I FINISI FINISI N PNGGUNNNY ILM PMUKTIN Mendifinisikan suatu kata adalah penting, sebab (1) definisi-definisi tersebut dibentuk untuk keperluan manusia dalam kaitannya dengan diskusi, dan (2) setiap definisi yang telah ditetapkan, tidak dapat diubah oleh sembarang salah satu unsurnya yang tidak memperhitungkan yang lain dalam kelompoknya. Sifat-sifat definisi yang harus ada sebagai berikut. (1) Kata yang didefinisikan harus ditempatkan dalam kelasnya; pertama-tama kelas yang menunjukkan kumpulan (koleksi) dan memiliki kesamaan sifat. (2) Perlu menunjukkannya bilamana kata yang didefinisikan tersebut berbeda dari yang lain didalam kelasnya; hal ini dapat dilakukan dengan menambahkan frase (phrase). (3) kata-kata didalam definisi harus sesederhana mungkin, daripada yang didefinisikan. (4) Suatu definisi harus dapat dibalikkan. Menurut jenisnya, definisi terbagi atas definisi demonstratif dan konotatif.. Sedangkan untuk kata yang lebih sederhana, selanjutnya tidak didefinisikan seluruhnya. Kata yang dimaksud seperti kata pertama, istilah primitif, atau unsur dasar istilah, lebih sederhana disebut istilah yang tidak didefinisikan. Pengertian Pangkal (Undefined Terms) Terdapat 5 pengertian pangkal dalam geometri sebagai dasar untuk mendefinisikan semua geometri lainnya dalam geometri uclid, yaitu: (1) Titik (Point) (2) Garis (Line) (3) Terletak pada (Lie on); misalnya dua titik terletak pada sebuah garis (4) iantara (etween); misalnya diantara titik-titik dan (5) Kongruen (ongruent) 1
Istilah titik tidak didefinisikan. Meskipun kita tidak mungkin untuk mendefinisikan, tetapi dapat dicoba untuk membuat arti atau penjelasannya. Hal ini dapat dikerjakan dengan mendaftar beberapa sifat atau ciri-cirinya dengan tanpa melakukan klasifikasi. Suatu kata yang tidak dapat didefinisikan, kata tersebut dapat dijelaskan. Perbedaan menjelaskan (deskripsi) dengan mendefinisikan, dapat diterangkan sebagai berikut. (1) ila suatu kata tersebut didefinisikan, berarti mengklasifikasikan. (2) ila suatu kata tersebut dijelaskan, sifat-sifat kata itu diketahui tanpa mengklasifikasikan. eberapa ide tentang sifat-sifat titik yang dipilih, dicoba untuk menggambarkan titik dengan suatu ujung jarum. Hasilnya kita dapatkan bahwa: titik tidak mempunyai panjang atau lebar tetapi menunjukkan letak. Istilah garis tidak didefinisikan. Sifat-sifat garis dapat disebutkan sebagai: garis tidak mempunyai lebar tetapi dapat diperpanjang sejauh yang dikehendaki pada kedua ujungnya. Istilah himpunan (set) tidak didefinisikan. Namun jika dicoba untuk menjelaskan, artinya antara lain sebagai berikut: himpunan adalah sesuatu yang diartikan (well defied) sebagai kumpulan (collection). Penekanan kata diartikan (well defied), menerangkan sebagai berikut. (1) Jika unsur-unsur himpunan tersebut diketahui, kita dapat menerangkan bagaimana mendapatkannya. (2) engan diketahui unsur unsur himpunan tersebut, dapat didaftar anggotaanggotanya. Istilah diantaranya (betweenness) tidak didefinisikan. digambarkan sebagai berikut. Hal ini dapat Pada garis ini, diantara dan. Urutan tidak menjadikan masalah; misalkan dapat diurutkan sebagai,, atau,,. Jika ketiga titik tersebut tidak segaris, tidak dapat dikatakan diantara dan. Secara umum, jika tiga titik pada garis, maka ada satu dan hanya satu dari urutan dibawah ini benar. 2
,,,,,, Setiap struktur geometri memiliki pembatasan-pembatasan. Misalnya dalam geometri uclid setiap dua titik yang berbeda dapat dilukis satu dan hanya satu garis ; sehingga dalam geometri uclid tidak bisa diterima bahwa melalui dua titik dapat dilukis dua buah garis, sebagaimana Gambar 1.1 berikut ini. P Q Gambar 1.1 mpat Postulat Pertama uclid s Postulat uclid-1. Untuk setiap titik P dan setiap titik Q yang tidak sama P Q terdapat secara unik sebuah garis yang melalui P dan Q. Secara informal postulat ini dapat dinyatakan dengan dua buah titik menentukan secara unik sebuah garis. Selanjutnya garis yang melalui titik-titik P dan Q dinotasikan dengan PQ. Untuk memulai postulat kedua, dapat dibuat definisi pertama efinisi 1. iberikan dua buah titik, yaitu dan. Segmen adalah himpunan titik, titik, dan titik-titik yang terletak pada garis dan diantara dan (Gambar 1.2). Titik dan titik dikatakan titik-titik akhir (endpoints) dari segmen. Selanjutnya notasi digunakan untuk segmen. Segmen Garis Gambar 1.2 Postulat uclid-2. Untuk setiap segmen dan untuk setiap segmen terdapat secara unik titik sehingga diantara dan, dan segmen kongruen dengan segmen (Gambar 1.3). 3
Gambar 1.3 Postulat ini kadang-kadang secara informal dapat dikatakah bahwa: Sembarang segmen dapat diperluas oleh sebuah segmen yang kongruen dengan segmen yang diberikan. alam postulat ini telah digunakan pengertian pangkal tentang kongruen. Selanjutnya notasi digunakan untuk mengungkapkan kongruen dengan. Untuk melanjutkan ke postulat 3, diawali dulu mengenalkan definisi yang lain sebagai berikut. efinisi 2. iberikan dua titik O dan. Himpunan dari semua titik P sehingga segmen OP kongruen dengan segmen O disebut lingkaran dengan O sebagai pusat, dan setiap segmen OP disebut dengan jari-jari lingkaran. iduga bahwa pada pembicaraan sebelumnya disebutkan bahwa yang tepat pada lingkaran yang terdefinisi. O O, sehingga adalah juga titik Postulat uclid-3. Untuk setiap titik O dan setiap titik ( O ), terdapat sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari O (Gambar 1.4). P O Gambar 1.4 Lingkaran dengan pusat O dan jari-jari O efinisi 3. Sinar adalah himpunan titik pada garis : titik-titik yang dimiliki segmen dan semua titik pada garis sehingga diantara dan. Sinar 4
dikatakan memancar dari titik vertek (emanate from the vertek ) yang merupakan bagian dari garis (Gambar 1.5). Gambar 1.5 Sinar efinisi 4. Sinar dan bertolak belakang jika keduanya sinar berbeda, memancar dari titik yang sama, dan keduanya bagian dari garis yang sama (Gambar 1.6). Gambar 1.6 Sinar erlawanan efinisi 4. Sebuah sudut dengan vertek adalah sebuah titik dengan dua sinar berbeda dan tidak berlawanan yakni dan (sisi dari sudut) yang memancar dari (Gambar 1.7). Gambar 1.7 Sudut dengan vertek Untuk sudut di atas, dinotasikan dengan,, atau. 5
efinisi 5. Jika dan memiliki sisi bersama yakni sinar dan sisi-sisi lainnya dan merupakan dua sinar berlawanan, maka sudut yang satu suplemen dari sudut lainnya, atau dua sudut yang saling bersuplemen (Gambar 1.8). efinisi 6. Sebuah sudut Gambar 1.8 Sudut saling bersuplemen yang bersuplemen yang kongruen (Gambar 1.9). adalah sudut siku-siku jika memiliki sebuah sudut Gambar 1.9 Sudut siku-siku Postulat uclid-4. Untuk semua sudut siku-siku kongruen satu sama lain. Soal-soal 1. ari definisi-definisi berikut, manakah yang merupakan definisi yang tidak lengkap?. a. angku ialah sesuatu yang digunakan untuk landasan menulis. b. uku sejarah adalah buku yang berisi sejarah. c. Jika persegi panjang merupakan bujur sangkar, maka keempat sisinya sama. 2. Tulislah definisi no. 1 tersebut, sehingga memenuhi sifat definisi. 3. efinisikan istilsh-istilah berikut : a. sepatu lari. b. biografi. c. kertas tulis. 4. pakah mungkin dalam anda mempelajari geomerti akan mendefinisikan istilah primitif? 6
5. 5 1 2 2 4 4 3 a. Namakan suatu garis pada 1, dengan 2 cara berbeda. b. Namakan suatu garis pada 3, dengan 2 cara berbeda c. Namakan suatu garis pada 4, dengan 6 cara berbeda d. Namakan suatu garis pada 5, dengan 6 cara berbeda e. Namakan suatu garis pada 1, dengan 2 cara berbeda f. Namakan suatu garis pada 2, dengan 2 cara berbeda 6. 2 3 1 a. Namakan suatu sudut pada 1, dengan 2 cara berbeda. b. Namakan suatu sudut pada 2, dengan 2 cara berbeda c. Namakan suatu sudut pada 3, dengan 4 cara berbeda d. Namakan suatu sudut dengan sisi-sisi dan. e. Namakan suatu sudut dengan sisi-sisi dan. f. Namakan dua sisi pada <, <, <. 7 engan menggunakan sifat-sifat definisi konotatif, terangkan mengapa suatu garis tidak dapat didefinisikan sebagai garis adalah himpunan titik-titik. 7
8. Pada diagram dibawah ini, bagaimanakah mungkin untuk dapatnya menjelaskan bahwa dalam batas-batas dan, : 9. Ilustrasikan bagaimana mungkin dua sinar garis yang mempunyai sebuah titik potong, tetapi gabungannya tidak berupa suatu sudut. 10. ilamanakah suatu definisi itu berbeda dengan diskripsi. 11. a adalah himpunan titik-titik sebuah garis, b himpunan titik-titik garis kedua, dan c himpunan titik-titik garis ketiga ; a. gambarlah diagram yang menunjukkan bahwa perpotongan a da b adalah suatu elemen pada c gambarlah diagaram yang menunjukkan bahwa perpotongan b dan c adalah tiga unsur yang berbeda. Tes Formatif 1. Perhatikan illustrasi 1. 0 m ( 1) 50. Find: a. m ( 4), m( 3) b. m ( 1) m( 2) m( 3) 1 2 4 3 Ilustrasi 1 c. m ( 2) m( 4) 2. Perhatikan ilustrasi 2 segmen dan berpotongan, 0 m ( 1) m( 3) m( 4) 180 and 6 5 100 2 1 m ( 3) m( 4), m( 4) m( 5). Tentukan m ( 1), m( 2), m( 3), m( 6) 4 Ilustrasi 2 3. Perhatikan ilustrasi 3, m( 1) and m( 2) berkomplemen. uktikan m ( 3) dan m ( 4) berkomplemen. 3 1 Ilustrasi 3 2 4 8
4. Perhatikan ilustrasi 4. Manakah pernyataan berikut yang benar. ila salah, jelaskan alasannya. a. Sinar GF Memiliki titik pangkal di G. 30 0 90 0 G 60 0 90 0 60 0 30 0 F b. Segmen garis G tidak memiliki titik akhir. c. Garis memiliki 3 titik akhir. Ilustrasi 4 d. F tegak lurus. e. G FG f. G garis bagi G 5. Perhatikan ilustrasi 5. adalah sebuah garis. a. Sebutkan sudut siku-siku. b. Sebutkan sudut-sudut lancip. c. Sebutkan pasangan sudut-sudut yang 40 0 4 3 1 2 Illustration 5 bersisian. d. Jelaskan mengapa sudut 3 bukan sudut bertolak belakang dengan sudut 1 pada ilustrasi 5. 6. Perhatikan ilustrasi 6. Jika dan, buktikan. Ilustrasi 6 9
7. Pada ilustrasi 7. Jika titik tengah, titik tengah, dan, buktikan. Ilustrasi 7 8. Pada ilustrasi 8, l, m, dan n adalah garis. a. Tentukan m( 1), m( 2), m( 3), dan n m ( 4) m b. pakah 2 dan 4 berkomplemen? c. pakah 3 dan 4 bersuplemen? l 30 0 3 90 0 1 4 2 Ilustrasi 8 9. alam ilustrasi 9, manakah pernyataan berikut yang benar, dan manakah yang salah. a. dan adalah pasangan 30 0 40 0 sudut bersisian. Illustrasi 9 b. dan adalah pasangan sudut berkomplemen. 10. alam ilustrasi 10, Klasifikasikan pernyataan berikut benar atau salah. a. dan berkomplemen. b. dan sudut bersisian. 40 0 10 0 Ilustrasi 10 10
II FINISI FINISI P PRISTILHN GOMTRI FINISI 1 : Ruas garis adalah himpunan titik-titik dari garis yang memuat titik dan titik dan semua titik diantara titik dan titik. Titik Pada titik,, dan titik-titik diantaranya, dikatakan meliputi segmen. dan keduanya disebut titik akhir dari segmen. Segmen diberi tanda, sedangkan garisnya diberi tanda FINISI 2 : sinar adalah himpunan titik titik yang merupakan gabungan dari titik pangkal sinar garis dan semua titik pada sisi yang sama terhadap titik pangkalnya. Gambar disamping menggambarkan sinar dan dinota- sikan. FINISI 3 : sinar sinar yang berlawanan adalah dua sinar berlainan pada garis yang sama dan mempunyai titik pangkal yang sama. F Pada gambar disamping, dan dua sinar yang berlawanan, yaitu keduanya berlainan sinar, pada garis yang sama ( F ) dan masing-masing mempunyai titik pangkal. FINISI 4 : sudut adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dua sinar dan kedua titik pangkalnya berserikat. 11
disebut verteks (titik sudut; pada gambar dapat dituliskan sudut-sudutnya < atau <. Karena yang dipelajari disini berorientasi pada himpunan (set), maka yang dimaksud = merupakan persamaan dua himpunan, yaitu masing-masing unsurnya sama dan hanya nama saja yang berbeda. Selanjutnya yang dimaksud ukuran dua garis = yang ditulis : u = u berarti menyatakan kesamaan bilangan panjangnya. Ukuran suatu sudut dapat dijelaskan sebagai berikut : R 50 180 0 V Pada gambar, titik-titik di setengah lingkaran berkorespondensi 1-1 dengan bilangan real 0-180; sehingga RV dikatakan sudut 50 derajat (50 0 ). erajat merupakan satuan untuk ukuran sudut. FINISI 5: Titik tengah dari luas garis adalah suatu titik ada ruas garis itu sedemikian membentuk dua ruas garis yang sama ukurannya. U = U karena titik tengah. 12
FINISI 6: Garis bagi ( disektor) dari luas garis adalah garis yang memotong ruas garis pada titik tengahnya. bisektor, maka titik tengah, karena titik tengah, maka u = u. FINISI 7-12 : 7. Sudut siku-siku adalah suatu sudut dari 90 0. 8 Sudut lurus adalah suatu sudut dari 180 0. 9. Sudut lancip adalah suatu sudut yang ukurannya lebih besar 0 dan lebih kecil 90. 10. Sudut tumpul adalah suatu sudut yang ukurannya lebih besar 90 dan lebih kecil 180. 11. ua sudut saling berkomplemenadalah suatu sudut yang jumlah ukurannya 90. 12. ua sudut saling bersuplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya 180. FINISI 13 : ua garis saling tegak lurus adalah dua garis yang saling berpotongan membentuk sudut siku-siku. FINISI 14 : Garis bagi suatu sudut adalah suatu sinar sedemikian hingga titik pangkalnya titik sudut itu dan membentuk dua sudut yang sama ukurannya dengan kaki sudut itu. 13
Tes Formatif 1. idasarkan atas sifat suatu garis, terangkan mengapa suatu garis tidak mungkin memiliki titik tengah. 2. Jika pada diagram berikut : U = U = U, maka dan disebut titiktitik triseksi. oba anda definisikan tentang titik-titik ttriseksi suatu segmen garis. 3. ari diagram soal no. 2 ; jika U = U = U, maka dan disebut trisektor-trisektor. oba anda definisikan tentang trisektor-trisektor suatu segmen garis. 4. a. pakah kkomplemen dari sebarang sudut : 15 0, 48 0, 1 0, 5 1/2 0, X 0 b. pakah suplemen dari sebarang sudut yang berukuran : 126, 57, 38, 129, + 5. ari diagram soal no.2 ; jika u< =u = u<, maka dan adalah trisektor-trisektor <. oba anda definisikan tentang trisektortrisektor suatu sudut. 6. a. pa arti dari ukuran suatu garis? b. Mungkinkah untuk segmen garis yang sama akan mempunyai ukuran yang berbeda jelaskan jawaban anda. 7. Jika VR dan VS adalah subset RS. maka dua kemungkinan apakah yang terjadi, mengenai ukuran <RVS?. 8. Jika < adalah lancip, apa yang dapat dikatakan mengenai ukuran suplemennya? 14
9. a. Jika, implikasinya bahwa titik tengah. Jelaskan jawaban anda b. Jika < <, implikasinya bahwa merupakan bisektor <. Jelaskan jawaban anda!. 10. Pada keadaan yang khusus yang mungkin, daapatkah dituliskan suatu kesamaan =?. 11 a. erapakah ukuran sudut yang lima kallinya sama besarnya dengan komplemennya b. Ukuran suatu sudut adalah 15 lebih besar dari dua kali suplemennya. ilamanakah ukuran sudut tersebut. 12. efinisi sutu sudut refleks adalah suatu sudut refleks adalah suatu sudut yang ukurannya lebih besar 180 dan lebih kecil 360. a. pakah kebalikan definisi tersebut? b. Terangkan mengapa sudut refleks tidak dimasukkan / dibicarakan dalam geometri bidang?. c. ilamanakah sudut refleks tersebut diklasifikasikan. d. ilamanakah sudut refleks dibedakan dari anggota-anggota yang lain pada kelasnya?. e. ilamanakah suplemennya sudut refleks?. 15
III SUMSI-SUMSI N PNGGUNNNY ILM PMUKTIN POSTULT GOMTRI 1-4 : 1. Sebuah garis dapat diperpanjang sejauh-jauhnya dari kedua ujungnya. 2. Untuk setiap dua titik pada garis, ada titik ketiga yang terletak diantaranya. 3. da korespondensi 1-1 antara titik-titik pada garis dengan bilangan-bilangan real. 4. da satu dan hanya satu garis yang melalui dua titik. POSTULT 5-11 : 5. Jika a=b dan c=d, maka a+c = b+d. 6. Jika a=b dan c=d, maka a-c = b-d. 7. Jika a=b dan c=d, maka a.c = b.d 8. Jika a=b dan c=d, maka a/c = b/d 9. a=a ; sifat refleksif. 10. Jika a=b, maka b=a ; sifat simetri. 11. Jika a=b dan b=c, maka a=c ; sifat transitif. FINISI 15 : ruas-ruas garis yang kongruen adalah ruas-ruas garis yang mempunyai ukuran sama. FINISI 16 : sudut-sudut yang kongruen adalah sudut-sudut yang mempunyai ukuran sama. Notasi kongruensi adalah. Perlu diingat bahwa jika u = u, maka. Tetapi jika, belum tentu = ; yaitu dua ruas garis yang berlainan tetapi ukurannya sama. 16
FINISI 17 : Jumlah dari dua ruas garis dan adalah jika dan hanya jika diantara dan ; dapat dilambangkan + =. FINISI 18 : terletak diantara ruas garis dan yang berlainan jika dan hanya jika diantara dan ; dilambangkan : - = FINISI 19 : sinar P terletak diantara sinar P dan P berarti u<p + u<p =u< P. gar berlaku konsep terletak diantara, ditegaskan bahwa ukuran sembarang sudut haruslah : 180. FINISI 20 : Jumlah dari dua sudut, < dan <, adalah < jika dan hanya jika diantara dan ; dapat dilambangkan : < + < = <. FINISI 21 : < terletak diantara dua sudut, < dan < jika dan hanya jika diantara dan ; dapat dilambangkan : < - < = <. Tes Formatif 1. engan cara apakah suatu postulat terbedakan dari kepercayaan?. 2. Jika titik-titik, dan unsur-unsur RS, maka kondisi apakah sehingga + =?. 3 Jika dan berpotongan pada X dan Y, maka kesimpulan apakah yang dapat ditarik dari hal tersebut?. 4 Jawablah masing-masing pertanyaan dibawah ini dalam batas gambar yang ada. Jika jawabannya tidak mungkin, cukup tuliskan tak terjawab, (setelah berupa soal bilangan). 17
e F a. + =? b. + =? c + =? d. - F =? e - =? f. <F = <F =? g < + < =? h. <F = <F =? 5. Suatu ukuran sudut P = 60 dan u <P = 20. a. Jika P diantara P dan P, maka u <P =? b. P P dan P, u <P =? 18
IV TORM TORM SRHN POSTULT 12 : pernyataan kondisional : jika P, maka q dan menyatakan kebenaran P : diketahui P ( antesenden ) berakibat benarnya q : jadi q ( konsekuen ). ontoh : jika, maka <1 dan <2 masing masing sudut siku siku. iketahui :. Jadi <1 dan <2 masing masing sudut siku siku. TORM 1 : Jika dua sudut siku siku, maka keduanya kongruen. ara pembuktian : iketahui : < sudut siku -siku. < sudut siku -siku. uktikan : < < ukti : Pernyataan lasan 1. < siku-siku 1. iketahui 2. u < = 90 2. ef. sudut siku-siku 3. < siku-siku 3. iketahui 4. u < = 90 4. Sama no. 2 5. u < = u < 5. Sifat transitif dari kasamaan 6. < < 6. ef. kongruensi atatan : sudut dapat dinamakan dengan sebuah huruf saja; yaitu dengan titik sudutnya. 19
TORM 2 : jika dua sudut adalah sudut lurus, maka keduanya kongruen. (ukti seperti Teorema 1). TORM 3 : jika dua sudut saling bersuplemen pada sudut yang sama, maka Pembuktian : keduanya kongruen. iketahui : < suplemen pada < < suplemen pada < uktikan : < < ukti : Pernyataan 1. < suplemen dari < 2. u < + u < = 180 3. u < = 180 u < 4. < suplemen dari < 5. u < + u < = 180 6. u < 180 u < 7. u < u < 8. < < lasan 1. iketahui 2. ef. dua sudut yang bersuplemen 3. Postulat pengurangan dari kesamaan 4. iketahui 5. Sama No. 2 6. Sama No. 2 7. Sifat Transitif 8. ef. Kongruensi sudut TORM 4 : Jika dua sudut saling berkomplemen pada sudut yang sama, maka kedua sudut itu kongruen. (ukti seperti teorema 3). TORM 5 : Jika dua sudut saling bersuplemen terhadap dua sudut yang kongruen, maka dua sudut itu kongruen. 20
Pembuktian : 1 H 2 F G iketahui : < bersuplemen terhadap < 1. < FH bersuplemen terhadap < 2. < 1 < 2. uktikan : < < FH. ukti : Pernyataan 1. < bersuplemen terhadap < 1 2. < sudut lurus 3. < FH bersuplemen terhadap < 2 4. < FG adalah sudut lurus 5. < < FG 6. < 1 < 2 7. < < FH lasan (isilah kolom ini sebagai latihan) TORM 6 : jika dua sudut berkomplemen terhadap dua sudut yang kongruen, maka keduanya kongruen (ukti seperti Teorema 5). FINISI 22 : dua sudut bertolak belakang adalah dua sudut sedemikian rupa hingga kaki kaki dari dutu itu yang satu merupakan sinar yang berlawanan dengan kaki- kaki sudut yang lain. 21
TORM 7 : jika dua sudut saling bertolak belakang, maka keduanya kongruen. (ukti sebagai latihan). TORM 8 : jika a = x dan b = y sedangkan x = y, maka a = b. (ukti sebagai latihan). TORM 8a : jika dua ruas garis kongruen dengan dua ruas garis yang kongruen, maka keduanya kongruen. (ukti sebagai latihan). TORM 8b : jika dua sudut kongruen dengan dua sudut yang kongruen. (ukti sebagai latihan). Tes Formatif Pada masing-masing soal berikut, pernyataan yang dilengkapi alasan adalah benar atau tidak benar. Jelaskan jawaban anda untuk setiap kejadian ini : 1. Jika hujan, kita tidak pergi ke dansa. Sekarang tidak hujan. Jadi kita pergi ke dansa. 2. Jika, maka <1 dan <2 sudut siku-siku. iketahui. Jadi <1 dan <2 adalah sudut siku-siku. 3. Jika suatu sinar adalah bisektor sebuah sudut, maka terbertuk dua sudut yang kongruen. iketahui bisektor <. Jadi dua sudut kongruen terbenuk. 4. Jika a = b daan c = d, maka a+c = b+d. a b dan c d. jadi a+c b+d Setelah anda mengetahui tentang kebenaran pernyataan bersyarat, bagaimanakah pernyataan-pernyataan berikut. 22
pakah benar?. jika tidak, benarkah alasannya, nyatakan mengapa hal tersebut perlu diberikan. 5. Jika suatu substansi adalah asam, mengubah litmus biru kertas merah. Subtstansi mengubah limus biru kertas merah, 6. Jika x = -2, maka x 2 =4. Tetapi x 2 =4 7. jika sustu sudut adalah kongruen terhadap sudut yang sama, maka mempunyai ukuran-ukuran yang sama. < dan < tidak kongruen terhadap sudut yang sama. 8., jika adalah titik tengah. adalah titik tengah 9. <1 bukan sudut siku-siku, jika tidak tegak lurus terhadap tegak lurus. 10. ua sudut adalah bersuplemen, jika jumlah ukuran-ukurannya adalah 180. u < + u < = 180. 11. x adalah unsur, jika x adalah unsur. x adalah unsur. 13. Jika perpotongan dan adalah himpunan kosong, maka dan bukan himpunan yang kosong. 23
V KONGRUNSI SGITIG FINISI 23 : Poligon adalah gabungan himpunan titik-titik P 1, P 2, P 3,... P n - 1, P n dengan ruas-ruas garis : P 1 P 2, P 2 P 3,.... P n - 1 P n, P n P 1. sedemikian rupa hingga jika dua sebarang dari ruas garis berpotongan, bertitik potong salah satu dari titik P 1, P 2, P 3,..., P n - 1, P n dan tidak ada titik lain. sudut P 1 P 2 P 3 P 1, P 2, P 3,... P n - 1, P n disebut titik-titik P n P 4 Poligon, sedangkan P 1 P 2, P 2 P 3,.... P n - P n-1 P 5 1 P n disebut sisi- sisi poligon. Suatu poligon dinamakan dengan titik- titik sudutnya secara berurutan dengan cara searah jam. jarum jam, atau berlawan arah jarum ontoh :, atau, dan sebagainya. FINISI 24 : korespodensi sudut-sudut dari dua poligon adalah dua sudut dengan titik sudut dengan titik sudutnya berpasangan, yang merupakan korespondensi unsur-unsur yang bersesuaian diantara titik sudut-titik sudut dua poligon. FINISI 25 : korespodensi sisi-sisi dari dua poligon adalah dua sisi dengan titik ujung-titik ujungnya berpasangan yang merupakan korespodensi unsur-unsur yang bersesuaian diantara titik sudut-titik sudut dari dua poligon. 24
FINISI 26 : dua poligon adalah kongruen, jika ada korespodensi 1-1 diantara titiktitiknya sedemikian rupa hingga: (1) semua sisi yang korespondensi kongruen, dan (2) semua sudut yang korespondensi kongruen. FINISI 27 : segitiga adalah poligon yang bersisi tiga. POSTULT 13 : dua segitiga adalah kongruen, jika ada suatu korespondensi diantara titik sudut-titik sudutnya sedemikianrupa hingga dua sisi dan sudut apitnya dari sebuah segitiga kongruen terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga kedua. ( sd s sd ). F F POSTULT 14 : dua segitiga adalah kongruen, jika ada suatu korespondensi diantara titik sudut-titik sudutnya sedemikianrupa hingga dua sudut dan sisi apitnya dari sebuah segitiga kongruen terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga yang kedua. ( sd s sd ). F F 25
ontoh : iketahui : ; uktikan : ukti : Pernyataan 1. 2. < sudut siku-siku 3. 4. < sudut siku-siku 5. < < 6. 7. < < 8. 9. lasan 1. iketahui 2. ef. 2 garis saling 3. iketahui 4. Sama No. 2 5. ef. 6. iketahui 7. Sifat refleksif 8. ( sd s sd ) 9. kibat dari kongruensi dua segitiga Spesifikasi segitiga : 1. erdasarkan sisinya : Sebutan/Nama : a. 3 sisinya kongruen segitiga sama sisi b. 2 sisinya kongruen segitiga sama kaki c. tidak ada sisinya yangg kongruen segitiga sembarang 2. erdasarkan sudutnya : Sebutan/Nama : a. 3 sudutnya sama segitiga sama sudut b. 1 sudutnya siku siku segitiga siku- siku c. 1 sudut tumpul segitiga tumpul d. 3 sudutnya lancip segitiga lancip 26
FINISI 28 31 tentang : segitiga sama sudut, segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, dan segitiga sama kaki. (sebagai latihan). sama kaki : alas segitiga, < dan < sudut sudut alas segitiga, dan kaki-kaki segitiga. < dibentuk oleh sisi-sisi yang kongruen, yang disebut : sudut verteks. FINISI 32 : Interior dari sebuah sudut adalajh suatu himpunan titik-titik sedemikian rupa hingga jika sebuah sinar yang titik pangkalnya adalah verteks sudut tersebut, ditarik melalui sembarang sebuah titik pada himpunan titik-titik itu, sinar akan terletak diantara sisi-sisi sudut tersebut. FINISI 32 : Interior pada suatu segitiga adalah himpunan titik-titik yang merupakan persekutuan sembarang dua interior-interior sudut segitiga tersebut. POSTULT 15 ( KSIOM PSH ) : suatu garis berinteraksi dengan salah satu sisi segitiga dan masuk pada daerah interiornya, pasti berinteraksi dengan sisi yang kedua dari segitiga tersebut. POSTULT 16 : setiap sudut mempunyai bisektor. TORM 9 : jika dua sisi suatu segitiga adalah kongruen, maka sudut-sudut dihadapan kedua sisi tersebut kongruen. (ukti sebagai latihan). TORM 10 : jika dua sudut suatu segitiga adalah kongruen, maka sisi-sisinya dihadapan kedua sudut tersebut kongruen. 27
P Q iketahui : < <. uktikan : ukti : Pernyataan 1. < < 2. P dan Q masing masing bisektor lasan 1. iketahui 2. Setiap sudut mempunyai bisektor < dan < 3. P dan Q pasti memotong sisi dan masing masing pada dan 4. < < 5. 6. 7. 8. < < 9. < < 10. < < 11. 12. 3. ksioma Pasch 4. kongruensi sudut sudut yang kongruen 5. Sifat reflektif. 6. ( sd s sd ) 7. ef. kongruensi poligon 8. ef. kongruensi poligon 9. ua sudut bersuplemen dengan dua sudut yang kongruen. 10. Sama No. 4 11. ( sd s sd ) 12. Sama No.7 28
FINISI 33 : garis tinggi pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang ditarik dari sembarang verteks ( titik sudut ), tegak lurus terhadap sisi dihadapannya (dapat diperpanjang, jika diperlukan) pada segitiga tersebut. FINISI 34 : garis berat pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang ditarik dari sembarang verteks ke titik tengah sisi dihadapan sudut tadi. FINISI 35 : garis bagi pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang membagi dua sama ukurannya sembarang sudut pada segitiga dan berujung pada sisi hadapannya. TORM 11 : jika dua segitiga adalah kongruen terhadap segitiga yang sama, maka kedua saling kongruen, ( uktikan dengan memakai postulat s sd s ). POSTULT 17 : jika suatu titik P terletak pada suatu garis yang diketahui, adalah mungkin untuk mendapatkan titik yang kedua Q pada garis tersebut sedemikian rupa sehingga PQ akan kongruen pada sembarang segmen garis yang diketahui. POSTULT 17 : jika suatu titik diketahui terletak pada suatu garis, ada suatu sudut yang titik sudutnya adalah titik tadi dan satu pada sisinya terhadap garis tadi adalah suatu sinar sedemikianrupa hingga sudut tersebut kongruen dengan sembarang sudut yang diketahui. Penjelasan : engan garis l yang diketahui dan titik P pada l, adalah mungkin untuk mendapatkan titik kedua Q pada l, sehingga PQ kongruen dengan segmen yang diketahui. P Q l 29
Titik P pada garis PQ adalah mungkin untuk mendapattkan suatu sudut (misalnya ) RPQ sedemikinrupa hingga kongruen dengan yang diketahui. R P Q TORM 12 : dua segitiga adalah kongruen jika ada suatu korespondensi diantara titik sudut-titik sudutnya, ketiga sisi pada sebuah segitiga adalah kongruen terhadap sisi-sisi yang korespondensi pada segitiga yang lain. ( s s s ) I. F II. S F R 30
iketahui : F F uktikan : F ukti : Pernyataan 1. Titik pada, terdapat < S < F 2. Memperluas S sehingga R 3. R garis yang melalui titik R dan 4. R garis yang melalui titik R dan 5. F 6. F R 7. R F 8. F 9. Jadi R 10. <R < R 11. 12. R 13. Jadi R 14. <R < R 15. < < R 16. F R 17. F lasan 1. Postulat 17 2. Postulat garis 3. Postulat garis 4. Idem 5. iketahui 6. (s-sd-s) 7. ef.kongruensi poligon 8. iketahui 9. Sifat transitif kongruensi 10. Teorema segitiga sama kaki 11. iketahui 12. Sama no. 2 13. Sama no. 9 14. Sama no. 10 15. Postulat (+) 16. ( s ds s ) 17. Teorema 11 31
FINISI 36 : suatu lingkaran adalah suatu himpunan titik sedemikian rupa hingga segmen garis-segmen garis yang ditarik dari masing-masing titik pada himpunan tersebut ke titik tetap adalah kongruen. atatan : notasi lingkaran sebagai O, dan titik tetap Lingkaran disebut titik pusat. Menurut gambar, segmen-segmen : gambar,, tersebut lingkaran. kongruen dengan, maka FINISI 37 : jari-jari suatu lingkaran adalah segmen garis yang ditarik dari sebarang titik pada lingkaran tersebut ke pusat lingkaran. TORM 13 : semua jari-jari pada suatu lingkaran adalah kongruen. (bukti sebagai latihan). TORM 14 : dua segitiga siku-siku kongruen, jika ada suatu korespondensi diantara titik sudut-titik suduttnya, hipotenosa dan satu kaki siku-siku segitiga yang satu kongruen dengan yang berkorespondensi pada segi tiga yang lain. (bukti seperti teorema 12). apatkah anda membuktikan bahwa dalam segitiga dengan, maka < <?. iketahui :,. uktikan : < < 32
Soal-soal 1. Jika < <, < <F dan < <, maka tulislah korespondensi poligon-poligon dan F, dan bahwa korespondensi sudut-sudutnya kongruen. 2. Jika RS WY, ST YX dan TR XW, maka tulislah korespondensi diantara poligon-poligon RST dan XYW, dengan korespondensi sisi sisinya kongruen. pakah komentar anda selanjutnya?. a. Gambarlah suatu diagram untuk poligon-poligon RST dan XYW, dengan korespondensi sisi-sisinya kongruen. b. Gambarlah poligon untuk dan F dari soal no. 1, sudut sudutnya adalah kongruen. pakah korespondensi sisi-sisinya juga kongruen?. Jika sudut yang berkorespondensi kongruen, dapatkah poligon tersebut digambarkan bahwa korespondensi sisi-sisinya tidak kongruen?. 3. Pada poligon berikut, tulislah suatu korespondensi sisi-sisinya yang kongruen, sebagai tertanda diagram. a. pakah sudut-sudut korespondensinya dalam korespondensi juga kongruen?. b. Jika sisi-sisi korespondensinya dalam berkorespondensi diantra dua poligon adalah kongruen, maka sudut-sudut korespondensinya juga kongruen?. H F G 4. Suatu korespondensi RSTW merupakan kongruensi korespondensi diantara titik sudut-titik sudut poligon dan RSTW. pakah akibat dari pernyataan tersebut?. 5. alam hal apakah sehingga mungkin dua segitiga kongruen menurut dua perbedaan kongruensi-kongruensi?. 6. Jika ada suatu korespondensi diantra titik sudut-titk sudut dua segitiga siku-siku sedemikian hingga sebuah kaki dan sudut lancip dengan titik sudutnya, 33
merupakan suatu titik ujung kaki dalam segitiga suku-siku yang satu adalah kongruen terhadap bagian-bagian yang berkorespondensi segitiga siku-siku yang lain; mungkinkah kedua segitiga tersebut kongruen?, jelaskan jawabannya!. 7. Jiak definisi kongruensi poligon-poligon digunakan untuk membuktikan dua segitiga menjadi kongruen, apakah dapat ditunjukkan kebenarannya?. 8. Kongklusi apakah yang dapat ditarik, jika garis berat dan garis tinggi terhadap suatu sisi segitiga, merupakan suatu segmen garis yang sama?. 9. Jika segitiga kongruen dengan segitiga FG, maka < <. Kerjakan implikasi ini, jika FG, maka maka < <. 10. engan memakai metode yang sama terhadap hal yang diketahui pada soal no.5, buktikan suatu teorema bahwa : Jika dua sudut suatu segitiga kongruen, maka sisi-sisi dihadapan sudut tersebut adalah kongruen. Tes Formatif 1. Perhatikan ilustrasi 1. iketahui:,. uktikan:. Illustration 1 2. Perhatikan ilustrasi 1. iketahui:,. uktikan:. F Illustration 2 3. Perhatikan ilustrasi 3. iketahui: bisektor di titik O. 1 O 2 Illustration 3 34
. uktikan:. 4. Perhatikan ilustrasi 4. iketahui:,. uktikan:. 5. Perhatikan ilustrasi 5. Illustration 4 iketahui: Segitiga sama sisi. titik tengan. titik tengan. F F titik tengan. uktikan: F,, dan F Illustration 5 adalah segitiga-segitiga yang kongruen, dan F adalah sama sisi. 6. Perhatikan ilustrasi 6. iketahui: Segitiga sama kaki dan dengan alas. uktikan: 1 2. 1 2 Illustration 6 7. Perhatikan ilustrasi 7. iketahui: Segitiga sama kaki F dengan alas. Segitiga sama kaki G dengan alas. 35 1 F G H 2 3 4 Illustration 7
Segitiga sama kaki H dengan alas. uktikan: adalah sama kaki. 8. Perhatikan ilustrasi 8. iketahui: Titik-titik,, dan segaris., 2. 1 F G uktikan: F sama kaki. 2 Illustration 8 9. Perhatikan ilustrasi 9. iketahui: sama kaki dengan alas... 1 2. uktikan: 3 4. 2 1 3 4 Illustration 9 10. Perhatikan ilustrasi 10. iketahui: sama kaki dengan alas. m( ) m( F ) m( ). 3 4 F F. Illustration 10 36
uktikan: 3 4. 37
VI KTGKLURUSN POSTULT 18 : Jika dua bilangan adalah sama, suatu sibsutitusi pada yang satu ke yang lain diperbolehkan. FINISI 38 : Sinar P terletak diantara sinar-sinar P dan P berarti bahwa u <P + <P = u <P. (Seperti definisi 19). P FINISI 39 : Sudut-sudut dan < berserikat, adalah dus sudut sedemikian hingga keduanya mempunyai titik sudut persekutuan dan sisi persekutuan yang terletak diantara dan. I II Pada gambar I : adalah titik sudut serikatnya dan sisi serikat yang terletak diantara dan. Pada gambar II : adalah titik sudut serikatnya. < merupakan sudut tumpul dan < merupakan sudut lancip, sedemikian hingga u < + u < = u <. Jadi dapat disebut sisi serikat yang terletak 38
diantara dan. obalah jika < dan < masing-masing sudut tumpul, apa kesimpulan yang anda peroleh untuk selanjutnya?. (Lihat definisi 19) TORM 15: Jika dua garis berpotongan membentuk sudut sudut bersisihan yang kongruen, maka dua garis tersebut adalah tegak lurus. (ukti anda coba). FINISI 40: Jarak antara dua bangun geometri adalah ukuran garis hubung yang terpendek diantaranya. POSTULT 19: Garis hubung diantara dua titik adalah segmen garis adalah yang dibentuk oleh dua titik tersebut. TORM 16 : Jika dua titik masing-masing berjarak sama dari titik ujung-titik ujung suatu segmen garis, maka perpotongan garis persekutuannya merupakan bisektor tegak lurus segmen garis tadi. (ukti anda coba). TORM 17 : Jika suatu titik terletak pada bisektor tegak lurus segmen garis, maka titik tersebut berjarak sama dari titik ujung- titik ujung segmen garis. (ukti sebagai latihan, dan ujilah konversnya) POSTULT 20 : Setiap segmen memiliki sebuah titik tengah. TORM 18 : Jika sebuah titik berjarak sama dari titik ujung-titik ujung sebuah segmen garis, maka titik tersebut terletak pada bisektor tegak lurus segmen garis tersebut. (ukti anda coba). 39
Tes Formatif Pada masing-masing soal ini gambarlah diagramnya, kemudian tulislah yang diketahui dan kesimpulannya, dan lengkapi buktinya : 1. iketahui : segitiga sama kaki dengan bisektor sudut pada titik sudutnya. uktikan : bisektor sudut pada titik sudutnya adalah tegak lurus terhadap alas. 2. iketahui : segitiga samakaki dengan dua garis berat terhadap kaki-kaki. uktikan : garis yang ditarik dari titik sudut terhadap titik potong dua garis berat akan tegak lurus terhadap alas. 3. iketahui : ua lingkaran berpotongan, sebua ssegmen garis persekutuan dengan titik persekutuannya, dan sebuah garis ditarik dari sebuah lingkkaran ke titik tengah segmen tersebut. uktikan : garis tersebut akan melalui pusat lingkaran yang lain. Pada masing-masing proposisi berikut, gambarlah diagramnya dan tulislah diketahui, buktikan, dan bukti. 4. Jika pada poligon bersisi empat sisi-sisi berhadapannya kongruen, maka garis persekutuan titik sudut-titik sudut yang berhadapan membagi poligon kedalam dua segitiga kongruen. 5. Jika suatu titik berjarak sama dari titik sudut-titik sudut suatu sudut alas segitiga samakaki, maka titik tersebut terletak pada bisektor sudut segitiga. 40
VII UKTI TIK LNGSUNG N KSJJRN POSTULT 21 : jika a, b dan c adalah bilangan-bilangan positif dengan a = b + c, maka a > b dan a > c. ontoh : 1. Jika 5 = 2 + 3, maka 5 > 2 dan 5 > 3 2. iketahui:, u didefinisikan sebagai u = u +. Konsekuensi dari postulat tersebut, berarti u > u dan u + u. POSTULT 22 : keseluruhan adalah lebih besar dari sembarang bagian- bagiannya. FINISI 46 : sudut eksterior (luar) pada suatu poligon adalah suatu sudut yang bersisihan dan bersuplemen terhadap suatu poligon tersebut. 6 7 5 4 Sudut 4,5,6,7 disebut sudut eksterior ( luar ) pada segitiga dan sudut 1,2,3 adalah sudut interior ( dalam ) segitiga. Sudut 4,5 disebut sudut eksterior tidak bersisihan terhadap sudut 2 dan 3 TORM 22 :ukuran suatu sudut eksterior segitiga adalah lebih besar dari ukuran sudut- sudut interiornya yang tidak bersisihan. 41
Penjelasannya : karena sudut interior yang tidak bersisihan dari sebuah eksterior segitiga sejumlah dua, maka yang dibuktikan dari hubungan tersebut, haruslah sebanyak dua. P M 1 iketahui: segitiga, sudut eksterior. uktikan : (1) u u. (dibuktikan) (3) u u. (bukti sebagai latihan) ukti: Pernyataan lasan 1. M titik tengah 1. Setiap segmen mempunyai titik tengah 2. M garis yang ditarik melalui dan M 2. Postulat: sebarang 2 titik menentukan garis 3. Perpanjangan M terdapat P sedemikian hingga MP M 4. P adalah garis yang melalui P dan 5. M M 6. M MP 7. M MP 8. 1 9. u = u 1 10. u u 1 11. Jadi u u 3. Sebarang garis dapat diperpanjang sekehendak dari kedua ujung 4.? 5. efinisi titik tengah 6.? 7.? 8. efinisi: kongruensi dari poligon 9.? 10.? 11.? 42
POSTULT 23 : Salah satu p atau p adalah benar, tidak ada kemungkinan lain (Hukum penyisihan jalan tengah). POSTULT 24 : p dan p kedua-duanya tidak dapat benar pada saat yang sama (Hukum kontradiksi). ksistensi p dan p, kedua-duanya dalam suatu pembuktian dikatakan tidak konsistennya sifat kelogisan (logical inconsistency), dan untuk hukum kontradiksi kedua-duanya tidak dapat benar pada saat yang sama. Sehingga dalam pembuktian perlu adanya eleminasi. asar kerja dari pembuktian dengan eleminasi, dapat diterangkan sebagai berikut. 1. Ujilah konklusi yang ditanyakan tersebut, selanjutnya untuk dibuktikan. 2. entuklah pernyataan yang merupakan kontradiksi dari konklusinya. 3. Setelah menerima pernyataan dari (2), dapatkan pernyataan-pernyataan baru yang mengarah pada adanya kontradiksi terhadap salah satu menurut: (a) adanya data yang diketahui, (b) asumsi, (c) definisi, atau (d) teorema. 4. Konklusi selanjutnya dapat dibenarkan setelah mengeleminasi satu dari dua kemungkinan yang ada, dan satu sisanya pastilah benar. Pembuktian ini disebut ukti tidak langsung. Sedangkan penggunaan pembuktian ini, contohnya dapat dipelajari seperti dibawah ini. a. iketahui: F 43
, F, F uktikan : ukti: Misal, maka dengan diketahuinya dan F berakibat F. Sehingga F (menurut definisi kongruensi dua poligon). Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa tidak F. Kesimpulannya pemisalan bahwa mengarah pada adanya tidak konsistennya sifat kelogisan, yaitu F dan tidak F. Menurut hukum kontradiksi, keduanya tidak daapat dibenarkan pada saat yang sama. Jika tidak F harus benar (menurut data yang diketahui), maka juga lebih salah lagi. Jadi F pastilah salah dan tidak yang harus benar dari satu-satunya pilihan yang mungkin. b. Suatu segitiga tidak dapat mempunyai lebih dari satu sudut tumpul. iketahui: Segitiga uktikan : dan tidak keduanya sudut tumpul. 44
ukti: Misal diterima kemungkinan bahwa dan keduanya sudut tumpul. dan adalah sudut-sudut yang bersuplemen, jumlahnya merupakan sudut lurus. Sedangkan adalah sudut tumpul yang ukurannya 90 o, pastilah sudut lancip yang ukurannya 90 o. engan demikian u tidak lebih dari u. Hal ini kontradiksi dengan teorema bahwa ukuran sudut pada eksterior segitiga adalah lebih dari sudutsudut interiornya yang tidak bersisihan. Kesimpulannya, permisalan bahwa dan keduanya tumpul mengarah pada tidak konsistennya sifat kelogisan, yaitu u tidak lebih dari u dan u u. Menurut hukum kontradiksi keduanya tidak dapat dibenarkan pada saat yang sama. Jika u u harus yang benar (menurut teorema), maka u tidak lebih dari u pastilah salah. Jadi untuk pernyataan bahwa dan keduanya sudut tumpul adalah salah. Tentu pernyataan dan tidak keduanya tumpul harus benar, yang merupakan satu-satunya pilihan yang mungkin. c. 1 l iketahui : 1 2 uktikan : garis l tidak berpotongan dengan m 2 m ukti: 2 1 m l P 45
Misal l dan m berpotongan di R, maka terbentuk PQR yang u 1 u 2. Padahal diketahui bahwa u 1 = u 2. Kesimpulannya, pemisalan bahwa l berpotongan dengan m mengarah pada adanya tidak konsistennya sifat kelogisan, yaitu u 1 = u 2 dan u 1 u 2. Menurut hukum kontradiksi keduanya tidak dapat dibenarkan pada saat yang sama. Jika u 1 = u 2 benar (menurut yang diketahui), maka u 1 u 2 harus salah. Sehingga pernyataan bahwa l berpotongan dengan m harus benar, yang merupakan satu-satunya pilihan yang mungkin. FINISI 47: garis-garis yang sejajar adalah dua garis yang sebidang dan tidak berpotongan. Garis a sejajar dengan b dinotasikan dengan a//b. FINISI 48 : suatu transversal adalah suatu garis yang memotong dua garis lain di dua titik yang berlainan. Perhatikan gambar berikut. Q P n l m n adalah transversal garis l dan m, dan perpotongannya di titik yang berbeda yaitu P dan Q. Sebarang titik pada n (menurut pembagian letak), terletak pada daerah eksterior; demikian juga untuk. Sedangkan terletak di daerah interior. Pembagian daerah ini ditentukan oleh pasangan l dan m dari transversal n. 46
FINISI 49 : Sudut-sudut berseberangan dalam (alternate angles) adalah dua sudut yang dibentuk oleh transversal yang memotong dua garis; kedua sudut tersebut pada daerah eksterior di sisi yang berlawanan dari transversal, dan titik sudut titik sudutnya berlainan. FINISI 50 : sudut-sudut berseberangan luar (alternate exterior) adalah dia sudut yang dibentuk oleh transversal yang memotong dua garis; kedua sudut tersebut pada daerah eksterior di sisi yang berlawanan dari transversal, dan titik sudut titik sudutnya berlainan. FINISI 51 : sudut-sudut yang sehadap adalah dua sudut yang dibentuk oleh transversal yang memotong dua garis; sudut-sudut tersebut titik sudut titik sudutnya berlainan, satu terletak di daerah interior dan yang lain pada daerah eksteroir tetapi kedua sudut tersebut sepihak dengan transversal. 4 1 3 2 8 5 7 6 a. Pasangan sudut-sudut yang berseberangan dalam : 8 dan 2, 3 dan 5. b. Pasangan sudut-sudut yang berseberangan luar : 1 dan 7, 4 dan 6. c. Pasangan sudut-sudut sehadap : 4 dan 8, 1 dan 5, 3 dan 7, 2 dan 6. TORM 23 : jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga sudut-sudut berseberangan dalamnya kongruen, maka kedua garis tersebut adalah sejajar. (buktikan sebagai latihan). TORM 24 : jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga sudut-sudut sehadapnya kongruen, maka kedua garis tersebut sejajar. 47
1 l iketahui : 1 2 uktikan : n//m 2 m ukti: Pernyataan 1. 1 2 2. 3 2 3. 1 3 4. Jadi n // m lasan 1. iketahui 2. ua sudut bertolak belakang 3. ua sudut berseberangan dalam 4. Teorema 23 TORM 25 : jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga sudut berseberangan luarnya kongruen, maka kedua garis tersebut sejajar (buktikan sebagai latihan). TORM 26 : jika dua garis keduanya tegak lurus pada garis yang sama, maka kedua garis tersebut sejajar (buktikan sebagai latihan). POSTULT 25 : melalui suatu titik yang tidak terletak pada garis yang diketahui ada satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui tersebut (postulat kesejajaran atau postulat kelima uclid). TORM 27 : jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal, maka sudut-sudut berseberangan dalamnya kongruen (buktikan sebagai latihan). 48
TORM 28 : jika dua garis sejajar dipotong transversal, maka sudut-sudut sehadapnya kongruen. 1 a iketahui : a // b uktikan : 1 2 2 b ukti : Pernyataan 1. a // b 2. 2 3 3. 1 3 4. Jadi 1 2 lasan 1. iketahui 2. Teorema 27 3. ua sudut bertolak belakang 4. Sifat transitif kongruensi TORM 29 : jika dua garis sejajar dipotong oleh transversal, maka sudut-sudut berseberangan luarnya kongruen (buktikan sebagai latihan). TORM 30 : jika suatu garis tegaklurus terhadap salah satu garis yang sejajar, maka garis tersebut juga tegaklurus terhadap yang lain (uktikan sebagai latihan). TORM 31 : melalui titik yang terletak pada garis yang diketahui, tentu ada satu dan hanya satu garis yang tegaklurus terhadap garis tersebut. TORM 32 : dari suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis, ada satu dan hanya satu garis yang tegaklurus terhadap garis yang diketahui tersebut. 49
FINISI 52 : suatu segi empat adalah poligon yang bersisi empat. FINISI 53 : jajar genjang adalah segi empat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar. FINISI 54 : persegi panjang adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya sikusiku. FINISI 55 : persegi adalah persegi panjang dengan dua sisi bersisihannya kongruen. FINISI 56 : belah ketupat adalah jajar genjang dengan dua sisi bersisihannya kongruen. FINISI 57 : trapesium adalah segi empat yang mempunyai satu dan hanya satu pasang sisi sejajar. FINISI 58 : trapesium sama kaki adalah trapezium yang kedua sisi tidak sejajarnya kongruen. TTN : 1. diagonal adalah segmen garis yang ditarik dari sebarang dua sudut yang tidak bersisihan pada poligon. 2. jajar genjang dinotasikan dengan TORM 33 41 buktikan sebagai latihan! TORM 33 : sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang adalah kongruen. 50
TORM 34 : sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang adalah kongruen. TORM 35 : diagonal-diagonal pada jajar genjang saling merupakan bisector terhadap yang lain. TORM 36 : semua sisi-sisi pada persegi adalah kongruen. TORM 37 : semua sisi-sisi pada belah ketupat adalah kongruen. TORM 38 : sudut-sudut alas pada trapezium sama kaki adalah kongruen. TORM 39 : jika sisi-sisi yang berhadapan pada segi empat adalah kongruen, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang. TORM 40 : jika diagonal-diagonal suatu segi empat saling merupakan bisektornya, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang. TORM 41 : jika segi empat mempunyai sepasang sisi-sisi yang kongruen dan sejajar, maka segi empat tersebut merupakan jajar genjang. Soal-soal 1. Pada diagram di bawah, buktikan bahwa : u< > u< (teorema 22). 2. apatkah anda menjelaskan suatu pernyataan bahwa sebuah sudut alas suatu segitiga samakaki tidak dapat berupa sudut tumpul?. 51
3. Seperti no.2,untuk seggitiga siku-siku. 4. adalah poligon bersisi empat. Sedangkan ukuran sudut eksterior sebarang poligon lebih besar daripada ukuran sebarang sudut dalam yang berjauhan. Jelaskan jawaban anda yang terbatas pada poligon. 5. Segitiga samakaki,. lasan diperluas ketitik. isektor sudut dan berpotongan di. apatkah anda menjelaskan dalam sebarang keadaan apapun juga bahwa sudut tidak dapat berupa sudut dari 30 0. 6. Jika suatu sudut segitiga tidak terdapat dua sisi yang kongruen, maka sisi-sisinya dihadapannya tidak kongruen. 7. Jika suatu segitiga tidak terdapatdua sisi yang kongruen, maka bisektor yang tegak lurus satu sisi tidak melalui titik sudut dihadapannya. 8. Suatu sudut hanya mempunyai sebuah bisektor 9. ari suatu titik yang tidak pada suatu garis yang dikketahui, dapat dibuat hanya sebuah garis yang tegak lurus terhadap garis yang diketahui tersebut. 10. Jika dua garis dipotong oleh transversal sedemikian hingga sudut-sudut yang berkorenspondensi kongruen, maka dua garis tersebut adalah pararel ( sejajar ). ( bukti tidak langsung ). 11. Jika bisektor sudut eksterior suatu segitiga adalah sejajar terhadap salah satu sisinya, Mak segitiga tersebut samakaki. 12. engan bukti tidak langsung ; buktikan jika dua garis sejajar terhadap garis yang sama, maka dua garis tersebut sejajar. 52
13. uktikan : da sebuah titik pada lingkaran yang berjarak sama dari dua titik lain pada lingkaran. pakah titik tersebut tunggal? dimana terdapat yang lain?. 14. Jika garis-garis persekutuan titik titik tengah sisi-sisi jajaran genjang membentuk suatu belah ketupat, maka jajaran genjang tersebut merupakan persegi panjang. Jika sepasang sudut yang berhadapan pada trapesium adalah bersuplemen, maka trapesium tersebut samakaki. Tes Formatif 1. Perhatikan ilustrasi 1. iketahui: adalah sama kaki dengan alas. 1 1. uktikan: //. Illustration 1 2. Perhatikan ilustrasi 2. iketahui: Segmen dan bisektor satu sama lain di titik. uktikan: //. Illustration 2 3. Perhatikan ilustrasi 3. iketahui: Illustration 3 53
//. //. uktikan:. 4. Perhatikan ilustrasi 4. iketahui: //. //. adalah titik tengah. uktikan:. 5. Perhatikan ilustrasi 5. iketahui: 1 4 2 6 3 5 Illustration 4. 1 2. 3 4 uktikan: 3 4. 1 2 Illustration 5 6. Perhatikan ilustrasi 6. iketahui:. 1 2. uktikan: bisektor. O Illustration 6 1 2 7. Perhatikan ilustrasi 7. iketahui:. adalah sama kaki dengan l 1 l // l. 1 2 l 2 Illustration 7 54
uktikan: adalah sama kaki. 8. Perhatikan ilustrasi 8. iketahui: dan bisektor satu sama lain. uktikan: // Illustration 8 9. Perhatikan ilustrasi 9. a. If 0 m( ) 70 dan 0 m ( ) 60, tentukan m( ). 0 b. If m( ) 70 dan 0 m ( ) 60, c. If tentukan m ( 1). 0 m( ) 50 dan, 1 Illustration 9 tentukan m( ). d. If 0 m( 1) 135 dan, tentukan m( ). 10. Perhatikan ilustrasi 10. a. Tentukan m ( 2). 1 2 3 b. Tentukan m( ). c. Tentukan m ( 1). d. Tentukan m ( 3). 80 0 70 0 Illustration 10 55
VIII SUUT SUUT P POLIGON TORM 42 : Jumlah ukuran ukuran sudut suatu segitiga sama dengan 180 o. 1 1 2 2 3 iketahui : segitiga uktikan : u < + u < + u < 2 = 180 o ukti : Pernyataan lasan 1. 1 adalah garis yang melalui ( sebagai latihan ) sedemikian hingga 1 // 2. u < 123 = 180 o 3. u < 123 = u < 1 + u < 2 + u < 3 = 180 o 4. < < 1 dan < < 3 5. Jadi u ( < + < + < 2 ) = 180 o TORM 43 : jika dua sudut pada suatu segitiga adalah kongruen terhadap dua sudut segitiga yang kedua, maka sudut yang ketiganya kongruen (buktikan sebagai latihan). F TORM 44 : dua segitiga adalah kongruen jika ada suatu korespodensi diantara titik sudut titik sudutnya sedemikian hingga dua sudut dan satu sisi yang 56
berhadapan pada segitiga yang satu kongruen terhadap bagian bagian yang berkorespodensi dengan segitiga yang lain (bukti sebagai latihan) Ilustrasi : iketahui : < <, F < <, uktikan : F F TORM 45 : Ukuran sudut eksterior suatu segitiga adalah sama dengan jumlah ukuran ukuran sudut dalam yang tidak bersisihan (bukti sebagai latihan). TORM 46 : sudut sudut lancip pada segitiga siku siku adalah bersuplemen (bukti sebagai latihan). FINSI 54 : poligon konveks adalah poligon yang masing masing sudutnya lebih kecil dari sudut lurus. F Poligon Konveks Poligon tidak konveks TORM 47 : jumlah ukuran-ukuran sudut suatu poligon dengan n sisi adalah 180 (n-2) w f P s y iketahui : Poligon..bersisi n uktikan : u< + u< + u< + = 180 (n-2) 57
ukti : Pernyataan 1. P titik interior poligggon.dan P garis yang melalui p dan 2. ibenarkan juga untuk P, P, P,.. 3. u<i + u<w + u<x =180 u<2 + u<y + u<z = 180. *. 4. u<x + u<y = u< u<z + u<v = u< **. 5. u<1 + u<2 + =360 *** 6. u<p +u< + u< = n. 180 7. 360 + u< + u< = n. 180 8. u< + u< = n. 180 360 9. Jadi : u< + u/ = 180 (n-2) = (n 2).180 (untuk latihan) lasan TORM 48 : jumlah ukuran-ukuran sudut eksterior suatu poligon yang dibeeentuk oleh perpanjangan sisi-sisi pada urutan yang sama, sama dengan 360 (bukti sebagai latihan). 58