elasi Kabur 83 BAB IV elasi Kabur 4. elasi Biasa ke elasi Kabur Suatu relasi biasa pada suatu himpunan merepresentasikan adanya atau tidak adanya asosiasi, interaksi atau keterhubungan di antara elemenelemen dari dua atau lebih himpunan. elasi antara himpunan U dan V, yaitu (U, V) merupakan himpunan bagian dari hasil kali kartesian U V, yaitu : (U, V) UV = {(x, y) xu, yv}, sehingga UV merupakan himpunan semesta dari relasi (U,V). Hasil kali kartesian dapat diperluas pada suatu keluarga himpunanhimpunan {U i i n}, yang dinyatakan dengan U U U n. Suatu relasi di antara himpunan-himpunan U, U,, U n, yaitu (U, U,,U n) merupakan himpunan bagian dari U U U n. Karena relasi sendiri merupakan suatu himpunan, maka operasi-operasi dasar himpunan, seperti ketermuatan, gabungan, irisan dan komplemen dapat diberlakukan pada relasi. Suatu relasi dapat didefinisikan dengan menggunakan fungsi keanggotaan nol-satu, yaitu suatu fungsi yang memetakan himpunan U U U n ke himpunan {0, }, yaitu : U U U n {0, }, (4.) sedemikian sehingga ; ( u, u,, u n ), u U,..., u nu (u, u,, u n) = 0 yang lain n
84 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Nilai dari (u, u,, u n) disebut derajat keanggotaan. Apabila nilai derajat keanggotaan sama dengan satu berarti elemen u, u,, u n berelasi, dan apabila nilai derajat keanggotaan sama dengan nol berarti elemen u, u,, u n tidak berelasi sama sekali. Jadi relasi biasa hanya mempunyai dua kemungkinan, yaitu berelasi atau tidak berelasi sama sekali, tidak ada kemungkinan lain. Suatu relasi biasa di antara dua himpunan disebut relasi biner. Jika terdapat tiga, empat atau lima himpunan yang dilibatkan maka relasinya berturut-turut biasa disebut relasi ternary, relasi quaternary dan relasi quinary. Secara umum, jika didefinisikan pada n himpunan, maka disebut sebagai relasi n-ary atau n-dimensional. Contoh 4. (relasi biner) Misalkan U={,, 3} dan V={, 3, 4} maka hasil kali kartesian UV={ (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, 3), (, 4), (3, ), (3, 3), (3, 4)}. Misalkan relasi (U, V) didefinisikan sebagai elemen pertama lebih besar atau sama dengan elemen kedua, maka (U, V) = {(, ), (3, ), (3, 3)}; atau dapat dinyatakan dengan matriks relasional berikut: V 3 4 0 0 0 U 0 0 3 0 Entri-entri dalam matriks relasional di atas merupakan nilai dari derajat keanggotaan (u, v). (, )= berarti berelasi dengan, yaitu lebih besar atau sama dengan ; (, 3) = 0 berarti tidak berelasi dengan 3, yaitu tidak lebih besar atau tidak sama dengan 3 ; dan seterusnya. Contoh 4. (relasi ternary) Misalkan relasi di antara himpunan U = {bahasa Inggris, bahasa Perancis}, U = {Dollar, Pound, Euro}, dan U 3 = {AS, Perancis, Inggris, Canada, Belanda } menyatakan hubungan suatu negara dengan mata uang dan bahasa yang digunakan. Maka relasi (U, U, U 3 ) = {(Bahasa Inggris,
elasi Kabur 85 Dollar, AS), (Bahasa Perancis, Euro, Perancis), (Bahasa Inggris, Pound, Inggris)}. elasi ini dapat juga dinyatakan dengan matriks relasional berikut: U 3 AS Perancis Inggris Canada Belanda Dollar 0 0 0 U Pound 0 0 0 0 Euro 0 0 0 0 0 Bahasa Inggris U 3 AS Perancis Inggris Canada Belanda Dollar 0 0 0 0 0 U Pound 0 0 0 0 0 Euro 0 0 0 0 Bahasa Perancis Fungsi keanggotaan nol-satu pada relasi biasa dapat diperluas dengan mengubah kodomain dari himpunan {0, } menjadi interval [0, ] yaitu: : U U U n [0, ] Hal ini mengakibatkan bahwa satu relasi dapat berelasi secara sempurna jika derajat keanggotaanya sama dengan satu, tidak berelasi sama sekali jika derajat keanggotaannya sama dengan nol, dan agak berelasi atau sangat berelasi atau kurang berelasi dan sebagainya, jika derajat keanggotaannya terletak antara nol dan satu. elasi semacam ini biasa disebut relasi kabur, yang disimbolkan dengan. Secara formal, relasi kabur didefinisikan sebagai berikut: Definisi 4. Suatu relasi kabur adalah suatu himpunan kabur yang didefinisikan pada hasil kali kartesian himpunan-himpunan U, U,..., U n, yaitu: ={((x,x,,x n), di mana. ( x, x,..., x ) ) (x,,x n)(u U U n)} (4.) n ( x, x,..., x ) adalah derajat keanggotaan dari relasi kabur n
86 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Suatu kasus khusus, jika n = maka relasi disebut relasi kabur biner. elasi kabur biner pada hasil kali kartesian yang anggota himpunannya berhingga biasanya direpresentasikan dengan matriks relasional, yaitu matriks yang elemen-elemennya merupakan derajat keanggotaan pasanganpasangan dari relasi yang bersesuaian (seperti dalam Contoh 4. dan 4., untuk relasi biasa) Contoh 4.3 Misalkan U = {Banda Aceh, Jakarta, Surabaya} U = { Makassar, Surabaya, Jayapura } Jika didefinisikan relasi sangat berjauhan di antara dua himpunan ibu kota provinsi tersebut, yaitu U dan U, maka relasi biasa tidak cocok untuk digunakan karena relasi sangat berjauhan tidak terdefinisi dengan jelas dalam kerangka himpunan dan relasi biasa. Akan tetapi, kita dapat memberikan suatu nilai pada relasi sangat berjauhan di antara anggota himpunan U dan anggota himpunan U. Nilai satu akan diberikan pada relasi sangat jauh di antara dua ibu kota provinsi pada himpunan U dan U jika kedua ibu kota tersebut dianggap paling berjauhan, dan nilai nol akan diberikan pada relasi sangat berjauhan jika kedua ibu kota provinsi tersebut dianggap paling berdekatan (jarak keduanya mungkin nol kilometer). Sedangkan nilai di antara nol dan satu diberikan kepada pasangan-pasangan ibu kota provinsi yang dianggap agak berjauhan, cukup berjauhan, sangat berjauhan dan sebagainya. Nilai-nilai yang diberikan tersebut adalah derajat keanggotaan dari relasi kabur, yang biasa diinterpretasikan sebagai kekuatan hubungan yang ada di antara elemen-elemen dari himpunan U dan himpunan U. Seperti pada himpunan kabur, pemberian derajat keanggotaan untuk relasi kabur juga bersifat subjektif, namun pemberian derajat keanggotaan tersebut tidak dapat ditentukan secara bebas. Penentuannya harus merefleksikan konteks persoalan dari relasi yang diberikan. Misalkan derajat keanggotaan relasi sangat berjauhan di antara himpunan U dan himpunan U dinyatakan dengan matriks relasional berikut:
elasi Kabur 87 U Surabaya Makassar Jayapura Banda Aceh 0,6 0,7 U Jakarta 0,4 0,65 0,8 Surabaya 0 0,6 0,7 maka relasi kabur sangat berjauhan adalah sebagai berikut: ={((Banda Aceh, Surabaya), 0.6), ((Banda Aceh, Makassar), 0.7), ((Banda Aceh, Jayapura),), ((Jakarta, Surabaya), 0.4), ((Jakarta, Makassar), 0.65), ((Jakarta, Jayapura), 0.8), ((Surabaya, Surabaya), 0), ((Surabaya, Makassar), 0.6), ((Surabaya, Jayapura), 0.7)} Contoh 4.4. Misalkan U = U =, relasi kabur di antara U dan U didefinisikan sebagai x jauh lebih besar dari y, di mana x U dan yu. elasi kabur merupakan himpunan kabur pada U U dengan fungsi keanggotaan didefinisikan sebagai: 0 ; x y xy - ( x, y) = ; y x y 0y ; x y atau dapat didefinisikan sebagai: ( x, y) = - ( ( ) ) ; ; (x, y) y-x x y ; (x, y) 0 ; x y 4. Operasi-operasi Dasar antar elasi Kabur Seperti pada himpunan kabur, maka pada relasi kabur dapat juga diberlakukan operasi-operasi dasar, seperti komplemen, irisan dan gabungan. Komplemen Misalkan adalah relasi kabur pada U U, maka komplemen dari c relasi kabur adalah dengan derajat keanggotaan:
88 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur c ( x, y) = - ( x, y), (x, y) U U Contoh 4.5 Diketahui relasi kabur pada + +, di mana y sangat berdekatan. Fungsi keanggotaan ( x, y) = e -( x - y ), (x, y) + +, sehingga grafik dari fungsi keanggotaan dalam Gambar 4.. menyatakan relasi x dan didefinisikan sebagai : adalah seperti diperlihatkan Gambar 4. Grafik fungsi keanggotaan relasi kabur (Contoh 4.5) Komplemen dari relasi kabur mempunyai fungsi keanggotaan ( x, y) = - ( x, y) c = - e -( x - y ) seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.., (x, y) + +,
elasi Kabur 89 Gambar 4. Grafik fungsi keanggotaan relasi kabur c (Contoh 4.5) Gabungan dan Irisan Misalkan dan masing-masing adalah relasi kabur pada U U, maka gabungan dari dan adalah dengan fungsi keanggotaan x, y) = max[ x, y), ( x, y) ], (x, y) ( ( U U, kemudian irisan dari dan adalah dengan fungsi keanggotaan Contoh 4.6 ( x, y) = min[ x, y), ( ( x, y) ] (x, y) U U. Misalkan dan masing-masing adalah relasi kabur pada + +, di mana menyatakan relasi x dan y hampir sama dan menyatakan relasi x dan y sangat berbeda. Grafik dari fungsi keanggotaan dan adalah seperti pada Gambar 4.3.
90 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Fungsi keanggotaan gabungan antara dan dapat diperoleh sebagai berikut: Misalkan = x 0 y 0 sedemikian hingga ( x0, y0) = ( x y 0, 0), maka ( x, y ) ; 0 x - y ( x, y) = ( x, y ) ; x -y Sedangkan fungsi keanggotaan irisan antara dan adalah : ( x, y ) ; 0 x - y ( x, y) = ( x, y ) ; x - y Gambar 4.4 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan. Gambar 4.3 Grafik fungsi keanggotaan dan (Contoh 4.6) dan
elasi Kabur 9 Gambar 4.4 Grafik fungsi keanggotaan (Contoh 4.6) dan Contoh 4.7. Diketahui relasi kabur dan masing-masing pada U U dalam bentuk matriks relasional berikut y y y 3 y 4 x 0,3 0, 0 x 0,8 0 0, x 3 0,5 0 0,4 0, y y y 3 y 4 x 0,3 0 0.7 0 x 0,6 0.8 x 3 0,6 0.9 0,3 0, maka sebagai berikut: dan dalam bentuk matriks relasional adalah
9 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur y y y 3 y 4 x 0,3 0. 0 x 0,8 x 3 0,6 0.9 0,4 0, y y y 3 y 4 x 0,3 0 0.7 0 x 0, 0.8 0 0. x 3 0,5 0 0,3 0, 4.3 Proyeksi dan Perluasan Cylindric elasi Kabur Misalkan suatu himpunan A={(x, y) (x-) + (y-) 4, xu =, yu = } yang merupakan suatu relasi dalam U U =. Proyeksi A pada U yang dinyatakan oleh A (), adalah A () = [0, 4]U, dan proyeksi A pada U yang dinyatakan oleh A () adalah A () = [0, 4]U. Perluasan cylindric dari A () ke U U yang dinyatakan oleh A () L adalah A () L =[0, 4]U U U =, dan perluasan cylindric dari A () ke U U yang dinyatakan oleh A ( ) L =[0, 4]U U U =, seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.5. A ( ) L adalah
elasi Kabur 93 Misalkan relasi A dinyatakan dalam bentuk matriks relasional berikut: A... -... 0......... 3... 4... 5... -... 0... 0... 0... 0... 0... 0... 0... 0... 0... 0... 0...... 0... 0... 0...... 0... 0............ 0... 0...... 0.................. 0... 3... 0... 0............ 0... 0... 4... 0... 0... 0...... 0... 0... 0... 5... 0... 0... 0... 0... 0... 0... 0... Gambar 4.5. Proyeksi dan perluasan cylindric A A L A L U U
94 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Dengan menggunakan derajat keanggotaan pada matriks relasional di atas, maka proyeksi A pada U dapat diperoleh sebagai berikut: A ( ) A ( ) A ( ) A ( ) A ( ) (-) = max[..., (0) = max[..., () = max[..., A A A (-,-),, (0, -),, (, -),, A A A (-,0),, (0, 0),, (, 0),, A A A (-,),, (0, ),, (, ),, A A A (-, 5), ] = 0 (0, 5), ] = (, 5), ] = () = max[..., A (, -),, A (, 0),, A (, ),, A (, 5), ] = (3) = max[..., A ( ) A ( ) (4) = max[..., A A (3, -),, (4, -),, A A (3, 0),, (4, 0),, A A (3, ),, (4, ),, A A (3, 5), ] = (4, 5), ] = (5) = max[..., A (5, -),, A (5, 0),, A (5, ),, A (5, 5), ] = 0 atau secara umum dapat dinyatakan sebagai jika x [0, 4] A ( ) (x)= max [ A( x, y)] yu 0 x yang lain, xu Dengan cara yang serupa, proyeksi A pada U dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi keanggotaan nol-satu (fungsi karakteristik), yaitu: jika y [0, 4] A ( ) (y)= max [ A( x, y)] xu 0 y yang lain, yu Selanjutnya, perluasan cylindric dari A () ke U U adalah L A () = {((x, y), ( )( x, y) )} A L
elasi Kabur 95 di mana ( )( x, y) = A L A ( ) (x)= jika x [0, 4 ], xu, yu. 0 x yang lain Adapun perluasan cylindric dari A () ke U U adalah A ( ) L di mana ( )( x, y)= A L = {((x, y), A ( ) ( )( x, y))} A L (y)= jika y [0, 4 ], xu, yu. 0 y yang lain Proyeksi dan perluasan cylindric pada relasi biner biasa dapat diperluas ke relasi kabur biner, yang secara formal didefinisikan sebagai berikut: Definisi 4. Misalkan ={((x, y), Proyeksi pertama relasi ( x, y)) (x, y)u U } adalah relasi kabur biner. () (proyeksi di mana x ( ) ( ) = dan proyeksi kedua relasi ( ) pada U ) didefinisikan sebagai = {(x, x ( ) ( )) x U }, (4.3) max[ ( x, y)], yu (proyeksi pada U ) didefinisikan sebagai = {(y, ( )( y)) y U } (4.4) di mana ( )( y) = max[ ( x, y)]. Adapun perluasan cylindric dari xu () ke U U adalah himpunan kabur dalam U U dengan fungsi keanggotaan ( )( x, y) = ( ) ( x) (4.5) L ( ) dan perluasan cylindric dari ke U U adalah himpunan kabur dalam U U dengan fungsi keanggotaan ( )( x, y) = ( )( y) (4.6) L () L ( ) L Contoh 4.8 Misalkan adalah relasi kabur pada U U yang dinyatakan dengan matriks relasional berikut:
96 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur y y y 3 Y 4 y 5 Y 6 x 0, 0.6 0 0.8 0.9 0.9 x 0, 0.8 0. 0.7 0 x 3 0 0,3 0 0.3 x 4 0.3 0. 0.6 0 0.5 0.7 maka proyeksi pertama dari dapat diperoleh sebagai berikut: ( )( x ) = max [ ( x, y )] = max[0., 0.6, 0, 0.8, 0.9, 0.9 ] = 0.9 y ( )( x ) = max [ ( x, y )] = max[0., 0.8,, 0., 0.7, 0] = 3 y ( )( x ) = max [ ( x 3, y )] = max[, 0, 0.3,, 0, 0.3] = 4 y ( )( x ) = max [ ( x 4, y )] = max[0.3, 0., 0.6, 0, 0.5, 0.7] = 0.7, sehingga () y = {(x, 0.9), (x, ), (x 3, ), (x 4, 0.7)} Dengan cara yang serupa, proyeksi kedua dari diperoleh: ( ) = {(y, ), (y, 0.8), (y 3, ), (y 4, ), (y 5, 0.9), (y 6, 0.9)} Perluasan cylindric dari () pada U U mempunyai derajat keanggotaan sebagai berikut: ( )( x, y ) = ( )( x, y)=...= ( )( x, y6)= ( )( x)= 0.9 L L L ( )( x, y )= ( )( x, y) =...= ( )( x, y6) = ( )( x)= 3 L L ( )( x, y ) = ( )( x3, y)= = ( )( x3, y6) = ( )( x3)= 4 L L ( )( x, y )= ( )( x4, y) =...= ( )( x4, y6) = ( )( x4)= 0.7 L sehingga () L = {((x, y ), 0.9), ((x, y ), 0.9),..., ((x, y 6), 0.9), ((x, y ), ), ((x, y ), ),..., ((x, y 6), ), ((x 3, y ), ), ((x 3, y ), ),..., ((x 3, y 6), ), ((x 4, y ), 0.7), ((x 4, y ), 0.7),..., ((x 4, y 6), 0.7)} Dengan cara yang serupa, ( ) L dapat diperoleh, yaitu ( ) L = {((x, y ), ), (x, y ), ), (x 3, y ), ), (x 4, y ), ), ((x, y ), 0.8), L L L L
elasi Kabur 97 Contoh 4.9 ((x, y ), 0.8), ((x 3, y ), 0.8), ((x 4, y ), 0.8), ((x, y 3),), ((x, y 3), ), ((x 3, y 3), ), ((x 4, y 3), ), ((x, y 4),), ((x, y 4),), ((x 3, y 4),), ((x 4, y 4),), ((x, y 5), 0.9), ((x, y 5), 0.9), ((x 3,y 5), 0.9), ((x 4, y 5),0.9), ((x, y 6), 0.9), ((x, y 6), 0.9), ((x 3, y 6), 0.9), ((x 4, y 6), 0.9)} Misalkan relasi kabur ( ) ( x, y) = e - x-y didefinisikan pada + +, di mana, (x, y) + +. Proyeksi pertama dan proyeksi kedua dari dapat diperoleh sebagai berikut: Proyeksi pertama: Misalkan dipilih sebarang x 0 + sehingga diperoleh: ( x ) = max[ ( x y 0, )] ( ) 0 y ( x y) = max[ e 0 ] (4.7) y Persamaan (4.7) dapat diselesaikan dengan memaksimumkan fungsi ( x y) 0 f(y)= e (x 0 - y) e y, yaitu kita cari y sedemikian sehingga f (y) = 0, yaitu f (y) = ( x y) 0 ( x y) = 0 jika dan hanya jika y = x 0. Jadi ( x ) = ( ) 0 max[ e 0 ] =. Karena x 0 dipilih sebarang elemen dari +, maka : Proyeksi kedua: () = {( x 0, ) x 0 + } = + Misalkan dipilih sebarang y 0 +, sehingga diperoleh : 0 ( y ) = max[ ( x, y 0 )] = max[ e ] ( ) 0 x x ( xy ) Dengan cara yang serupa pada proyeksi pertama, maka diperoleh: x ( xy ) 0 max[ e ] = Karena y 0 dipilih sebarang elemen dalam +, maka : ( ) = {( y 0, ) y 0 + } = +
98 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Misalkan suatu ruang yang lebih umum, yaitu U U U n, maka akan ada suatu relasi kabur n-ary pada U U U n, yaitu (U, U,,U n), dan misalkan ada suatu proyeksi dari relasi kabur n-ary, yaitu, pada U i U i... U i k di mana {i, i,, i k} adalah suatu subbarisan dari {,,, n}. Proyeksi relasi kabur n-ary sebagai berikut: Definisi 4.3 q ( ) pada U i U i... U i n didefinisikan Misalkan adalah relasi kabur pada U U U n, maka proyeksi pada U i U i... U i k adalah suatu relasi kabur pada U i U i... U i k dengan fungsi keanggotaan ( q)( ui, ui,..., u )= max [ ( u,..., un )] (4.8) di mana i k j j j (n-k) u U,..., u U j j j(n-k) j(n-k) { u, u,..., u } adalah komplemen dari q ( ) { u, u,..., u } i i i k terhadap {u, u,, u n}. Suatu relasi kabur yang berbeda dalam ruang yang sama (semestanya sama) dapat mempunyai proyeksi yang sama, akan tetapi harus ada relasi terbesar pada U U U n. elasi terbesar tersebut merupakan perluasan cylindric dari ke U U U n, yang secara formal didefinisikan sebagai berikut: Definisi 4.4 Misalkan q ( ) q ( ) adalah suatu proyeksi pada q ( ) U i U i... U i n, maka perluasan cylindric dari ke U U U n adalah suatu relasi kabur q ( ) pada U U U n, dengan fungsi keanggotaan ( )( u, u,..., u ) = ( q)( u, u,..., u ) (4.9) q L n i i Sebagai kasus khusus, apabila adalah suatu relasi kabur biner, yaitu (U, U ), maka (4.8) akan menjadi himpunan kabur dan (4.9) akan menjadi perluasan cylindric seperti pada Definisi 4.. Dari definisi tentang proyeksi dan perluasan cylindric, terlihat bahwa proyeksi akan membatasi suatu relasi kabur pada suatu subruang sedangkan perluasan cylindric akan memperluas suatu relasi kabur/himpunan kabur dari subruang ke ruang yang lebih luas. i k
elasi Kabur 99 4.4 Komposisi antar elasi Kabur Seperti pada relasi biasa, maka pada relasi kabur dalam ruang hasil kali yang berbeda dapat dikombinasikan antara satu dengan yang lain dengan menggunakan operasi komposisi. Terdapat banyak versi komposisi yang diusulkan oleh para ahli yang penggunaannya sesuai dengan keperluan bidang aplikasi. Akan tetapi, terdapat dua jenis komposisi yang paling sering digunakan dan paling sering muncul dalam literatur-literatur himpunan kabur, yaitu komposisi max-min dan komposisi max-hasil kali. Komposisi pada relasi biasa (x, y) dan (y, z) di mana xu, yu, zu 3 dapat diinterpretasikan sebagai keberadaan suatu rantai relasi di antara elemen-elemen dari U dan U 3, sementara komposisi pada relasi kabur dapat diinterpretasikan sebagai indikasi kekuatan dari suatu rantai relasi di antara elemen-elemen U dan U 3. Kekuatan ini direpresentasikan oleh derajat keanggotaan pasangan (x, z) dalam komposisi tersebut. Secara formal, beberapa komposisi didefinisikan sebagai berikut: Definisi 4.5 Misalkan ( x, y), (x, y)uu dan ( y, z), (y, z)u U3 adalah relasi kabur yang berturut-turut didefinisikan pada U U dan U U 3, maka komposisi max-min dan, yaitu, adalah suatu himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan: yu ( x, z) max [ min ( ( x, y), ( y, z ))] ; xu, yu, zu 3 (4.0) Definisi 4.6 Misalkan dan adalah relasi kabur yang didefinisikan seperti pada Definisi 4.5, maka komposisi max- dan, yaitu, adalah suatu himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan: ( x, z) max [( ( x, y) ( y, z )] ; x U, y U, z U 3 (4.) yu
00 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Jika operator merupakan operasi assosiatif yang monoton tidak turun, maka komposisi max- akan bersesuaian dengan komposisi max-min. Definisi 4.7. Misalkan dan adalah relasi kabur yang didefinisikan seperti pada Definisi 4.5, maka komposisi max-hasil kali dan adalah suatu himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan yu, yaitu ( x, z) max [( ( x, y). ( y, z )] ; x U, y U, z U 3 (4.), Definisi 4.8. Misalkan dan adalah relasi kabur yang didefinisikan seperti pada Definisi 4.5, maka komposisi max-rata-rata dan, yaitu adalah suatu himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan: ( x, z ) = yu max[ ( x, y) ( y, z )] ; xu, yu, zu 3 (4.3), Contoh 4.0 Misalkan ( x, y) dan ( y, z) didefinisikan dengan menggunakan matriks relasional berikut: y y y 3 y 4 x 0. 0. 0 x 0.3 0.5 0 0.
elasi Kabur 0 z z z 3 y 0.9 0 0.3 y 0. 0.8 y 3 0.8 0 0.7 y 4 0.4 0. 0.3 (i) Komposisi max-min dapat diperoleh sebagai berikut: Kita akan menghitung ( x, z ), i =, ; j =,, 3. Untuk mendapatkannya, maka terlebih dahulu harus dihitung min[ ( x, y ), ( y, z )], k =,, 3, 4 i k k j a) untuk i =, j = : k =, min[ k =, min[ (x, y ), (x, y ), i j (y, z )] = min[0., 0.9] = 0. (y, z )] = min[0., 0.] = 0. k = 3, min[ (x, y 3), (y 3, z )] = min[0, 0.8] = 0 k = 4, min[ (x, y 4), (y 4, z )] = min[, 0.4] = 0.4 sehingga (x, z ) = max[0., 0., 0, 0.4] = 0.4 b) untuk i =, j = : k =, min[ (x, y ), (y, z )] = min[0., 0] = 0 k =, min[ (x, y ), (y, z )] = min[0., ] = 0.
0 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur k = 3, min[ k = 4, min[ sehingga c) untuk i =, j = 3 k =, min [ (x, y 3), (x, y 4), (y 3, z )] = min[0, 0] = 0 (y 4, z )] = min[, 0.] = 0. (x, z ) = max[0, 0., 0, 0.] = 0. (x, y ), k =, min [ (x, y ), (y, z 3)] = min[0., 0.3] = 0. (y, z 3)] = min[0., 0.8] = 0. k = 3, min [ (x, y 3), (y 3, z 3)] = min[0, 0.7] = 0 k = 4, min [ (x, y 4), (y 4, z 3)] = min[, 0.3] = 0.3 sehingga ( x, z 3) = max[0., 0., 0, 0.3] = 0.3 d) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh (x, z ) = 0.3 e) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh (x, z ) = 0.5 f) untuk i =, j = 3, dengan cara yang serupa, diperoleh (x, z 3) = 0.5 Jadi komposisi max-min dalam bentuk matriks relasional adalah sebagai berikut : z z z 3 x 0.4 0. 0.3 x 0.3 0.5 0.5
elasi Kabur 03 (ii) Komposisi max-hasil kali dapat diperoleh sebagai berikut: Kita akan menghitung ( x, z ) i =, ; j =,, 3. i j Untuk mendapatkannya, maka terlebih dahulu harus dihitung ( x, y ). ( y, z ), k =,, 3, 4 (a) untuk i =, j = k =, i k k ( x, y ). ( y, z ) = (0.) (0.9) = 0.09 j k =, k = 3, k = 4, ( x, y ). ( y, z ) = (0.) (0.) = 0.04 3 ( x, y ). ( y, z ) = (0) (0.8) = 0 4 3 ( x, y ). ( y, z ) = () (0.4) = 0.4 4 sehingga ( x, z )= max [0.09, 0.04, 0, 0.4] = 0.4 (b) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh ( x, z ) = 0. (c) untuk i =, j = 3, dengan cara yang serupa, diperoleh ( x, z ) = 0.3 (d) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh ( x, z ) = 0.7 3 (e) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh ( x, z )= 0.5 (f) untuk i =, j = 3, dengan cara yang serupa, diperoleh ( x, z ) = 0.4 3
04 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Jadi komposisi max-hasil kali sebagai berikut : dalam bentuk matriks relasional adalah z z z 3 x 0.4 0. 0.3 x 0.7 0.5 0.4 (iii) Komposisi max-rata-rata Kita akan menghitung dapat diperoleh sebagai berikut: (x i, z j), i =, ; j =,, 3. Untuk mendapatkannya, maka terlebih dahulu harus dihitung (x i, y k) + (a) untuk i =, j =. k =, (x, y ) + (y k, z j), k =,, 3, 4 (y, z ) = (0.)+ (0.9) = k =, (x, y ) + (y, z ) = (0.)+(0.) = 0.4 k = 3, k = 4, sehingga (x, y 3) + (x, y 4) + (y 3, z ) = (0)+ (0.8) = 0.8 (y 4, z ) = ()+ (0.4) =.4 (x, z ) = max[, 0.4, 0.8,.4] = 0.7 (b) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh (c) untuk i =, j = 3, dengan cara yang serupa, diperoleh (x, z ) = 0.6 (x, z 3)= 0.65
elasi Kabur 05 (d) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh (e) untuk i =, j =, dengan cara yang serupa, diperoleh (f) untuk i =, j = 3, dengan cara yang serupa, diperoleh (x, z ) = 0.6 (x, z )= 0.75 (x, z 3)= 0.65 Jadi komposisi max-rata-rata adalah sebagai berikut : dalam bentuk matriks relasional z z z 3 x 0.7 0.6 0.65 x 0.6 0.75 0.65 Ada suatu cara sederhana untuk menghitung komposisi dengan menggunakan perkalian matriks pada matriks relasional Caranya adalah sebagai berikut: dan dan yaitu untuk komposisi max-min, matriks relasional dan dikalikan dengan cara perkalian matriks, tetapi operator kali diganti dengan operator min dan operator jumlah diganti dengan operator max. untuk komposisi max-hasil kali, matriks relasional dan dikalikan dengan cara perkalian matriks, tetapi operator jumlah diganti dengan operator max. untuk komposisi max rata-rata, matriks relasional dan dikalikan dengan cara perkalian matriks, tetapi operator kali diganti dengan operator jumlah dan operator jumlah diganti dengan operator max, kemudian hasilnya dikalikan dengan ½..
06 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur Kita akan mengecek hasil komposisi menggunakan cara sederhana di atas. Untuk komposisi max-min: 0. 0. 0 0.3 0.5 0 Untuk komposisi max-hasil kali 0. 0. 0 0.3 0.5 0 dan 0.9 0 0.3 0. 0.8 0.4 0. 0.3 0. 0.8 0 0.7 0.3 0.5 0.5 0.4 0. 0.3 0.9 0 0.3 0. 0.8 0.4 0. 0.3 0. 0.8 0 0.7 0.7 0.5 0.4 0.4 0. 0.3 pada Contoh 4.0, dengan Untuk komposisi max-rata-rata: 0.9 0 0.3 0. 0. 0 0. 0.8.4..3 0.3 0.5 0 0. 0.8 0 0.7..5.3 0.4 0. 0.3 0.7 0.6 0.65 0.6 0.75 0.65 hasilnya sama dengan yang diperoleh dalam Contoh 4.0.
elasi Kabur 07 4.5 Beberapa Definisi pada elasi Kabur dan Sifat Komposisi antar elasi Kabur - Kerefleksifan Definisi 4.9. Misalkan adalah suatu relasi kabur pada U U, maka :. disebut refleksif jika dan hanya jika ( x, x) =, x U disebut anti-refleksif jika dan hanya jika ( x, x), xu disebut irrefleksif jika dan hanya jika xu sedemikian sehingga ( x, x). disebut -refleksif jika dan hanya jika ( x, x), xu, 0< <. 3. disebut refleksif lemah jika dan hanya jika - Kesimetrisan Definisi 4.0. ( x, y) ( x, x) ( y, x) ( x, x) x, yu Misalkan adalah suatu relasi kabur pada U U, maka : disebut simetris jika dan hanya jika ( x, y) = ( y, x), x, y U disebut asimetris jika dan hanya jika x, y U ( x, y) ( y, x)
08 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur disebut antisimetris jika dan hanya jika ( x, y) >0 dan - Ketransitifan (ketransitifan max-min) Definisi 4. ( y, x) Misalkan adalah relasi kabur pada U U, maka: >0, maka x = y, x, y U. disebut transitif jika dan hanya jika ( x, z) max yu [min( disebut nontransitif jika dan hanya jika x, y, zu ( x, z) < ( x, y), ( y, z))], x, y, z U max yu [min( ( x, y), ( y, z))] disebut anti-transitif jika dan hanya jika ( x, z) < Contoh 4. max yu [min( ( x, y), ( y, z))], x, y, z U Misalkan adalah relasi kabur yang didefinisikan pada himpunan kota-kota di dunia yang menyatakan relasi sangat dekat. Kita dapat mengasumsikan bahwa setiap kota sangat dekat dengan kota itu sendiri (jaraknya 0 km) dengan derajat keanggotaan sama dengan satu. Jadi adalah relasi refleksif. Selanjutnya, jika kota A sangat dekat dengan kota B, maka kota B juga sangat dekat dengan kota A dengan derajat keanggotaan yang sama, jadi adalah relasi simetris. Demikian juga, jika kota A sangat dekat dengan kota B dengan derajat keanggotaan ( A, B) dan kota B sangat dekat dengan kota C dengan derajat keanggotaan ( B, C), maka ada kemungkinan bahwa kota A sangat dekat dengan kota C dengan derajat keanggotaan yang lebih kecil dari derajat keanggotaan ( A, B) dan ( B, C). Oleh karena itu, relasi yang menyatakan relasi sangat dekat pada himpunan kota-kota di dunia tidak transitif (nontransitif).
elasi Kabur 09 Beberapa sifat komposisi kabur (khusus max-min):. Komposisi max-min bersifat assosiatif yaitu ( ) 3 = ( 3 ). Jika refleksif dan sebarang relasi kabur, maka dan 3. Jika refleksif maka 4. Jika dan relasi refleksif, maka juga refleksif. 5. Jika dan simetris dan =, maka 6. Jika 7. Jika simetris. transitif maka simetris maka ~ simetris 8. Jika simetris dan transitif, maka ( x, y) ( x, x), x, y U 9. Jika refleksif dan transitif, maka 0. Jika dan transitif dan transitif. = =, maka Sifat-sifat di atas hanya berlaku untuk komposisi max-min, akan tetapi ada juga beberapa sifat yang berlaku untuk komposisi max-hasil kali dan komposisi max-rata-rata. Pembaca dipersilahkan untuk memeriksa sifat yang berlaku pada komposisi max-hasil kali dan komposisi max-rata-rata sebagai latihan. 4.6 elasi Kemiripan Pada relasi biner biasa, kita mengenal adanya relasi kesetaraan (ekivalensi), yaitu relasi yang bersifat refleksif, simetris dan transitif. Pada
0 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur relasi yang demikian dapat didefinisikan himpunan A x yang memuat semua elemen U yang dihubungkan ke x oleh relasi kesetaraan, yaitu A x={y (x, y) } xu. Himpunan A x disebut kelas kesetaraan dari. Anggota dalam masing-masing kelas kesetaraan adalah setara satu sama lain dan keluarga semua kelas kesetaraan akan membentuk suatu partisi pada U. Contoh 4. Misalkan U = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Hasil kali kartesian UU akan memuat 00 anggota, yaitu UU={(, ), (, ),, (0, 0)}. Misalkan adalah relasi pada U yang didefinisikan sebagai x dan y mempunyai sisa yang sama kalau dibagi tiga. Dengan mudah diperlihatkan bahwa relasi adalah relasi kesetaraan. Kelas-kelas kesetaraan yang terbentuk adalah: A =A 4=A 7=A 0={, 4, 7, 0}, A =A 5=A 8={, 5, 8}, dan A 3=A 6=A 9={3, 6, 9}. Jadi, 4, 7 dan 0 setara satu sama lain, yaitu dan 4 mempunyai sisa yang sama kalau masing-masing dibagi tiga, dan 7 mempunyai sisa yang sama kalau masing-masing dibagi tiga, dan 0 mempunyai sisa yang sama kalau masing-masing dibagi tiga, dan seterusnya. Demikian juga,, 5, 8 dan 3, 6, 9 akan setara satu sama lain. Seperti pada relasi biner biasa di atas, maka pada relasi kabur biner juga dikenal adanya relasi yang memenuhi sifat refleksif, simetris dan transitif. elasi kabur biner yang memenuhi sifat tersebut biasa disebut relasi kemiripan. elasi transitif yang dipakai pada pambahasan relasi kemiripan dalam buku ini adalah relasi transitif bentuk max-min. Konsep relasi transitif bentuk lain dapat dipakai untuk mendefinisikan relasi kemiripan. elasi kemiripan dapat membentuk himpunan-himpunan yang elemen-elemennya mirip (similar) satu sama lain pada derajat keanggotaan yang dispesifikasikan. Himpunan yang terbentuk tersebut disebut kelas kemiripan, yaitu suatu himpunan bagian M dari U sedemikian sehingga ( x, y), x, y M di mana adalah elemen himpunan-tingkat (level set) dari. Derajat keanggotaan yang dispesifikasikan tersebut dapat diinterpretasikan sebagai derajat kemiripan antara satu elemen dengan elemen yang lain dalam kelas kemiripan. Jika derajat keanggotaan sama dengan satu (=) maka kelas kemiripan menjadi kelas kesetaraan (elemen yang mirip satu sama lain menjadi setara satu sama lain). Masing-masing M untuk semua akan membentuk suatu partisi dalam U. Kelas-kelas
elasi Kabur kemiripan dari suatu relasi kemiripan yang elemennya berhingga pada derajat keanggotaan yang dispesifikasikan dapat direpresentasikan dalam bentuk diagram yang biasa disebut pohon-kemiripan yang mirip dengan suatu dendogram. Contoh 4.3 Misalkan relasi kabur pada himpunan U={a, b, c, d, e, f, g} dinyatakan oleh matriks relasional berikut: a b c d e f g a 0.8 0 0.4 0 0 0 b 0.8 0 0.4 0 0 0 c 0 0 0 0.9 0.5 d 0.4 0.4 0 0 0 0 e 0 0 0 0.9 0.5 f 0 0 0.9 0 0.9 0.5 g 0 0 0.5 0 0.5 0.5 Dengan mudah dapat diperiksa bahwa relasi kabur tersebut di atas adalah relasi kemiripan pada U. Himpunan tingkat dari adalah ={0, 0.4, 0.5, 0.8, 0.9, }, sehingga diperoleh kelas kemiripan pada derajat keanggotaan, yaitu: M 0 = U M 0.4= {a, b, d}, {c, e, f, g} M 0.5= {a, b}, {d}, {c, e, f, g} M 0.8={a, b}, {d}, {c, e, f}, {g} M 0.9={a}, {b}, {d}, {c, e, f}, {g} M ={a}, {b}, {d}, {c, e}, {f}, {g}
Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur elasi kemiripan tersebut dapat direpresentasikan dalam pohon-kemiripan atau dendogram berikut: Gambar 4.6 Pohon kemiripan untuk relasi kemiripan (Contoh 4.3) Dari Contoh 4.3, terlihat bahwa c, e, f dan g adalah mirip satu sama lain dengan derajat kemiripan 0.5; c, e dan f mirip satu sama lain dengan derajat kemiripan 0.8; c dan e mirip dengan derajat kemiripan sama dengan satu; dan seterusnya. 4.7 elasi Kedekatan Pada relasi biner biasa, kita mengenal adanya relasi kecocokan, yaitu relasi biner yang bersifat refleksif dan simetris. Suatu konsep penting yang berhubungan dengan relasi kecocokan adalah kelas kecocokan. Jika diberikan suatu relasi kecocokan, maka kelas kecocokan merupakan suatu himpunan bagian A dari U sedemikian sehingga (x, y) (U, U), x, y A. Suatu kelas kecocokan yang tidak termuat (sejati) dalam kelas kecocokan yang lain disebut kelas kecocokan maksimal. Keluarga yang memuat semua kelas kecocokan maksimal disebut penutup lengkap dari U. Seperti pada relasi biner biasa, maka pada relasi kabur biner juga dikenal adanya relasi yang memenuhi sifat refleksif dan simetris. elasi
elasi Kabur 3 kabur biner yang memenuhi sifat tersebut biasa disebut sebagai relasi kedekatan. Apabila relasi kedekatan, maka kelas kedekatan didefinisikan berdasarkan suatu derajat keanggotaan yang dispesifikasikan. Kelas kedekatan- merupakan suatu himpunan bagian D dari U sedemikian sehingga ( x, y), x, y D di mana adalah elemen himpunantingkat (level set) dari. Kelas kedekatan- maksimal dan penutup- lengkap merupakan perluasan dari konsep kelas kecocokan maksimal dan penutup lengkap. Kelas kendekatan- maksimal dan penutup- lengkap berturut-turut akan sama dengan kelas kecocokan dan penutup lengkap pada =. Contoh 4.4 Misalkan relasi kabur matriks relasional berikut: ~ didefinisikan pada U = 9 yang dinyatakan oleh 3 4 5 6 7 8 9 0.8 0 0 0 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0.8 0 0 0 0 4 0 0 0.8 0.7 0.5 0 0 5 0 0 0.8 0.8 0.7 0.5 0.7 0 6 0 0 0 0.7 0.7 0.4 0 0 7 0 0 0 0.5 0.5 0.4 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 Karena matriks di atas simetris dan semua entri pada diagonal utama sama dengan satu, maka relasi kabur adalah simetris dan refleksif. Dengan
4 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur demikian adalah suatu relasi kedekatan. Himpunan tingkat dari adalah = {0, 0.4, 0.5, 0.7, 0.8, }, sehingga diperoleh kelas kedekatan pada masing-masing tingkat: D 0 = N 9 D 0.4 = {,},{3, 4, 5}, {4, 5, 6, 7}, {5, 8}, {9} D 0.5 = {,},{3, 4, 5}, {4, 5, 6}, {4, 5, 7}, {5, 8},{9} D 0.7 = {,},{3, 4, 5}, {4, 5, 6}, {7}, {5, 8}, {9} D 0.8 = {,},{3, 4, 5}, {6}, {7}, {8}, {9} D = {}, {},{3, 4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9} elasi kedekatan tersebut dapat direpresentasikan dalam pohon kedekatan seperti diperlihatkan dalam Gambar 4.7. Kelas-kelas kedekatan tersebut tidak ada yang termuat (sejati) dalam kelas kedekatan yang lain pada tingkat yang sama. Oleh karena itu, kelas-kelas kedekatan tersebut merupakan kelas kedekatan- maksimal. Jadi {{,},{3, 4, 5}, {4, 5, 6, 7}, {5, 8}, {9}} adalah penutup-0.4 lengkap, {{,},{3, 4, 5}, {4, 5, 6},{4, 5, 7}, {5, 8}, {9}} adalah penutup-0.5 lengkap dan seterusnya. 3 4 5 4 5 6 7 5 8 9 =0.4 3 4 5 4 5 6 4 5 7 5 8 9 =0.5 3 4 5 4 5 6 7 5 8 9 =0.7 3 4 5 6 7 8 9 =0.8 3 4 5 6 7 8 9 = Gambar 4.7 Pohon kedekatan untuk relasi kedekatan (Contoh 4.4).
elasi Kabur 5 Soal-Soal Latihan 4. Berikan suatu contoh fungsi keanggotaan relasi kabur := jauh lebih kecil dari pada dalam 0 0 dengan menggunakan matriks relasional. 4. elasi kabur yang didefinisikan dalam U U U 3 U 4, di mana U = {a, b, c}, U ={s, t}, U 3={x, y} dan U 4={i, j} adalah sebagai berikut: ( U, U, U 3, U 4) = {((b, t, y, i), 0.4), ((a, s, x, i), 0.6), ((b, s, y, i), 0.9), a) Hitunglah proyeksi ((b, s, y, j), ), ((a, t, y, i), 0.6), ((c, s, y, i), 0.)}. pada U U U 4, U U, dan U 4 b) Hitunglah perluasan cylindric dari proyeksi dalam (a) ke U U U 3U 4. 4.3 Misalkan suatu relasi kabur pada menggunakan matriks relasional berikut: A B didefinisikan dengan y y y 3 y 4 y 5 x 0.5 0 0.9 0.9 x 0.4 0.5 0.3 0. x 3 0.7 0.8 0 0. 0.6 x 4 0. 0.3 0.7 0 4.4 Carilah a) Tentukan proyeksi pertama dan proyeksi kedua dari relasi. b) Tentukan perluasan cylindric dari proyeksi pertama dan proyeksi kedua relasi. () L dan () L dalam Contoh 4.8
6 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 4.5 Komposisikan dua relasi kabur dan berikut y y y 3 y 4 x 0.3 0 0.7 0.3 x 0 0. 0 z z z 3 y 0 y 0 0.5 0.4 y 3 0.7 0.9 0.6 y 4 0 0 0 dengan menggunakan komposisi maksimun, komposisi max-hasil kali dan komposisi max-rata-rata. 4.6 Misalkan didefinisikan relasi kedekatan menggunakan matriks relasional berikut: pada 7 7 dengan 3 4 5 6 7 0 0.8 0 0.6 0.8 0 0 0 0.6 0 0.5 0 3 0.8 0 0.8 0 0 0 4 0 0.6 0.8 0 0 0.8 5 0.6 0 0 0 0.6 0 6 0.8 0.5 0 0 0.6 0 7 0 0 0 0.8 0 0
elasi Kabur 7 Tentukan: a) Pohon kedekatan dari relasi. b) Semua penutup- lengkap dari relasi.
8 Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur