BAB IV PRINSIP-PRINSIP KONVEKSI Aliran Viscous Berdasarkan gambar 1 dan, aitu aliran fluida pada pelat rata, gaa viscous dijelaskan dengan tegangan geser τ diantara lapisan fluida dengan rumus: du τ µ (4-1) d dimana: µ viskositas dinamik u kecepatan Gambar 1. Sketsa ang menunjukkan daerah aliran lapisan batas ang berbeda pada pelat rata.
Gambar. Profil kecepatan laminar pada pelat rata. Daerah aliran ang bergerak dari sisi pelat d tempat observasi viskositas disebut lapisan batas (boundar laer). Pertama-tama perkembangan lapisan batas adalah laminar namun pada suatu jarak kritis dari sisi awal pelat, bergantung pada medan aliran dan sifat fluida, terjadi gangguan dan gangguan ini akan diperkuat, dan proses transisi terjadi hingga aliran menjadi turbulen. Daerah turbulen ini bisa digambarkan sebagai sebuah gaa kocok ang bekerja sehingga bagian fluida akan bergerak bolak balik. ransisi dari aliran laminar ke aliran turbulen terjadi ketika: u υ ρ u µ > 5 5 1 dimana : u kecepatan aliran bebas jarak dari sisi awal υ µ/ρ viskositas kinematik Kelompok persamaan diatas disebut bilangan Renold dan tidak berdimensi. u Re (4-) υ Angka Renold kritis untuk transisi aliran dari laminar ke turbulen secara teoritis diambil 5 1 5, dalam praktekna harga ini bergantung pada kondisi kekasaran permukaan dan tingkat turbulensi aliran bebas. Kisaran normal untuk mulaina daerah transisi antara 5 1 5 sampai dengan 1 6. 4
Dengan adana disturbansi ang sangat besar di dalam aliran, transisi bisa mulai terjadi pada bilangan Renold serendah 1 5, dan untuk aliran ang bebas dari adana fluktuasi, daerah transisi bisa terjadi pada bilangan Renold 1 6 atau lebih. Bentuk relatif profil kecepatan pada aliran laminar dan turbulen ditunjukkan oleh gambar 1. Profil laminar berbentuk parabola, sedangkan profil turbulen berbentuk linier di dekat dinding. Bentuk linier ini karena adana sublapisan laminar pada dinding. Diluar sublapisan ini, profil kecepatan lebih rata jika dibandingkan dengan profil laminar. Mekanisme fisik dari viskositas adalah sebuah pertukaran momentum. Misalkan aliran adalah laminar, molekul bisa berpindah dari satu lamina ke lamina lainna, membawa momentum sesuai dengan kecepatan aliran. erdapat momentum netto ang bergerak dari daerah dengan kecepatan tinggi ke daerah kecepatan rendah, sehingga menimbulkan sebuah gaa dalam arah aliran fluida. Gaa ini adalah tegangan geser viskos ang bisa dihitung dengan persamaan 4.1. Pada daerah aliran turbulen, lapisan fluida ang jelas tidak lagi terlihat dan kita harus membuat konsep ang sedikit berbeda untuk aksi viskos. Gambaran kualitatif dari proses aliran turbulen bisa didapatkan dengan membaangkan bongkahan makroskopik fluida ang akan memindahkan energi dan momentum daripada pemindahan mikroskopik ang dilakukan oleh molekul tunggal. Misalkan terdapat aliran di dalam tabung seperti ang ditunjukkan gambar 3. Lapisan batas berkembang pada sisi masuk. Lapisan batas mengisi keseluruhan pipa, dan aliran disebut berkembang penuh. Jika aliran laminar, pprofil kecepatan berbentuk parabola akan didapatkan (Gambar 3a). Jika aliran adalah turbulen, akan didapatkan profile kecepatan ang lebih tumpul seperti ang ditunjukkan gambar 3b. Untuk menentukan aliran maka tetap digunakan bilangan Renold, dimana untuk aliran turbulen adalah: u Re m d d > 3 (4-3) υ 43
Gambar 3. Profil kecepatan untuk (a) aliran laminar di dalam pipa dan (b) aliran turbulen di dalam pipa. Angka Renold untuk daerah transisi bergantung pada kekasaran pipa dan kehalusan aliran. Umumna kisaran untuk daerah transisi adalah: < Re d < 4 Persamaan kontinuitas untuk aliran satu dimensi di dalam pipa adalah: m ρ u m A (4-4) dimana: m laju massa aliran u m kecepatan rata-rata A luas penampang Kecepatan massa didefinisikan sebagai: Kecepatan massa G m/a ρu m (4-5) Sehingga bilangan Renold bisa ditulis : 44
Re Gd d (4-6) µ Contoh Soal 1 Air pada suhu C mengalir dengan massa 8 kg/s melewati difuser seperti ditunjukkan gambar berikut ini. Diameter pada penampang 1 adalah 3, cm, dan diameter pada penampang adalah 7, cm. Carilah kenaikan tekanan statik antara penampang 1 dan penampang. Anggaplah aliran tanpa gesekan. Jawab: Luas penampang aliran adalah: A 1 πd 1 /4 π(,3) /4 7,69 1-4 m A πd /4 π(,7) /4 3,848 1-4 m Kerapatan air pada C adalah 1 kg/m 3, sehingga: u m ρ A u 1 8, 11,3 m/s (1)(7,691-4 ) u 8,,79 m/s (1)(3,8481-4 ) 45
Perbedaan tekanan diperoleh dengan persamaan Bernouli : p p1 ( u1 u ρ g 1 c p p 1 1 [(11,3) (,79) ] 61,91 kpa ) Lapisan Batas Laminar Pada Pelat Rata Perhatikan unsur volume atur/kendali seperti gambar 4. Persamaan gerakan untuk lapisan batas dapat diturunkan dengan membuat neraca gaa dan momentum pada unsur volume tersebut. Gambar 4. Unsur volume atur untuk neraca gaa pada lapisan batas laminar. Untuk menederhanakan analisis diandaikan: 1. Fluida tak mampu mampat dan aliran stedi/tunak.. idak terdapat perubahan tekanan diarah tegak lurus pelat. 3. Viskositas tetap. 46
4. Gaa geser viskos di arah dapat diabaikan. Kita terapkan hukum kedua Newton tentang gerak. F d( mv ) dτ Persamaan diatas berlaku untuk massa tetap. Untuk memudahkan analisis, digunakan unsur volume atur/kendali seperti ang ditunjukkan gambar 4, dimana massa mengalir ke dalam dari satu sisi dan keluar dari sisi ang lain. Untuk sistem ini, neraca gaa dapat dituliskan sebagai: Σ F tambahan fluks momentum pada arah Fluks momentum pada arah adalah hasil perkalian massa melalui satu sisi tertentu dari volume kendali dan komponen kecepatan pada titik itu. Massa ang masuk dari muka kiri unsur itu persatuan waktu adalah: ρu d Jika kita andaikan satu satuan kedalaman pada arah z, jadi momentum masuk pada muka kiri persatuan waktu adalah: ρu d u ρu d Massa ang keluar dari muka kanan: ρ u u d d dan momentum ang keluar dari muka kanan adalah: ρ u u d d Aliran ang masuk dari muka bawah: ρυ d Aliran massa keluar dari muka atas adalah: 47
ρ υ υ d d Neraca massa pada unsur itu memberikan: u ρ ud ρ υd ρ u d d ρ υ u d d atau: u υ (4-7) Persamaan ini adalah persamaan kontinuitas untuk lapisan batas. Kembali kepada analisis momentum dan gaa, momentum pada arah ang masuk melalui muka bawah adalah : ρυu d dan momentum pada arah ang keluar dari muka atas adalah: ρ υ υ d u u d d Bagi kita hana momentum arah ang penting, karena gaa ang menjadi perhatian kita adalah gaa pada arah. Gaa-gaa ini adalah gaa-gaa ang disebabkan oleh geser viskos dan gaa tekanan pada unsur. Gaa tekanan pada muka kiri pd, dan pada muka kanan p p d d Sehingga gaa tekanan netto pada arah gerakan adalah: p dd Gaa geser viskos pada muka bawah: 48
u µ d Dan gaa geser pada muka atas: u µ d u d Gaa geser viskos netto pada arah gerakan adalah jumlah kedua gaa diatas. Gaa geser viskos netto u µ dd Dengan menamakan jumlah gaa geser viskos dan gaa tekanan dengan perpindahan momentum pada arah, diperoleh: u µ dd ρ υud p dd ρ u u d d ρ u d ρ υ υ d u u d d Disederhanakan dengan persaman kontinuitas (4-7) dan mengabaikan diferensial orde kedua, diperoleh: u u u p ρ u υ µ (4-8) Persamaan ini adalah persamaan momentum untuk lapisan batas laminar dengan sifat-sifat tetap. Dengan penurunan rumus, maka tinggi lapisan batas: 4,64 1 / R e dimana : δ tinggi lapisan batas jarak dari ujung pelat Re (u )/ν 49
Atau bisa juga dicari dengan rumus: 5, 1 / R e Contoh soal Udara pada 7 C dan 1 atm mengalir pada sepanjang pelat datar dengan kecepatan m/s. Hitunglah ketebalan lapisanbatas pada jarak dan 4 cm dari sisi masuk pelat. Hitung juga aliran massa ang memasuki lapisan batas antara cm dan 4 cm. Viskositas udara pada 7 C adalah 1,85 1-5 kg/m.s. Diasimsikan satuan kedalaman pada arah z. Jawab Kerapatan udara dihitung dari: p R 1,13 15 87 3 1,177 Angka Renold: Pada cm: Pada 4 cm: R e 1,177,, 1,85 1 5 7.58 R e 1,177,,4 1,85 1 5 55.16 Ketebalan lapisan batas: Pada cm: Pada 4 cm: 4,64,,559 1 / 7.58 4,64,4,79 1/ 7.58 Untuk menghitung aliran massa ang memasuki lapisan batas antara cm dan 4 cm, adalah dengan mengukur perbedaan aliran massa ang masuk pada kedua posisi ini. Aliran massa lapisan batas dirumuskan: 5
u d o dimana kecepatan dicari dengan: uu [ 3 1 3] maka: u [ 3 1 3] d 5 8 u m 5 8 u 4 5 8 1,177,,79,559 3,399 1-3 kg/s Persamaan Energi Lapisan Batas Perhatikan unsur volume atur seperti tampak pada gambar dibawah ini. Untuk menederhanakan analisis, diasumsikan: 1. Aliran stedi tak mampu-mampat (incompressible).. Viskositas, konduktivitas kalor, dan kalor spesifik tetap. 3. Konduksi kalor pada arah aliran (arah ) dapat diabaikan. 51
Gambar 5. Unsur volume atur untuk analisis energi lapisan batas laminar. Lalu untuk unsur tersebut dapat kita buat neraca energi: Energi dikonveksikan pada muka kiri energi dikonveksikan pada muka bawah kalor dikonduksikan pada muka bawah kerja viskos netto pada unsur Energi dikonveksikan pada muka kanan energi dikonveksikan pada muka atas kalor dikonduksikan dari muka atas. Besaran energi konduksi dan konveksi ditunjukkan oleh Gambar 5 di atas, dan suku energi untuk kerja viskos dapat diturunkan sebagai berikut, kerja viskos dapat dihitung sebagai hasil perkalian antara gaa geser viskos netto dengan jarak perpindahan gaa ini dalam satuan waktu. Gaa geser viskos ialah hasil perkalian gaa geser dengan luas d. u µ d 5
Dan jarak perpindahan per satuan waktu terhadap unsur volume atur d d adalah: d u Sehingga energi viskos netto ang diserahkan pada unsur itu adalah: dd u µ Neraca energi dengan besaran-besaran ang ditunjukkan pada Gambar 5, dan mengandaikan satu satuan tebal pada arah z, serta mengabaikan diferensial orde kedua, menghasilkan: dd u k dd u u c p µ υ υ ρ Dengan menggunakan persamaan kontinuitas: u υ (4-9) Dan membagi dengan ρc p, kita peroleh: u c p ρ µ α υ µ (4-1) Persamaan ini adalah persamaan energi lapisan batas laminar. Bagian kiri menunjukkan energi netto ke dalam volume atur, dan bagian kanan menunjukkan jumlah kalor netto ang dihantarkan ke luar volume atur dan kerja viskos ang dilakukan atas unsur itu. Suku viskos hana penting pada kecepatan tinggi karena hargana relatif kecil pada kecepatan rendah. 53
Lapisan Batas Kalor Lapisan batas kalor didefinisikan sebagai daerah di mana terdapat gradien suhu dalam aliran. Gradien suhu itu adalah akibat proses pertukaran kalor antara fluida dan dinding. Perhatikan gambar di bawah ini. Suhu pada dinding adalah w, dan suhu pada fluida di luar lapisan batas kalor adalah sedang tebal lapisan batas kalor adalah δ t. Gambar 6. Profil suhu pada lapisan batas kalor Pada dinding kecepatan aliran adalah nol, dan perpindahan kalor ke fluida berlangsung secara konduksi. Jadi fluks kalor setempat persatuan luas q'' adalah: q A q' ' k (4-11) dinding Dari hukum pendinginan Newton, q'' h ( w ) (4-1) dimana h adalah koefisien perpindahan kalor konveksi. Dengan menggabungkan kedua persamaan tersebut, diperoleh: h k( / w ) dinding 54
Sehingga kita hana perlu menemukan gradien suhu pada dinding untuk menilai koefisien perpindahan kalor. Hal ini berarti kita harus mendapatkan suatu persamaan tentang distribusi suhu. Kondisi ang harus dipenuhi oleh distribusi suhu itu adalah: w pada (a) / pada δ t (b) pada δ t (c) Dan dengan menuliskan persamaan (4-1) pada tanpa pemanasan viskos, maka: pada (d) karena kecepatan harus sama dengan nol pada dinding. Kondisi (a) sampai (d) dapat dipenuhi oleh polinomial kubus sebagaimana dalam hal profil kecepatan, sehingga θ θ w w 3 δ t 1 δ t 3 (4-13) di mana θ w. Sekarang kita tinggal menemukan persamaan untuk δ t aitu tebal lapisan batas kalor. Perhatikan volume atur ang dibatasi oleh bidang-bidang 1,,A-A dan dinding seperti gambar 7 dibawah ini. Kita andaikan lapisan kalor lebih tipis dari lapisan batas hidrodinamik, seperti pada gambar. Suhu dinding adalah w, suhu aliran bebas dan kalor ang dilepaskan ke fluida pada panjang d adalah dq w. 55
Gambar 7. Volume atur untuk analisis energi lapisan batas laminar. Sekarang kita buat neraca energi: Energi ang dikonversikan ke dalam kerja viskos dalam unsur perpindahan kalor pada dinding energi ang dikonversikan ke luar. Energi ang dikonversikan ke dalam melalui bidang 1 adalah: H α ρ C p ud Dan energi ang dikonversikan ke luar melalui bidang : ρ C p H ud d d ρ C H p ud d Aliran massa melalui bidang A-A adalah: d d ud d ρ Dengan membawa energi sebesar: C p α d d H ud d ρ 56
Kerja viskos netto ang dilakukan di dalam unsur itu adalah: µ H du d d d Dan perpindahan kalor melalui dinding: dq w kd w Dengan menggabungkan besaran-besaran energi ini sesuai dengan persamaan 4-13 dan mengumpulkan suku-sukuna, kita peroleh: d d H H µ du ( α ) ud d C p d α (4-14) ρ Persamaan ini adalah persamaan energi integral lapisan batas untuk keadaan sifat-sifat tetap dan suhu aliran bebas tetap w. Pelat ang dalam perhatian kita tidak perlu dipanaskan pada keseluruhan panjangna. Situasina dapat kita lihat pada gambar 8 di bawah ini, dimana lapisan batas hidrodinamik terbentuk pada tepi depan pelat, sedang pemanasan baru dimulai pada. Gambar 8. Lapisan batas hidrodinamika dan lapisan batas kalor diatas pelat rata. 57
Penelesaian akhir dari persamaan untuk tebal lapisan batas kalor adalah sebagai berikut: 3 / 4 1 / 3 δ 1 t 1 / 3 ξ Pr 1 (4-15) δ 1,6 P r disebut sebagai angka Prandtl aitu parameter ang meghubungkan ketebalan relatif antara lapisan batas hidrodinamika dan lapisan batas kalor. Angka Prandtl juga merupakan penghubung antara medan kecepatan dan medan suhu. υ µ / ρ C pµ Pr (4-16) α k / ρ C k p dengan: C p kapasitas kalor µ viskositas dinamik k konduktivitas kalor Kembali kepada analisis kita, kita mempunai: h k( / ) w w 3 k δ t 3 k ζ δ (4-17) Von Karman memberikan persamaan momentum untuk lapisan batas laminar dengan sifat-sifat tetap dengan : δ 4,64 Re 1 / (4-18) Dengan memasukkan tebal lapisan batas hidrodinamik dari persamaan (4-18) dan menggunakan persamaan (4-15), diperoleh: h,33pr 1 / 3 u υ 1 / 1 3 / 4 1 / 3 (4-19) 58
Persamaan ini dapat dibuat tak berdimensi dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan /k, sehingga menghasilkan kelompok tak berdimensi pada bagian kiri, h Nu k (4-) ang disebut bilangan Nusselt. Akhirna kita dapatkan: Nu 3 / 4 1 / 3 1 / 3 1 /,33Pr Re 1 (4-1) Untuk pelat ang dipanaskan di keseluruhan panjangna, maka persamaan (4-1) menjadi: 1 / 3 1 /,33.Pr Re Nu (4-) Persamaan (4-19), (4-1), dan (4-), menatakan harga lokal koefisien perpindahan kalor berhubungan dengan jarak dari sisi masuk pelat dan sifatsifat fluida. Untuk harga, koefisien perpindahan kalor rata-rata dan angka Nusselt bisa dicari dari integrasi sepanjang panjang pelat. h L L h d h L (4-3) d Nu L h L k Nu L (4-4) atau dimana Nu L h L k,664 R e 1/ L Pr 1/3 (4-5) R e L u L Dengan asumsi sifat-sifat fluida konstan sepanjang aliran, jika terdapat variasi antara kondisi dinding dengan aliran bebas, sifat-sifat fluida bisa dicari 59
dari temperatur film, f, ang disebut juga rata-rata aritmatik antara temperatur dinding dan aliran bebas, f w (4-6) f emperatur film Fluks Kalor Konstan Analisis di atas menganggap perpindahan kalor laminar pada permukaan isotermal. Dalam praktek, fluks kalor di permukaan biasana konstan, dan perlu dicari distribusi temperatur permukaan pelat untuk suatu fluida tertentu. Untuk fluks kalor konstan, bilangan Nusselt dicari dengan rumus: Nu h k,453 R e 1/ Pr 1/ 3 (4-7) q w Nu k w (4-8) Perbedaan temperatur rata-rata sepanjang pelat untuk fluks kalor konstan diperoleh dengan integrasi: L w 1 L w d 1 L L q w k Nu d q w L/ k 1/,6795 R e L Pr 1/3 (4-9) q w 3 h L w 6