DIMENSI METRIK GRAF,,,

DIMENSI METRIK GRAF,,, Hindayani Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang email: day_ihda@yahoocoid ABSTRACT The concept of minimum resoling set has proed to be useful and or related to a ariety of fields such as Chemistry, Robotic Naigation, and Combinatorial Search and Optimization So that, this thesis explains the metric dimension of graph,,, Resoling set of a graph is a subset of that its distance representation is distinct to all ertices of graph Resoling set with minimum cardinality is called minimum resoling set, and cardinal states metric dimension of and noted with By drawing the graph, it will be found the resoling set, minimum resoling set and the metric dimension easily After that, formulate those metric dimensions into a theorem This research search for the metric dimension of, 2,,, and its outcome are 2 and 1 1 This research can be continued for determining the metric dimension of another graph, by changing the operation of its graph or partition graph Keywords: distance, resoling set, metric dimension, graph PENDAHULUAN Dimensi Metrik menjadi menarik untuk dibahas karena konsep himpunan pemisah yang mempunyai kardinalitas minimum telah terbukti sangat berguna dan atau terpakai untuk pembahasan pada bidang lain seperti Kimia (berdasarkan jurnal Chartrand, dkk, Boundary ertices in Graph and Poisson and Zhang, The Metric Dimension of unicyclic graphs), Naigasi Robot dan Pencarian (berdasarkan jurnal Khuller, Raghaachari, and Rosenfeld, Landmarks in graphs) dan Optimasi Kombinasi (berdasarkan jurnal Sebo and Tannier, On Metric generator of graphs) (Hernando, dkk, 1) Dimensi Metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pemisah (resoling set) pada Misalkan dan adalah ertex-ertex dalam graf terhubung, maka jarak, adalah panjang lintasan terpendek antara dan pada Untuk himpunan terurut,,,, dari ertex-ertex dalam graf terhubung dan ertex, representasi dari terhadap adalah -ektor (pasangan -tuple),,,,,, Jika untuk setiap ertex berbeda, maka disebut himpunan pemisah dari Himpunan pemisah dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pemisah minimum (basis metrik), dan kardinalitas dari basis metrik tersebut dinamakan dimensi metrik dari dinotasikan (Wahyudi dan Sumarno, 2010:736) Kajian tentang dimensi metrik pada graf ini merupakan kajian yang sedang marak dibicarakan Terbukti dengan adanya banyak jurnal dan penelitian-penelitian yang membahas tentang kajian ini, misalnya Graphs with Metric Dimension Two- A Characterization (Sudhakara dan Herman, 2009), On the Metric Dimension of Grassmann graphs (Robert dan Karen, 2010), On the Metric Dimension of Some Families of Graphs (Jose dan Mari, 2010), Dimensi Metrik Graf Kincir dengan Pola (Wahyudi dan Sumarno, 2010), On the Metric Dimension of Corona Product Graphs (Yero, dkk, 2010) dan lain sebagainya Semuanya membahas tentang dimensi metrik pada graf Penelitian ini sendiri sebenarnya merupakan pengembangan dari penelitian tentang dimensi metrik graf yang telah diteliti oleh peneliti sebelumnya, yaitu Dimensi Metrik Graf Kincir dengan Pola Graf Kincir dinotasikan dengan adalah graf yang dibangun dengan menghubungkan semua ertex dengan sebuah ertex pusat Peneliti ingin mengembangkan penelitian ini pada graf Oleh sebab itu, peneliti memilih Dimensi Metrik Graf,,, sebagai pokok bahasan pada penelitian ini KAJIAN TEORI Graf Suatu graf adalah suatu pasangan himpunan, dimana adalah himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik (ertex), dan adalah himpunan dari pasangan tak terurut dari titik-titik berbeda di yang disebut sisi (edge) Himpunan titik di graf ditulis dan himpunan sisi di graf

Hindayani dilambangkan dengan (Chartrand dan Lesniak, 1986:4) Suatu sisi, dikatakan menghubungkan titik dan Jika, adalah sisi pada graf maka dan disebut terhubung langsung (adjacent) sedangkan dan disebut terkait langsung (incident), begitu juga dengan dan (Chartrand dan Lesniak, 1986:4) Gabungan (union) dari dan, ditulis, adalah graf dengan dan Jika graf merupakan gabungan dari sebanyak graf, 2, maka ditulis (Abdussakir, dkk, 2009:33) Contoh: Jenis Graf Graf dikatakan komplit jika setiap dua titik yang berbeda saling terhubung langsung (adjacent) Graf komplit dengan order n dinyatakan dengan Dengan demikian, maka graf merupakan graf beraturan 1 dengan order dan size 2 Berikut ini adalah gambar graf,,,, dan ; Gambar 1 Graf 2 3 Definisi operasi jumlah dari graf dan ditulis, adalah graf dengan himpunan ertex dan himpunan edge-nya,, (Abdussakir, dkk, 2009:33) Contoh dari operasi penjumlahan pada graf dapat dilihat di bawah ini; G 1 G 2 Gambar 3 Graf Komplit,,,, Graf kincir dinotasikan dengan adalah graf yang dibangun dengan menghubungkan semua ertex dengan sebuah ertex yang disebut ertex pusat c Secara matematis graf kincir dituliskan dengan Vertex pusat dalam graf kincir diberi nama c, sedangkan untuk dua ertex luar di bilah dimana 1 (Wahyudi dan Sumarno, 2010: 736) Berikut adalah contoh dari graf kincir dengan 3-bilah; 5 6 1 G G = G 1 + 2 Gambar 2 Graf Jarak, Eksentrisitas, dan Diameter Graf Jarak, antara dua titik u dan adalah panjang minimum dari lintasan yang menghubungkan pada graf jika ada, jika tidak ada, (Harary, 1969:14) Eksentrisitas titik di graf dinotasikan dengan adalah jarak terbesar dari ke semua titik di Jadi,, Jika dan adalah titik pada sehingga,, maka disebut titik eksentrik dari Dengan kata lain, titik disebut titik eksentrik dari jika jarak dari ke sama dengan eksentrisitas dari Diameter dari graf G dinotasikan dengan diam G, adalah eksentrisitas terbesar dari semua titik di G Jadi, (Abdussakir, dkk, 2009:56-57) 4 c 3 Gambar 4 Graf Kincir dengan 3 bilah 6 5 4 Gambar 5 Graf dengan Pola 3 Pengembangan dari graf kincir adalah graf yaitu graf kincir yang memiliki dua titik pusat Graf dengan pola ini didefinisikan sebagai graf yang dibangun dengan menghubungkan semua ertex dengan dua buah ertex yang disebut ertex pusat dan yang saling terhubung Dua ertex pusat dalam graf 3 1 2 2 166 Volume 1 No 4 Mei 2011

Dimensi Metrik Graf,,, tersebut diberi nama dan, sedangkan untuk dua ertex luar di bilah i dimana 1 Contoh dari graf dengan pola dengan 3- bilah dapat dilihat pada Gambar 5 Dimensi Metrik Dimensi Metrik adalah kardinalitas minimum himpunan pemisah (resoling set) pada Misalkan dan adalah ertex-ertex dalam graf terhubung, maka jarak, adalah panjang lintasan terpendek antara dan pada Untuk himpunan terurut,,,, dari ertex-ertex dalam graf terhubung dan ertex, representasi dari terhadap adalah -ektor (pasangan -tuple),,,,,, Jika untuk setiap ertex berbeda, maka disebut himpunan pemisah dari Himpunan pemisah dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pemisah minimum (basis metrik), dan kardinalitas dari basis metrik tersebut dinamakan dimensi metrik dari dinotasikan (Wahyudi dan Sumarno, 2010: 736) Lemma 1 Graf dan saling lepas dan ber-order minimum 2, berlaku: dim dim dim Misal adalah himpunan pemisah di Diameter dari paling banyak 2 Karena itu, jarak di antara sebuah titik di dan sebuah anggota himpunan adalah 0, 1, atau 2 tergantung pada apakah di, terhubung langsung pada sebuah anggota himpunan, atau yang lain Jarak di antara sebuah titik dengan sebuah titik ) adalah 0, 1 atau paling tidak 2 tergantung dari apakah, adalah 0,1, atau tepat 2 Cara yang sama berlaku pada graf, yaitu antara graf H dengan ) Karena ) adalah himpunan pemisah untuk graf maka ) adalah himpunan pemisah untuk graf (Glenn, dkk 2005:5) Lemma 2 Misal dan graf dengan order minimum 2, dan saling lepas, dan misal dim dan dim maka dim dim dim dim, berarti mempunyai himpunan pemisah minimum yang kardinalitasnya, sebut,,, dim, berarti mempunyai himpunan pemisah minimum dengan kardinalitas sebut,,,, maka ada beberapa kemungkinan: a, maka representasi jarak berbeda dan minimum terhadap graf dim b, maka representasi jarak berbeda dan minimum terhadap graf dim c dan maka representasi jarak antara adalah tak hingga Oleh karena itu, memuat anggota himpunan Jadi representasi jarak yang memuat berbeda dan minimum terhadap graf dim d dan maka representasi jarak antara adalah tak hingga Oleh karena itu, memuat anggota himpunan Jadi representasi jarak yang memuat berbeda dan minimum terhadap graf dim sehingga terbukti bahwa: dim dim dim Lemma 3 Jika, 2 dan, maka: dim dim Akan dibuktikan dengan induksi matematika; Untuk 1, dim dim, benar Untuk 2, dim2 dim dim dim 2 dim, Diasumsikan benar untuk, maka dim dim dim dim dim dim dim dim Akan ditunjukkan benar untuk 1 dim 1 dim dim 1 dim Misal, maka dim 1 dim dim 1 dim dim dim 1 dim dim dim 1 1dim Jadi, terbukti bahwa dim dim 2 Contoh: Diberikan graf 2 seperti Gambar 6, akan ditunjukkan bahwa dim( 2 ) = 2 Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-0382 167

Hindayani a 1 2 Gambar 6 Graf 2, representasi jaraknya adalah: 0 ; 2 1 ; 1 karena 1 maka bukan himpunan pemisah dan juga bukan merupakan basis metrik Sehingga banyaknya anggota tidak dapat dikatakan sebagai dimensi metrik Oleh karena itu, ambil yang lain,, representasi jaraknya adalah: 0,1 ; 2,1 1,0 ; 1,1 karena tidak ada satupun representasi jarak yang sama untuk,, maka, merupakan himpunan pemisah dan basis metrik Selain itu, banyaknya anggota basis ini merupakan yang paling minimum sehingga banyaknya anggota, dapat dinyatakan sebagai dimensi metrik dari graf dengan pola 2 Jadi, dim( 2 ) = 2 b Menurut Lemma 4, diperoleh bahwa jarak titik daun terhadap pusat ( ) adalah 1, sehingga jika tidak ada titik dari yang masuk ke dalam subhimpunan S, maka representasi jaraknya akan sama untuk masing-masing titik pada terhadap subhimpunan yang diambil Sehingga harusnya hanya ada satu titik dari yang tidak masuk dalam subhimpunan S Lemma 6 Untuk graf, dengan,, maka: untuk m 2, s = 1 dim( K2 m + 1 untuk m, 1 Untuk 1, 2 akan dibuktikan bahwa Untuk menentukan dimensi metrik dari graf dengan 2, 1, maka dicari dulu batas atas terkecil dan batas bawah terbesar dari graf tersebut a Untuk menemukan batas atas,,,,, Graf dengan pengambilan S dapat digambarkan sebagai berikut; ( m 2)1 ( m 1)1 m1 11 21 31 41 51 61 PEMBAHASAN 71 81 Dimensi Metrik Graf Lemma 4 Untuk graf dengan,, berlaku; 0 jika u = 1 jika u dan pada daun atau bilah yang sama d( u, ) = atau jika u atau adalah titik di K r 2 jika u dan berada pada daun atau bilah yang berbeda Jika pada satu bilah yang sama dan graf yang digunakan pada bilahnya adalah graf komplit maka jarak dari setiap titik ke titik lainnya adalah 1, karena setiap titik dihubungkan oleh satu sisi Sedang titik yang terletak pada bilah yang berbeda akan terpisah oleh titik pusatnya sehingga jaraknya adalah 2 Dan titik pusat dengan titik yang ada pada daun atau bilahnya mempunyai jarak 1 Lemma 5 Basis metrik dari graf, dengan, 2 dan,, diperoleh dengan memasukkan sebanyak 1 titik yang ada pada ke dalam subhimpunan 151 141 131 121 111 101 Gambar 6 Graf dengan pengambilan Sehingga S mempunyai representasi jarak yang berbeda terhadap setiap titik pada graf Dengan demikian S merupakan himpunan pemisah dari graf yang kardinalitasnya, yang diperoleh dari sebanyak 1 titik pada daun dan 1 titik pada ini merupakan himpunan pemisah, tapi belum tentu merupakan sebuah basis metrik Jika bukan merupakan basis metrik, maka tentu saja ada yang kardinalitasnya lebih minimum menjadi sebuah basis metrik Jadi berlaku, batas atas dim( b Untuk menemukan batas bawah, 1 Maka pasti S ini bukan himpunan pemisah, karena ada setidaknya dua titik pada graf yang memiliki representasi jarak yang sama Misal diambil 91 168 Volume 1 No 4 Mei 2011

Dimensi Metrik Graf,,,,,,,,, maka akan didapatkan dua titik pada graf yang mempunyai jarak yang sama terhadap, yaitu dan Sehingga pada pemisalan ini bukan merupakan himpunan pemisah Titik yang tidak dimasukkan sebagai anggota himpunan pada pemisalan tersebut adalah,, Artinya, ada dua titik pada dua bilah yang berbeda yang tidak masuk sebagai anggota himpunan, padahal jika ingin mendapatkan representasi jarak yang berbeda hanya boleh ada satu titik dari keseluruhan daun yang tidak termasuk dalam anggota himpunan Hal inilah yang kemudian memberikan representasi jarak yang sama pada dan Sehingga salah satu dari dan harus menjadi anggota himpunan S Untuk memudahkan penulisan, yang masuk sebagai anggota himpunan S adalah, dengan asumsi bahwa adalah bilah terakhir dari Jadi batas bawahnya atau dapat dituliskan dim Karena batas atas dan batas bawah dari dim adalah dim maka dim Jadi, terbukti bahwa dim, untuk 2, 1 2 Untuk 2, 2 akan dibuktikan bahwa dim 1 1 Menurut Lemma 1, diperoleh: dim dim dim dim 1 1,,,,,,,,,,,,, Berikut adalah gambar graf dengan pengambilan S; 16 15 14 26 25 24 1( 23 1s 11 12 13 m ( 2( 2s 22 21 36 35 34 33 3( 3s 46 31 45 32 44 x1 x2 43 4( 56 55 66 54 4s 42 41 53 5( 6( 5s 52 6s 51 diperoleh dengan memasukkan sebanyak 1 titik di daun dan 1 titik graf, maka 1 1, sehingga diperoleh: dim 1 1 Kesimpulannya, dim 1 1 dan dim 1 1 Jadi terbukti bahwa: dim 1 1 Lemma 7 Untuk graf, dengan,, maka: + 1 dim( K 3 m + 2 untuk m 2, s = 1 untuk m, 1 Untuk 2, 1, akan dibuktikan dim 1 Untuk menentukan dimensi metrik dari graf dengan 2, 1, maka dicari dulu batas atas terkecil dan batas bawah terbesar dari graf tersebut a Untuk menemukan batas atas,,,,,, Sedemikian sehingga S mempunyai representasi jarak yang berbeda terhadap setiap titik pada graf Dengan demikian S merupakan himpunan pemisah dari graf yang kardinalitasnya 1, yaitu sebanyak 1 titik di bilah dan 2 titik yang ada di graf ini merupakan himpunan pemisah, tapi belum tentu merupakan sebuah basis metrik Jika bukan merupakan basis metrik, maka tentu saja ada yang kardinalitasnya lebih minimum menjadi sebuah basis metrik Jadi berlaku, batas atas dim( 1 Graf dapat dilihat pada gambar di bawah ini; 101 111 ( m 1)1 m1 11 m6 m5 ms m1 65 64 63 62 61 91 x1 x2 21 m4 m3 m2 ( m 1) s ( m 1)6 ( m 1)( ( m 1)5 ( m 1)1 81 31 ( m 1)4 ( m 1)3 ( m 1)2 Gambar 7 Graf dengan pengambilan Karena S memiliki representasi jarak yang berbeda maka S ini adalah himpunan pemisah Misal B adalah basis metrik berlaku: dim 71 61 Gambar 8 Graf dengan pengambilan S b Untuk menemukan batas bawah Maka pasti S ini bukan himpunan pemisah, karena ada setidaknya 51 41 Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-0382 169

Hindayani dua titik pada graf yang memiliki representasi jarak yang sama Misal diambil,,,,,, maka akan didapatkan dua titik pada graf yang mempunyai jarak yang sama terhadap S yaitu dan Sehingga S pada pemisalan ini bukan merupakan himpunan pemisah Telah diketahui bahwa titik yang tidak termasuk dalam anggota himpunan S pada pemisalan tersebut adalah,, Artinya, ada dua titik pada dua bilah yang berbeda yang tidak masuk sebagai anggota himpunan S, padahal jika ingin mendapatkan representasi jarak yang berbeda hanya boleh ada satu titik dari keseluruhan bilah yang tidak termasuk dalam anggota himpunan S Hal inilah yang kemudian memberikan representasi jarak yang sama pada dan Sehingga salah satu dari dan harus menjadi anggota himpunan S Untuk memudahkan penulisan, yang masuk sebagai anggota himpunan S adalah, dengan asumsi bahwa m adalah bilah terakhir dari Jadi batas bawahnya 1 atau dapat dituliskan 1 dim Karena batas atas dan batas bawah dari dim adalah 1 dim 1 maka dim 1 Jadi terbukti bahwa dim 1, untuk 2, 1 2 Untuk, 2, akan dibuktikan bahwa dim 2 1 Menurut Lemma 1, diperoleh: dim dim dim dim 2 1,,,,,,,,,,,,,, Maka graf dengan pengambilan S dapat dilihat pada gambar di bawah ini; 1( Karena S mempunyai representasi jarak yang berbeda terhadap seluruh titik pada graf maka S adalah himpunan pemisah dan jika B adalah basis, berlaku: dim diperoleh dengan memasukkan sebanyak 1 titik yang ada di daun dan 2 titik yang berada di, maka 2 1,, Sehingga diperoleh: Kesimpulannya: dim 2 1 dim 2 1 dan dim 2 1 Jadi terbukti bahwa: dim 2 1 Lemma 8 Untuk graf, dengan,, maka: + 2 untuk m 2, s = 1 dim( K 4 m + 3 untuk m, 1 Untuk 2, 1 akan dibuktikan bahwa dim 2 Untuk menentukan dimensi metrik dari graf dengan 2, 1, maka dicari dulu batas atas terkecil dan batas bawah terbesar dari graf tersebut a Untuk menemukan batas atas,,,,,,, Berikut adalah gambar graf dengan pengambilan S; 101 111 ( m 2)1 ( m 1)1 x 4 m1 11 21 m6 m ( ms 16 15 1s 11 26 2( 2s 91 31 m5 m1 14 13 12 25 21 ( m 1)5 ( m 1)4 m4 ( m 1) s ( m 1)6 ( m 1)( ( m 1)3 66 65 64 m3 ( m 1)1 ( m 1)2 6( 63 m2 6s 62 x1 x2 61 56 55 54 53 24 5( 46 45 23 44 5s 52 51 36 35 34 43 22 3( 4( 33 4s Gambar 9 Graf dengan pengambilan S 42 41 3s 32 31 81 71 Gambar 10 Graf dengan pengambilan Sedemikian sehingga S mempunyai representasi jarak yang berbeda terhadap setiap titik pada graf Dengan demikian S merupakan himpunan pemisah dari graf yang kardinalitasnya 2, yaitu sebanyak 1 titik di bilah dan 3 titik dari graf ini merupakan 61 51 41 170 Volume 1 No 4 Mei 2011

Dimensi Metrik Graf,,, himpunan pemisah, tapi belum tentu merupakan sebuah basis metrik Jika bukan merupakan basis metrik, maka tentu saja ada yang kardinalitasnya lebih minimum menjadi sebuah basis metrik Jadi berlaku, batas atas dim 2 b Untuk menemukan batas bawah 1 Maka pasti S ini bukan himpunan pemisah, karena ada setidaknya dua titik pada graf yang memiliki representasi jarak yang sama Misal diambil,,,,,,, maka akan didapatkan dua titik pada graf yang mempunyai jarak yang sama terhadap S yaitu dan Sehingga S pada pemisalan ini bukan merupakan himpunan pemisah Telah diketahui bahwa titik yang tidak termasuk dalam anggota himpunan S pada pemisalan tersebut adalah,, Artinya, ada dua titik pada dua bilah yang berbeda yang tidak masuk sebagai anggota himpunan S, padahal jika ingin mendapatkan representasi jarak yang berbeda hanya boleh ada satu titik dari keseluruhan bilah yang tidak termasuk dalam anggota himpunan S Hal inilah yang kemudian memberikan representasi jarak yang sama pada dan Sehingga salah satu dari dan harus menjadi anggota himpunan S Untuk memudahkan penulisan, yang masuk sebagai anggota himpunan S adalah, dengan asumsi bahwa m adalah bilah terakhir dari Jadi batas bawahnya 2 atau dapat dituliskan 2 dim Karena batas atas dan batas bawah dari dim adalah 2 dim 2 maka dim 2 Jadi terbukti bahwa dim 2, untuk 2, 1 2 Untuk, 2, akan dibuktikan bahwa dim 3 1 Dari Lemma 1 diperoleh: dim dim dim dim 3 1,,,,,,,,,,,,,,, Karena S memiliki representasi jarak yang berbeda terhadap graf dan misal B basis, maka berlaku: dim diperoleh dengan memasukkan sebanyak 1 titik di daun dan 3 titik di, maka 3 1 Sehingga diperoleh: Kesimpulannya: dim 3 1 dim 3 1 dan dim 3 1 Jadi terbukti bahwa: dim 3 1 Graf dengan pengambilan S dapat digambarkan sebagai berikut; 16 15 14 m6 m5 m4 1 ( m3 1s 26 25 24 13 m ( 23 12 11 2( 2s 21 36 22 35 34 ( m 1)6 ( m 1)( ( m 1)5 ms ( m 1)4 m1 m2 ( m 1) s ( m 1)3 33 x 4 46 3( 45 3s 44 31 ( m 1)1 ( m 1)2 32 56 55 54 53 4( 4s Gambar 11 Graf dengan pengambilan S 43 42 5( Lemma 9 Untuk graf, dengan,, maka: + 3 untuk m 2, s = 1 dim( K5 m + 4 untuk m, 1 Untuk 2, 1 akan dibuktikan bahwa dim 3 Untuk menentukan dimensi metrik dari graf dengan 2, 1, maka dicari dulu batas atas terkecil dan batas bawah terbesar dari graf tersebut a Untuk menemukan batas atas,,,,,,,,, sedemikian sehingga S mempunyai representasi jarak yang berbeda terhadap setiap titik pada graf Dengan demikian S merupakan himpunan pemisah dari graf yang kardinalitasnya 3 yaitu, sebanyak 1 titik dari graf yang ada di bilah dan 4 titik dari graf ini merupakan himpunan pemisah, tapi belum tentu merupakan sebuah basis metrik Jika bukan merupakan basis metrik, maka tentu saja ada yang kardinalitasnya lebih 41 5s 52 51 Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-0382 171

Hindayani minimum menjadi sebuah basis metrik Jadi berlaku, batas atas dim( 3 Graf dengan pengambilan S dapat digambarkan sebagai berikut; 101 91 81 71 ( m 2)1 61 x 5 ( m 1)1 Gambar 12 Graf dengan pengambilan S x 4 51 b Untuk menemukan batas bawah 2 Maka pasti S ini bukan himpunan pemisah, karena ada setidaknya dua titik pada graf yang memiliki representasi jarak yang sama Misal diambil,,,,,,,, maka akan didapatkan dua titik pada graf yang mempunyai jarak yang sama terhadap S yaitu dan Sehingga S pada pemisalan ini bukan merupakan himpunan pemisah Telah diketahui bahwa titik yang tidak termasuk dalam anggota himpunan S pada pemisalan tersebut adalah,, Artinya, ada dua titik pada dua bilah yang berbeda yang tidak masuk sebagai anggota himpunan S, padahal jika ingin mendapatkan representasi jarak yang berbeda hanya boleh ada satu titik dari keseluruhan bilah yang tidak termasuk dalam anggota himpunan S Hal inilah yang kemudian memberikan representasi jarak yang sama pada dan Sehingga salah satu dari dan harus menjadi anggota himpunan S Untuk memudahkan penulisan, yang masuk sebagai anggota himpunan S adalah, dengan asumsi bahwa m adalah bilah terakhir dari Jadi batas bawahnya 3 atau dapat dituliskan 3 dim Karena batas atas dan batas bawah dari dim adalah 3 dim 3 maka dim 3 Jadi terbukti bahwa dim 3, untuk 2, 1 2 Untuk, 2, akan dibuktikan bahwa dim 4 1 m1 41 11 31 21 Dari Lemma 1, diperoleh: dim dim dim dim 4 1,,,,,,,,,,,,,,,, Karena representasi jarak S terhadap graf berbeda, maka S adalah himpunan pemisah dan misal B basis metrik maka berlaku: dim diperoleh dengan memasukkan sebanyak 1 titik pada daun dan 4 titik di, maka 4 1 Sehingga diperoleh: Kesimpulannya: dim 4 1, dim 4 1 dan dim 4 1 Jadi terbukti bahwa: dim 4 1 Graf dapat digambarkan sebagai berikut; 56 55 54 53 5( 5s 46 45 44 52 4( 4s 43 51 ( m 1)5 ( m 1)4 ( m 1)6 ( m 1)( x4 41 36 42 35 ( m 1) s ( m 1)3 34 x5 33 x3 ( m 1)1 ( m 1)2 x1 3( 3s 32 x2 m5 31 m6 m4 26 25 24 m ( 16 15 23 m3 14 ms 22 m2 2( 2s m1 1( Gambar 13 Graf dengan pengambilan S Teorema Untuk graf, dengan,,, berlaku: + ( r 2) untuk m 2, s = 1 dim( K r s 1) m + ( r 1) untuk m, 1 Untuk 2, 1, akan dibuktikan bahwa 2 Untuk menentukan dimensi metrik dari graf dengan 2, 1, maka dicari dulu batas atas terkecil dan batas bawah terbesar dari graf tersebut 21 13 1s 12 11 172 Volume 1 No 4 Mei 2011

Dimensi Metrik Graf,,, a Untuk menemukan batas atas,,,,,,,,,,,, sedemikian sehingga S mempunyai representasi jarak yang berbeda terhadap setiap titik pada graf Dengan demikian S merupakan himpunan pemisah dari graf yang kardinalitasnya 2, yaitu sebanyak 1 titik pada bilah dan 1 titik pada graf ini merupakan himpunan pemisah, tapi belum tentu merupakan sebuah basis metrik Jika bukan merupakan basis metrik, maka tentu saja ada yang kardinalitasnya lebih minimum menjadi sebuah basis metrik Jadi berlaku, batas atas dim( 2 Graf dengan pengambilan adalah sebagai berikut; ( m 1)1 111 m1 101 x r 1 x 6 x r 91 x 5 11 Gambar 14 Graf dengan pengambilan S x 4 81 21 71 b Untuk menemukan batas bawah 3 Maka pasti S ini bukan himpunan pemisah, karena ada setidaknya dua titik pada graf yang memiliki representasi jarak yang sama Misal diambil,,,,,,,,,,,, maka akan didapatkan dua titik pada graf yang mempunyai jarak yang sama terhadap S yaitu dan Sehingga S pada pemisalan ini bukan merupakan himpunan pemisah Telah diketahui bahwa titik yang tidak termasuk dalam anggota himpunan S pada pemisalan tersebut adalah,, Artinya, ada dua titik pada dua bilah yang berbeda yang tidak masuk sebagai anggota himpunan S, padahal jika ingin mendapatkan representasi jarak yang berbeda hanya boleh ada satu titik dari keseluruhan bilah yang tidak termasuk dalam anggota himpunan S Hal inilah yang kemudian memberikan representasi jarak yang sama pada dan Sehingga salah satu dari 31 41 61 51 dan harus menjadi anggota himpunan S Untuk memudahkan penulisan, yang masuk sebagai anggota himpunan S adalah, dengan asumsi bahwa m adalah bilah terakhir dari Jadi batas bawahnya 2 atau dapat dituliskan 2 dim Karena batas atas dan batas bawah dari dim adalah 2 dim 2, maka dim 2 Jadi terbukti bahwa dim 2, untuk 2, 1 2 Untuk, 2, akan dibuktikan bahwa dim 1 1 Dari Lemma 1, Lemma 2, Lemma 6, Lemma 7, Lemma 8, dan Lemma 9, diperoleh: dim dim dim dim 1 1,,,,,,,,,,,,,,,, Graf dengan pengambilan S dapat digambarkan sebagai berikut; 46 45 44 4( 4s 43 36 35 42 34 41 33 ( m 1)6 ( m 1)5 ( m 1)4 x 6 x 5 x r 1 x 4 3( 3s 26 31 25 32 ( m 1)( ( m 1)3 x r 24 ( m 1) s 23 ( m 1)1 ( m 1)2 2( m6 m5 22 m4 16 15 2s 21 m ( 14 m3 ms 1( Gambar 15 Graf dengan pengambilan S S mempunyai representasi jarak yang berbeda terhadap graf, sehingga S merupakan himpunan pemisah Misal B adalah basis metrik, maka berlaku: dim Karena 1 1, maka: dim 1 1 Sehingga diperoleh: dim 1 1 dan 13 m2 m1 1s 12 11 Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-0382 173

Hindayani dim 1 1 Jadi terbukti bahwa: dim 1 1 PENUTUP Dari pembahasan tentang dimensi metrik graf ini didapatkan kesimpulan bahwa untuk,,, berlaku: + ( r 2) untuk m 2, s = 1 dim( K r m + ( r 1) untuk m, Jadi, graf memiliki dimensi masingmasing sesuai dengan,, yang diinginkan DAFTAR PUSTAKA [1] Abdussakir, dkk 2009 Teori Graf Malang: UIN Malang Press [2] Hernando, Carmen, dkk On The Metric Dimension of Some Families of Graphs preprint [3] Chartrand, Garry dan Linda Lesniak 1986 Graph and Digraphs California: Pacific Graw [4] Glenn, dkk 2005 Bounds on The Metric and Partition Dimension of a Graph Uniersity of Alaska [5] Harary, Frank 1969 Graph Theory America: Addison-Wesley Publishing Company Inc [6] Wahyudi, Suhud dan Sumarno 2010 Dimensi Metrik pada Graf Kincir dengan Pola FMIPA ITS, 731-744 174 Volume 1 No 4 Mei 2011