m 0 139 Pada sistem dibawah ini hitun percepatan benda m 1 nap benda m bererak ke bawah Jawab: T 1 T 1 m 1 T m 0 a 0 T T 1 m 1 m 1 m T 1 m a m Karena massa katrol diabaikan maka T 1 T m k a k 0 atau T T 1 Kasus pada soal ini mirip denan kasus soal sebelumnya, hanya disini a 0 -nya arah ke bawah M m a a 0 a a + a 0 Denan menyelesaikan persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh: ( m m m 4 mm ( m + m m + 4mm 1 0 1 1 0 1 140 Pada sistem dibawah ini massa batan M lebih besar dari massa bola m baikan massa dan esekan katrol Pada keadaan awal bola terletak sejajar ujun batan bawah Tentukan teanan tali bila setelah t detik bola sejajar denan ujun batan atas! Panjan batan L Jawab: M T M T m T m ma M bererak ke bawah denan percepatan sedankan m bererak ke atas denan percepatan a, sehina percepatan relatif m terhadap M adalah: a rel + a a + a a Panjan batan L Panjan ini ditempuh oleh benda m denan percepatan relatif a rel dalam waktu t, sehina; L 1 a rel t Selesaikan persamaan-persamaan di atas, kita akan peroleh; T LMm t ( M m Mekanika I 1
m M 141 Dalam sistem berikut ini massa bola adalah η 1,8 kali massa batan Panjan batan L 100 cm baikan massa katrol dan massa tali, serta esekan ola mula-mula ditempatkan sejajar ujun bawah batan, kemudian dilepaskan Kapan bola akan sejajar denan tini ujun atas batan? Jawab: T M M T 1 M Karena katrol tidak bermassa maka: T T 1 Seperti soal sebelumnya ( a, kita akan unakan percepatan relatif untuk menhitun t a rel + a dan L 1 a rel t Dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh, T m T m ma t L a rel t L ( 4 + η 3 ( η h m 1 atau denan memasukkan nilai besaran yan diketahui, kita peroleh: t 1,4 detik 14 Pada sistem dibawah ini massa bend adalah η 4,0 massa benda Tini h 0 cm baikan massa katrol, massa tali dan esekan Pada saat tertentu benda dilepaskan, berapakah tini maksimum yan dicapai benda? m Jawab: T 1 T m 1 T 1 m 1 T m m a m 1 m Perhatikan bahwa ketika bend turun sejauh s, benda akan naik sejauh s sehina percepatan benda dua kali percepatan bend a Mekanika I
Karena katrol yan bererak tidak bermassa maka; T 1 T Selesaikan persamaan-persamaan di atas, kita akan peroleh, atau ( m m m + m 1 1 η η + 4 Waktu yan diperlukan bend mencapai tanah dicari denan rumus: atau h 1 t 1 t 1 Dalam waktu t 1 ini benda akan mencapai ketinian h dan kecepatan v h a 1 h 1 a t 1 h v a t 1 Setelah bend mencapai lantai, erakan benda adalah seperti erakan benda yan dilemparkan ke atas denan kecepatan awal v dari ketinian h enda akan mencapai tini maksimum setelah waktu t' v v 0 t 0 v t t v Ketinian maksimum benda dicari denan rumus: h maks h 0 + v 0 t 1 t h + v t 1 t h maks hη + 8 h + 4 hη 8 h η + 4 6 hη η + 4 atau h maks 0,6 m Mekanika I 3
143 Pada ambar dibawah ini batan bererak turun vertikal sehina bidan mirin akan terdoron horizontal (bidan mirin dan lantai licin Tentukan percepatan batan dan bidan mirin jika perbandinan massa bidan mirin terhadap batan adalah η! Jawab: nap batan bererak turun denan percepatan a dan bidan mirin akan bererak ke kanan denan percepatan a nap batan menekan bidan mirin denan aya R dan bidan mirin bereaksi denan memberi aya pada batan sebesar R jua R α R sin α m a m R cos α m a α Hubunan perpindahan dan adalah: sehina: tan α S S 1 tan α a a Selesaikan persamaan di atas, kita akan peroleh: m a m cot α + m atau, dan a a η cot α + 1 η cotα + tanα 144 Pada susunan sistem di bawah ini massa bidan mirin m 1 dan massa benda m Gesekan hanya ada antara dindin kanan bidan mirin dan benda m denan koefisien esekan µ baikan massa katrol dan tali Tentukan percepatan m relatif terhadap tanah! Jawab: Ketika benda bererak ke bawah, bend akan tertarik ke kanan Percepatan bend memberi tekanan N pada benda Sebaai reaksinya benda akan menekan bend sebesar N pula 1 N F F N m 1 enda mempunyai erakan arah sumbu y dan x 4 Mekanika I
N T m T µn m a y N m a x Sekaran bayankanlah bahwa ketika m turun sejauh L, bidan mirin m 1 akan bererak ke kanan sejauh L jua Gerakan bidan mirin ini akan memindahkan benda m kearah mendatar sejauh L jua, sehina; a x a y a Gunakan F T (menapa bukan T?, selesaikan persamaan - persamaan diatas kita akan peroleh: a m m + µ m + m 1 Percepatan benda m terhadap tanah adalah; atau x y a tot a + a a tot µ 1 + + m m m 1 145 erapakah percepatan minimum yan harus diberikan pada balok aar bend dan benda diam relatif terhadap? Koefisien esekan antara balok dan benda-benda µ baikan massa katrol dan tali nap jua katrol licin m Jawab: Jika bererak cepat sekali maka bend akan terdoron ke kiri (benda ke atas Tetapi jika bererak lambat bend akan bererak ke kanan (karena massa benda lebih besar Dari sini kita memperoleh ide bahwa ada suatu keadaan dimana bend dan akan diam f 1 T T µm 1 m 1 Catatan: adalah relatif terhadap tanah (inat hukum Newton hanya berlaku pada sistem inersial, dalam hal ini tanah adalah sistem inersial f T enda bererak kearah mendatar (relatif terhadap tanah Percepatan arah y-nya nol N m a x N m T µn m a y m 0 Mekanika I 5
α N α m 1 f α Karena a x a maka persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan untuk memperoleh: a m µ m m + µ m 1 1 146 Prism denan balok di atasnya disusun seperti pada ambar Sistem bererak ke kiri denan percepatan a Hitun berapa nilai percepatan maksimum aar balok diam relatif terhadap prisma! Koefisien esekan antara kedua benda ini adalah µ < cot α ma Jawab: ayankan jika a terlalu besar maka balok akan bererak ke atas, sebaliknya jika terlalu kecil balok akan bererak ke bawah Dari sini kita dapat ide bahwa ada nilai a tertentu dimana balok tetap diam relatif terhadap prisma Gaya yan bekerja pada prisma adalah aya tekan dari balok Sedankan aya pada balok disampin aya berat, jua ada aya tekan dari prisma dan aya esek rah aya esek terantun pada kecenderunan benda ini bererak "enda yan berada dalam sistem yan dipercepat denan percepatan a akan menalami aya fiktif sebesar F ma" rah aya ini berlawanan denan arah percepatan Sistem dipercepat ke kiri denan percepatan a, akibatnya balok menalami aya fiktif F m a yan arahnya ke kanan Kasus 1 (balok hampir bererak ke bawah N ma sin α + m cos α ma cos α + µn m sin α Kasus (balok hampir bererak ke atas a ( sin α µ cos α cosα + µ sinα N N ma' sin α + m cos α f α m α ma' ma' cos α µn + m sin α a ( sin α + µ cos α cosα µ sinα Karena yan ditanyakan adalah percepatan maksimum, maka kita ambil kasus (a' > a a maks ( 1 + µ cotα cotα µ 147 Sebuah balok bermassa m ditempatkan diatas prism yan bermassa m 1 Sudut mirin prisma α baikan esekan, hitun percepatan prisma! α 1 Jawab: Ketika balok bererak turun, prism akan bererak ke kanan 6 Mekanika I
N α N α 1 N sin α m 1 Catatan: Semua percepatan diatas diukur menurut penamat yan berdiri di tanah Misalkan percepatan benda relatif terhadap bidan mirin adalah a Hubunan antara a x dan a y denan a dan adalah (nda boleh jua unakan konsep aya fiktif seperti pada soal sebelumnya: α m m N cos α m a y N sin α m a x 1 a x a cos α a y a sin α Dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh: sinα cosα m1 m + sin α 148 Dalam sistem dibawah ini hitun percepatan seitia jika esekan, massa tali dan massa katrol diabaikan! Jawab: Pada kasus ini balok turun menakibatkan seiti bererak ke kanan T cos α N sin α -ma x T sin α + N cos α m -ma y T α N T 1 N sin α + T T cos α m 1 Seperti soal sebelumnya, jika percepatan benda relatif terhadap bend adalah a maka, a x a cos α a y a sin α Denan menambil a (menapa? kita peroleh: m sinα m ( 1 cosα + m 1 149 Sebuah pesawat terban bererak dalam suatu lintasan melinkar vertikal berjari-jari R 500 m denan kecepatan konstan v 360 km/jam Tentukan berat semu penerban (m 70 k dititik terendah (C, titik tertini ( dan titik tenah ( dari lintasan! Mekanika I 7
m v Jawab: Di titik penerban menalami aya sentrifual F ke atas, akibatnya berat semunya akan berkuran: W m F v C m m v Catatan: F mv R Di titik aya berat oran ini merupakan resultan dari m dan F W F + ( m Sedankan di titik C aya berat ini ditambah denan aya sentrifual W C m + F O θ N O 150 andul dapat meluncur bebas sepanjan suatu lintasan berbentuk setenah linkaran berjari-jari R (lihat ambar Sistem berputar denan kecepatan sudut ω terhadap sumbu vertikal OO' Hitun sudut θ dimana bandul berada pada keseimbanan! Jawab: andul menalami aya normal Jika kita meninjau dari sisi bandul maka kita harus perhitunkan aya fiktif (aya sentrifual Gaya-aya pada arah mendatar: N sin θ mrω m(r sin θω Gaya-aya vertikal: N cos θ m Dari dua persamaan di atas kita peroleh: cos θ Rω Ini adalah syarat keseimbanan Kemunkinan lain adalah benda akan seimban jika θ 0 151 Sebuah senapan diarahkan ke suatu sasaran yan terletak di sebelah utara Tentukan berapa jauh menyimpannya peluru dari aris yan menhubunkan sasaran dan senapan! Peluru ditembakkan mendatar pada aris lintan φ 60 o, kecepatan peluru v 900 m/s, dan jarak dari taret ke senapan adalah s 1,0 km Jawab: kibat rotasi bumi, suatu benda yan bererak denan kecepatan v di permukaan bumi akan merasakan aya koriolis F k sebesar: F k -mω v denan ω adalah kecepatan sudut rotasi bumi rah ω didefinisikan seperti pada ambar Gaya koriolis ini sebenarnya adalah aya fiktif Gaya ini akan dirasakan oleh benda-benda yan bererak dalam suatu sistem dipercepat (bumi 8 Mekanika I
ω arah putar merupakan contoh sistem yan dipercepat, percepatannya adalah percepatan sentripetal esar percepatan koriolis: a k F k m ωv sin φ φ adalah sudut antara ω dan v dalam hal ini sama denan sudut lintan rah percepatan koriolis keluar bidan kertas (perhatikan arah perkalian vektor ini Jadi simpanan akibat a k adalah: h 1 a k t 1 (ωv sin φt Karena t s v, maka: h ωs sin φ v 1345678901345 1345678901345 1345678901345 m 15 Sebuah disk yan diletakkan mendatar berputar denan kecepatan sudut konstan ω 6,0 rad/s terhadap sumbu vertikal yan melalui pusat disk Sebuah benda kecil bermassa m 0,5 k bererak sepanjan diameter disk denan kecepatan v' 50 cm/s yan selalu konstan relatif terhadap disk Tentukan aya yan dirasakan benda ketika benda berada pada jarak r 30 cm dari sumbu putaran! Jawab: Pada sistem ini benda akan merasakan 3 aya: aya sentrifual: F c mω r aya ravitasi: F m aya koriolis: F k mωv Gaya-aya ini teak lurus satu terhadap lainnya Jadi resultan aya yan dikenakan pada benda oleh disk adalah: c k F F + F + F 4 F m + ωr + ( v ' ω Denan memasukkan anka-ankanya kita peroleh, F 8 N 153 Sebuah batan licin yan diletakkan mendatar berputar denan kecepatan sudut ω,0 rad/s terhadap suatu sumbu vertikal yan melalui ujun batan Sebuah beban bermassa m 0,50 k meluncur bebas sepanjan batan dari titik denan kecepatan awal v 0 1,00 m/s Tentukan aya koriolis yan bekerja pada beban ini ketika beban terletak pada jarak r 50 cm dari sumbu putar! Jawab: Ketika benda berada pada jarak r dari titik, kecepatan linearnya adalah: (unakan hukum kekekalan eneri dimana usaha oleh aya sentrifual adalah mωr v ( rω + v Jadi, aya coriolis yan dialami benda adalah: 0 Mekanika I 9
F k m ω v mωv mω ( rω + v 0 Denan memasukan data yan diketahui, kita peroleh: F k,8 N θ 154 Sebuah bola diantun pada seutas tali dan berayun dalam bidan vertikal sedemikian sehina nilai percepatan efektifnya pada titik tertini dan titik terendah adalah sama Tentukan sudut simpanan ini! Jawab: Di titik tertini kecepatan bola sama denan nol, sehina percepatan sentrifualnya nol (yan ada hanya percepatan tanensial sebesar a sin θ Di titik terendah percepatan tanensial sama denan nol Tetapi percepatan sentrifualnya ada yaitu sebesar: a v L Untuk mencari v kita bayankan benda berada pada posisi mempunyai eneri potensial sebesar m(l L cos θ acuan diambil pada titik Kemudian benda bererak dan eneri potensial benda diubah menjadi eneri kinetik Sampai di titik seluruh eneri potensial telah menjadi eneri kinetik Dari persamaan ini kita peroleh v Karena a a maka kita peroleh, atau θ cot -1 ( 53 m(l L cos θ 1 mv sin θ (1 cos θ θ 155 Sebuah benda kecil mulai meluncur dari puncak suatu linkaran yan jari-jarinya R Tentukan sudut θ dimana benda meninalkan linkaran Hitun kecepatan jatuh benda itu! Jawab: Di titik, aya tekan linkaran pada benda N m Sedankan di titik, aya tekannya sama denan nol (benda meninalkan linkaran m cos θ F F mv R adalah aya sentrifual Untuk mencari v kita unakan hukum kekekalan eneri seperti soal sebelumnya Kita ambil acuan di pusat linkaran Eneri di titik adalah: E mr sedankan eneri di titik adalah: E mr cos θ + 1 mv Karena eneri kekal maka E E Dari sini kita peroleh cos θ 3 30 Mekanika I
ma 0 θ 156 Sebuah benda kecil diletakkan pada puncak suatu linkaran licin berjarijari R Kemudian linkaran bererak mendatar denan percepatan konstan a o dan benda mulai menelincir ke bawah Tentukan: (a kecepatan benda relatif terhadap linkaran pada saat jatuh; (b sudut θ 0 antara aris vertikal dan vektor radius yan diambar dari pusat linkaran ke titik jatuh; θ 0 untuk a 0! m N Jawab: (a Pada waktu linkaran diberi percepatan a 0, benda akan menalami aya fiktif sebesar m a 0 berlawanan denan arah a 0 (aya fiktif dapat anda rasakan ketika mobil yan nda naiki di percepat Pada ambar terlihat bahwa, dan m cos θ + ma 0 sin θ N mv R m sin θ ma 0 cos θ ma t Ketika benda jatuh N 0 dan θ θ 0, sehina kita peroleh: m cos θ 0 + ma 0 sin θ 0 mv R Eneri potensial benda di diubah menjadi eneri kinetik di (perhatikan baik-baik bahwa usaha aya fiktif jua harus diperhitunkan disini sehina kita peroleh, 1 mv m (R R cos θ 0 ma 0 R sin θ 0 Dari kedua persamaan diatas kita peroleh, v R 3 (b Denan memasukkan nilai v ke persamaan eneri di atas kita akan peroleh, atau, atau, Sehina kita peroleh, atau, θ 0 17 o cos θ 0 + sin θ 0 R 3R (3 cos θ 0 9 sin θ 0 18 cos θ 0 1 cos θ 0 + 4 9 0 cos θ 0 + 14 6 157 Sebuah benda kecil bermassa m 0,30 k meluncur ke bawah dari puncak suatu linkaran berjari-jari R 1,0 m Linkaran berputar denan kecepatan sudut konstan ω 6,0 rad/s terhadap sumbu vertikal yan melalui pusat linkaran Tentukan aya sentrifual dan aya koriolis ketika benda meninalkan linkaran! Mekanika I 31
θ cos -1 (/3 θ Jawab: nap benda meninalkan linkaran pada sudut θ Dapat dihitun denan mudah bahwa (lihat soal 155 ( θ cos -1 3 Karena linkaran berputar denan kecepatan sudut ω, maka benda akan merasakan aya sentrifual selama bererak di bidan linkaran ini esar aya sentrifual adalah: F c mrω mr sin θ ω mrω "aaimana? 1 cos θ Cukup senan 8N belajar fisika?" Gaya koriolis: -mω v L "Daripada merenun lebih baik menerjakan soal fisika" F k mω ωr sin θ + R ( 1 cosθ cos θ 3 mrω 5 + 17N 8 3ω R Catatan: nilai v diatas diperoleh dari resultan kecepatan akibat rotasi v 1 ωr sin θ dan kecepatan akibat ravitasi v R ( 1 cosθ sin (90 + θ R ( 1 cosθ cos θ (dicari dari hukum kekekalan eneri 158 Sebuah benda bermassa m ditarik keatas sebuah bukit oleh aya F yan arahnya senantiasa menyinun lintasan Hitun usaha yan dilakukan aya ini, jika tini bukit adalah h, panjan mendatar bukit L, dan koefisien esekan µ! h Jawab: Usaha yan dilakukan oleh aya esekan adalah: W f µml Untuk membuktikan ini silahkan nda menhitun W f ini jika bukit dianap berbentuk seitia, nda akan mendapati bahwa usaha aya esekan tidak terantun pada bentuk lintasan tetapi hanya terantun pada jarak mendatarnya (dapatkah anda memikirkan apa alasan fisis untuk hasil ini? Usaha yan dilakukan oleh aya ravitasi adalah: W mh Usaha oleh aya F diunakan untuk melawan usaha aya esek + usaha aya ravitasi Jadi: W W f + W µml + mh Disini kita anap tidak terjadi perubahan eneri kinetik (eneri kinetik awal dan eneri kinetik akhirnya nol Denan kata lain kita anap ketika benda sampai dipuncak bidan mirin, benda tepat berhenti 3 Mekanika I
L α 159 Sebuah benda bermassa m 50 meluncur tanpa kecepatan awal pada suatu bidan mirin denan sudut mirin 30 o (lihat ambar enda ini kemudian melewati lintasan mendatar dan berhenti setelah menempuh jarak 50 cm Hitun usaha yan dilakukan oleh aya esekan sepanjan lintasan yan dilalui benda ini! nap koefisien esekan antara bidan denan benda µ 0,15 x Jawab: Pada proses ini ravitasi melakukan usaha dari puncak sampai dasar bidan mirin sebesar: W ml sin α Disini terjadi perubahan eneri potensial menjadi eneri kinetik Eneri kinetik ini kemudian diubah lai menjadi eneri panas melalui esekan Usaha oleh aya esekan adalah: W f µml cos α + µmx Usaha oleh aya ravitasi ini sama denan aya esekan ml sin α µm cos α L + µmx L µ mx m sinα µ m cosα Masukkan hara L ini ke rumus W f di atas kita peroleh: µ mx W 0,05 J 1 µ cotα F 160 Dua balok bermassa m 1 dan m dihubunkan denan peas rinan pada suatu lantai datar Koefisien esekan antara batan-batan dan lantai µ Hitun aya minimum (mendatar yan harus diberikan aar batan bermassa m 1 dapat meneser balok lainnya! Jawab: nap penambahan panjan peas x Usaha yan dilakukan oleh aya F adalah: W F Fx Eneri yan diterima F ini akan disimpan sebaai eneri potensial dan sebaai usaha untuk melawan aya esek Fx 1 kx + µm 1 x Perhatikan bahwa pada kasus ini usaha oleh aya esekan hanya bekerja pada m 1 saja (benda m tidak berubah tempat Untuk benda aya peas yan dialaminya sama besar denan aya esekan yan dialaminya kx µm Dari kedua persamaan di atas kita peroleh: F µ( m + m 1 161 Sebuah benda bermassa m dilempar denan sudut elevasi α dan denan kecepatan awal v 0 Hitun daya rata-rata yan dilakukan oleh aya ravitasi selama erakan dan daya sesaat sebaai funsi waktu! Jawab: Daya rata-rata adalah usaha total yan dilakukan oleh ravitasi dibai waktu total Karena usaha total yan dilakukan oleh Mekanika I 33
ravitasi sama denan nol (benda kembali keketinian semula, maka: <P> 0 Karena kecepatan sesaat partikel adalah v v x i + v y j (v 0 cos αi + (v 0 sin α tj dan aya ravitasi yan bekerja pada benda adalah F -mj Maka daya sesaat, P F v m(t v 0 sin α 16 Sebuah benda kecil bermassa m diletakan pada pada suatu bidan datar di titik O enda tersebut diberi kecepatan awal mendatar v 0 Hitun daya rata-rata yan dilakukan oleh aya esekan selama erakan (hina ia berhenti, bila koefisien esekan µ 0,7, m 1,0 k, dan v 0 1,5 m/s! Jawab: Daya rata-rata oleh aya esekan adalah usaha yan dilakukan oleh aya esekan dibai denan waktu total Usaha yan dilakukan aya esekan sama denan perbedaan eneri kinetik awal denan akhir (inat bahwa penuranan kecepatan benda adalah karena penaruh aya esekan W E k Waktu total dapat dihitun denan: v v 0 at atau t v 0 a Perlambatan a disebabkan karena esekan, sehina; a f m µ Jadi, daya rata-rata yan dilakukan oleh aya esekan <P> E t k mv 0µ watt 163 Suatu sistem yan terdiri dari dua peas yan dihubunkan secara seri dan memiliki konstanta peas k 1 dan k Hitun usaha minimum yan harus dilakukan untuk merenankan sistem sepanjan l! Jawab: Jika sistem ini diberi aya maka peas akan merean Jika ayanya cukup besar, sistem akan bererak Usaha minimum adalah usaha yan diperlukan cukup untuk mereankan peas saja Jika peas ditarik oleh aya F dan peas terean masin masin sebesar l 1 dan l, maka: F k 1 l 1 k l Sehina, atau l l 1 + l F k 1 + F k F kk 1 k + k 1 Karena besarnya aya berubah-ubah terantun pada besarnya reanan peas, maka usaha oleh aya yan kita berikan itu harus l 34 Mekanika I
dirata-ratakan Jadi: W F rata l 1 kk 1 k + k 1 l 164 Sebuah benda bermassa m didoron denan kecepatan awal v 0 ke atas sebuah bidan mirin kasar denan sudut mirin α dan denan koefisien esekan µ Hitun jarak total yan ditempuh benda itu sebelum benda berhenti! Hitun jua usaha yan dilakukan oleh aya esekan sepanjan jarak ini! Jawab: Usaha yan dilakukan oleh aya esekan dan aya ravitasi diunakan untuk menhentikan benda Denan kata lain usaha ini diunakan untuk menubah eneri kinetik menjadi nol atau, W Fs 1 mv 0 (µm cos α + m sin αs s v ( µ cosα + sinα Usaha yan dilakukan oleh aya esekan: W -fs, atau tau: v W -µm cos α ( µ cosα + sinα W 0 mv 0 0 -µ ( µ + tanα H 165 Sebuah benda kecil meluncur tanpa kecepatan awal dari puncak suatu bukit setini H Hitun tini h aar s maksimum! Hitun jarak maksimum ini! Jawab: Dari ketinian H ke ketinian h terjadi perubahan eneri eneri potensial (mh mh Eneri potensial yan hilan ini diubah menjadi eneri kinetik ( 1 mv h 1 mv mh mh s atau, v ( H h Setelah turun dari bukit, benda akan bererak seperti lintasan peluru yan dilemparkan denan kecepatan mendatar v h 1 t atau t karena s vt maka, s 4 ( H h h h Jarak s ini maksimum, bila H h h (anda bisa buktikan ini denan memasukan nilai-nilai H dan h atau denan menunakan konsep kalkulus, jika nda sudah belajar Jadi: s max H Mekanika I 35
h 166 Sebuah benda meluncur pada suatu bidan mirin dari ketinian h enda melanjutkan perjalanan pada setenah linkaran berjari-jari h baikan esekan, tentukan kecepatan benda pada titik tertini lintasan! θ Jawab: nap setelah menuruni bidan mirin, benda bererak dalam linkaran vertikal dan meninalkan linkaran pada sudut θ diukur dari aris mendatar Perubahan eneri potensialnya adalah U mh m( h + h sin θ Eneri potensial yan hilan ini diubah menjadi eneri kinetik Sehina, 1 mv mh ( 1 sinθ Gaya normal di titik adalah nol (karena benda akan meninalkan linkaran, akibatnya aya sentrifual yan dirasakan benda sama denan m sin θ mv h m sin θ Dari dua persamaan di atas kita peroleh, v h 3 Setelah meninalkan bidan linkaran, benda bererak dalam lintasan parabola Di titik maksimum kecepatannya hanya kecepatan arah horizontal saja, yaitu: V max v sin θ 3 h 3 O 167 Sebuah bola kecil bermassa m diantunkan pada seutas tali yan panjannya L erapa kecepatan minimum bola relatif terhadap titik putar O aar bola dapat bererak sepanjan linkaran penuh? Hitun teanan tali ketika bola berada di titik terendah! Jawab: ar benda mencapai titik tertini maka teanan tali di titik tertini nol (ada yan menyatakan bahwa aar benda mencapai titik tertini kecepatan di titik tertini nol, ini tidak benar karena sebelum mencapai kecepatan nol, teanan tali akan mencapai nol akibatnya benda tidak dapat melanjutkan erak melinkarnya Denan menunakan hukum Newton, kita dapat menhitun kecepatan di titik tertini v': m + 0 mv ' L Pada erakan ke, sebaian eneri kinetik diubah menjadi eneri potensial (ml Sehina: 1 mv 1 mv ml Dari dua persamaan di atas kita peroleh, v 5L 36 Mekanika I
Di titik terendah: T mv L + m 6m P O θ x 168 Seutas tali karet panjan L dan koefisien elastisitas k diantun pada titik O Ujun tali lainnya dihubunkan denan benda bermassa m enda dilepaskan dari titik O baikan massa tali dan massa penjepit, hitun pertambahan panjan karet! Jawab: nap karet bertambah panjan l Disini terjadi penubahan eneri potensial ravitasi menjadi eneri kinetik benda, kemudian seluruh eneri kinetik ini diubah menjadi eneri potensial karet atau, m (l + l 1 k l kl l 1 + 1 + m 169 Sebuah balok kecil bermassa m diikat oleh tali pada titik P Sistem diletakkan pada bidan licin dan dihubunkan denan beban yan bermassa m melalui suatu katrol tak bermassa alok jua dihubunkan denan suatu peas yan diantun pada titik O Panjan peas l 0 50 cm dan konstanta peasnya k 5 m/l 0 eberapa saat kemudian tali P dibakar, hitun kecepatan balok sesaat hendak meninalkan bidan! Jawab: nap balok telah berpindah sejauh x ketika balok meninalkan bidan Karena balok dalam keadaan seimban maka m F cos θ Denan F adalah aya peas m k tau: k l l 0 l m Selanjutnya silahkan nda buktikan bahwa: kl 0 1 + x l 1 0 l l m 0 Substitusi nilai k kita peroleh, x 3 l 0 4 dan l l 0 4 Pada proses ini benda jatuh akibat aya ravitasi Disini terjadi perubahan eneri potensial menjadi eneri kinetik + eneri peas Eneri kinetik merupakan eneri kinetik untuk benda 1 k( l + ( 1 mv mx Denan menyelesaikan persamaan di atas kita peroleh, v 19l 0 3 1,7 m/s Mekanika I 37
T α 170 Pada suatu bidan datar terdapat sebuah papan yan di atasnya terletak balok bermassa m 1,0 k alok dihubunkan denan titik O melalui seutas tali elastik rinan yan panjannya l 0 40 cm Koefisien esekan antara balok dan papan µ 0,0 Kemudian papan dieser perlahan-lahan ke kanan Ketika sudut θ 30 o balok hampir bererak relatif terhadap papan Hitun usaha yan dilakukan oleh aya esekan! m Jawab: Karena sistem setimban maka, T sin θ µn T cos θ + N m Dari kedua persamaan ini kita peroleh, µ m T sinθ + µ cosθ Dapat dibuktikan bahwa pertambahan panjan tali adalah: l l 1 cosθ 0 cosθ Pada sistem ini usaha yan dilakukan oleh aya esekan sama denan eneri potensial yan tersimpan dalam tali atau, W T rata-rata l 0 +T l µ m l 0 ( 1 cosθ ( sinθ + µ cosθ cosθ W µ ml 0 ( 1 cosθ ( sinθ + µ cosθ cosθ 0,09 J 171 Sebuah batan horisontal yan rinan dan licin dapat berputar pada sumbu yan melalui ujun batan Sebuah benda bermassa m dapat bererak bebas pada batan dan dihubunkan denan ujun melalui sebuah peas tak bermassa yan panjannya l 0 dan konstanta peasnya k erapa usaha yan harus dilakukan aar perlahan-lahan sistem akan mencapai kecepatan sudut ω? m Jawab: Pada saat benda berputar maka aya sentripetal yan bekerja adalah aya peas Menurut hukum Newton (F ma atau, k l mω (l 0 + l 0 l m ω l k mω Usaha yan dilakukan pada sistem akan disimpan sebaai eneri peas dan sebaian akan diubah menjadi eneri kinetik rotasi benda 38 Mekanika I
m m 1 W 1 k l + 1 mω (l 0 + l 1 k l ( 1 + 1 η 1 ηkl 0 ( 1 + η ( 1 η mω dimana η k 17 Dua massa m 1 dan m dihubunkan melalui suatu katrol yan massanya diabaikan Hitun percepatan pusat massa dari sistem ini! baikan massa tali dan esekan katrol Jawab: Misalkan benda m 1 > m end: m 1 T m 1 a enda : T m m a Dari kedua persamaan ini kita peroleh: ( a m 1 m m + m 1 Percepatan pusat massa dapat dicari denan konsep pusat massa Posisi pusat massa adalah: x mx 1 + mx pm m + m 1 1 Jadi percepatan pusat massanya adalah: a m + ma cm m + m Karena a 1 -a 1 1 a (arahnya berlawanan: a cm m m m + m 1 1 173 Sebuah kerucut bermassa m 3, k dan setenah sudut puncak a 10 o menelindin tanpa slip sepanjan permukaan kerucut sedemikan hina puncak kerucut O tetap diam Pusat ravitasi kerucut α sama tininya denan titik O dan berada pada jarak l 17 cm Sumbu kerucut berputar denan kecepatan sudut ω Hitun: (a aya esekan statis pada kerucut, jika ω 1,0 rad/s; (b pada nilai ω berapakah kerucut akan menelindin tanpa slip, jika koefisien esekan antara permukaan adalah µ 0,5 Jawab: Perhatikan susunan aya pada ambar N adalah aya normal yan merupakan reaksi dari kerucut pada kerucut Gaya esekan f arahnya ke atas karena kita anap kerucut mempunyai kecenderunan untuk bererak ke bawah l adalah jarak pusat massa terhadap pusat putaran Mekanika I 39
y x f f cos α N cos α N O α N sin α m (a rah sumbu x: F ma f cos α N sin α mω l rah sumbu y: F ma y 0 f sin α + N cos α m Dari kedua persamaan itu kita akan peroleh, f m sin α + mω l cos α 6 N (b Seperti soal a kita peroleh: N cos α + µn sin α m ar kerucut tidak slip maka: µn cos α N sin α mω l Dari persamaan di atas kita peroleh: ω ( µ tanα l ( 1 + µ tanα rad/s 1 174 Dua balok bermassa m 1 dan m dihubunkan denan sebuah peas tak bermassa denan konstanta peas k Sistem diletakkan dalam bidan datar licin alok kemudian ditekan ke kiri sejauh x lalu dilepaskan Hitun kecepatan pusat massa sistem sesaat setelah balok 1 meninalkan dindin! Jawab: Saat balok m dilepaskan maka terjadilah perubahan eneri dari eneri potensial peas menjadi eneri kinetik dari benda (bend masih diam karena ditahan dindin 1 kx 1 m v v x Kecepatan pusat massa sistem dapat dicari denan rumus pusat massa mv + mv 1 1 x v c m + m m m km + 1 k m 1 175 Suatu sistem terdiri dari dua kubus identik, masin-masin bermassa m Kedua kubus ini dihubunkan oleh seutas tali dan suatu peas tak bermassa yan terkompres/tertekan, yan mempunyai konstanta peas k Pada suatu ketika tali penhubun kubus dibakar, hitun berapa besar peas mula-mula harus tertekan aar kubus yan bawah akan terankat Hitun kenaikan pusat massanya, jika peas mula-mula tertekan sebesar l 7 m/k! Jawab: a Eneri total awal, E awal 1 k( l + m(l l Eneri total akhir sistem (peas terean x: E akhir 1 kx + m(l + x 40 Mekanika I
Karena eneri awal eneri akhir kita akan peroleh, kx -m + ( m k l atau, -m + (m k l Kubus bawah akan naik, jika atau, atau, kx k l m kx m k l m m l 3 m/k b Mula-mula peas tertekan sejauh l 7 m/k Kita hitun dulu kecepatan benda atas ketika benda bawah hampir naik (telah dihitun pada soal a bahwa saat ini peas terean x m/k Disini terjadi perubahan eneri peas pada keadaan tertekan l 7 m/k menjadi eneri potensial benda atas, eneri kinetik benda atas dan eneri peas sistem pada keadaan terean x m/ k 1 k l m (x+ l + 1 mv + 1 kx Kecepatan pusat massa sistem adalah v/ Pusat massa sistem akan naik ke atas Pada kondisi ini seluruh eneri kinetik pusat massa diubah menjadi eneri potensial 1/(m(v/ (mh Diperoleh : h 8m/k 176 Dua kereta sejenis masin-masin memuat 1 oran Kereta ini bererak dalam arah berlawanan Pada suatu saat ketika kereta sejajar, kedua oran itu bertukar tempat denan melompat teak lurus terhadap arah erakan kereta Sebaai akibatnya, keret berhenti dan kereta tetap bererak dalam arah yan sama, denan kecepatan v Tentukan kecepatan awal masin-masin kereta jika massa tiap kereta M dan massa oran m! 1 wal 1 khir Karena momentum kekal maka: Jawab: Kita fokuskan perhatian pada sistem keret dan oran sesaat sebelum oran masuk dalam kereta Perhatikan momentum yan sejajar arah erak kereta Momentum sistem keret adalah: P 1 Mv 1 mv Momentum akhir: P 1 0 Mv 1 mv Mekanika I 41
Sekaran perhatikan kereta dan oran 1 Perhatikan momentum sejajar arah erakan kereta : 1 wal khir dan P Mv mv 1 Momentum akhir: P (M + mv Karena momentum kekal maka, Mv mv 1 (m + Mv Dari persamaan-persamaan di atas kita peroleh: v 1 mv M m v Mv M m 177 Dua kereta sejenis bererak beririnan denan kecepatan sama v 0 Seseoran bermassa m berada dalam kereta belakan Pada saat tertentu, oran tersebut melompat ke dalam kereta depan denan kecepatan u relatif terhadap keretanya Jika massa masin-masin kereta M, hitun kecepatan tiap kereta sekaran! Jawab: Perhatikan keadaan kereta belakan Momentum mula-mula: wal khir P (M + mv 0 Oran melompat denan kecepatan u relatif terhadap kereta, sehina kecepatan oran terhadap tanah adalah: v or u + v dimana v adalah kecepatan kereta belakan terhadap tanah setelah oran melompat Momentum akhir (perhatikan bahwa momentum selalu diukur terhadap tanah: P Mv + mv or Mv + m(u + v Gunakan hukum kekekalan momentum sehina kita peroleh, (M + mv 0 (M + mv + mu Sekaran perhatikan kereta depan: Momentum awal: wal khir Momentum akhir: P 1 Mv 0 + mv or P 1 (M + mv 1 Gunakan kekekalan momentum, kita peroleh: Mv 0 + m(u + v (M + mv 1 Dari persamaan-persamaan di atas kita peroleh, mu v v 0 M + m 4 Mekanika I
dan v 1 v 0 + mmu ( M + m 178 Dua oran, masin-masin bermassa m, berdiri pada ujun kereta yan diam bermassa M baikan esekan, tentukan kecepatan kereta setelah kedua oran tersebut melompat keluar kereta denan kecepatan mendatar u relatif terhadap kereta jika kedua oran itu melompat (a secara bersamaan; (b satu persatu Dari kedua kasus, manakah yan memberikan kecepatan yan lebih besar? Jawab: (a Momentum mula-mula: P 0 nap kecepatan oran terhadap tanah v 0 dan kecepatan kereta setelah oran berlari adalah v k Karena kereta dan oran bererak berlawanan maka, kecepatan relatif oran terhadap kereta adalah: u v k + v 0 Momentum akhir: P mv 0 Mv k -(m + Mv k + mu Gunakan hukum kekekalan momentum, kita peroleh: v k mu m + M (b Ketika oran pertama berlari kita peroleh kecepatan kereta adalah (unakan soal a di atas: mu v k M + m Ketika oran kedua berlari kereta saat itu sedan bererak denan kecepatan v k sehina momentum awal sistem adalah: P (m + Mv k (inat hanya tinal 1 oran dalam kereta Denan cara seperti cara a kita akan peroleh, v k ' ( mu mu + M + m M + m Dari hasil yan diperoleh terlihat bahwa v k < v k ' sehina dapat disimpulkan bahwa kereta akan lebih cepat jika oran melompat secara berturutan Mekanika I 43