BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Data Data adalah bentuk jamak dari datum, yang dapat diartikan sebagai informasi yang diterima yang bentuknya dapat berupa angka, kata-kata, atau dalam bentuk lisan dan tulisan lainnya. Ada beberapa cara yang dapat dilakukan dalam memperoleh data, diantaranya data yang diperoleh secara langsung (primer), dan data yang diperoleh secara tidak langsung (sekunder). Koleksi data merupakan tahapan yang paling penting dalam pelaksanaan penelitian, karena hanya dengan mendapatkan data yang tepat maka proses penelitian akan berlangsung dengan baik. 2.2 Data Acak Atau Data Tunggal Data acak atau tunggal adalah data yang belum tersusun atau dikelompokkan ke dalam kelas-kelas interval. 2.3 Data Berkelompok Data berkelompok adalah data yang sudah tersusun atau dikelompokkan dalam kelas-kelas interval. Data kelompok disusun dalam bentuk distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. 5

2.4 Data Diskrit Data diskrit, data kategorik, atau data nominal. Data ini merupakan hasil perhitungan, sehingga tidak dijumpai bilangan pecahan. Data diskrit adalah data yang paling sederhana yang disusun menurut jenisnya atau kategorinya. 2.5 Data Kontinu Data kontinu terdiri atas tiga macam data yaitu: data ordinal, data interval, dan data rasio. Data ordinal adalah data yang sudah diurutkan dari jenjang yang paling rendah sampai ke jenjang yang paling tinggi, atau sebaliknya tergantung peringkat. Data interval mempunyai sifat-sifat nominal dari data ordinal, dan sifat tambahan lainnya yaitu mempunyai nol mutlak, akibatnya terdapat skala interval yang sama jaraknya. Data rasio mengandung sifat-sifat interval, dan selain itu sudah mempunyai nilai nol mutlak. 2.6 Skala Pengukuran Data Skala pengukuran data merupakan prosedur pemberian angka pada suatu objek agar dapat menyatakan karakteristik dari objek tersebut. Ada empat tipe skala pengukuran data dalam penelitian, yaitu nominal, ordinal, interval, dan rasio. 2.7 Skala Nominal Skala nominal adalah suatu skala yang diberikan pada suatu objek atau kategori yang tidak menggambarkan kedudukan objek atau kategori tersebut terhadap objek atau kategori lainnya, tetapi hanya sekedar label atau kode saja. Skala ini hanya mengelompokkan objek atau kategori ke dalam kelompok tertentu. Sebagai contoh, mengklasifikasi jenis kelamin, agama, pekerjaan, dan area geografis. Dalam mengidentifikasi hal-hal tersebut digunakan angka-angka 6

sebagai simbol. Skala pengukuran data nominal digunakan dalam statistika nonparametrik. Hasil analisis dipresentasikan dalam bentuk persentase. Sebagai contoh, dalam mengklasifikasikan variabel jenis kelamin menjadi seperti berikut: laki-laki diberikan simbol angka 1 dan wanita diberikan simbol angka 2. Operasi aritmetika tidak dapat dilakukan dengan angka-angka tersebut karena angkaangka tersebut hanya menunjukkan keberadaan atau ketiadaan karakteristik tertentu. 2.8 Skala Ordinal Skala pengukuran ordinal merupakan skala pengukuran yang memberikan informasi tentang jumlah relatif karakteristik yang berbeda yang dimiliki oleh objek atau individu tertentu. Tingkat pengukuran ini mempunyai informasi skala nominal yang ditambah dengan sarana peringkat relatif tertentu yang memberikan informasi apakah suatu objek memiliki karakteristik yang lebih atau kurang, tetapi bukan berapa banyak kekurangan dan kelebihannya. Dalam skala ordinal tidak dapat dilakukan operasi aritmetika, seperti menjumlah, mengurangi, mengalikan, membagi, dan merata-ratakan angka-angka tersebut, karena angka-angka tersebut hanya menunjukkan keberadaan atau ketiadaan karakteristik tertentu. Sebagai contoh, jawaban dari suatu pertanyaan berupa peringkat, misalnya sangat tidak setuju, tidak setuju, netral, setuju, dan sangat setuju, dapat diberi simbol angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Angka-angka tersebut hanya merupakan simbol peringkat, tidak mengekspresikan jumlah. Misalnya dalam pertanyaan Apakah saudara setuju dengan kenaikan tarif tiket pesawat terbang?. Jawaban: a. sangat tidak setuju, b. tidak setuju, c. ragu-ragu, d. setuju, e. setuju sekali. Jika menggunakan skala ordinal, sangat tidak setuju diberi nilai 1, tidak setuju diberi nilai 2, ragu-ragu diberi nilai 3, setuju diberi nilai 4, dan setuju sekali diberi nilai 5. 7

2.9 Skala Interval Skala interval memiliki karakteristik yang sama seperti yang dimiliki oleh skala nominal dan ordinal dengan ditambah karakteristik lain, yaitu interval yang tetap. Dengan demikian, seorang peneliti dapat melihat besarnya perbedaan karakteristik antara satu individu atau objek dengan yang lainnya. Skala pengukuran interval benar-benar merupakan angka sehingga operasi aritmetika, misalnya penjumlahan atau perkalian dapat dilakukan. Untuk melakukan analisis, skala pengukuran interval menggunakan statistika parametrik. Sebagai contoh, jawaban tentang frekuensi dalam pertanyaan Berapa kali Anda berbelanja di Supermarket X dalam satu bulan? adalah 1 kali, 3 kali, dan 5 kali. Angka-angka 1, 3, dan 5 merupakan angka sebenarnya yang menggunakan interval 2. Jika menggunakan interval 1, jawabannya menjadi 1 kali, 2 kali, 3 kali, atau 4 kali. 2.10 Skala Rasio Skala pengukuran rasio memiliki semua karakteristik yang dimiliki oleh skala nominal, ordinal, dan interval dengan kelebihan bahwa skala ini memiliki nilai 0 (nol) empiris absolut. Nilai absolut nol tersebut terjadi ketika suatu karakteristik yang sedang diukur tidak ada. Pengukuran rasio biasanya berbentuk perbandingan antara satu individu atau objek tertentu dengan yang lainnya. Sebagai contoh berat Rinso 3 gram, sedangkan berat Soklin 6 gram. Maka, berat Rinso dibanding dengan berat Soklin sama dengan 1 dibanding 2. Dalam pertanyaan Berapa berat badan Anda sebelum dan sesudah makan obat diet?, jawabannya berupa angka sebenarnya, yaitu berat sebelum minum obat 70 kg dan berat sesudah minum obat 60 kg. Dalam penelitian ini, skala pengukuran yang dibahas adalah skala pengukuran ordinal dan skala pengukuran interval. 8

2.11 Statistika Deskriptif Statistika deskriptif merupakan suatu proses statistika dimana hanya berusaha melukiskan atau mengalisa kelompok yang diberikan tanpa membuat atau menarik kesimpulan tentang populasi atau kelompok yang lebih besar. Dengan kata lain, statistika deskriptif hanya digunakan untuk menunjukkan kondisi suatu data dan tidak dapat digunakan untuk menunjukkan kondisi data lain ataupun kondisi data yang lebih besar. Di dalam statistika deskriptif, terdapat beberapa rposedur pengujian statistika yang digunakan untuk menunjukkan kondisi suatu data, seperti rata-rata atau mean, median, modus, standar deviasi, varians, kemiringan, kurtosis, nilai minimum dan nilai maksimum. 2.12 Rata- Rata atau Rata-Rata Hitung Rata-rata, atau lengkapnya rata-rata hitung, untuk data kuantitatif yang terdapat dalam sebuah sampel dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data oleh banyak data. Simbol rata-rata untuk sampel adalah, sedangkan rata-rata untuk populasi dipakai simbol µ. Atau lebih sederhana lagi ditulis: dengan = nilai pada data ke- = 1, 2, 3,..., n = banyak data Untuk data yang telah dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi, maka rataratanya adalah: Dengan = frekuensi pada kelas ke-k = nilai tengah pada kelas ke-k 9

2.13 Modus Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat digunakan ukuran modus atau disingkat Mo. Ukuran ini juga dalam keadaan tidak disadari sering dipakai untuk menentukan rata-rata data kualitatif. Sebagai contoh, jika terdapat suatu pernyataan kebanyakan kematian di Indonesia disebabkan oleh penyakit malaria, pada umumnya kecelakaan lalu lintas karena kecerobohan pengemudi, maka pernyataan-pernyataan tersebut merupakan modus penyebab kematian di Indonesia dan modus kecelakaan lalu lintas. Modus untuk data kuantitatif ditentukan dengan cara menentukan frekuensi terbanyak di dalam data kuantitatif tersebut. Jika data kuantitatif telah disusun di dalam daftar distribusi frekuensi, maka modusnya dapat ditentukan dengan rumus: ( ) dengan = batas bawah kelas modal, ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak, = panjang kelas, = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modal, = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modal. 2.14 Median Median merupakan suatu nilai yang membagi data menjadi dua bagian yang sama. Sebelum menghitung nilai median, terlebih dahulu data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Median biasa disingkat dengan Me. Jika banyak data ganjil, maka nilai median setelah data disusun menurut nilainya, merupakan 10

data paling tengah. Untuk sampel berukuran genap, setelah data disusun menurut urutan nilainya, maka mediannya sama dengan rata-rata hitung dua data tengah. Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, mediannya dihitung dengan rumus: ( ) dengan = batas bawah kelas median, ialah kelas di mana median akan terletak, = panjang kelas, = Banyak data, = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median, = Frekuensi kelas median. 2.15 Deviasi Standar (Simpangan Baku) Deviasi standar adalah ukuran penyimpangan terhadap nilai rata-ratanya, nilai simpangan baku merupakan harga akar positif dari selisih item data dengan nilai rata-rata yang dibagi oleh jumlah data. Untuk sebuah himpunan dari jumlah n data, di mana rataratanya adalah adalah, standar deviasi sampel yang dinotasikan sebagai berikut: didefinisikan 2.4 dengan: = standar deviasi = banyak data = rata-rata sampel = data ke-i, i = 1, 2,,n. 11

Untuk data yang sudah dikelompokkan, formula deviasi standar atau simpangan baku sampel adalah sebagai berikut: 2.5 dengan: = simpangan baku = banyak data = rata-rata sampel = frekuensi kelas ke-i = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2,, k 2.16 Varians Varians adalah rata-rata hitung dari kuadrat simpangan setiap pengamatan terhadap rata-rata hitungnya. Untuk data yang tidak dikelompokkan, varians sampel adalah sebagai berikut: 2.6 dengan: = varians = banyak data = rata-rata sampel = data ke-i, i = 1, 2,,n 12

Untuk data yang sudah dikelompokkan, varians populasi adalah sebagai berikut: 2.7 dengan: = varians = banyak data = rata-rata sampel = frekuensi kelas ke-i = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2,, k 2.17 Distribusi Normal Distribusi normal termasuk ke dalam salah satu distribusi probabilitas nondiskrit atau kontinu. Dalam distribusi normal, variabel acak dinyatakan dalam interval dan bersifat tidak dapat dihitung (uncountable). Sebagai contoh variabel acak X dinyatakan dalam interval dengan. Beberapa fenomena dalam kehidupan mendekati kurva dari distribusi normal, contohnya adalah fenomena mengenai nilai IQ manusia, tinggi badan, berat badan, dan sebagainya. Dengan menggunakan distribusi normal, penyajian data dapat lebih bermakna daripada hanya menggunakan penyajian berkelompok saja, karena dengan adanya persyaratan normalitas data, maka data dapat dilanjutkan penyajiannya dalam bentuk membedakan, mencari hubungan, dan meramalkan. Distribusi normal atau kurva normal disebut juga dengan distribusi Gauss, karena persamaan matematisnya ditemukan oleh Gauss. Fungsi kepadatan untuk distribusi ini ditentukan oleh: 2.8 13

dengan: = parameter yang merupakan rata-rata distribusi = parameter yang merupakan simpangan baku distribusi Jika Z adalah variabel terstandarisasi yang sesuai dengan X, yaitu jika Maka nilai mean atau nilai ekspektasi dari Z adalah 0 dan variansnya adalah 1. Dalam kasus semacam ini fungsi kepadatan untuk Z dapat diperoleh dari persamaan (2.9) dengan memasukkan dan, menghasilkan 2.9 Fungsi ini sering dinyatakan sebagai fungsi kepadatan normal standar. Grafik dari fungsi kepadatan (2.9), disebut kurva normal standar, seperti tampak pada Gambar 2.1 f(x) Gambar 2.1 Kurva Normal Standar 2.18 Kemiringan Kemiringan merupakan ukuran yang digunakan untuk mengetahui derajat taksimetri dari sebuah model. Terdapat beberapa bentuk kurva atau model yang bentuknya bisa positif, negatif, atau simetrik. Model positif terjadi bila suatu kurva membentuk ekor yang memanjang ke sebelah kanan. Sebaliknya, jika ekornya memanjang ke sebelah kiri maka didapatkan model negatif. Dalam kedua hal ini terjadi sifat taksimetri. Rumus untuk kemiringan adalah sebagai berikut: 14

Dikatakan suatu model merupakan model positif jika kemiringan bernilai positif, model negatif jika kemiringan bernilai negatif, dan simetrik jika kemiringan sama dengan nol. 2.19 Kuartil Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Terdapat tiga macam kuartil, yaitu kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga yang masing-masing disingkat dengan dan. Pemberian nama ini dimulai dari nilai kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartil caranya adalah: 1) Susun data menurut urutan nilainya dari yang terkecil sampai terbesar. 2) Tentukan letak kuartil. 3) Tentukan nilai kuartil Letak kuartil ke-i, diberi lambang, ditentukan oleh rumus: dengan = 1, 2, 3 = Banyak data 2.20 Persentil Sekumpulan data yang dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang berturut-turut dinamakan persentil pertama, persentil kedua,..., persentil ke-99. Simbol yang digunakan berturut-turut adalah...,. Cara perhitungan persentil sama seperti perhitungan kuartil. Letak persentil untuk sekumpulan data ditentukan oleh rumus: 15

dengan = 1, 2,..., 99. 2.21 Kurtosis = Banyak data. Tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva disebut kurtosis. Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu runcing atau tidak terlalu datar, dinamakan mesokurtik. Kurva yang runcing dinamakan leptokurtik, sedangkan kurva yang datar disebut platikurtik. Salah satu ukuran kurtosis adalah koefisien kurtosis yang diberi simbol, ditentukan oleh rumus: dengan = Kuartil pertama = Kuartil ketiga = Persentil kesepuluh = Persentil kesembilanpuluh Untuk distribusi normal, nilai = 0,263. Berikut ini merupakan gambar kurva yang berbentuk leptokurtik, platikurtik, dan mesokurtik. Gambar 2.2 Kurva leptokurtik, mesokurtik, dan platikurtik. 16

2.22 Rata-Rata Ukur Misalkan terdapat n data yang terdiri dari x, 1, x2, x3, x4,... xn, maka rata-rata ukur didefinisikan sebagai U n x1. x2. x3. x4... x5 yaitu akar pangkat n dari perkalian x, 1. x2. x3. x4... xn. Jika perbandingan tiap data berurutan tetap atau hampir tetap, rata-rata ukur lebih baik digunakan daripada rata-rata hitung. Untuk bilangan-bilangan bernilai besar, rata-rata ukur dapat ditentukan dengan rumus: log xi log U (2.14) n Jika data disusun dalam daftar distribusi frekuensi rata-r ata ukurnya dinyatakan dengan menggunakan rumus dengan: = frekuensi kelas ke-i = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2,, k fi log xi log U (2.15) f i 2.23 Rata-Rata Harmonik Misalkan terdapat n data yang terdiri dari x, 1, x2, x3, x4,... xn, maka rata-rata harmonik didefinisikan sebagai: H n (2.16) 1 1 1 1... x x x 1 2 3 x n 17

atau H n 1 x i (2.17) Jika data tersusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka rata-rata harmonik dinyatakan dengan: dengan: = Rata-rata harmonik = frekuensi kelas ke-i = nilai tengah dari kelas ke-i, i = 1, 2,, k f i H (2.18) f i xi Secara umum, untuk sekumpulan data berlaku H U X 2.24 Scatterplot Scatterplot adalah sebuah grafik yang biasa digunakan untuk melihat suatu pola hubungan antara 2 variabel. Jika Scatterplot membentuk pola yang menyerupai garis lurus, maka mengindikasikan bahwa ada hubungan yang erat antara satu variabel dengan variabel lain. Hubungan yang membentuk garis lurus biasa disebut dengan hubungan linier. Hubungan linier dapat membentuk hubungan yang positif dan negatif. Jika plotnya menyebar, maka bisa disimpulkan bahwa hubungan antara satu variabel dengan variabel lain sangatlah kecil atau tidak ada hubungan. Scatterplot juga bisa digunakan untuk melihat penyebaran data. Apakah data menyebar ataukah mengumpul disuatu area. 18

2.25 Metode Suksesif Interval Metode suksesif interval merupakan proses mengubah data ordinal menjadi data interval. Data ordinal diubah menjadi data interval dikarenakan data ordinal sebenarnya adalah data kualitatif atau bukan angka sebenarnya. Data ordinal menggunakan angka sebagai simbol data kualitatif. Beberapa akibat yang dapat terjadi jika seorang peneliti memaksakan data berskala ordinal dianalisis tanpa ditransformasi menjadi data berskala interval adalah: Pelanggaran asumsi yang mendasari prosedur statistika yang digunakan, hasil analisis yang menjadi tidak signifikan, kesimpulan yang dibuat dalam penelitian dapat terbalik atau keliru. Pengubahan data dengan skala pengukuran ordinal menjadi data dengan skala pengukuran interval tergantung pada besarnya frekuensi dari data tersebut. Karena frekuensi berpengaruh pada setiap perhitungan yang dilakukan di dalam proses transformasi skala pengukuran ordinal menjadi interval. Terdapat tujuh langkah dalam MSI, sebagai berikut: Langkah 1 : Menghitung Frekuensi Menghitung frekuensi dilakukan pada setiap poin-poin dalam variabel dengan memakai turus, sehingga mempermudah dalam menentukan banyaknya frekuensi dalam satu poin pertanyaan. Langkah 2 : Menghitung Proporsi (P) Proporsi merupakan perbandingan antara besarnya frekuensi dalam suatu poin variabel dengan banyaknya data. Proporsi bisa ditunjukkan dalam bentuk persen dan bisa juga tidak ditunjukkan dalam bentuk persen. Proporsi memberikan informasi mengenai perbedaan antara setiap skor dalam suatu variabel dibandingkan dengan banyak datanya. Perhitungan proporsi dapat dilakukan dengan rumus berikut: 19

dengan = Proporsi pada skor-s = Skor pada data dalam satu pertanyaan ( s: 1, 2, 3, 4, 5) = Frekuensi skor-s = Banyak data Langkah 3 : Menghitung Proporsi Kumulatif (PK) Proporsi kumulatif merupakan jumlah dari perbandingan frekuensi setiap skor dalam suatu variabel dengan banyaknya data. Proporsi kumulatif juga bisa ditunjukkan dalam bentuk persen maupun tidak. Proporsi kumulatif dari skor data terendah sampai dengan skor data tertinggi, jika dijumlahkan haruslah bernilai 100% atau dapat juga bernilai 1. dengan = Proporsi kumulatif untuk skor-s = Proporsi kumulatif untuk skor-(s-1) Langkah 4 : Mencari nilai Z Nilai Z dicari dengan asumsi bahwa data yang digunakan berdistribusi normal, kebanyakan dari fenomena yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari menggunakan distribusi normal. Untuk mengubah data ordinal menjadi data interval perlu dilakukan standarisasi data untuk menemukan nilai pada data yang sesuai dengan nilai dalam tabel Z. Dengan menggunakan distribusi normal, penyajian data dapat lebih bermakna daripada hanya menggunakan penyajian berkelompok saja, karena dengan adanya persyaratan normalitas data, maka data dapat dilanjutkan penyajiannya dalam bentuk membedakan, mencari hubungan, dan meramalkan. Cara mencari nilai Z sebagai berikut: Tentukan nilai proporsi pada tabel Z yang akan dihitung, jika nilai proporsi kumulatif lebih besar dari 0,5, maka nilai proporsi pada tabel Z 20

ditentukan dengan mengurangkan nilai proporsi kumulatif dengan 0,5. Jika nilai proporsi kumulatif lebih kecil dari 0,5, maka nilai proporsi pada tabel Z ditentukan dengan mengurangkan 0,5 dengan proporsi kumulatif. Temukan nilai Z pada tabel Z yang memiliki nilai proporsi sesuai dengan nilai proporsi yang telah dihitung. Jika tidak ada, maka diambil 2 nilai Z yang mendekati nilai Z yang sebenarnya, kemudian nilai Z dicari dengan cara interpolasi. Nilai Z hasil interpolasi dicari dengan cara sebagai berikut: Kemudian, jika nilai proporsi kumulatif lebih besar dari 0,5, maka Z bernilai positif, dan jika nilai proporsi kumulatif lebih kecil dari 0,5, maka Z bernilai negatif. Langkah 5 : Menghitung densitas F(Z) F(Z) merupakan fungsi kepadatan untuk nilai Z.Jika Z adalah variabel terstandarisasi yang sesuai dengan X, yaitu jika Maka nilai mean atau nilai ekspektasi dari Z adalah 0 dan variansnya adalah 1. Dalam kasus semacam ini fungsi kepadatan untuk Z dapat diperoleh dari persamaan (2.9) dengan memasukkan dan, menghasilkan cara untuk menghitung nilai densitas F(Z) adalah sebagai berikut: ( ) dengan = nilai densitas-z = 3,14 21

= 2,718 Langkah 6 : Menghitung Scale Value Data interval memiliki jarak tertentu antara masing-masing skor pada data. Scale value dihitung untuk mengetahui jarak terkecil di antara semua skor yang ada pada data. Kemudian jarak terkecil itu akan digunakan untuk menentukan jarak yang akan ditambahkan dengan masing-masing scale value sebelumnya. Cara untuk menghitung Scale Value adalah sebagai berikut: dengan = Scale Value pada skor-s untuk lebih memudahkan dalam perhitungan, maka dibuat tabel penolong untuk nilai proporsi kumulatif dan nilai densitas F(Z). Langkah 7 :Menghitung nilai hasil skala interval Langkah terakhir dalam proses pengubahan data berskala ordinal menjadi data berskala interval adalah dengan menghitung nilai hasil penskalaan. Nilai inilah yang kemudian menjadi hasil transformasi data setelah penerapan MSI. Untuk menghitung nilai hasil skala interval dilakukan langkah-langkah berikut ini: Cari nilai SV minimum dengan rumus: Nilai inilah yang akan dijadikan jarak patokan untuk ditambahkan dengan nilai scale value masing-masing skor sehingga mendapatkan nilai skala interval. Kemudian transformasi nilai skala ordinal menjadi interval dengan rumus: dengan = nilai skala interval hasil transformasi untuk skor-s 22