ekor} Inspeksi sebuah item: S={rusak, tidak rusak} Melempar sebuah dadu: S={1,,3,,5,6} Menghitung Keluaran Percobaan Untuk mendapatkan peluang, maka kita harus mengetahui berapa banyak keluaran yang mungkin dari sebuah percobaan. Tiga cara yang biasa digunakan adalah: 1. Aturan Menghitung untuk percobaan multi langkah. Aturan Menghitung untuk Kombinasi 3. Aturan Menghitung untuk Permutasi Aturan Menghitung untuk Percobaan Multi Langkah Jika sebuah percobaan dapat dijabarkan sebagai barisan dari k-langkah dengan kemungkinan keluaran sebanyak n 1 untuk langkah pertama, n untuk langkah kedua,.., dan n k untuk langkah ke k, maka banyaknya keluaran percobaan adalah: (n 1 )(n )...( n k ) Contoh: Investasi tambang Adam telah berinvestasi pada dua saham, Markley Oil dan Collins Mining. Adam ingin mengetahui kemungkinan hasil saham setelah tiga bulan berinvestasi, kemungkinan keluarannya adalah: Investasi untung atau rugi dalam 3 bulan (dlm $000) Markley Oil Collins Mining 10 8 5 0 0
Aturan Menghitung untuk Percobaan Multi Langkah Investasi yang dilakukan Adam bisa dipandang sebagai percobaan dua langkah karena melibatkan dua saham dengan n1 = dan n = Markley Oil: n 1 = Collins Mining: n = Banyaknya keluaran yg mungkin adl: n 1 n = ()() = 8 Tree Diagram Markley Oil Collins Mining (Langkah 1) (Langkah ) Untung 10 Untung 5 Impas 0 Keluaran Percobaan (10, 8) Untung $18,000 (10, -) Untung $8,000 (5, 8) Untung $13,000 (5, -) Untung $3,000 (0, 8) Untung $8,000 (0, -) Rugi $,000 (-0, 8) Rugi $1,000 (-0, - Rugi $,000 Aturan Menghitung Untuk Kombinasi Aturan untuk menghitung keluaran percobaan disaat n obyek diambil dari sebuah himpunan yg beranggota N (N n) Contoh: Quality Control Dua item dari 5 item diambil secara acak untuk diinspeksi. Ada berapa banyak cara mengambil dari 5 item tersebut? Rumus Kombinasi dimana dan 0!=1 C n N = ( N n ) = N! n! ( N n)! N!=N ( N 1)( N )... ()(1) n!=n( n 1)(n )...( )(1) C 5 = ( 5 ) = 5!! (5 )! =10 Jika item-item tersebut dinamakan A, B, C, D, E. Maka kombinasi item-item yang bisa dipilih adalah: AB AC AD AE BC BD BE CD CE dan DE
Lottery Aturan dari sebuah lottery adalah mengambil secara acak 6 bilangan bulat dari 7 bilangan bulat. Berapa banyak kemungkinan keluaran yang mungkin? Berapa peluang anda menang jika anda membeli satu buah tiket? C 6 7 = 7! 6! ( 7 6 )! (7 ) ( 6 ) ( 5 ) ( ) (3 ) ( ) = =10,737,537 (6 ) (5 ) ( ) (3 ) () (1) Aturan Menghitung untuk Permutasi Terkadang, urutan dari pemilihan merupakan hal yang harus diperhatikan. Permutasi adalah cara menghitung banyaknya keluaran yang mungkin jika n obyek diambil dari N obyek dengan urutan tertentu P n N =n! ( N n ) = N! ( N n )! Contoh: Quality Control Jika item diambil satu terlebih dahulu dan diperiksa, baru setelah itu diambil satu lagi, ada berapa kemungkinan keluaran yang mungkin? P 5 == 5! (5 )! =5! 3! Cara mengambilnya adalah: (5)( )(3 )()(1 ) = 10 (3)( )(1) 6 =0 AB BA AC CA AD DA AE EA BC CB BD DB BE EB CD DC CE EC DE dan ED Peluang, syarat dan aturan Jika E i adl keluaran ke-i dari sebuah percobaan, dan P(E i ) adl peluang terjadinya, maka: 0 P( E i ) 1 for all i Jumlahan peluang dari semua kemungkinan yang mungkin terjadi adalah 1. Untuk percobaan dgn keluaran sebanyak n: P( E 1 )+P( E )+...+P( E n )=1
Metode Klasik Peluang didefinisikan sama karena keluarannya mempunyai kemungkinan yang sama Contoh: Melempar Dadu 1 1/6 =.1667 1/6 =.1667 3 1/6 =.1667 1/6 =.1667 P( E i )= 1 n 5 1/6 =.1667 6 1/6 =.1667 ΣP(E i ) 1.00 Metode Frekuensi Relatif Metode ini mengindikasikan bahwa data yang tersedia merupakan perkirakan proporsi keluaran percobaan yang mungkin terjadi jika dilakukan berulang-ulang sebanyak tak hingga percobaan Contoh: Persewaan Mobil Metode Frekuensi Relatif Sebuah persewaan mobil, mencatat banyaknya mobil dan banyaknya hari tiap mobil tersewa selama 0 hari seperti tabel dibawah. Bagaimana cara mendapatkan peluangnya? Metode ini merupakan penyelesaian dari metode klasik jika diketahui bahwa keluaran yang mungkin terjadi tidak mempunyai kemungkinan terjadi yang sama. Banyak mobil disewa 0 1 3 Banyak hari 6 18 10
Metode Frekuensi Relatif Metode Subyektif Berdasarkan data yang lalu Banyak mobil disewa 0 1 3 Banyak hari 6 18 10 0 Peluang.10.15.5.5.05 1.00 /0 Berdasarkan percobaan-percobaan sebelumnya???, berdasarkan pengalaman