MODEL LOGIT KUMULATIF UNTUK RESPON ORDINAL Robah P Rahaat da Tatk Wdhah Juusa Matmatka FMIPA UNDIP Jl. Pof. H. Sodato, S.H, Smaag 575 Abstat. Logt umulatv modl s usd to dsb th latoshp btw a spos vaabl ad o o mo xplaatoy vaabls whh spos vaabl s of odal sal. To stmat th paamts, us maxmum lklhood mthod wth Nwto Raphso tato. Tstg fo th sgfa of th offts s do to ft th modl. Tst fo ovall sgfa of th vaabls th modl s pfomd by lklhood ato tst ad tst o dvdual offt s do usg Wald s tst. Ky wods: logst, logt, bay, odal, gsso modl, MLE. PENDAHULUAN Modl gs mupaka kompo ptg dalam bbapa aalss data dga mggambaka hubuga ataa vaabl spo da satu atau bbapa vaabl plas. Pada umumya aalss gs dguaka utuk mgaalss data dga vaabl spo bupa data kuattatf. Aka ttap sg uga dtmu kasus dga vaabl spoya bsfat kualtatf/ katgo. Utuk mgatas masalah tsbut dapat dguaka modl gs logstk [3]. Modl logstk utuk data spo odal dga k katgo ( k> mupaka pluasa da modl logstk utuk data spo omal dga dua katgo (modl logstk b. Sbagamaa dalam modl gs laya, dua vaabl plas atau lbh dapat dstaka dalam aalss. Vaabl plas dapat bupa data kuattatf maupu data kualtatf []. Modl logstk utuk data spo odal sg dsbut sbaga modl logt kumulatf. Rspo dalam modl logt kumulatf bupa data btgkat yag dwakl dga agka,, 3,, k, dga k adalah bayakya katgo spo []. Dalam tulsa aka dbahas mga ptua modl logt kumulatf da u kooka modl yag dpolh. Utuk mmplas pmbahasa dbka otoh kasus pagkat pgawa g spl RSUD Salatga p 3 Dsmb.. DESKRIPSI TEORITIS Sbaga dasa utuk modl logstk odal adalah modl logstk b. Pada modl logstk b Y adalah vaabl spo yag laya utuk kada sukss atau utuk kada gagal. Dalam modl aka dttuka pluag Y= bla dktahu haga X. (x = P(Y = X da -(x = P(Y = X. Modl logstk b dga satu vaabl plas bbtuk: ( x Logt[ (x ] = log ( x = + x, (. dga X : vaabl plas / bbas. da adalah paamt da modl Jka psamaa (. dubah k btuk ksposal maka aka dpolh x (x =. (. x.. Paksa Paamt Msal dlakuka pobaa yag salg bbas, dga y adalah vaabl spo da obsvas k- ( =,,,
Robah P Rahaat da Tatk Wdhah (Modl Logt Kumulatf utuk Rspo Odal bdstbus bomal dga pobabltas sukss (x da pobabltas gagal -(x. y mmpuya fugs dstas sbaga bkut y y f(y = ( x ( x, y =,. (.3 Kaa obsvas salg bbas maka fugs lklhood ddapat sbaga hasl pkala da masg-masg fugs dstas, yatu L( = f ( y y y = ( x x (.4 Dga adalah paamt yag tdak dktahu da x adalah vaabl bbas pada obsvas k-. Psp da mtod maksmum lklhood adalah ma la dga mmaksmumka fugs lklhood. Utuk tu aga lbh mudah, tlbh dahulu dbtuk logatma atual da fugs lklhood, kmuda mdfsalka logatma atual da fugs lklhood tsbut thadap masg-masg paamt, yatu da. K( = l L( = { y( x l( xp( x } (.5 Dga mdfsalka fugs log lklhood thadap da maka aka ddapat psamaa lklhood, yatu K( ( y x =, da (.6 K( xy x =. (.7 ( Dalam otas matks, tuua pasal ptama adalah K( K(... K( x x... x atau y y...... y K X ( y -, (.8 myataka (x. Psamaa log lklhood pada psamaa (.8 buka mupaka fugs l dalam da shgga haga taksa da dga mgguaka mtod umk. Mtod yag dpaka utuk mmahka masalah adalah mtod Nwto-Raphso. Utuk tu dpluka tuua pasal kdua log lklhood. Pada psamaa (.8 tuua pasal kdua da log lklhood thadap da adalah K( K( x ( = (, (.9 K( K( x (, (. x x ( x (, (. dga x : la x pada saat y = ( la x = da x : la x pada saat y =. Da tuua pasal kdua fugs log lklhood dbtuk matks bukua (x yag mmlk lm-lm gatf da la-la dalam psamaa (.9, (. da (.. Sbut matks sbaga matks fomas yag dyataka dga I(. Btuk matks fomas tsbut adalah 3
Jual Matmatka Vol. 8, No.3, Dsmb 5: -7 K( I( = K( K(, K( ( x ( =. x ( x ( (. Posdu Nwto-Raphso utuk ma taksa, =, dga lagkah-lagkah sbaga bkut. Plh taksa awal m, msalka =, m =,,.. Pada stap tas k (m+ htug taksa bau : (m+ = m + [ I( ] - x [ y- ] 3. Itas blaut hgga dpolh (m+ m.. U Sgfkas Modl a. U saa ksluuha mgguaka u aso lklhood - Hpotss H : = vs H : - Statstk u = htug lklhood ta pa va ablbbas - l lklhooddga va ablbbas = - l y ( y ˆ ( ˆ dga = y da = ( y - Kputusa : H dtolak ka htug > ; atau ddasaka haga p-valu. b. U dvdu mgguaka u Wald - Hpotss : H : = vs H :, dga =, ˆ - Statstk u : W = ˆ SÊ( - Kputusa : H dtolak ka W > atau ddasaka haga p-valu ; 3. MODEL LOGIT KUMULATIF 3.. Btuk Modl Modl logstk utuk data spo odal sg pula dsbut modl logt kumulatf. Btuk modl logt kumulatf utuk spo odal dga k katgo yatu Logt [ ] = log = + T x (3. dga : pluag katgo spo k- = [ P(Y ] : pluag kumulatf katgo spo k- =... : kostata ( =,,..., k- T =( p : paamt kofs yag mggambaka pgauh X thadap logt ( utuk spo (y pada katgo kuag da atau sama dga. Msalka X T =(X X X p adalah vaabl plas. Vaabl plas pada modl logt kumulatf dapat bupa vaabl kotu, katgo atau kduaya. Jka psamaa (3. dubah kbtuk ksposal aka dpolh T x = [P(Y ] =. (3. T x 3.. Paksa Paamt Modl Logt Kumulatf Kotbus da obsvas mutomal,,, k utuk fugs lklhood adalah Logt [ ] = + T x. Kaa dalam hal dguaka pobabltas kumulatf yag ddfska sbaga R = Z = R /...... k R k = = Z k = R k / = Fugs lklhood ddfska sbaga pkala da (k- fakto, yatu: 4
Robah P Rahaat da Tatk Wdhah (Modl Logt Kumulatf utuk Rspo Odal R R R L =... Rk Rk Rk k- k k (3.3 k k Jka ddfska = logt = log da g ( = log xp( = log maka log lklhood adalah k K = log L = Z Z g. (3.4 Modl saa umum da psamaa (3. dapat dtuls logt ( = * T X (3.5 dga : * = (,,..., k-,,,..., p adalah vkto paamt X = (,...,,...,, X yag bla pada saat. Tuua log lklhood thadap * adalah k K K d X d X, (3.6 dga msubsttus V = da V, dpolh k K K V q, dga d d q = X X, Psamaa log lklhood pada psamaa (3.6 buka mupaka fugs l dalam * shgga haga taksa * da dga mgguaka mtod umk. Mtod yag dpaka utuk mmahka masalah adalah mtod Nwto Raphso. Da psamaa (3.6, gatf la haapa tuua pasal kdua da log lklhood thadap *, * s yatu A s = - E K V q q, (3.7 s s dga q s = d d X s X,s. Jad posdu Nwto Raphso utuk ma taksa * adalah. Plh taksa awal A m, m =,,, msal dambl =.. Pada stap tas k (m+ htug taksa bau : b = A * m+ = A * m + K. 3. Itas blaut hgga dpolh A * m+ A * m. 3.3. U Sgfkas Modl Stlah mmpolh modl logt kumulatf da mlakuka paksa paamt-paamt yag ada pada modl, maka lagkah slautya adalah mla sgfkas da paamt-paamt tsbut. 3.3.. U Raso Lklhood U aso lklhood dpolh dga aa mmbadgka fugs log lklhood da sluuh vaabl bbas dga fugs log lklhood tapa vaabl bbas. U aso lklhood dguaka utuk mgu sgfkas modl saa ksluuha. Fugs log lklhood muut psamaa (3.4 adalah k K( = Z Z g k = R log( R log( log( Fugs log lklhood utuk p vaabl plas adalah K( = k R log x R log x 5
Jual Matmatka Vol. 8, No.3, Dsmb 5: -7 x x log, (3.8 dga (x sama dga spt psamaa (3.. Sdagka fugs log lklhood utuk modl logt kumulatf yag haya mgadug kostata ddfska dga K( = dga R l k R l l, (3.9 ( da (. Hpotssya adalah H : = =... = p = vs H : mmal ada satu Statstk u : = htug lklhood ta pa vaablbbas - log lklhooddga vaablbbas (3. Kputusa: H dtolak ka > atau bdasaka haga p-valu htug ; p Polaka H mmb at bahwa satu atau lbh paamt yag ada pada modl tdak sama dga ol. Olh kaa tu, dga mgtahu sgfka/ tdakya paamt dapat dktahu sgfka/ tdakya modl. 3.3.. U Wald U Wald dpolh dga aa mgkuadatka aso stmas paamt dga stmas stada oya. U Wald dguaka utuk mgu sgfkas tap paamt. - U Wald utuk kostata Hpotss : H : = vs H : ˆ Statstk u : W = (3. ˆ SÊ( Kputusa: H dtolak ka W > atau bdasaka haga p-valu ; - U Wald utuk kofs vaabl plas Hpotss : H : = vs H : ˆ Statstk u : W = ˆ (3. SÊ( Kputusa: H dtolak ka W > ; atau bdasaka haga p-valu 4. CONTOH KASUS Utuk mapka modl logt kumulatf utuk spo odal maka dambl stud kasus d bdag kpgawaa. Aka dlhat pgauh tgkat pddka da masa ka thadap pagkat (gologa/ uag pgawa g spl. Dalam hal data yag dambl adalah data ktagaa Bada Pglolaa Rumah Sakt Umum Daah Kota Salatga kadaa 3 Dsmb, sbayak 9 pgawa g spl. Pagkat (gologa/uag dkatgoka dalam 4 tgkata, yatu tgkat (gologa IB sampa dga tgkat 4 (gologa IVC. Tgkat pddka dotaska X da dkatgoka mad 6, yatu: = SD, = SMP, 3 = SMU atau sdaat da Dploma I, 4 = Dploma III, 5 = Saaa Stata I, 6 = Dokt Umum, Dokt Spsals, Saaa Stata II. Masa ka (tahu dotaska dga X. Data tsbut daalss dga pogam SPSS dpolh hasl sbaga bkut - Da tabl dapat dbtuk modl logt kumulatf Logt [ P(Y ] = +,384 x + 3,585 x, dga =,,., 3. - U sgfkas modl saa ksluuha Hpotss : H : = = vs H : mmal ada satu, dga =, Da hasl phtuga dpolh htug = 4,74 dga sg.=. Shgga apabla dambl = 5 % maka Ho dtolak, mmal ada satu paamt, atau dga kata la modl ook 6
Robah P Rahaat da Tatk Wdhah (Modl Logt Kumulatf utuk Rspo Odal Tabl. Estmas Paamt Modl, haga Wald da sgfkasya 3 4 5 6 7 8 6.5 8.94 9.75.39 4.87 6. 8.76.946 Wald.98 8.76.7 43.855 74.38 83.95 95.34.9 Sg......... 9 3.474 4.9 6.76 9.6 3.88.384 3.585 Wald 4.67 8.493 78.936 84.759 93.339 3.98 9.954 Sg....... - U sgfkas tap-tap paamt dalam modl dga u Wald U Wald utuk tsp Hpotss : H : = vs H : =,,...3 Bdasaka tabl, sg. da smua adalah.. Hal muukka bahwa smua paamt bpgauh thadap logt [ ] yag bat bpgauh pula thadap pagkat PNS. U Wald utuk kofs vaabl plas Hpotss : H : = vs H :, dga =, Bdasaka tabl, dpolh la W, yatu W = 3,98 da W = 9,954 sta la sg. =. Hal muukka bahwa smua paamt bpgauh thadap logt [] atau smua vaabl plas, yatu tgkat pddka da masa ka bpgauh thadap logt [] yag bat bpgauh pula thadap pagkat PNS. 5. PENUTUP Modl logt kumulatf dapat dguaka utuk mggambaka hubuga ataa vaabl spo yag bskala odal da vaabl plas, dmaa vaabl plasya dapat bupa data kotu, katgo atau kduaya. Utuk maks paamt pada modl logt kumulatf dguaka mtod maksmum lklhood yag mupaka psamaa yag tdak mmpuya pylsaa losd fom sshgga pamaa yag ada haus dslsaka saa tatf dga mtod Nwto Raphso. Sdagka utuk mgtahu kooka modlya dguaka u aso lklhood (u ksluuha da u wald (u dvdu. 6. DAFTAR PUSTAKA [] Agst, A. (996, A Itoduto to Catgoal Data Aalyss, Joh Wly ad Sos I, Caada. [] Ellyaa (, Pbadga Modl Logstk Odal dga Modl Rgs Klask, Jual MIPA Ua, 5(: 43-44. [3] Hosm, D.W. ad Lmshow, S. (989, Appld Logst Rgsso, Joh Wly ad Sos I, Caada. [4] MCullagh, P. (98, Rgsso Modls fo Odal Data (wth dsusso, Jual Royal Statst Soty, B(4: 9 4. [5] MCullagh, P. ad J.A Nld (983, Galzd La Modls, Chapma ad Hall, Lodo, Sod Edto 989. 7