BAB IV OSILATOR HARMONIS

Tinjauan Secara Mekanika Klasik BAB IV OSILATOR HARMONIS Osilator harmonis terjadi manakala sebuah partikel ditarik oleh gaya yang besarnya sebanding dengan perpindahan posisi partikel tersebut. F () = k (4-1) k = tetapan gaya F () = gaya berarah yang bekerja pada partikel. Jika (4-1) dikorelasikan dengan Hukum Newton kedua, F = m a, maka d m dt = k atau d m dt + k = 0 atau

d dt k / m = 0 (4-) Persamaan (4-) adalah persamaan diferensial orde kedua, yang persamaan karakteristiknya adalah D + k/m = 0 (a = 1, b=0, c=k/m) sehingga akar-akarnya adalah D 1, = + i (k/m) 1/ Jadi penyelesaian (4-) 1/ ( k / m) t = A 1. e + A. 1/ i( k / m) t e = A 1 {cos (k/m) 1/ t + i sin(k/m) 1/ t}+a { cos (k/m) 1/ t isin(k/m) 1/ t } = (A 1 +A ){ cos (k/m) 1/ t }+ i(a 1 A ) sin(k/m) 1/ t } = (A'){ cos (k/m) 1/ t }+ A" sin (k/m) 1/ t } (4-3) Untuk t = 0, maka pasti = 0, jadi: 0 = A' cos 0 + A" sin 0 karena sin 0 = 0, maka A" sin 0 = 0, sehingga A" 0.

A" sin 0 = 0, maka A' cos 0 = 0. Karena cos 0 = 1, maka A' = 0, sehingga (4-3) ditulis: = A" sin (k/m) 1/ t Karena A' sudah tidak ada, maka tanda " pada A" boleh tidak ditulis, hingga: = A sin (k/m) 1/ t (4-4) Karena periode fungsi sinus adalah, maka akan mudah penerapannya nanti, jika (k/m) 1/ dinyatakan dalam kelipatan = kelipatan periode = n. ). : (k/m) 1/ = n. jadi n = (1/)(k/m) 1/ n = banyaknya periode = banyaknya osilasi persatuan waktu, yang dalam bahasa fisik disebut frekuensi dan lazimnya tidak diberi notasi n tetapi. Jadi: (k/m) 1/ = (4-5)

Dengan demikian (4-4) ditulis = A sin t (4-6) Selain dapat digunakan untuk menentukan, (4-1) juga dapat digunakan untuk menentukan energi potensial. Kita tahu bahwa hubungan antara gaya dengan energi potensial menurut persamaan (4-5 bab I) adalah: dv = F() = (k ) = k d jadi dv = k d diintegralkan V = 1 / k (4-7) Dengan menggunakan (4-5), maka k = 4 m, energi potensial V dapat ditulis: V = m (4-8) Selanjutnya bagaimanakah energi kinetik T? T = 1 / mv dengan v = d/dt, jadi

T = 1 / m (d/dt) Dengan menggunakan pada (4-6) kita peroleh: = A sin t (4-6) T = 1 / m (A cos t) = m A cos t (4-9) Penentuan E (energi total osilator harmonis, diperoleh dengan menjumlah T dan V, jadi E = T + V = 1 / m A cos t + 1 / k = 1 / m A cos t + 1 / k A sin t = 1 / k A cos t + 1 / k A sin t = 1 / k A ( cos t + sin t) Jadi E = 1 / ka = m A (4-10)

Osilator Harmonis Dalam Tinjauan Mekanika Kuantum Persamaan Schrodinger satu dimensi bebas waktu untuk osilator harmonis adalah seperti persamaan (5-1 Bab I) tetapi V dimasukkan 1/ k (Ingat, bahwa V tidak bergantung pada momentum angular p. Semua besaran fisik yang tidak bergantung pada p, operator kuantumnya sama dengan nilainya dalam mekanika klasik). Jadi d ( ) m + (E T) ( ) 0 d d ( ) m + (E m ) ( ) 0 (4-11) d atau d ( ) + (me 4 m ) ( ) 0 (4-1) d Agar praktis m/ = sehingga (4-1) menjadi

d ( ) d + (me ) ( ) 0 (4-13) atau: ''() + (me ) ( ) 0 (4-14) Untuk maka harga me boleh diabaikan sehingga () = merupakan penyelesaian dari (1.-3). e Berapapun harga, tetapi yang jelas () pasti mengandung faktor dan dengan demikian kita boleh memisalkan penyelesaian (1.-3) adalah: () =. f() (4-15) Jadi ''() = e e (f '' f ' f + f) (4-16) Jika (4-16) dan (4-15) dimasukkan ke dalam (4-13) maka akan diperoleh: f '' f ' + (me ) f = 0 (4-17) e,

Persamaan differensial orde dua di atas (4-17) tidak dapat diselesaikan secara konvensional karena koefisien f' masih mengandung. Untuk itu penyelesaiannya menggunakan metode deret. Untuk itu kita misalkan: jadi f = c 0 + c 1 + c...c n n = n0 n c n (4-18) f ' = 0 + c 1 + c 1.. nc n n1 = n dan f '' = c +.. n (n1) n 1 n1 n c n (4-19) = n n ( n 1) c n n = n 0 n ( n 1)( n ) c n (4-0)

Substitusi (4-18), (4-19) dan (4-0) ke dalam (1.-6) menghasilkan: n0 atau n0 atau n0 ( n 1)( n ) c n ( n 1)( n ) c n ( n 1)( n ) c n n n c n1 n +(me n1 n n1 n n c n +(me ) n0 ) n0 c n n = 0 n c n = 0 nc n + (me ) c n n = 0 Karena n tidak mungkin nol, maka koefisiennya pasti nol, jadi n 1)( n ) c n c n + (me ) c n = 0 ( n Sehingga diperoleh: n me c n = ( n 1) (n ) c n (4-1)

Dengan persamaan (4-1), yang disebut relasi rekursi, kita dapat menghitung c 3, c 5.... dan seterusnya, jika kita tahu c 1. Kita juga dapat menghitung c, c 4,.... dan seterusnya, jika c 0 diketahui. Jika kita set c 1 = 0, maka c 3, c 5... dan seterusnya pasti nol, sehingga fungsi gelombang osilator harmonis menjadi: () = = / e. f() = / e p0 p p / e c n n n 0,, 4,... c (4-) Jika c 0 dibuat nol maka c, c 4, c 6.... dan seterusnya semua nol sehingga diperoleh penyelesaian lain: () = = / e / e c n n n 1, 3, 5... p1 p1 p0 c (4-3)

Bentuk umum penyelesaian persamaan Schrodinger bebas waktu untuk osilator harmonis satu dimensi adalah kombinasi linear dari (4-) dan (4-3) yaitu: () = A / e p0 c + B / p p e p0 dengan A dan B adalah tetapan sembarang. p1 c p1 (4-4) Dengan memperhatikan (4-4) maka terlihat bahwa akan cenderung tak terhingga jika tak terhingga dan ini tidak diijinkan. Salah satu syarat fungsi matematik dapat diterima sebagai fungsi gelombang adalah mempunyai harga yang tertentu, berapapun harga nya. Untuk memenuhi syarat ini, maka deret (4-4) harus berhenti pada suku tertentu, misal suku ke v. Jika deret berhenti di suku v, ini berarti koefisien c v harus nol. Dengan menggunakan (4-1) dan indek n diganti v maka (4-1) boleh ditulis:

c v = v me ( n 1) (n ) Jika c v harus nol maka c j juga harus nol, sehingga: v me c j = 0 ( n 1) (n ) atau + v m E = 0, :: jadi E = ( j 1) m c j (4-5) Dengan menggunakan harga = m/, maka diperoleh: E = ( v + ½ ) h (4-6) atau E v = ( v + ½ ) h v = 0, 1,, 3.... (4-7)

E v = energi level osilator harmonis, v = bilangan kuantum vibrasi, h = tetapan Planck dan = frekuensi vibrasi. Ada perbedaan antara bilangan kuantum partikel dalam bo dengan bilangan kuantum vibrasi. Bilangan kuantum vibrasi mengijinkan harga nol, sedang bilangan kuantum partikel dalam bo tidak mengijinkan harga nol. Energi ground state pada gerak vibrasi (osilator) adalah harga E untuk v = 0, yaitu E o = ½ h dan ini disebut zero point energy (Awas harga zero point energi tidak nol tetapi ½ h). Zero point energi ini adalah energi masing-masing osilator harmonis yang merupakan bagian dari sekelompok osilator harmonis, pada temperatur nol absolut.

Substitusi (4-7) ke dalam (4-1) menghasilkan relasi rekursi yang baru, yaitu: n v c n = c (4-8) n 1 n n Fungsi Genap dan fungsi Ganjil Jika f() mengikuti bentuk: f () = f () (4-9) maka f() adalah fungsi genap dari. Jadi pada f() = dan f() = b () b () e = e. b e keduanya adalah fungsi genap karena Grafik fungsi genap adalah simetris terhadap sumbu. Selanjutnya untuk fungsi genap berlaku:

a a f () d a = Jika g() mengikuti: g() = g() f () d (4-30) 0 maka g() adalah fungsi ganjil dari. Contoh fungsi ganjil misalnya adalah, 1/, e. Grafik fungsi ganjil dicerminkan oleh sumbu y kemudian dicerminkan lagi oleh sumbu. Untuk fungsi ganjil berlaku: a a g () d = 0 (4-31) Hasil kali dua buah fungsi genap atau dua buah fungsi ganjil adalah fungsi genap, sedang hasil kali fungsi genap dengan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil.

Menentukan Fungsi Gelombang Dengan Relasi Rekursi Marilah kita lihat kembali persamaan (4-3) dan (4.4) () = () = / e / e p0 p0 c (4-3) p p p1 c p1 (4-4) Kedua fungsi itu adalah fungsi gelombang osilator harmonis genap dan ganjil. Persamaan (4-3) dan (4-4) berturut- turut dapat ditulis: / () = e (c 0 + c + c 4 4...... ) (4-3) / () = e (c 1 + c 3 3 + c 5 5..... ) (4-33) Akan berhenti sampai dimana deret tersebut, ternyata ditentukan oleh bilangan kuantum v.

Jika v = 0, berarti fungsi genap dan berhenti sampai suku c 0, sehingga fungsi gelombang osilatornya adalah: / =. c 0 atau 0 = c / 0 e e Jika v = 1, berarti fungsi ganjil dan berhenti sampai suku c 1, sehingga fungsi gelombang osilatornya adalah / =. c 1 atau 1 = c 1 e / e Jika v =, berarti fungsi genap dan berhenti sampai suku c, sehingga fungsi gelombang osilatornya adalah: / = e. ( c 0 + c ) atau / = c 0 e + c e / Selanjutnya kita akan memperhatikan 0 yang juga disebut fungsi ground state. Telah kita tahu bahwa: / 0 = c 0 e (4-34) Harga c 0 dapat diperoleh melalui normalisasi, yaitu:

= 1 d o atau (4-35) 1 = c o e d= = C 0 = 1/ 1 o c o e 0 d = c o e c e 1/ 0 0 d= d 1 Dengan menggunakan teknik error function, kita peroleh: c 0 = ( / ) 1/4 (4-36) Sehingga fungsi gelombang ground state untuk osilator harmonis adalah: 0 = ( / ) 1/4 e / (4-37) Ingat = m/. 1/

Fungsi gelombang (3-37) di atas juga disebut fungsi Gauss (Gaussian Function) yang grafiknya dapat dilihat pada gambar (4-1a). Selanjutnya dengan cara yang sama, kita dapat akan membahas 1, yaitu: / 1 = c 1. (4-38) e Dengan cara yang sama dengan cara menentukan c 0, kita peroleh: c 1 = (4 3 / ) 1/ 4 (4-39) sehingga diperoleh 1 yaitu: 1 = (4 3 / ) 1/4 / (4-40) e Setelah harga c 0 dan c 1 diketahui maka kita dapat menghitung c, c 3, c 4 dan seterusnya dengan menggunakan (1.-15). Misal kita akan menentukan. Pertama kita gunakan bentuk umum genap, yaitu / () = e (c 0 + c + c 4 4..... ) (4-33)

Untuk deret dihentikan pada suku, jadi: (a) v = 0 (b) v = 1 (c) v = (d) v = 3 Gambar 4-1: Fungsi Gelombang Osilator Harmonis

/ = e (c 0 + c ) atau = (c 0 + c / ) e Dengan menggunakan (1.-15), maka c dapat dihitung, yaitu: (n - v) c n+ = c n n 1 n dengan memasukkan memasukkan n = 0 dan v =, maka: 0 - c = c (0 1) 0 0 c = c 0 Jadi = (c 0 c 0 / ) e = c 0 (1 / ) e Ingat harga c 0 pada 0 harga c 0 pada.

Harga c 0 dicari dengan normalisasi (Tidak menggunakan c 0 pada persamaan (4-36)), dan diperoleh: = ( ( / 1) e Menentukan Fungsi Gelombang Osilator Harmonis Dengan Polinomial Hermite Ada cara lain untuk menentukan yaitu dengan memanfaatkan polinomial Hermit. Perlu diingat bahwa sebagian dari faktor pada fungsi gelombang osilator harmonis polinomial Hermite yang sudah kita kenal di matematika. Hubungan antara fungsi gelombang osilator harmonis dengan polinomial Hermite adalah: e / () = v. v! j 1/ 1/ 4 e. H v

Dengan H v adalah polinomial Hermite, yaitu: H v = 1 j j d z z e e j dz dengan 1/ z = Dengan cara ini, fungsi gelombang lebih mudah dapat diturunkan. Tentang Harga yang Mungkin Dalam Osilator Harmonis Jika kita melihat solusi mekanika kuantum untuk osilator harmonis, maka tampak bahwa berapapun harga harga dapat diperoleh, artinya bahwa peluang keberadaan partikel ada di sembarang harga mulai dari = sampai = +. Padahal dalam mekanika klasik partikel hanya dibatasi berada pada daerah yang energi potensialnya tidak melebihi energi partikel (yaitu antara a sampai + a pada gambar 4-), sebab dalam mekanika klasik energi kinetik negatif tidak dikenal. Ini berarti bahwa secara tinjauan kuantum partikel dapat berada di daerah terlarangnya mekanika klasik, atau dalam mekanika kuantum bisa saja

terjadi energi potensial V > E atau dapat saja terjadi energi kinetik bernilai negatif. Kasus V > E ini sudah pernah kita bahas pada bab II. V E -a a Gambar 4-: Daerah yang diijinkan ( < a) dan daerah terlarang ( > a) untuk osilator harmonis mekanika klasik

V Gambar 4-3: Energi Potensial untuk vibrasi molekul (Kurva garis tak terputus-putus) dan untuk osilator harmonis (kurva titik-titik)

Vibrasi Molekul Diatomik Dalam molekul diatomis terdapat dua partikel dengan massa masingmasing m 1 dan m maka m dalam persamaan Schrodinger diganti atau massa tereduksi dengan = m 1 m /(m 1 +m ). Diperkirakan bahwa harga energi level vibrasi E vib sangat mendekati harga energi level osilator harmonis yang sudah kita kenal, yaitu: E vib (v + ½ ) h e v = 0, 1,, 3,..... (4-41) 1/ 1 k e = m1. m = ; m m 1 d U k = dr R R e ; (4-4)

e disebut frekuensi vibrasi (harmonis) ekuilibrium. Aproksimasi di atas sangat bagus untuk energi level yang rendah. Untuk energi level yang tinggi, energi potensial vibrasi semakin menyimpang dibandingkan dengan energi potensial osilator harmonis (Gambar 4-3). Aproksimasi yang lebih akurat dalam rangka mengantisipasi penyimpangan dari keharmonisan adalah: E vib = (v + ½ ) h e (v + ½ ) h e e (4-43) e e disebut tetapan ketidakharmonisan yang untuk hampir semua kasus harganya positif. Dengan menggunakan persamaan Schrodinger bergantung waktu, kita dapat menentukan bahwa transisi vibrasi yang paling mungkin jika molekul diatomik diekspose ke dalam radiasi elektromagnet adalah v berubah dengan + 1; selanjutnya agar dapat terjadi absorpsi dan emisi dari elektromagnet (foton) maka vibrasi harus mengubah momen dipole molekul.

Oleh karena itu, maka molekul-molekul diatomik (H, N dan lain-lain yang sejenis) tidak mungkin dapat mengalami transisi hanya dengan mengemisi atau mengabsorpsi radiasi (Artinya transisi hanya dapat terjadi melalui tumbukan intermolekuler) Jika terjadi transisi dari energi level tinggi E ke energi level rendah E 1 maka akan diemisi foton yang relasinya dinyatakan dengan: E foton = E E 1 (4-44) Karena E foton = h maka: foton = (E E 1 ) / h (4-45) Jika kita menggunakan aproksimasi (4-41) maka: foton = (E E 1 )/h(v +½)h e (v 1 +½)h e }/h = (v v 1 ) e Karena perubahan v yang paling mungkin adalah 1, maka foton = Jika aproksimasi energi kita gunakan yang lebih akurat yaitu aproksimasi (4-43) maka akan diperoleh:

foton = e e e ( v 1 + 1) (4-47) dengan v 1 adalah bilangan kuantum vibrasi yang rendah dan j = 1. Populasi relatif dari dua buah energi level molekul dinyatakan oleh distribusi Boltzmann yaitu: N1 g1 (E1 E ) / k T e (4-48) N g N 1 = jumlah molekul yang berada pada energi level E 1, N = jumlah molekul yang berada pada energi level E, g 1 dan g = degenerasi masing-masing molekul. Jika molekulnya non degenerate, maka g = 1. Dalam unit SI, satuan untuk frekuensi adalah hertz (Hz) dengan definisi 1 Hz = 1s 1. Pada absorpsi infra merah, orang sering menggunakan istilah bilangan gelombang yaitu banyaknya gelombang persatuan panjang, yang didefinisikan: = 1/ = / c (4-49)

= panjang gelombang dalam vakum, c = laju cahaya adalah frekuensi foton. = bilangan gelombang Contoh: Gelombang infra merah terkuat dari molekul 1 C 16 O (CO) terjadi pada = 143 cm 1. Tentukan tetapan gaya untuk molekul tersebut? Jawab: Yang ditanyakan adalah k = 4 e Infra merah terkuat terjadi pada hubungan v = 0 1. Ini berarti transisi pada level rendah, sehingga kita boleh menggunakan (4-46) untuk menghitung e, tidak usah dengan (4-47). e =. Menurut (4-49), =. c jadi: e =. c

= ( 14 cm 1 ) (,9979. 10 10 cm. s 1 ) = 6,44. 10 13 s 1. Selanjutnya kita hitung = m m C C. mo m m C = massa 1 atom C = 1 amu = 1 1,661 10 7 kg = 19.93. 10 7 kg = 1,993. 10 6 kg m O = 15,9949 amu = 15,9949 1,661. 10 7 kg = 6.567589. 10 7 kg =,65675. 10 6 kg jadi = (1,993.10 6 kg,65675.10 6 kg )/(1,993.10 6 kg +,65675.10 6 kg = (5.954341. 10 5 kg ) / ( 4.64995. 10 6 ) = 1.1388144. 10 6 kg k = 4 e O

= 4 (6,44. 10 13 s 1 ) 1.1388144. 10 6 kg = 1854 kg. s = 1854 N/m

Soal-soal Bab 4 1. Mana di antara fungsi-fungsi berikut yang merupakan fungsi genap? Mana yang merupakan fungsi ganjil? a) sin ; b) cos ; c) tan ; d) e ; e) ; f) ( 3 + ) ( 3 ). Buktikan bahwa (a) hasil kali fungsi genap dengan fungsi genap adalah fungsi genap (b) hasil kali fungsi ganjil dengan fungsi ganjil adalah fungsi genap (c) hasil kali fungsi genap dengan fungsi ganjil adalah fungsi ganjil 3. Tentukan fungsi gelombang untuk v = : a ) dengan relasi rekursi b) dengan polinomial Hermite 4. Tentukan fungsi gelombang untuk v = 4:

a) dengan relasi recursi b) dengan polinomial Hermite 5. Sebutkan perbedaan-perbedaan antara fungsi gelombang satu dimensi untuk partikel dalam bo dan untuk partikel dalam osilator harmonis. 6. Untuk fungsi gelombang osilator harmonis dengan v = 1, tentukan harga yang paling mungkin. 7. Dengan analogi bahwa untuk sistem satu dimensi nilai eigen energinya adalah E = ( v + ½ ) h, bagaimanakah energi levelnya jika sistemnya 3 dimensi?. Dalam sistem 3 dimensi tersebut, tentukan derajad degenerasi mulai energi level terendah sampai ke empat? 8. Jika H j adalah polinomial Hermite, tentukan H 0 ; H 1 ; H ; H 3 dan H 4! 9. Untuk osilator harmonis dengan bilangan kuantum v, berapakah rentang yang diijinkan oleh mekanika klasik? 10. (a) Spektrum absorpsi infra merah dari 1 H 35 Cl mempunyai berkas terkuat pada 8,65 10 13 Hz. Hitunglah tetapan gaya dari ikatan molekul tersebut.

(b) Tentukan zero point energi vibrasi untuk 1 H 35 Cl (c) Prediksilah frekuensi infra merah terkuat untuk molekul H 35 Cl Massa isotop 1 H = 1,00783 amu H=,01410 amu 35 Cl = 34,968853 amu 1 amu = 1,661. 10 4 gram 11. (a) Buktikan persamaan (4-47) dari (4-43) (b) Turunkan persamaan sejenis untuk transisi dari v = 0 v 1. (a) Transisi v = 0 1 untuk LiH terjadi pada 1359 cm 1. Hitunglah ratio populasi v = 0 terhadap v = 1, pada temperatur 00 o C (b) lakukan persis seperti (a) tetapi untuk molekul ICl yang transisi terkuatnya terjadi pada 381 cm 1.