APLIKASI INTEGRAL
APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL Lus derh kelengkungn
Integrl digunkn pd design Menr Petrons di Kul lumpur, untuk perhitungn kekutn menr.
Sdne Oper House di design berdsrkn irisn-irisn bol. Bnk persmn diferensil diselesikn (dlm menelesiknn menggunkn integrl) pd design gedung tsb
CRASH TESTS Pd st terjdi kecelkn mobil, bgin tubuh ng beresiko tinggi untuk terluk g menebbkn kemtin dlh kepl. Kren itu, di dlm mobil perlu dipsng lt-lt pengmn seperti sbuk pengmn dn irbg.
PENERAPAN INTEGRAL Indiktor 1 Indiktor 9 Lus derh di bwh kurv berdsr prinsip Riemn Volume bend putr, jik kurv diputr mengelilingi sumbu Y 4
Integrl Tentu Lus Derh Teorem Dsr Klkulus Mislkn f dlh fungsi ng kontinu pd selng [, b] dn mislkn F dlh nti turunn dri f pd selng tersebut, mk berlku : b f( ) d F( b) F( ) Untuk meringks penulisn, F(b) F() dinotsikn sebgi F() b Contoh 1 : Hitunglh nili dri 6 4 Jwb 1 1 d 6 4 d = 1 = () () [(-1) (-1) ] = 16 8 + + = 1
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Secr geometri definisi integrl Riemn di ts dpt dirtikn sebgi lus derh di bwh kurv = f() pd intervl [, b]. Jumlh Lus Prtisi Berubh Menjdi Integrl f() f() Tentukn limitn n b n i1 f( i ) i b f ( ) d b L b f( ) d lim n n i1 f( i ) i
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Kegitn pokok dlm menghitung lus derh dengn integrl tentu dlh: i f() 1. Gmbr derhn.. Prtisi derhn. Aproksimsi lus sebuh prtisi L i f( i ) L i f( i ) i 4. Jumlhkn lus prtisi i L f( i ) i 5. Ambil limitn L = lim f( i ) i 6. Ntkn dlm integrl L f( ) d
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Contoh 1. Hitunglh lus derh tertutup ng dibtsi kurv =, sumbu, dn gris = Jwb Lngkh penelesin : 1. Gmbrlh derhn i f( ). Prtisi derhn. Aproksimsi lusn L i i i 4. Jumlhkn lusn L i i 5. Ambil limit jumlh lusn i L = lim i i 6. Ntkn dlm integrl dn L i hitung nilin L L d 9 i
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Contoh. Hitunglh lus derh tertutup ng dibtsi kurv =, sumbu Y, dn gris = 4 Jwb Lngkh penelesin : 1. Gmbrlh derhn. Prtisi derhn. Aproksimsi lusn L i. 4 i f ( ) 4. Jumlhkn lusn L. 5. Ambil limit jumlh lusn L = lim. 6. Ntkn dlm integrl dn 4 hitung nilin L. d L 4.8 16
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Contoh. Hitunglh lus derh tertutup ng dibtsi kurv = 4 -, sumbu, dn gris = 6 Jwb Lngkh penelesin: i 1. Gmbr dn Prtisi derhn. Aproksimsi : L i (4 i - i ) i dn L i 4i i j A j -(4 j - j ) j. Jumlhkn : L (4 i - i ) i dn A i 4 j 6 -(4 j - j ) j 4. Ambil limitn L = lim (4 i - i ) i (4 ) A j dn A = lim -(4 j - j ) j 5. Ntkn dlm integrl L 4 (4 ) d A 6 4 (4 ) d f( ) 4
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Lus Derh L 4 (4 ) d i L L A A 1 4 (4) 6 4 1 (4 (4) ) d 1 6 4 A (6) A 7 A 15 1 (6) 16 4 64 64 (4) 15 Lus derh 64 4 1 (4) 1 1 L i i (4 4i i 4 ) j j A j f( ) 4 6
Menghitung Lus dengn Integrl Kesimpuln : f() i Lus Derh Lus Derh i f( i ) b L. d b L. d
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Lus Derh LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhtikn kurv = f() dn = g() dengn f() > g() pd selng [, b] di bwh ini. Dengn menggunkn cr : prtisi, proksimsi, jumlhkn, mbil limitn, integrlkn, mk dpt ditentukn lus derh ntr du kurv tersebut. Lngkh penelesin: 1. Prtisi derhn f(). Aproksimsi : L i [ f() g() ] 4. Jumlhkn : L [ f() g() ] 5. Ambil limitn : L i b f( ) g( ) L = lim [ f() g() ] 6. Ntkn dlm integrl tertentu g() b L f( ) g( ) d
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Contoh 4. Hitunglh lus derh tertutup ng dibtsi kurv = dn gris = - Jwb Lngkh penelesin: 1. Gmbr derhn. Tentukn titik potong kedu kurv = + = ( + )( 1) = diperoleh = - dn = 1. Prtisi derhn 4. Aproksimsi lusn L i ( - - ) 5. Ntkn dlm integrl tertentu ( ) L i 5 4 1 L ( d - - -1 1 ) 1
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Lus Derh L 1 ( ) d L 1 L (1) L 1 1 ( ) 1 8 1 4 ( ) ( ) ( ) L i 5 4 L L 5 1 1 4 1 4 1 8 - - -1 1 1
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Untuk ksus tertentu pemrtisin secr vertikl menebbkn d du bentuk integrl. Akibtn diperlukn wktu lebih lm untuk L i g() f( ) g( ) f() menghitungn. A i b f( ) Lus derh = b f( ) d f ( ) g( ) d
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Lus Derh Jik derh tersebut diprtisi secr horisontl, mk kn diperoleh stu bentuk integrl ng mentkn lus derh tersebut. Sehingg penelesinn menjdi lebih sederhn dri sebelumn. d g( ) g( ) f( ) f( ) g( ) f( ) L i c d Lus derh = g ( ) f( ) c d
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Contoh 5. Hitunglh lus derh di kudrn I ng dibtsi kurv =, gris + = 6, dn sumbu Jwb Lngkh penelesin: 1. Gmbr derhn. Tentukn titik potong kedu kurv = 6 + 6 = ( + )( ) = diperoleh = - dn =. Prtisi derhn 4. Aproksimsi lusn L i (6 - - ) 5. Ntkn dlm integrl tertentu Lus derh = 6 d 6 ( 6 ) L i 6 6
Menghitung Lus dengn Integrl Lus Derh Lus Derh Lus derh = Lus derh = 6 d 6 Lus derh = 6() 4 6 ( 6 ) Lus derh = Lus derh = 1 8 L i 6 6
PENERAPAN INTEGRAL Volume bend putr
Pendhulun Sutu derh jik di putr mengelilingi gris tertentu sejuh 6º, mk kn terbentuk sutu bend putr. Kegitn pokok dlm menghitung volume bend putr dengn integrl dlh: prtisi, proksimsi, penjumlhn, pengmbiln limit, dn mentkn dlm integrl tentu. Gb. 4
Pendhulun Dlm menentukn volume bend putr ng hrus diperhtikn dlh bgimn bentuk sebuh prtisi jik diputr. Berdsrkn bentuk prtisi tersebut, mk metode ng digunkn untuk menentukn volume bend putr dibgi menjdi : 1. Metode ckrm. Metode cincin. Metode kulit tbung 4 1 - - 1 1
PERLU DI INGAT!!!!! RUMUS DASAR TABUNG : >> LUAS PERMUKAAN TABUNG L = π jri-jri tinggi L = π r t >> VOLUME TABUNG V = lus ls tinggi V = π (jri-jri) tinggi V = π r t
Metode Ckrm Metode ckrm ng digunkn dlm menentukn volume bend putr dpt dinlogikn seperti menentukn volume mentimun dengn memotongmotongn sehingg tip potongn berbentuk ckrm.
Metode Ckrm Bentuk ckrm di smping dpt dinggp sebgi tbung dengn jri-jri r = f(), tinggi h =. Sehingg f() volumen dpt diproksimsi sebgi V r h tu V f(). Dengn cr jumlhkn, mbil limitn, dn ntkn dlm integrl h= diperoleh: V f() r f() V = lim f() v [ f( )] d V d
Metode Ckrm f () f ( ) f ( ) f() h= r f() r f () h= V. d V. d
Metode Ckrm Contoh 6. Hitunglh volume bend putr ng terjdi jik derh ng dibtsi kurv = + 1, sumbu, sumbu, gris = diputr mengelilingi sumbu sejuh 6º. Jwb Lngkh penelesin: 1. Gmbrlh derhn. But sebuh prtisi 1 h=. Tentukn ukurn dn 1 1 r 1 bentuk prtisi 4. Ntkn dlm bentuk integrl. V. d V ( 1) d
Metode Ckrm V V ( 1) d V 4 ( 1). d d h= r 1 V V 5 5 1 16 5 1 15 11 ( )
Metode Ckrm Contoh 7. Hitunglh volume bend putr ng terjdi jik derh ng dibtsi kurv =, sumbu, gris = diputr mengelilingi sumbu sejuh 6º. Jwb Lngkh penelesin: 1. Gmbrlh derhn. Butlh sebuh prtisi. Tentukn ukurn dn bentuk prtisi 4. Aproksimsi volume prtisi ng diputr, jumlhkn, mbil limitn, dn ntkn dlm r h= bentuk integrl.
Metode Ckrm V V. d = d V d r h= V 1 V V 1 ( 4 )
Metode Cincin Metode cincin ng digunkn dlm menentukn volume bend putr dpt dinlogikn seperti menentukn volume bwng bomb dengn memotongmotongn ng potongnn berbentuk cincin.
Metode Cincin Menghitung volume bend putr dengn menggunkn metode cincin dilkukn dengn memnftkn rumus volume h r R cincin seperti gmbr di smping, itu V= (R r )h b 1 d dn V. V. b 1 d
Metode Cincin Contoh 8. Hitunglh volume bend putr ng terjdi jik derh ng dibtsi kurv = dn gris = diputr mengelilingi sumbu sejuh 6º. Jwb Lngkh penelesin: 1. Gmbrlh derhn =. But sebuh prtisi. Tentukn ukurn dn 4 bentuk prtisi 4. Aproksimsi volume prtisi ng diputr, jumlhkn, mbil limitn, dn ntkn dlm bentuk integrl.
Metode Cincin V (R r ) h V [ () ( ) ] V ( 1 ) d V (4 4 ) d 4 = r= R= V 4 5 5 1 V ( ) 5 V ( 16 ) 15 96 V 64 15
Metode Kulit Tbung Contoh 9. Hitunglh volume bend putr ng terjdi jik derh ng dibtsi kurv =, gris =, dn sumbu diputr mengelilingi sumbu sejuh 6º. Jwb Lngkh penelesin: 1. Gmbrlh derhn. Butlh sebuh prtisi. Tentukn ukurn dn bentuk prtisi. 4. Aproksimsi volume prtisi ng diputr, jumlhkn, mbil limitn, dn ntkn dlm bentuk integrl. 4 1 1
Metode Kulit Tbung Metode kulit tbung ng digunkn untuk menentukn volume bend putr dpt dinlogikn seperti menentukn volume roti pd gmbr dismping.
Metode Kulit Tbung r r h b V.. d b V = rhδr r Δr h Dimn merupkn jri-jri (r) dn merupkn tinggi tbung (h)
Metode Kulit Tbung 4 4 r = 1 1 h = 1 1 1 V rh V ()( ) V V = lim V.. d V V V d 4 4 1 8