SUATU KAJIAN TENTANG HIMPUNAN LUNAK KABUR (FUZZY SOFT SET ) DAN APLIKASINYA

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SUATU KAJIAN TENTANG HIMPUNAN LUNAK KABUR (FUZZY SOFT SET ) DAN APLIKASINYA PRIMA PUTRI ADHA UTAMI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, primaputriadhautami@gmail.com Abstrak. Dalam paper ini dikaji tentang teori himpunan lunak kabur beserta operasioperasinya. Kemudian didefinisikan operator fuzzy soft aggregation yang dapat diterapkan dalam proses pengambilan keputusan. Terakhir diberikan contoh yang menunjukkan bahwa metode ini dapat diaplikasikan pada masalah yang mengandung ketidaktentuan. Paper ini mengkaji kembali referensi [2]. Kata Kunci: Himpunan lunak, himpunan lunak kabur, fungsi keanggotaan, ketidaktentuan 1. Pendahuluan Misal diberikan himpunan U yang disebut himpunan universal atau semesta, dan E himpunan dari parameter, P (U) adalah power set dari U, dan A E. Definisi 1.1. [2] Suatu soft set F A atas U adalah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi f A sedemikian sehingga fa : E P (U) f A (x) = jika x A. Fungsi f A dikatakan fungsi aproksimasi dari soft set F A, dan nilai dari f A (x) disebut x elemen dari soft set untuk semua x E. Soft set atas U dapat dituliskan dalam himpunan pasangan terurut F A = {(x, f A (x)) : x E, f A (x) P (U)}. (1.1) Himpunan semua soft set atas U dinotasikan dengan S(U). Definisi 1.2. [2] Misal U adalah himpunan universal. Himpunan fuzzy X atas U adalah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi µ X : U [0, 1], dimana µ X disebut fungsi keanggotaan dari X, dan nilai dari µ X disebut nilai dari keanggotaan untuk u U. Nilai tersebut menunjukkan derajat dari u pada 65

2 66 Prima Putri Adha Utami himpunan fuzzy X. Himpunan fuzzy X atas U dapat dituliskan sebagai himpunan pasangan terurut X = {(µ X (u)/u) : u U, µ X (u) [0, 1]}. (1.2) Koleksi dari himpunan-himpunan fuzzy atas U dinotasikan dengan F (U). Definisi 1.3. [3] Misal A dan B adalah dua himpunan fuzzy atas U. Maka A adalah himpunan bagian dari B dinotasikan dengan A B jika dan hanya jika µ A (x) µ B (x) untuk setiap x U. Definisi 1.4. [3] Misal A, B F (U). Maka, A = B jika dan hanya jika A B dan B A. Definisi 1.5. [3] Misal A F (U). Maka, komplemen dari A adalah A c = {(x, µ A c(x)) : x U dan µ A c(x) = 1 µ A (x)}. (1.3) Definisi 1.6. [3] Misal A, B F (U). Maka, gabungan dari A dan B yang dinotasikan dengan A B didefinisikan sebagai untuk setiap x U dan µ A B (x) [0, 1]. µ A B (x) = max{µ A (x), µ B (x)} (1.4) Definisi 1.7. [3] Misal A, B F (U). Maka, irisan dari A dan B yang dinotasikan dengan A B didefinisikan sebagai untuk setiap x U dan µ A B (x) [0, 1]. µ A B (x) = min{µ A (x), µ B (x)} (1.5) 2. Himpunan Lembut Kabur (Fuzzy Soft Set) Notasikan Γ A, Γ B, Γ C, untuk menyatakan fuzzy soft set dan γ A, γ B, γ C, untuk fungsi aproksimasi fuzzy. Definisi 2.1. [2] Suatu f s-set atas U adalah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi γ A γ A : E F (U) sedemikian sehingga γ A (x) = jika x A. Fungsi γ A disebut fungsi aproksimasi fuzzy dari fuzzy soft set Γ A, dan nilai γ A (x) disebut x-elemen dari fuzzy soft set untuk semua x E. fuzzy soft set Γ A atas U dapat dituliskan dengan himpunan pasangan terurut Γ A = {(x, γ A (x)) : x E, γ A (x) F (U)}. (2.1) Himpunan dari semua fs-sets atas U dinotasikan dengan F S(U). Definisi 2.2. [2] Misal Γ A F S(U). Jika γ A (x) = untuk setiap x E, maka Γ A disebut empty fs-set, dinotasikan dengan Γ Φ.

3 Fuzzy Soft Set dan Aplikasinya 67 Definisi 2.3. [2] Misal Γ A F S(U). Jika γ A (x) = U untuk setiap x A, maka Γ A disebut A-universal fs-set, dinotasikan dengan Γ Ā. Jika A = E, maka Γ A disebut universal f s-set, dinotasikan dengan Γ Ē. Definisi 2.4. [2] Misal Γ A, Γ B F S(U). Maka Γ A adalah fs-subset dari Γ B, dinotasikan dengan Γ A Γ B, jika γ A (x) γ B (x) untuk setiap x E. Proposisi 2.5. [2] Misal Γ A, Γ B F S(U). Maka, (1) Γ A Γ Ē. (2) Γ Φ Γ A. (3) Γ A Γ A. (4) Γ A Γ B dan Γ B Γ C Γ A Γ C. Bukti. Dapat dibuktikan dengan menggunakan Definisi 1.3. Definisi 2.6. [2] Misal Γ A, Γ B F S(U). Maka, Γ A = Γ B jika dan hanya jika γ A (x) = γ B (x) untuk setiap x E. Proposisi 2.7. [2] Misal Γ A, Γ B, Γ C F S(U). Maka, (1) Jika Γ A = Γ B dan Γ B = Γ C, maka Γ A = Γ C. (2) Γ A Γ B dan Γ B Γ A jika dan hanya jika Γ A = Γ B. Bukti. Misal Γ A, Γ B, Γ C F S(U). Menggunakan Definisi 1.4 akan dibuktikan (1) Γ A = Γ B berarti µ γa (x)(u) = µ γb (x)(u) untuk setiap x E dan u U. Γ B = Γ C berarti µ γb (x)(u) = µ γc (x)(u) untuk setiap x E dan u U. µ γa (x)(u) = µ γb (x)(u) dan µ γb (x)(u) = µ C (x) berarti µ γa (x)(u) = µ γc (x)(u). (2) ( ) Karena µ γa (x)(u) µ γb (x)(u) dan µ γb (x)(u) µ γa (x)(u), maka µ γa (x)(u) = µ γb (x)(u) untuk setiap x E dan u U. ( ) Dan karena µ γa (x)(u) = µ γb (x)(u) berarti µ γa (x)(u) µ γb (x)(u) dan µ γb (x)(u) µ γa (x)(u). Definisi 2.8. [2] Misal Γ A F S(U). Maka, komplemen Γ c A dari Γ A adalah suatu f s-set sedemikian sehingga γ A c(x) = γ c A(x), untuk setiap x E, (2.2) dimana γ c A (x) adalah komplemen dari himpunan γ A(x). Proposisi 2.9. [2] Misal Γ A F S(U). Maka, (1) (Γ c A ) c = Γ A. (2) Γ c Φ = ΓĒ. Bukti. Proposisi ini dapat dibuktikan dengan menggunakan Definisi 1.5.

4 68 Prima Putri Adha Utami Definisi [2] Misal Γ A, Γ B F S(U). Maka, gabungan dari Γ A dan Γ B, dinotasikan dengan Γ A Γ B, didefinisikan oleh fungsi aproksimasi fuzzy γ A B (x) = γ A (x) γ B (x) untuk setiap x E. (2.3) Proposisi [2] Misal Γ A, Γ B, Γ C F S(U). Maka, (1) Γ A Γ A = Γ A. (2) Γ A Γ Φ = Γ A. (3) Γ A Γ Ē = Γ Ē. (4) Γ A Γ B = Γ B Γ A. (5) (Γ A Γ B ) Γ C = Γ A (Γ B Γ C ). Bukti. Misal Γ A, Γ B, Γ C F S(U). Maka (1) µ γa (x) γ A (x)(u) = max{µ γa (x)(u), µ γa (x)(u)} = µ γa (x)(u) (2) µ γa (x) γ φ (x)(u) = max{µ γa (x)(u), µ γφ(x)(u)} = max{µ γa (x)(u), 0} = µ γa (x)(u) (3) µ γa (x) γ Ē (x) (u) = max{µ γa (x)(u), µ γē (x)(u)} = 1 = µ γē (x)(u) (4) µ γa (x) γ B (x)(u) = max{µ γa (x)(u), µ γb (x)(u)} = max{µ γb (x)(u), µ γa (x)(u)} (5) µ (γa (x) γ B (x)) γ C (x)(u) = max{max{µ γa (x)(u), µ γb (x)(u)}, µ γc (x)(u)} = max{µ γa (x)(u), max{µ γb (x)(u), µ γc (x)(u)}} Definisi [2] Misal Γ A, Γ B F S(U). Maka, irisan dari Γ A dan Γ B, dinotasikan dengan Γ A Γ B, didefinisikan oleh fungsi aproksimasi fuzzy γ A B (x) = γ A (x) γ B (x) untuk setiap x E. (2.4) Proposisi [2] Misal Γ A, Γ B, Γ C F S(U). Maka, (1) Γ A Γ A = Γ A. (2) Γ A Γ Φ = Γ Φ. (3) Γ A Γ Ē = Γ A. (4) Γ A Γ B = Γ B Γ A. (5) (Γ A Γ B ) Γ C = Γ A (Γ B Γ C ). Bukti. Cara pembuktiannya mirip dengan bukti pada Proposisi Proposisi [2] Misal Γ A, Γ B, Γ C F S(U). Maka, berlaku Hukum De Morgan sebagai berikut: (1) (Γ A Γ B ) c = Γ c A Γ c B. (2) (Γ A Γ B ) c = Γ c A Γ c B. Bukti. Misal Γ A, Γ B, Γ C F S(U).

5 Fuzzy Soft Set dan Aplikasinya 69 (1) Perhatikan bahwa, γ (A B) c(x) = γ c A B (x) = (γ A (x) γ B (x)) c = γa(x) c γb(x) c = γ A c(x) γ B c(x) = γ A c B c(x). (2) Dibuktikan dengan cara yang sama. Proposisi [2] Misal Γ A, Γ B, Γ C F S(U). Maka, (1) Γ A (Γ B Γ C ) = (Γ A Γ B ) (Γ A Γ C ). (2) Γ A (Γ B Γ C ) = (Γ A Γ B ) (Γ A Γ C ). Bukti. Misal Γ A, Γ B, Γ C F S(U). (1) Perhatikan bahwa, γ A (B C) (x) = γ A (x) γ (B C) (x) = γ A (x) (γ B (x) γ C (x)) = (γ A (x) γ B (x)) (γ A (x) γ C (x)) = γ A B (x) γ A C (x) = γ (A B) (A C) (x). (2) Dibuktikan dengan cara yang sama. 3. Fuzzy Soft Aggregation Pada bagian ini, didefinisikan operator f s-aggregation yang menghasilkan kumpulan himpunan fuzzy dari f s-set dan himpunan kardinalnya. Definisi 3.1. [2] Misal Γ A F S(U). Asumsikan bahwa U = {u 1, u 2,, u m }, E = {x 1, x 2,, x n } dan A E, maka Γ A dapat ditulis dalam bentuk tabel sebagai berikut Γ A x 1 x 2 x n u 1 µ γa (x 1)(u 1 ) µ γa (x 2)(u 1 ) µ γa (x n)(u 1 ) u 2 µ γa (x 1)(u 2 ) µ γa (x 2)(u 2 ) µ γa (x n)(u 2 ) u m µ γa (x 1)(u m ) µ γa (x 2)(u m ) µ γa (x n)(u m ) dimana µ γa (x) adalah fungsi keanggotaan dari suatu himpunan fuzzy atas U. Jika a ij = µ γa (x j)(u i ) untuk i = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n, maka fs-set Γ A secara tunggal dapat ditulis sebagai matriks

6 70 Prima Putri Adha Utami a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n [a ij ] m n = a m1 a m2 a mm disebut m n fs-matrix dari fs-set Γ A atas U. Definisi 3.2. [2] Misal Γ A F S(U). Maka himpunan kardinal dari Γ A, dinotasikan dengan cγ A dan didefinisikan oleh cγ A = {µ cγa (x)/x : x E} (3.1) adalah himpunan fuzzy atas E. Fungsi keanggotaan µ cγa dari cγ A didefinisikan sebagai µ cγa : E [0, 1], µ cγa (x) = γ A(x) U dimana U adalah kardinalitas dari U, dan γ A (x) = u U µ γ A (x)(u). Kumpulan semua himpunan-himpunan kardinal dari f s-sets atas U dinotasikan dengan cf S(U). Jelas bahwa cf S(U) F (E). Definisi 3.3. [2] Misal Γ A F S(U) dan cγ A cf S(U). Asumsikan bahwa E = {x 1, x 2,..., x n } dan A E, maka cγ A dapat dituliskan dalam bentuk tabel sebagai berikut E x 1 x 2 x n µ cγa µ cγa (x 1 ) µ cγa (x 2 ) µ cγa (x n ) Jika a 1j = µ cγa (x j ) untuk j = 1, 2,..., n, maka cγ A dapat dituliskan secara tunggal oleh matriks [a 1j ] 1 n = [ a 11 a 12 a 1n ] yang disebut matriks kardinal dari himpunan kardinal cγ A atas E. Definisi 3.4. [2] Misal Γ A F S(U) dan cγ A cf S(U). Maka, operator fsaggregation, dinotasikan dengan F S agg, didefinisikan sebagai dimana F S agg : cf S(U) F S(U) F (U), F S agg (cγ A, Γ A ) = A A = {µ A (u)/u : u U} adalah himpunan fuzzy atas U. A disebut agregat himpunan fuzzy dari fs-set Γ A. Fungsi keanggotaan µ A dari A didefinisikan sebagai berikut µ A : U [0, 1], µ A (u) = 1 µ cγa (x)µ γa (x)(u) E dimana E adalah kardinalitas dari E. Definisi 3.5. [2] Misal Γ A F S(U) dan A adalah agregat himpunan fuzzy. Asumsikan bahwa U = {u 1, u 2,, u m }, maka A dapat dituliskan dalam bentuk tabel sebagai berikut x E

7 Fuzzy Soft Set dan Aplikasinya 71 Γ A µ A u 1 µ A (u 1 ) u 2 µ A (u 2 ).. u m µ A (u m ) Jika a i1 = µ A (u i ) untuk i = 1, 2,, m, maka A secara tunggal dapat di-tuliskan a 11 a 21 [a i1 ] m 1 =. disebut matriks agregat dari A atas U. a m1 Teorema 3.6. [2] Misal Γ A F S(U) dan A E. Jika M ΓA, M cγa adalah matriks representasi dari Γ A, cγ A dan A, maka dan M A E M A = M ΓA M T cγ A (3.2) dimana M T cγ A adalah transpose dari M cγa dan E adalah kardinalitas dari E. Bukti. Misal Γ A F S(U) dan A E. Jika M ΓA, M cγa dan M A adalah matriks representasi dari Γ A, cγ A dan A, maka akan ditunjukkan M A = 1 E M Γ A M T cγ A. Perhatikan bahwa: n µ A (u 1 ) i=1 µ γ A (x i)(u 1 )µ cγa (x i ) µ A (u 2 ). = 1 n i=1 µ γ A (x i)(u 2 )µ cγa (x i ) E. n µ A (u m ) i=1 µ γ A (x i)(u m )µ cγa (x i ) µ γa (x 1)(u 1 ) µ γa (x 2)(u 1 ) µ γa (x n)(u 1 ) µ cγa (x 1 ) = 1 µ γa (x 1)(u 2 ) µ γa (x 2)(u 2 ) µ γa (x n)(u 2 ) µ cγa (x 2 ) E µ γa (x 1)(u m ) µ γa (x 2)(u m ) µ γa (x n)(u m ) µ cγa (x n ) 4. Aplikasi Fuzzy Soft Set Pada Penerimaan Pekerja PT. Mulia Boga Raya yang dikenal dengan produksi keju Prochiz telah membuka lowongan untuk posisi Manager Engineering dengan parameter-parameter yang dipertimbangkan antara lain: Pria, Pendidikan Minimal S1 Teknik Elektro, Teknik Mesin/ Automasi Industri, Usia Produktif (Dalam Pekerjaan) Antara 35-45, Sehat Jasmani dan Rohani, Domisili Jabodetabek, Lancar Berbahasa Inggris, Pengalaman sebagai Manager atau sebagai Asisten Manager, Paham Tentang Programmable Logic Control, Paham Tentang Total Preventive Maintanance, Paham

8 72 Prima Putri Adha Utami Tentang ISO 22000, Menguasai Aplikasi-aplikasi Komputer (Microsoft Word, Office, Power Point, Corel Draw, dan Auto Cad). Berdasarkan persyaratan-persyaratan di atas, dapat ditulis himpunan parameter E = {x 1, x 2, x 3, x 4,..., x 11 }. Dipilih beberapa persyaratan yang sangat dipertimbangkan, yaitu A = {x 3, x 4, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11 }. Setelah seleksi administrasi, ada 20 orang kandidat yang memenuhi persyaratan tersebut yang disimbolkan dengan u i, untuk i = 1, 2,..., 20. Misalkan himpunan U = {u 1, u 2, u 3,..., u 20 }. Kemudian, untuk mencari calon terbaik dijalankan algoritma sebagai berikut : Langkah 1: Bentuk fs-set Γ A atas U. Γ A ={(x 3, {0.9/u 1, 0.9/u 2, 1/u 3, 1/u 4, 0.9/u 5, 0.9/u 6, 0.9/u 7, 0.9/u 8, 0.8/u 9, 0.8/u 10, 0.9/u 11, 0.8/u 12, 0.8/u 13, 1/u 14, 0.8/u 15, 1/u 16, 1/u 17, 1/u 18, 0.8/u 19, 0.9/u 20 }), (x 4, {0.9/u 1, 0.9/u 2, 0.9/u 3, 0.85/u 4, 0.9/u 5, 0.9/u 6, 0.9/u 7, 0.9/u 8, 0.9/u 9, 0.9/u 10, 0.8/u 11, 0.9/u 12, 0.9/u 13, 0.9/u 14, 0.75/u 15, 0.9/u 16, 0.85/u 17, 0.9/u 18, 0.9/u 19, 0.9/u 20 }), (x 6, {0.85/u 1, 0.85/u 2, 0.7/u 3, 0.7/u 4, 0.7/u 5, 0.85/u 6, 0.8/u 7, 0.7/u 8, 0.7/u 9, 0.75/u 10, 0.7/u 11, 0.7/u 12, 0.65/u 13, 0.6/u 14, 0.7/u 15, 0.65/u 16, 0.6/u 17, 0.75/u 18, 0.85/u 19, 0.7/u 20 }), (x 7, {1/u 1, 0.9/u 2, 0.9/u 3, 0.9/u 4, 0.9/u 5, 0.8/u 6, 1/u 7, 0.8/u 8, 0.9/u 9, 0.9/u 10, 0.8/u 11, 0.8/u 12, 0.8/ 13, 0.8/u 14, 1/u 15, 0.9/u 16, 0.9/u 17, 1/u 18, 0.9/u 19, 0.9/u 20 }), (x 8, {0.8/u 1, 0.8/u 2, 0.85/u 3, 0.8/u 4, 0.75/u 5, 0.8/u 6, 0.85/u 7, 0.85/u 8, 0.75/u 9, 0.85/u 10, 0.8/u 11, 0.85/u 12, 0.8/u 13, 0.8/u 14, 0.85/u 15, 0.8/u 16, 0.8/u 17, 0.8/u 18, 0.85/u 19, 0.8/u 20 }), (x 9, {0.9/u 1, 0.9/u 2, 0.8/u 3, 0.75/u 4, 0.8/u 5, 0.85/u 6, 0.85/u 7, 0.75/u 8, 0.8/u 9, 0.75/u 10, 0.85/u 11, 0.8/u 12, 0.8/u 13, 0.75/u 14, 0.7/u 15, 0.7/u 16, 0.8/u 17, 0.85/u 18, 0.9/u 19, 0.75/u 20 }), (x 10, {0.9/u 1, 0.75/u 2, 0.75/u 3, 0.8/u 4, 0.75/u 5, 0.75/u 6, 0.8/u 7, 0.7/u 8, 0.75/u 9, 0.8/u 10, 0.75/u 11, 0.7/u 12, 0.75/u 13, 0.75/u 14, 0.8/u 15, 0.8/u 16, 0.75/u 17, 0.75/u 18, 0.8/u 19, 0.8/u 20 }), (x 11, {0.9/u 1, 0.9/u 2, 0.8/u 3, 0.85/u 4, 0.9/u 5, 0.9/u 6, 0.9/u 7, 0.9/u 8, 0.8/u 9, 0.9/u 10, 0.85/u 11, 0.85/u 12, 0.9/u 13, 0.85/u 14, 0.85/u 15, 0.8/u 16, 0.8/u 17, 0.8/u 18, 0.9/u 19, 0.8/u 20 })}. Langkah 2: Hitung himpunan kardinal dari Γ A untuk setiap x E. cγ A = {0.9/x 3, /x 4, 0.725/x 6, 0.89/x 7, /x 8, /x 9, 0.77/x 10, /x 11 } Langkah 3: Hitung aggregate himpunan fuzzy menggunakan teorema (1) Sehingga diperoleh A ={ /u 1, /u 2, /u 3, /u 4, /u 5, /u 6, /u 7, /u 8, /u 9, /u 10, /u 11, /u 12, /u 13, /u 14, /u 15, /u 16, /u 17, /u 18, /u 19, /u 20 }. Langkah 4: Pilih nilai keanggotaan yang terbesar, yaitu: max µ A (u) = yang berarti pelamar u 1 memungkinkan diterima untuk pekerjaan ini.

9 5. Ucapan Terima kasih Fuzzy Soft Set dan Aplikasinya 73 Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Admi Nazra, Dr. Mahdhivan Syafwan, Ibu Nova Noliza Bakar, M.Si, Ibu Monika Rianti Helmi, M.Si, dan Ibu Dr. Lyra Yulianti yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [1] Aktas, H., and N. Cagman Soft set and soft group. Information Sciences. 117: [2] Cagman, N., S. Enginoglu and F. Citak Fuzzy soft set theory and its application. Iranian Journal of Fuzzy System. 8(3): [3] Jantzen, J Tutorial On Fuzzy Logic. citeseerx.ist.psu.edu, diakses tanggal 18 Maret 2015 [4] Maji, P. K., R. Biswas, and A. R. Roy Soft set theory. Comput. Math. Appl. 45: [5] Molodtsov, D. A Soft set theory-first result. Computers and Mathematics with Applications. (37): [6] Roy, A. R., and P. K. Maji A fuzzy soft set theoretic approach and decision making problems. J. Comput. Appl. Math. 203: [7] Zadeh, L.A Fuzzy sets. Information and Control. 8: