: Bain Khusnul Khotimah, S.T, M.Kom. ISBN : Desain & Layout : Abu Muntaha Cover Image :

Transkripsi

1

2 Penerbit WADE GROUP

3 Penulis : Bain Khusnul Khotimah, S.T, M.Kom. ISBN : Desain & Layout : Abu Muntaha Cover Image : Penerbit WADE GROUP --- BuatBuku.com CV. WADE GROUP Jl. Pos Barat Km.1 Ngimput Purwosari Babadan Ponorogo Indonesia BuatBuku.com waderayasa@gmail.com INDONESIA Cetakan Pertama, November 2015 Hak Cipta 2015 pada Penulis Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun, baik secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotocopy, merekam atau dengan sistem penyimpanan lainnya, tanpa seizin tertulis dari Penulis. Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT) xiv hlm.; 15,5 x 23 cm ii

4 Kata Pengantar Puji syukur Kita panjatkan kehadirat Allah SWT serta sholawat dan salam kita hatur ke junjungan Nabi Mohammad SAW, berkat rahmat-nya serta syafaatnya sehingga penulisan buku ajar Teori Simulasi Dan Pemodelan: Konsep, Aplikasi Dan Terapan ini dapat terselesaikan. Penulisan buku ajar ini, dimaksudkan untuk memberikan gambaran tentang konsep, perkembangan, teori, pemodelan, dan perkembangan aplikasi simulasi kepada para pembaca, khususnya mahasiswa yang menempuh mata kuliah Simulasi. Buku ini berisi dasar pemodelan sistem dan operasi sistem ril, teknik simulasi dapat digunakan untuk penyelesaian beragam persoalan yang menyangkut dengan sistem dan operasi sistem. Penerapan Simulasi dapat diaplikasikan dengan menggunakan prosedur pengoperasian sistem yang secara khusus disusun untuk menyelesaian persoalan yang dihadapi. Sedangkan prosedur yang digunakan disusun berdasarkan pemodelan dan analisis sistem. Beberapa contoh aplikasi simulasi diambil dari beberapa penelitian baik jurnal maupun buku yang disajikan dalam bentuk-bentuk umum simulasi dan dalam bentuk-bentuk khusus untuk penyelesaian persoalan system dalam berbagai aplikasi persoalan misalnya persoalan sistem antrian dan persoalan sistem persediaan. Contohcontoh aplikasi ini diharapkan dapat menumbuhkan penguasaan atas penggunaan teknik simulasi. Dalam proses belajar mengajar, guna menunjang proses tersebut kami menyusun buku ajar ini yang diperuntukkan bagi mahasiswa, yang juga diharapkan dapat digunakan sebagai acuan materi antar dosen yang mengajar pada beberapa kelas parallel di Jurusan Teknik Informatika. Kami sangat mengharapkan saran dan iii

5 kritik membangun dari para mahasiswa, dosen dan pembaca guna kesempurnaan catatan kuliah ini. Bangkalan, 2015 Bain Khusnul Khotimah iv

6 DAFTAR ISI Kata Pengantar iii Daftar Isi v Daftar Gambar xi Daftar Tabel xiii BAB I. KONSEP DASAR MODEL SIMULASI Dunia Nyata dan Sistem Tujuan Imitasi pada Simulasi Simulasi Penyelesaian Persoalan Konsep Simulasi Tahapan Simulasi Dasar-dasar Pemodelan Sistem Bentuk Operasi Maya dan Simulasi Prosedur Pengoperasian Sistem Maya Operasi Maya Sistem Diskrit Simulasi dengan Operasi Statik Simulasi dengan Operasi Dinamik Bentuk Nilai Simulasi Deterministik Simulasi Stokastik Verifikasi dan Validasi Simulasi Rangkuman 32 v

7 BAB II. PEMODELAN SISTEM DINAMIK Pendekatan dalam Sistem Dinamik Simulasi dalam Sistem Dinamik Pemodelan Sistem Dinamik Perangkat Lunak Simulasi Sub Model Pasar/Penjualan Sub Model Konsumen Rumah Tangga Sub Model Jumlah Tangkapan Sub Model SDM Diagram Stok Aliran (Stock Flow Digram) Analisis Kebutuhan Interaksi Antar Variabel Diagram Stock And Flow Simulasi Hasil Pemodelan UKM Rangkuman 57 BAB III. SISTEM TUNGGU Teori Antrian Komponen Proses Antrian Model-Model Antrian Aplikasi Antrian Pada Layanan Bandara Pengolahan Data Waktu Kedatangan Pengolahan Data Waktu Pelayanan 97 vi

8 3.3.3 Perhitungan Variabel Model Antrian Rangkuman 105 BAB IV. PEUBAH ACAK Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret Sebaran peubah Acak Kontinu Sebaran Peluang Bersama Rangkuman 123 BAB V. NILAI HARAPAN (EKSPETASI) Gambaran Nilai Harapan Kaedah-kaedah Nilai harapan Nilai Harapan Khusus Sifat-sifat Koefisien korelasi (r) Sifat-sifat Ragam/Variasi Teorema Chebyshev 14λ 5.7 Rangkuman 152 BAB VI. SEBARAN PELUANG DISKRET Sebaran Seragam Sebaran Binomial dan Multinomil Sebaran Hipergeometrik Sebaran Poisson Sebaran Binomial Negatif dan Geometrik 177 vii

9 6.6 Rangkuman 181 BAB VII. SEBARAN NORMAL Kurva Normal Luas Daerah Di bawah Kurva Normal Pendekatan Normal terhadap Binomial Rangkuman 199 BAB VIII. PENGEMBANGAN MODEL Pemodelan Simulasi Kejadian Diskrit Dinamis Teknik Representasi kejadian system Simulasi Monte Carlo Sistem Komputer Time-Shared Formulasi Masalah Model Analitik Pertimbangan Pemrograman dan Struktur Data Penambahan Waktu dalam Model Simulasi Aplikasi Pemodelan Simulasi untuk Sistem Antrian Kesehatan Kejadian kondisional diskret Pemrosesan Kejadian Kejadian (Event) 225 viii

10 8.5.4 Proses Simulasi Pro Model Verifikasi dan Validasi Model Permasalahan Analisis dalam Model Simulasi Rangkuman 236 ix

11 x

12 DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Sistem ril dan sistem imitasi... 4 Gambar 1.2. Gambaran pemodelan simulasi... 6 Gambar 1.3 Model konseptual simulasi... 7 Gambar 1.4. Tahapan Simulasi Gambar 1.9. Kurva Karakteristik Beberapa Ketidaklinieran Gambar 1.5 Wilayah Kerja Simulasi Gambar 1.6 Illustrasi Operasi Diskrit dari Operasi Kontinu Gambar 1.7 Simulasi statik atas satu segmen aktivitas Gambar Simulasi dinamik dalam periode ganda Gambar 2.1 Pendekatan Sistem dengan Simulasi Sistem Dinamik Gambar 2.2 Diagram Simpal Kausal Model Perikanan di Kabupaten Konawea Selatan Gambar 2.3 Model Sub Sistem Pasar Gambar 2.4 CLD Sub Sistem Model Konsumen Gambar 2.5 CLD Sub Sistem Model Jumlah Tangkapan Gambar 2.6 CLD Sub Model SDM/Penduduk Gambar 2.7 Diagram Alir Model Sistem Perikanan Lengkap Gambar 2.8 Interaksi Antar Variabel Awal Gambar 2.9 Submodel Teknologi Gambar 2.10 Submodel Permintaan dan Produksi Gambar 2.11 Submodel Keuangan Gambar 2.12 Submodel Kebijakan Investasi Gambar Hasil Simulasi Skenario Gambar 3.1 Komponen Dasar Antrian xi

13 Gambar 3.2. Antrian Satu Saluran Satu Tahap Gambar 3.3. Antrian Banyak Saluran Satu Tahap Gambar 3.4. Antrian Satu Saluran Banyak Tahap Gambar 3.5. Antrian Banyak Saluran Banyak Tahap Gambar 3.6. Model Antrian Gambar 3.7 Model Antrian Model M/M/1/I/I Gambar 3.8 Model Antrian Model M/M/S/I/I Gambar 3.9. Model Antrian Model M/M/1/I/F Gambar Model Antrian Model M/M/S/F/I Gambar 4.1 Grafik sebaran peluang diskret b Gambar P(a<x<b) = a f ( x) dx Gambar 6.1 histogram dari sebaran seragam f(x:6) =1/ Gambar 7.1 kurva normal Gambar 7.1 Kurva Normal Gambar 7.2 Kurva Normal f(x 1 <x<x 2 ) = luas daerah yang diarsir Gambar hubungan antara luasan dan N(, 2 ) Gambar 7.3 Hampiran Kurva Normal terhadap b(x;16,0,5) Gambar 8.1. Graf kejadian sistem perbaikan mesin Gambar 8.2. Sistem komputer time-shared Gambar 8.4. Logika pemrogaman time-shared computer Gambar 8.5 Model Konseptual Gambar 8.6 Aliran Diagram Entitas Gambar 8.7 Contoh gambar Simulasi Pro Model xii

14 DAFTAR TABEL Tabel 2.1. Simbol-simbol Diagram Alir Tabel 3.1 Maskapai Penerbangan Yang Beroperasi di Bandara Adisutjipto Yogyakarta Tabel 3.3 Waktu Kedatangan PenumpangCheck-In Batavia Tabel 3.4 Waktu Pelayanan PenumpangCheck-In Batavia Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Waktu Kedatangan Tabel 3.6 Hasil Perhitungan Untuk Waktu Kedatangan Penumpang Tabel 3.7 Distribusi Frekuensi waktu Pelayanan Tabel 3.8 Hasil Perhitungan Untuk Waktu Pelayanan Penumpang Table 5.1. Sebaran peluang Tabel 8.1. Biaya dan pengurangan waktu koneksi dengan beberapa alternatif memori Tabel 1. Waktu terhubung rata-rata Tabel 1. Hasil Analisis Data Input xiii

15 xiv

16 BAB I KONSEP DASAR MODEL SIMULASI 1

17 BAB I KONSEP DASAR MODEL SIMULASI Tujuan Intruksional Umum 1. Mahasiswa mengerti arti dan manfaat studi simulasi, serta mendapat gambaran tentang cakupan studi simulasi 2. Mahasiswa dapat membangun model yang akan disimulasikan dan memahami definisi simulasi. Tujuan Intruksional Khusus 1. Mahasiswa mampu mengikhtisarkan pentingnya simulasi sehingga lebih termotivasi untuk memahaminya labih lanjut 2. Mahasiswa dapat menyebutkan manfaat dan kelebihankelebihan pendekatam simulasi. 3. Mahasiswa dapat menyebutkan bidang-bidang atau ilmuilmu yang sering menggunakan pendekatan simulasi. 4. Mahasiswa mampu membandingkan sistem dan model, dan menyimpulkan perlunya model untuk kebutuhan simulasi. 5. Mahasiswa mampu menggolongkan model ke dalam simulasi matematis, baik yang statis maupun dinamis. 2

18 1.1 Dunia Nyata dan Sistem Dalam penerapan dunia nyata maka segala sesuatu pasti mengikuti suatu aturan seperti air yang mengalir dari tempat yang tinggi (gunung) ke tempat (dataran) yang lebih rendah. Sedangkan pada pemakaian suatu alat bantu yang sangat penting ialah model abstrak yang perilaku esensialnya mencerminkan perilaku dunia nyata (realita) yang diwakilinya. Model digunakan dalam banyak cara untuk mendiskripsikan system untuk mendisain dan mengelola sistem sebagai fungsi analisis. Analisis ini didefinisikan sebagai determinasi output model, dengan menggunakan input dan struktur model yang telah diketahui. Dalam membangun analisis simulasi maka dibangunlah system imitasi dalam simulasi Tujuan Imitasi pada Simulasi Menurut pendefinisian pada berbagai kamus, kata simulasi diartikan sebagai cara mereproduksi kondisi dari suatu keberadaan dengan menggunakan model dalam rangka studi pengenalan atau pengujian atau pelatihan dan yang sejenis lainnya. Simulasi dalam bentuk pengolahan data merupakan imitasi dari proses dan input ril yang menghasilkan data output sebagai gambaran karakteristik operasional dan keadaan pada sistem. Hubungan sistem ril dengan sistem imitasi dalam simulasi disajikan pada Gambar 1.2. (Napitupulu, 2009). 3

19 Gambar 1.1 Sistem ril dan sistem imitasi Imitasi dalam simulasi menghasilkan model representasi dari suatu proses atau operasi dan keadaan ril. Model sebagai imitasi disusun dalam bentuk yang sesuai menyajikan sistem ril atas halhal tertentu yang perlu direpresentasikan dengan maksud untuk menghadirkan tiruan dari kegiatan dan sistem ril. Sebagai contoh, model sistem antrian sebagai imitasi dari sistem pelayanan disusun untuk menggambarkan posisi dari pelanggan menunggu di depan stasiun pelayanan. Tujuan imitasi sistem ril dengan menghadirkan elemen dan komponen tiruan adalah untuk peniruan fungsi dan hubungan ril serta interaksi antar objek dan komponen ril pada sistem tiruan. Komponenkomponen sistem tiruan hadir dalam bentuk fungsi dan interaksi imitasi yang disajikan dalam bentuk rangkaian proses dalam aktivitas dan operasi sistem yang disimulasi. Operasi tiruan yang berlangsung dengan penggunaan data input tiruan diperlukan 4

20 untuk menghasilkan output sebagai gambaran dari hasil operasi dan keadaan pada sistem yang disimulasi Simulasi Penyelesaian Persoalan Masalah tidak adanya metode yang sesuai dengan persoalan pada umumnya berkaitan dengan bentuk persoalan yang unik dan rumit, yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode dan model-model baku yang ada. Sebagai contoh adalah persoalan sistem antrian yang unik seperti disajikan pada Gambar 1.2. Perumusan persoalan dengan penyesuaian terhadap metode yang hendak digunakan biasanya terjadi atas kepentingan untuk memperoleh solusi seadanya. Namun dengan upaya penyesuaian, solusi yang diperoleh dapat menyimpang dari yang semestinya, di samping dapat memunculkan persoalan baru jika penerapan solusi yang diperoleh tidak dapat memberikan hasil yang diharapkan dan bahkan menimbulkan masalah pada penanganan persoalan. (Napitupulu, 2009). Model Baku : M/M/1 Stasiun Pelayanan 5

21 Stasiun Pelayanan Stasiun Pelayanan a. Model Sistem Antrian b. Model Solusi Grafis Gambar 1.2. Gambaran pemodelan simulasi (Napitupulu, 2009) Konsep Simulasi Simulasi sebagai proses pengolahan data dengan penggunaan rangkaian model-model simbolik pada pengoperasian sistem tiruan tidak mengharuskan dan tidak mengajukan penggunaan formula atau fungsi-fungsi dan persamaan tertentu 6

22 sebagai model simbolik penyelesaian persoalan, tetapi sebaliknya simulasi yang terdiri dari tahapantahapan dan langkah-langkah pengolahan data haruslah dilengkapi dengan model-model simbolik yang sesuai memberikan hasil pengoperasian sistem tiruan dalam bentuk data output yang berguna untuk penyelesaian persoalan. Simulasi juga tidak terikat dengan penggunaan model-model sistem acuan tetapi memerlukan pemodelan untuk menghasilkan model sistem dan model operasi sistem yang sesuai dengan tujuan penelitian atau penyelidikan. Gambar 1.3 Model konseptual simulasi 7

23 Penyusunan model-model pada simulasi merupakan bentuk aplikasi dari teori, prinsip, dan pendekatan sistem. Model sistem dan model-model simbolik dari fungsi atau proses serta prosedur pengoperasian sistem tiruan haruslah disusun sebagai perangkat lunak untuk penyelidikan dan analisis karakteristik sistem. Untuk itu peniruan operasi sistem ril dilakukan atas elemen-elemen yang berkaitan dengan aktivitas sistem yaitu masukan dan komponen- komponen sistem, hubungan dan interaksi antar komponen sistem, aturan-aturan, disiplin dan ketentuan lainnya yang berlaku dalam aktivitas sistem. Berdasarkan peniruan sistem dan aktivitas sistem ril yang sesuai, hasil simulasi sistem dapat diterima dan berlaku syah sebagai data output yang berguna menunjukkan karakteristik operasional sistem ril. Sesuai dengan konsep simulasi sistem tersebut di atas, solusi untuk suatu persoalan dalam bentuk keadaan yang kurang baik ataupun keadaan yang tidak optimal dapat disusun dalam bentuk rancangan pengembangan sistem dan bentuk rancangan perbaikan pengelolaan dan pengoperasian sistem. Solusi untuk mewujudkan keadaan yang lebih baik dapat diperoleh berdasarkan hasil analisis dan pengujian rancangan pengembangan dan perbaikan melalui simulasi sistem seperti disajikan pada Gambar 1.3. Model konseptual simulasi pada gambar di atas menunjukkan simulasi sebagai imitasi sistem melalui penyusunan model-model yang diperlukan pada 8

24 pengoperasian sistem maya sebagai tiruan yang sama ataupun sebagai imitasi modifikasi dari suatu sistem ril untuk memperoleh karakteristik operasional sistem sebagai bahan pertimbangan pada penentuan solusi atas persoalan sistem ril. 1.2 Tahapan Simulasi Proses Tahapan dalam mengembangkan Model dan simulasi komputer secara umum, sebagai berikut : a. Memahami sistem yang akan disimulasikan Jika Pengembang model tidak tau atau belum mengetahui cara kerja sistem yang akan dimodel simulasikan maka pengembang perlu meminta bantuan seorang ahli (pakar) dibidang sistem yang bersangkutan. Data masukan, keluaran, variable dan parameter masih dalam bentuk symbol symbol verbal (kata kata). b. Mengembangkan Model matematika dari sistem Apabila pengembang sudah mengetahui cara kerja sistem yang bersangkutan, maka tahap berikutnya adalah memformulasikan model matematika dari sistem. Model matematika bisa dalam bentuk persamaan diferensial, persamaan aljabar linear, persamaan logika diskret dan lain lain disesuaikan dengan karakterisitik sistem dan tujuan pemodelan c. Mengembangkan Model matematika untuk simulasi Digunakan untuk menyederhanakan model matematika yang sudah dihasilkan sebelumnya. Agar lebih mudah dalam menyederhanakan Model matematika, maka 9

25 dibuatlah suatu Flow Chart untuk merinci tahapan yang harus dilewati untuk membuat program. d. Membuat program (software) Beberapa flow chart dari tahapan sebelumnya kemudian diimplementasikan lebih lanjut menjadi program (software) computer e. Menguji, memverifikasi dan memvalidasi keluaran simulasi Simulasi pada dasarnya adalah menirukan sistem nyata (realitas) sehingga tolak ukur baik tidaknya simulasi adalah sejauh mana yang bersangkutan. Pengujian (testing) dilakukan pada tingkat modul program, untuk menguji fungsi subsistem. Verifikasi dilakukan untuk membuktikan bahwa hasil implementasi program komputer sudah sesuai dengan rancangan model konsep dari sistem yang bersangkutan. Validasi dilakukan dengan membandingkan hasil keluaran simulasi dengan data yang diambil dari sistem nyata (realitas). f. Mengeksekusi program simulasi untuk tujuan tertentu. Eksekusi (running) program komputer bisa dilakukan secara waktu nyata (real time) atau waktu tidak nyata (offline) tergantung dari tujuan simulasi. Secara umum ada 3 tujuan simulasi, yaitu : untuk mempelajari perilaku (behavior) sistem, untuk pelatihan (training), untuk hiburan/permainan (gaming). 10

26 Gambar 1.4. Tahapan Simulasi 1.3 Dasar-dasar Pemodelan Sistem Sebuah sistem merupakan kombinasi dari beberapa komponen yang bekerja bersama-sama. Konsep sistem yang digunakan berupa gejala-gejala abstrak dan dinamis seperti yang dijumpai dalam sistem harus dapat di interprestasikan untuk dapat menyatakan sistem fisik, biologi, ekonomi, dan 11

27 sebagainya. Pemodelan sistem adalah suatu langkah awal yang di lakukan untuk pembuatan suatu rekayasa perangkat lunak dari sebuah sistem yang akan di simulasikan. Apabila formulasi model dilakukan maka tahap selanjutnya akan dilakukan evaluasi model system diantaranya adalah: ketelitian, ketersediaan taksiran atas variable, interpretasi, dan validasi. Dalam hal ini formulasi model senantiasa dilakukan berdasarkan teori-teori yang berlaku diwilayah dimana system berada. Beberapa tahapan yang biasa dilakukan untuk melakukan formulasi model yaitu: a. Dari sudut pandang system dan lingkungannya: system tertutup & system terbuka. b. Dari sudut pandang tingkat kepastian system: system deterministic & system probabilistic. c. Dari sudut pandang kedinamisan system: system dinamis & system statis. d. Dari sudut pandang kekontinuan system: system kontinu & system diskrit. Perkembangan sistem kontrol dalam industri proses dewasa ini telah melahirkan banyak penemuan penemuan baru tentang masalah konsep dan prinsip kerja dari berbagai sistem yang digunakan didalam industri itu sendiri untuk melaksanakan proses produksinya. Beberapa sistem yang terdapat di sekeliling kita dapat didefinisikan sebagai berikut: 12

28 a. Sistem Linier Definisi sistem linier merupakan suatu sistem yang mempunyai persamaan model yang linier dengan menerapkan prinsip superposisi. Definisi prinsip superposisi menyatakan respon yang dihasilkan oleh penggunaan secara serentak dua buah fungsi penggerak yang berbeda adalah sama dengan jumlah dari dua buah respon individualnya. Oleh karenanya, pada sistem linier, respon terhadap beberapa masukan dapat dihitung dengan cara mencari respon terhadap tiap-tiap masukan dan menjumlahkan hasilnya. Prinsip ini memungkinkan kita untuk menyusun jawaban yang kompleks pada persamaanpersamaan diferensial linier dari beberapa jawaban yang sederhana. Pada penyelidikan sistem dinamik secara eksperimantal, jika sebab dan akibat adalah sebanding, maka akan berlaku sistem superposisi sehingga sistem tersebut dapat dianggap linier. b. Sistem Non Linier Sistem non linier adalah sistem yang dinyatakan oleh persamaan non linier dan tidak dapat menerapkan prinsip superposisi. Beberapa kurva karakteristik ketidak lini eran diperlihatkan pada Gambar 1-1 ibawah ini. Beberapa contoh persamaan non linier adalah: A sin B Z A 2 B 3 13

29 Keluaran Keluaran Masukan Masukan (a) (b) Keluaran Masukan (c) (a) Ketidaklinieran saturasi, (b) Ketidaklinieran daerah mati, (c) Ketidaklinieran hukum kuadrat 2 d x 2 dt 2 d x 2 dt ( 2 x dx dt 1) dx dt x x 3 x 0, 0 Gambar 1.9. Kurva Karakteristik Beberapa Ketidaklinieran c. Sistem Kendali dengan Lup Terbuka Sistem kendali dengan lup terbuka adalah suatu sistem kendali yang keluarannya tidak di umpan balikkan dengan masukannya. Sehingga untuk setiap masukan acuan (set point), kondisinya tidak akan berubah (tetap). Respon keluaran yang demikian itu tergantung dari 14

30 keadaan dari kalibrasi sistem kendali itu sendiri. Manakala, penalaan parameter sistem adalah benar dan stabil maka sistem itu akan bekerja sesuai dengan yang diinginkan. Tetapi manakala penalaan parameter sistem tidak tepat atau bahkan terjadi suatu gangguan (disturbance) pada sistem maka sistem itu tidak dapat bekerja seperti apa yang diinginkan. d. Sistem Kendali dengan Lup Tertutup Sistem kendali lup tertutup adalah suatu sistem kendali yang keluarannya dapat di umpan balikkan dengan masukannya. Sehingga untuk setiap masukan acuan (set point), kondisinya akan selalu berubah sesuai dengan nilai masukan acuan yang diberikan pada sistem tersebut. Dalam hal ini, sistem kendali dengan lup tertutup biasanya tidak peka terhadap perubahan yang terjadi pada sistem, baik itu perubahan yang disebabkan oleh karena gangguan eksternal maupun internal sistem. Hal itu disebabkan karena adanya penalaan yang sedemikian rupa pada sistem kendali lup tertutup yang ditujukan agar jika sewaktuwaktu terjadi perubahan yang mendadak / tidak dapat diramalkan pada sistem tersebut maka dengan cepat sistem merespon keluaran yang kemudian akan dibandingkan dengan masukan acuan utuk menghasilkan suatu nilai yang dikehendaki. e. Karakteristik Sistem Kendali Otomatik Beberapa karakteristik yang penting dari sistem kendali otomatik adalah: 15

31 a. Sistem kendali ototomatik merupakan sistem dinamis (berubah terhadap waktu) yang dapat berbentuk linier dan non linier. b. Bersifat menerima informasi, memprosesnya, mengolahnya, dan mengembangkannya. c. Komponen/unit yang membentuk sistem kendali ini akan saling berinteraksi d. Bersifat mengembalikan sinyal ke bagian masukan (feedback) dan ini digunakan untuk memperbaiki sifat sistem. e. Karena adanya pengembalian sinyal ini (sistem umpan balik) maka pada sistem kendali otomatik selalu terjadi maslah stabilisasi. f. Pemakaian Sistem Kendali Otomatik Pemakaian dari sistem kendali otomatik ini dikelompokan sebagai berikut: [10] a. Pengontrolan proses b. Pembangkit tenaga listrik (pengontrolan distribusi tenaga) c. Pengontrolan numeric (numerical control, N/C) d. Transportasi e. Servomekanis,dll 16

32 Gambar 1.5 Wilayah Kerja Simulasi (Law and Kelton, 1991) a. Eksperimen langsung dan tidak langsung. Eksperimen langsung dan tidak langsung merupakan suatu cara yang digunakan untuk memperoleh gambaran dan informasi secara lengkap dari system yang ingin disimulasikan. Bila diinginkan data yang benar-benar valid maka yang lebih tepat adalah eksperimen langsung terhadap system realnya, karena jika kita bereksperimen terhadap model system maka akan timbul kendala apabila model tersebut tidak menggambarkan system realnya secara utuh. 17

33 b. Model Fisik dan model matematik Model system dapat berwujud secara fisik maupun dalam bentuk formula matematik. Pada umumnya model matematik selalu dapat memberikan hasil yang menjanjikan, karena model matematik yang sempurna akan dapat memberikan informasi dan pada akhirnya akan dapat menunjukkan kinerja dari system nyatanya secara tepat. c. Penyelesaian analitik dan dengan simulasi Penyelesaian analitik dan dengan simulasi merupakan bagian tahapan selanjutnya manakal model fisik maupun model matematik system selesai dibuat. Jika model system cukup sederhana maka penyelesaian secara analisis mudah dilakukan, namun bila model system cukup kompleks maka penyelesaian simulasi dengan menggunakan computer akan lebih membantu. Simulasi computer adalah suatu metode yang mana metode itu dengan sendirinya harus disesuaikan dengan karakteristik system real yang di buat simulasinya. Banyaknya karakteristik system yang ada di sekeliling kita akan memunculkan bermacam-macam simulasi, diantaranya adalah: a. Simulasi system dinamis : merupakan model simulasi yang dapat merepresentasikan system yang berubah-ubah sepanjang waktu. b. Simulasi system diskrit: merupakan system yang perubahan statenya terjadi pada waktu-waktu diskrit. 18

34 c. Simulasi system kontinu: merupakan system yang perubahan statenya terjadi secara kontinu. d. Simulasi system probabilistic: merupakan system dengan kejadian yang probabilistic. Aspek-aspek yang mendasar bagi kajian simulasi suatu system adalah: 1. Aspek pemodelan system. Dilakukan untuk membuat representasi system dalam bahasa/bentuk tertentu, sehingga dengan perwujudan representasi itu maka segala bentuk analisis dan pembahasan atas sitem dapat dilakukan. Adapun tahapan utama dalam melakukan pemodelan system adalah sebagai berikut: a. Penetapan tujuan b. Identifikasi masalah c. Pengembangan model koseptual d. Pengembangan Model matematis e. Validasi Solusi model Pemahaman atas segala bentuk komponen (entity) dan antribut (antribute) beserta interaksi yang mewarnai system mutlak diperlukan karena pemahaman ini merupakan modal dasar yang utama dalam pemodelan system. Atas model matematis yang diperoleh, selanjutnnya dilakukan validasi sehingga akan diperoleh model yang valid. 19

35 2. Aspek pemrograman computer. Dilakukan untuk menyelesaikan persoalan model matematika system kedalam bentuk program computer, sehingga program tersebut dapat menirukan perilaku system realnya. 3. Aspek percobaan (statistic). Dilakukan untuk mengolah data keluaran simulasi agar dapat menunjukan keluaran yang benar dan tidak menyesatkan. 1.4 Bentuk Operasi Maya dan Simulasi Operasi sistem dalam bentuk maya umumnya diawali dengan pengambilan input dan diakhiri dengan penyajian output hasil pengolahan data. Operasi maya per siklus dapat diulang kembali mulai dari awal periode atau dilanjutkan pada periode selanjutnya. Operasi maya dalam sejumlah siklus dapat berulang dalam satu periode yang sama atau berlanjut dalam jumlah periode yang sama dengan jumlah siklus operasi maya. Operasi maya pada umumnya berlangsung dalam bentuk rangkaian proses maya dengan input maya dan output maya. Operasi maya berlangsung dengan menggunakan data tiruan yang dapat dibedakan atas data deterministik dan data stokastik pada simulasi dinamik atau simulasi statik. Pengadaan data input tiruan deterministik dilakukan dengan cara menyediakan nilai-nilai yang pasti, sedangkan data input tiruan stokastik dapat disediakan dengan menggunakan nilai-nilai peluang sebagai penduga. Operasi sistem pada simulasi statik berlangsung bebas 20

36 tidak terikat dengan kemajuan waktu, sedangkan operasi sistem pada simulasi dinamik berlangsung dalam selang waktu maya yang disesuaikan terhadap selang waktu operasi pada sistem nyata. Hasil simulasi sistem dalam bentuk data output merupakan hasil operasi imitasi pada sistem maya. Dengan penggunaan nilai- nilai input yang sama dengan nilai-nilai input pada sistem ril, data output hasil pengoperasian sistem maya sebagai imitasi dari suatu sistem ril pada prinsipnya adalah sama dengan nilai-nilai dari hasil operasi sistem ril yang sama. Data output hasil simulasi sistem maya dan data hasil operasi sistem ril adalah sama dalam bentuk nilai-nilai yang berfungsi menunjukkan keadaan pada sistem maya dan keadaan pada sistem ril. 1.5 Prosedur Pengoperasian Sistem Maya Simulasi komputer dijalankan dengan menggunakan program simulasi pada komputer. Program simulasi sistem berfungsi untuk menghadirkan komponen-komponen suatu sistem maya dan untuk mengoperasikan sistem maya yang terbentuk. Program simulasi sistem yang tersusun dalam bentuk rangkaian perintah-perintah dan ekspressi merupakan prosedur pengoperasian sistem maya. Dengan penggunaan variabel sebagai komponen sistem maya, operasi maya dapat disusun dalam bentuk rangkaian ekspressi dan model-model simbolik yang menyatakan bentuk dan fungsi proses serta hubungan 21

37 input-output. Ekspressi-ekspressi pada program dapat disusun sebagai rangkaian pernyataan yang berfungsi untuk mengendalikan jalannya operasi maya sehingga proses pengolahan data dapat menirukan proses dan interaksi pada sistem ril. Program komputer khusus untuk suatu simulasi sistem dapat disusun dengan menggunakan bahasa program tertentu, antara lain bahasa C++ dan bahasa Visual Basic. Program simulasi juga dapat disusun dalam bentuk worksheet aplikasi ataupun dengan menggunakan perangkat lunak sistem simulasi seperti ProModel, PowerSim dan lain sebagainya. Perangkat lunak sistem simulasi berfungsi dengan mengoperasikan model sistem dan menggunakan data input tiruan. Untuk itu diperlukan penyusunan model sistem dan model operasi sistem, penentuan karakteristik data input serta penyusunan ekspressi-ekspressi pengoperasian sistem maya sesuai dengan bentuk operasi pada sistem ril yang disimulasikan. 1.6 Operasi Maya Sistem Diskrit Dari segi cara pelaksanaannya, simulasi komputer termasuk simulasi sistem diskrit sesuai dengan bentuk pengoperasian sistem secara terputus-putus, meskipun aktivitas dan operasi pada sistem ril berlangsung kontinu. Simulasi sistem dapat dijalankan dengan pelaksanaan operasi diskrit sehubungan dengan ketidaklayakan pengoperasian sistem tiruan dengan menjalankan aktivitas maya dalam bentuk kontinu. 22

38 Pengoperasian sistem tiruan berlangsung secara diskrit sesuai dengan proses pemasukan data, pengolahan data dan penerimaan output hasil pengolahan data secara bertahap pada posisi waktu atau posisi operasi maya tertentu. Meskipun proses pengolahan data berlangsung dalam selang waktu yang relatip sangat kecil, pengambilan dan penentuan nilai-nilai dalam simulasi sistem tetap berlangsung secara diskrit per periode dan per siklus. Pengoperasian sistem secara diskrit juga berkaitan dengan pelaksanaan elemen operasi maya yang tuntas seketika melalui eksekusi perintah program, meskipun pelaksanaannya pada sistem ril berlangsung kontinu dalam selang waktu yang relatip lama. Sebagai contoh, pengisian sejumlah bahan baku ke dalam tangki persediaan pada sistem ril berlangsung kontinu dan selesai dalam beberapa jam, namun pada simulasi dapat terlaksana dan tuntas seketika melalui eksekusi perintah penambahan nilai variabel yang menyatakan isi tangki. (Gambar 1.6.) Operasi pengisian 600 m 3 bahan ke dalam tangki persediaan 23

39 Gambar 1.6 Illustrasi Operasi Diskrit dari Operasi Kontinu 1.7 Simulasi dengan Operasi Statik Pada simulasi statik, pengoperasian sistem maya berlangsung secara bebas tidak terikat dengan kemajuan waktu. Hasil simulasi yang diperoleh merupakan gambaran keberadaan dan karakteristik sistem dalam berbagai konfigurasi atau variasi keadaan yang tidak terikat dengan waktu. Simulasi statik merupakan simulasi sistem maya dalam satu periode sebagai satu siklus peristiwa atau satu segmen aktivitas. Pengulangan simulasi statik berlaku terbatas dalam satu periode tunggal pada posisi yang sama dan tidak bergerak. Pelaksanaan simulasi dalam m siklus adalah statis dalam satu periode seperti disajikan pada 24

40 Gambar berikut. Gambar 1.7 Simulasi statik atas satu segmen aktivitas Simulasi sistem termasuk simulasi statik jika kelangsungan operasi sistem maya tidak berkaitan dengan kemajuan waktu maya dan kemajuan waktu maya tidak berpengaruh terhadap operasi dan keadaan sistem. Sebagai contoh, simulasi analisis rentabilitas proyek investasi dengan umur 10 tahun dapat dilakukan berulangulang tanpa terikat dengan waktu operasi maya. Analisis proyek dalam satu siklus berlangsung dalam satu periode operasi, di mana satu periode operasi tidak sama dengan selang waktu 10 tahun maya. Jika pengulangan simulasi dilakukan sebanyak 200 kali, bukan berarti analisis rentabilitas dilakukan untuk proyek dalam selang waktu 2000 tahun maya. Demikian juga jika umur proyek dikurangi menjadi 5 tahun, bukan berarti simulasi berlangsung dalam ½ siklus. Simulasi proyek dengan umur 10 tahun maupun 5 tahun sama-sama berlangsung dalam 1 siklus yang sama. 25

41 1.8 Simulasi dengan Operasi Dinamik Pada simulasi dinamik, pengoperasian sistem berlangsung berkelanjutan dalam ruang waktu maya. Operasi sistem dinamik adalah khas tidak berulang pada periode atau pada selang waktu yang sama. Dengan mengikuti kemajuan waktu, perubahan pada sistem maya selalu dikaitkan dengan selang waktu ataupun posisi waktu maya, di mana operasi maya dijalankan dalam sejumlah periode yang berurutan menurut kemajuan waktu atau menurut pembagian waktu maya untuk sejumlah periode seperti disajikan pada Gambar Gambar Simulasi dinamik dalam periode ganda (Napitupulu, 2009) Simulasi sistem secara dinamik terikat dengan kemajuan dan perubahan waktu karena operasi maya dijalankan dalam sejumlah periode yang berurutan dengan 26

42 selang waktu tertentu, ataupun menurut kemajuan waktu yang menentukan urutan dan jumlah periode. Jika pelaksanaan operasi dinamik berlangsung dalam n periode yang berurutan, dan 1 periode operasi berlangsung dalam m menit maya maka simulasi berlangsung dalam n(m) menit maya. Sebagai contoh, sistem antrian maya dengan operasi dinamik dijalankan dengan mengikuti kemajuan waktu yang menentukan terhadap jumlah kedatangan, lama pelayanan dan panjang antrian. Sistem maya dioperasikan dari menit ke menit dalam selang waktu 7 jam atau 420 menit maya. Dengan selang waktu 1 menit maya per 1 kali pengecekan operasi sistem maka simulasi berlangsung dalam 420 kali pengecekan. Jika simulasi dijalankan dalam 210 menit maya berarti pengoperasian sistem antrian dalam simulasi berlangsung dalam 210 kali pengecekan. 1.9 Bentuk Nilai Simulasi Deterministik Pengoperasian sistem tiruan termasuk simulasi deterministik jika semua nilai-nilai input tiruan yang digunakan terdiri dari nilai- nilai pasti atau menentu. Hasil simulasi sistem yang diperoleh juga merupakan nilai pasti untuk masing-masing kombinasi nilai-nilai input sistem. Dengan penggunaan data input deterministik, jumlah hasil simulasi yang dapat diperoleh akan sama dengan jumlah kombinasi dari nilai-nilai parameter dan variabel yang digunakan seperti diberikan pada contoh berikut : 27

43 Jika nilai input A=5 dan B=7 dengan model simbolik operasi C = A*B maka nilai C = 5x7 = 35 merupakan nilai pasti. Selama nilai A dan nilai B serta model simbolik C = A*B tidak berubah maka nilai C akan tetap sama tidak berubah pada setiap ulangan simulasi operasi. Jika nilai A terdapat pada dua level yaitu A1= 4 dan A2= 6 maka nilai C menurut nilai A terdiri dari 2 nilai pasti yaitu C1= 28 dan C2= 42 Jika nilai A terdapat pada dua level yaitu A1 =4 dan A2=6, dan nilai B terdapat pada tiga level yaitu B1=5, B2=6 dan B3=7 maka nilai C menurut nilai A dan nilai B terdiri dari 6 nilai pasti sesuai dengan jumlah kombinasi dari variabel A dengan variabel B sebanyak 2 x 3 yaitu : C1= 20, C2= 24, C3= 28, C4= 30, C5= 36, dan C6= 42 Pada contoh di atas dapat terlihat jelas bahwa hasil simulasi deterministik tidak berubah untuk nilai-nilai masukan yang sama. Hasil simulasi sistem tetap akan sama meskipun dengan jumlah ulangan yang sangat besar. Pengulangan simulasi dengan nilai- nilai input yang sama tidak akan memberikan nilai hasil simulasi yang berubah sehingga ulangan simulasi tidak diperlukan untuk penentuan nilai rata-rata hasil pengoperasian sistem. Sehubungan dengan hasil simulasi deterministik yang sama untuk nilai-nilai input yang sama maka perlunya simulasi sistem deterministik adalah untuk 28

44 memperoleh nilai hasil simulasi untuk nilai-nilai input tertentu dari antara nilai-nilai input yang berbeda dalam jumlah yang relatip sangat besar. Simulasi deterministik untuk nilai-nilai input yang berbeda dapat bermanfaat menyajikan bentuk hubungan yang pasti antara nilainilai input dengan nilai- nilai output pada operasi statik yang berulang maupun operasi dinamik yang berkelanjutan Simulasi Stokastik Simulasi sistem termasuk simulasi stokastik jika nilai-nilai input yang digunakan terdiri dari nilai-nilai dugaan. Data output hasil simulasi yang diperoleh dengan penggunaan nilai-nilai input dugaan juga termasuk nilai dugaan, meskipun simulasi dilakukan dengan langkahlangkah yang pasti. Hasil simulasi dalam bentuk nilai dugaan tidak dapat diubah menjadi nilai pasti. Nilai dugaan tidak berdiri sendiri sebagai nilai tunggal tetapi sebagai nilai anggota dari suatu kelompok nilai dengan kehadiran berdasarkan peluang tertentu. Penggunaan nilai-nilai sebagai data input berdasarkan peluang berkaitan dengan terdapatnya banyak nilai-nilai sejenis yang mungkin muncul dari kelompok yang sama. Sebagai contoh, rata-rata kecepatan angin termasuk data dugaan pada suatu simulasi pelayaran sehubungan dengan nilainya yang berubah dari waktu ke waktu tidak dapat dinyatakan dengan nilai pasti. Penggunaan nilainilai kecepatan angin sebagai data input pada simulasi merupakan nilai dugaan berdasarkan peluang yang menentukan frekwensi kemunculan nilai-nilai pada 29

45 operasi maya. Penggunaan data input dugaan akan memberikan nilai hasil simulasi dalam bentuk nilai ekspektasi yang tidak terlepas dari peluang yang menentukan frekwensi kehadiran nilai-nilai input. Hubungan nilai-nilai input dugaan dengan hasil simulasi sebagai nilai ekspektasi dapat dijelaskan melalui contoh berikut: Pada kecepatan angin rata-rata 15; 20 dan 25 km per jam, kecepatan rata-rata perahu adalah 5; 10 dan 15 km per jam. Kecepatan angin rata-rata 15 km/jam dapat terjadi dengan peluang 0,5; kecepatan rata-rata 20 km/jam dengan peluang 0,3 dan kecepatan rata-rata 25 km/jam dengan peluang 0,2. Berdasarkan nilai rata-rata dan peluang terjadinya kecepatan angin serta hubungannya dengan kecepatan perahu maka ekspektasi jarak tempuh perahu per jam dapat diperoleh dari perhitungan : (0,5x5)+(0,3x10)+(0,2x15) = 8,5 km/jam. Ekspektasi jarak tempuh perahu pada contoh di atas tidak dapat dinyatakan dengan nilai pasti karena data input terdiri dari nilai-nilai dugaan. Ekspektasi jarak tempuh perahu akan berubah dengan mengikuti perubahan nilai-nilai peluang kecepatan angin pada setiap ulangan simulasi. Sesuai dengan perubahan nilai-nilai bilangan acak sebagai nilai peluang, data kecepatan angin dugaan pada setiap siklus simulasi juga mengalami perubahan sehingga dengan peningkatan jumlah ulangan simulasi akan diperoleh rata- rata jarak tempuh perahu yang berubah dan bervariasi. 30

46 1.11 Verifikasi dan Validasi Simulasi Sistem tiruan dan program simulasi dapat digunakan apabila model sistem sesuai dengan bentuk sistem ril, dan operasi maya sesuai dengan operasi ril. Untuk itu verifikasi model sistem perlu dilakukan sebelum uji coba penggunaan program simulasi. Verifikasi model sistem dilakukan berdasarkan pengecekan kesesuaian model dengan keadaan ril, terutama dalam hal jumlah dan jenis komponen, bentuk hubungan interaksi antar komponen, serta input-output proses dalam operasi sistem. Ketidaksesuaian umumnya mengakibatkan penyimpangan hasil simulasi terhadap hasil yang seharusnya. Ketidaksesuaian model dapat terjadi dalam berbagai hal yang disebutkan di atas. Ketidaksesuaian misalnya terdapat pada komponenkomponen sistem maya yang tidak tepat mewakili komponen-komponen sistem ril dengan prosedur yang tidak efektip mengintegrasikan semua komponenkomponen sistem sehingga mengakibatkan adanya perbedaan antara operasi sistem maya dengan operasi sistem ril. Selanjutnya prosedur pengoperasian sistem maya juga perlu divalidasi karena model operasi yang digunakan pada sistem maya kemungkinan tidak sesuai dengan bentuk operasi pada sistem ril. Model operasi sistem maya yang berbeda dengan bentuk operasi ril jelas tidak berlaku mewakili sistem ril. Model operasi sistem maya tidak valid jika uji coba simulasi memberikan hasil yang berbeda dibandingkan dengan hasil operasi sistem ril. 31

47 Prosedur pengoperasian sistem yang disusun berdasarkan model operasi sistem yang lolos verifikasi juga perlu divalidasi. Prosedur dalam bentuk program komputer perlu divalidasi sebelum digunakan pada pensimulasian. Validasi program simulasi dapat dilakukan berdasarkan hasil pengecekan kesamaan antara hasil simulasi dengan hasil operasi ril atas penggunaan data input yang sama. Jika pengujian ini menunjukkan bahwa hasil simulasi tidak sesuai dengan hasil operasi sistem ril maka program simulasi yang digunakan dianggap tidak berlaku syah dan tidak dapat digunakan pada pensimulasian. Program simulasi yang valid berdasarkan hasil pengujian dan pembuktian merupakan jaminan untuk penerimaan hasil simulasi atas penggunaan model sistem dan model operasi yang sama. Berdasarkan validasi ini, model sistem dan program simulasi yang disempurnakan selanjutnya dapat digunakan pada pensimulasian dengan penggunaan data input tiruan yang bervariasi, baik untuk penyelesaian persoalan pengelolaan sistem maupun dalam rangka pengembangan sistem Rangkuman Simulasi merupakan teknik penyelesaian persoalan sistem ril dengan cara pengoperasian sistem imitasi untuk memperoleh data output operasi yang menunjukkan karakteristik operasional sistem sebagai bahan yang berguna pada penyusunan solusi persoalan. 32

48 Simulasi dapat berlaku memberikan hasil yang valid sebagai bahan penyusunan solusi persoalan sistem ril melalui imitasi operasi dengan penggunaan modelmodel dan prosedur yang sesuai dan valid untuk penyelidikan, analisis dan evaluasi operasi sistem. Simulasi dapat berfungsi menyelidiki karakteristik operasional sistem melalui operasi imitasi dengan penggunaan elemen-elemen, komponen-komponen dan input maya yang sesuai untuk mewakili elemen-elemen, komponen-komponen dan input operasi sistem ril. LATIHAN 1) Apakah yang dimaksud dengan permodelan? 2) Apakah yang dimaksud dengan simulasi computer? 3) Apa yang dimaksud dengan system diskrit, probabilistic? Berikan contohmasing-masing? 4) Buatlah contoh sebuah gambaran simulasi tentang system produksi di dunia industri! 5) Apa yang dimaksud dengan system linier dan non linier? Berikan contoh masing-masing! 6) Simulasi efektip diaplikasikan untuk penyelesaian persoalan sistem ril yang dapat diamati. Bagaimana bentuk penggunaan simulasi pada penyelesaian persoalan pada suatu sistem yang belum terwujud atau yang tidak ditemukan dalam bentuk ril? 33

49 7) Keberadaan dan kehadiran sistem dalam bentuk maya dapat terlihat dari hasil simulasi yang berlaku mewakili operasi dan keadaan pada sistem ril. Bagaimana jika hasil operasi sistem ril berbeda dengan hasil operasi dari sistem maya tiruannya? 8) Sistem sebagai suatu bentuk perpaduan dari berbagai jenis komponen melalui interaksi dapat hadir dalam bentuk yang berbeda. Apakah bentuk-bentuk kehadiran yang berbeda dari suatu sistem ril yang sama adalah berkaitan satu sama lain? 9) Bentuk dari sistem maya sebagai imitasi dari suatu sistem ril dapat ditentukan melalui pemodelan yang didasari oleh suatu kepentingan penyelesaian persoalan. Apakah bentuk sistem maya dapat berlaku sebagai model perbaikan pada sistem ril? DAFTAR PUSTAKA 1. Sandi Setiawan SIMULASI (Bab 1 s/d 4) 2. Humala L. Napitupulu, Simulasi Sistem Pemodelan Dan Analisis, USUpress usupress.usu.ac.id/files/SIMULASI%20SISTEM_final_ba b%201.pdf 3. (Law, A.M., Kelton, W.D. (1997), Simulation Modeling and Analysis, McGraw-Hill, Singapore. 34

50 BAB II PEMODELAN SISTEM DINAMIK 35

51 BAB II PEMODELAN SISTEM DINAMIK Tujuan Intruksional Umum 1. Membuat model sistem dinamik pengembangan industri. 2. Menentukan faktor-faktor apa saja yang paling berpengaruh didalam pengembangan industri. 3. Menjelaskan pengertian tentang state space dan menentukan nisbah alih hubungannya dengan persamaan ruang keadaan 4. Mengembangkan analisis sistem pengaturan dalam model persamaan Ruang Keadaan (state space) Tujuan Intruksional Khusus 1. Mahasiswa memahami definisi dan konsep dari Sistem Dinamik. 2. Mahasiswa mampu melakukan perancangan Sistem. 3. Mahasiswa memiliki keterampilan Sintesis, Integrasi dan perancangan. 4. Mahasiswa memiliki Problem Solving Skills. 36

52 2.1 Pendekatan dalam Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah metodologi untuk memahami suatu masalah yang kompleks. Metodologi ini dititikberatkan pada pengambilan kebijakan dan bagaimana kebijakan tersebut menentukan tingkah laku masalah-masalah yang dapat dimodelkan oleh sistem secara dinamik (Richardson dan Pugh 1986). Permasalahan dalam sistem dinamik dilihat tidak disebabkan oleh pengaruh dari luar namun dianggap disebabkan oleh struktur internal sistem. Tujuan metodologi sistem dinamik berdasarkan filosofi kausal (sebab akibat) adalah mendapatkan pemahaman yang mendalam tentang tata cara kerja suatu sistem (Asyiawati 2002; Muhammad; et a!. 2001). Tahapan dalam pendekatan sistem dinamik adalah : a. ldentifikasi dan definisi masalah b. Konseptualisasi sistem c. Formulasi model d. Sirnulasi model e. Verifikasi dan validasi model f. Analisis kebijakan g. Impiementasi kebijakan Tahapan dalam pendekatan sistem dinamik diawali dan diakhiri dengan pemahaman sistem dan permasalahannya sehingga membentuk suatu lingkaran tertutup. Pemodelan merupakan alat bantu dalam pengambilan keputusan. Model digambarkan sebagai suatu sistem yang dibatasi. Sistem yang dibatasi ini merupakan sistem yang 37

53 meliputi semua konsep dan variabel yang saling berhubungan dengan permaslahan dinamik yang ditentukan. Permasalahan dalam sistem dinamik dilihat tidak disebabkan oleh pengaruh dari luar, namun dianggap disebabkan oleh struktur internal dari sistem. Tujuan metodologi sistem dinamik berdasarkan filosofi kausal (sebab akibat) adalah mendapatkan pemahaman mendalam tentang tata cara kerja suatu sistem (Asyiawati 2002). Proses pemodelan terdiri atas langkah-langkah sebagai berikut (Sterman 2000): 1. Perumusan masalah dan pemilihan batassan dunia nyata. Tahap ini meliputi kegiatan pemilihan tema yang akan dikaji, penentuan variabel kunci, rencana waktu untuk mempertimbangkan masa depan yang jadi pertimbangan serta seberapa jauh kejadian masa lalu dari akar masalah tersebut dan selanjutnya mendefinisikan masalah dinamisnya. 2. Formulasi hipotesis dinamis dengan menetapkan hipotesis berdasarkan pada teori perilaku tergadap masalahnya dan membangun peta struktur kausal melalui gambaran model mental pemodel dengan bantuan alat-alat seperti causal loop diagram. Stock flow diagram, dan alat bantu lainnya. Model mental adalah asumsi yang sangat dalam melekat, umum atau bahkan suatu gambaran dari bayangan atau citra yang berpengaruh pada bagaimana kita memahami dunia dan bagaimana kita mengambil tindakan (Senge 1995). 3. Tahap formulasi model simulasi dengan membuat spesifikasi struktur, aturan keputusan, estimasi parameter 38

54 dan uji konsistensi dengan tujuan dan batasan yang telah ditetapkan sebelumnya. 4. Pengujian meliputi pengujian melalui pembandingan dari model yang dijadikan referensi, pengujian kehandalan (robustness) dan uji sensistivitas. 5. Evaluasi dan perancangan kebijakan berdasarkan skenario yang telah diujicobakan dari hasil simulasi. Perancangan kebijakan mempertimbangkan analisis dampak yang ditimbulkan, kehandalan model pada skenario yang berbeda dengan tingkat ketidakpastian yang berbeda pula serta keterkaitan antar kebijakan agar dapat bersinergi. Tahapan-tahapan pemodelan : 1. mendefinisikan masalah dan tujuan model 2. Menentukan variabel tujuan 3. memilih variabel control 4. memilih parameter variabel kontrol 5. menguji model yang dihasilkan 6. melihat bagaimana model akan bekerja, memilih horizon waktu atau perilaku dinamis dalam waktu 7. jalankan model 8. mengganti parameter dengan alasan ekstrim 9. membandingkan hasil dengan data eksperimen 10. Perbaiki model berdasarkan parameter yang ada 39

55 2.2 Simulasi dalam Sistem Dinamik Analisis model sistem dinamis menggunakan analisis model simulasi. Simulasi sebagai teknik penunjang keputusan dalam pemodelan, misalnya pemecahan masalah bisnis secara ekonomis dan tepat menghadapi perhitungan rumit dan data yang banyak. Simulasi adalah aktivitas di mana pengkaji dapat menarik kesimpulan tentang perilaku dari suatu sistem melalui penelaahan perilaku model yang selaras, di mana hubungan sebab akibatnya sama dengan atau seperti yang ada pada sistem sebenarnya (Eriyatno 1998). Simulasi juga dilakukan dengan menggunakan bahasa program dalam beberapa software program komputer yang dirancang untuk kebutuhan simulasi seperti Dynamo, AutoMod II, ProModel, Simfactory II.5, Witness, XCELL+, -Powersim, Stella dan lain-lain. Perangkat lunak dalam pemodelan sistem dinamik tersebut merupakan alat bantu yang dapat memudahkan pemodel dalam menerjemahkan bahasa causal loop diagram ke dalam stock flow diagram. Stock flow diagram harus dilengkapi dengan persamaan matematika dan nilai awal untuk aktivitas simulasi. Stock flow diagram sebagai konsep sentral dalam teori sistem dinamik. Stock adalah akumulasi atas pengumpulan dan karakteristik keadaan sistem dan pembangkit informasi di mana aksi keputusan didasarkan padanya. Stock digabungkan dengan rate atau flow sebagai aliran informasi, sehingga stock menjadi sumber ketidakseimbangan dinamis dalam sistem. Perangkat pemodelan sistem dinamis juga dilengkapi berbagai kemudahan seperti tampilan yang mudah dimengerti sehingga memudahkan pemodel bagi pemodel taupun pemakai yang tidak mengerti secara teknis sekalipun. Stella yang dipakai dalam penelitian ini merupakan suatu pernagkat lunak yang dibuat atas dasar model sistem dinamis dalam melakukan simulasi. 40

56 2.2.1 Pemodelan Sistem Dinamik Pada pemodelan system dinamik menggunakan proses pemetaan masalah yang berasal dari dunia nyata ke dalam dunia model maya (Borshchev dan Filippov). Karakteristik unik yang dimiliki sebuah model yaitu sifat representatif dari sistem nyata, mampu menggambarkan sistem nyata secara rinci (describle), mampu menerangkan bentuk-bentuk interaksi dengan jelas (explainable), dan mampu meramalkan kondisi-kondisi di masa datang secara realistis (predictable). Menurut Forrester sistem dinamik digunakan untuk melihat sebuah struktur yang mendasari situasi yang kompleks dan mengidentifikasi pola penyebab dari perubahan perilaku yang terjadi. Pada metode sistem dinamik ini berkaitan dengan berbagai sistem yang kompleks, dimana pola perilaku yang dibangkitkan oleh sistem tersebut seiring dengan bertambahnya waktu. Sehingga persoalan yang dapat dimodelkan dengan sistem dinamik adalah masalah yang bersifat dinamis atau berubah terhadap waktu dan struktur yang fenomenanya mengandung paling sedikit satu unsur umpan balik (feedback structure). Dalam sistem dinamik, dunia real atau nyata dinyatakan dalam bentuk stock seperti material, ilmu pengetahuan, orang dan uang. Bentuk lainnya adalah aliran antar stock dan informasi sebagai penentu nilai dalam aliran. Gambaran mengenai sistem dinamik dapat dilihat pada Gambar

57 Gambar 2.1 Pendekatan Sistem dengan Simulasi Sistem Dinamik, (Borshchev dan Filippov, 2004) 2.3 Perangkat Lunak Simulasi Untuk melakukan simulasi dari sebuah model, diperlukan perangkat lunak (software) yang secara cepat dapat melihat perilaku dari model yang telah dibuat. Ada berbagai macam perangkat lunak yang dapat digunakan untuk keperluan ini, seperti Vensim, Dynamo, Ithink, Stella dan Power Simulation. Tetapi dalam penelitian ini, software yang digunakan adalah Power Simulation. Powersim digunakan untuk membangun dan melakukan simulasi suatu model dinamik. Suatu model dinamik adalah kumpulan dari variabel-variabel yang saling mempengaruhi antara satu dengan lainnya dalam suatu kurun waktu. Setiap variabel berkorespondensi dengan suatu besaran yang nyata atau besaran yang dibuat sendiri. Semua variabel tersebut memiliki nilai numerik dan sudah merupakan bagian 42

58 dari dirinya. Pada waktu mensimulasikan model, variabel-variabel akan saling dihubungkan membentuk suatu sistem yang dapat menirukan kondisi sebenarnya. Pada perangkat lunak Powersim, suatu sistem yang menggambarkan hubungan antara variabelvariabel itu dinamakan stock flow diagram. Model yang dibangun dengan menggunakan perangkat lunak Powersim berbentuk simbol-simbol dan perkembangan selanjutnya, simulasi dengan menggunakan perangkat lunak ini banyak dipakai dalam bidang-bidang komersial, industri, manajemen dan riset. Simulasi ditujukan untuk mencari model yang paling cocok sebelum diterapkan dalam kondisi sebenarnya. Simbol yang digunakan ditampilkan pada Tabel 5. Tabel 2.1. Simbol-simbol Diagram Alir (Muhammadi, 2001) No. Simbol Arti 1. Level 2. Auxiliary 3. Konstanta 43

59 4. Sumber 5. Hubungan 6. Hubungan tertunda 7. Inisialisasi hubungan 8. Aliran (flow) Diagram Simpal Kausal Berdasarkan jurnal (Kholil M., 2007) menggunakan diagram Simpal Kausal untuk menghubungkan antara variabelvariabel yang membentuk model dalam sistem perikanan. Dasar pembuatan model mental yang direpresentasikan dalam bentuk diagram simpal kausal ini adalah kondisi nyata keadaan perikanan yang ada di Kabupaten Konawe Selatan. Dari diagram simpal kausal (CLD) diatas, maka model sistem perikanan Kabupaten Konawea Selatan dibagi menjadi 4 Sub Sistem, Yaitu 1. 1.Sub Sistem Pasar 2. Sub Sistem Konsumsi 44

60 3. Sub Sistem Jumlah Tangkapan 4. Sub Sistem SDM + Harga Ikan PAD + Laju Konsumen Laju Kelahiran + PDRB + Pasar Konsumen Teknologi Populasi Penduduk Emigrasi + Imigrasi + - _ Laju Konsumsi Potensi Kelautan + Laju Penangkapan Ikan Industri Pengolahan SDM Laju Kematian + Jumlah Tangkapan + Alat Tangkap Gambar 2.2 Diagram Simpal Kausal Model Perikanan di Kabupaten Konawea Selatan (Kholil M., 2007) Sub Model Pasar/Penjualan Sub model pasar yang terdiri dari Stock (Level) dan Flow (Aliran) atau sebelumnya disebut Rate konsumen rumah tangga yang dipengaruhi oleh jumlah konsumen rumah tangga, dan jumlah tangkapan, industri pengolahan dan regulasi dari Pemda Kabupaten Konawea. Pada sub model Pasar ini penulis membatasi hanya pada 45

61 hasil perikanan yang berupa hasil tangkapan dilaut, tidak termasuk budidaya perikanan yang lain. Pasar akan meningkat dipengaruhi oleh laju konsumsi. Besarnya laju konsumsi dipengaruhi oleh besarnya konsumen rumah tangga dan besarnya permintaan industri pengolahan ikan. Besar pasar sektor Perikanan ini akan menjadikan pendapatan asli (PAD)daerah meningkat lewat restribusi/pajak yang dibebankan pada hasil penjualan. Sejalan dengan hal tersebut diatas akan meningkat pula Produk Domestik Bruto daerah tersebut (PDRB). Lihat gambar 2.3 Model Sub Sistem Pasar dibawah ini. PAD + PDRB + + Pasar + + Laju Konsumsi Gambar 2.3 Model Sub Sistem Pasar Sub Model Konsumen Rumah Tangga Sub Model Konsumen Rumah Tangga (ikan) dibangun dari Stock Konsumen Rumah Tangga yang jumlahnya dipengaruhi oleh aliran atau Flow laju konsumen RT yang besarnya tergantung dari jumlah Rumah Tangga, dan harga ikan. 46

62 Harga Ikan + Konsumen + + Laju Konsumen + Gambar 2.4 CLD Sub Sistem Model Konsumen Sub Model Jumlah Tangkapan Sub Sistem Jumlah tangkapan menggambarkan bahwa jumlah tangkapan sebagai Stock (Level) dipengaruhi oleh laju penangkapan ikan yang merupakan Flow (Aliran) Laju penangkapan ikan dipengaruhi oleh potensi kelautan, alat tangkap, sumber daya manusia yang kompeten. Sementara jumlah tangkapan akan mempengaruhi industri pengolahan ikan Potensi Kelautan Industri Pengolahan + Teknologi + + Laju Penangkapan Ikan Angkatan kerja SDM + Jumlah Tangkapan Alat Tangkap Gambar 2.5 CLD Sub Sistem Model Jumlah Tangkapan 47

63 2.3.4 Sub Model SDM Sub sistem populasi penduduk menggambarkan jumlah penduduk di Kabupaten Konawea Selatan yang lahir dan meninggal. Untuk memudahkan perhitungan sub model ini menggunakan data langsung yang terdiri dari rata-rata bertambahnya kelahiran dan kematian per tahun atau disebut sebagai fraksi kelahiran dan kematian. Jumlah penduduk dipengaruhi pula oleh imigrasi dan emigrasi. Emigrasi penduduk terjadi karena kesulitan mendapatkan penghasilan yang layak.selain Emigrasi adapula penduduk yang datang dan menetap Kabupaten Konawea Selatan. Karena merupakan Kota Kabupaten baru banyak pekerja pendatang yang menetap dan menjadi penduduk permanen di wilayah ini. Konsumen + Laju Kelahiran + Populasi Penduduk Emigrasi + Imigrasi + - _ SDM Laju Kematian Gambar 2.6 CLD Sub Model SDM/Penduduk 48

64 2.3.5 Diagram Stok Aliran (Stock Flow Digram) Dari model mental sistem pengembangan perikanan di Kabupaten Konawea Selatan yang telah dibuat berdasarkan kondisi nyata di lapangan, maka di buat model Komputer yang biasa disebut stock flow diagram (diagram stok aliran). Model komputer dalam bentuk Stock Flow Diagram(SFD). Pembuatan SFD ini dilakukan berdasarkan perangkat lunak yang digunakan. Ada beberapa perangkat lunak yang digunakan untuk pemodelan sistem dinamik, antara lain : Stella, Dynamo, Vensim, Powersim, Ithink. Dalam hal ini penulis menggunakan Powersim, karena menurut hemat penulis perangkat lunak Powersim merupakan perangkat lunak sistem dinamik yang User Friendly (ramah pengguna). STOCK FLOW DIAGRAM Model Sistem Perikanan Lengkap PAD_Sektor Hasil_Tangkapan Fraksi_regulasi_Pemda PPn PDRB_Sektor Regulasi_Pemda Pasar Fraksi_sdm_sk SDM_SK FSDM Fraksi_JSDM Kontribusi_SDM Fraksi_Potensi_Kelautan Potensi_Kelautan Laju_Penjualan Industri_Pengolahan Harga_Ikan_segar Fraksi_AK Hasil_Tangkapan Laju_Penagkapan Alat_Tangkap Teknologi Kbth_per_kepala Harga_Pengolahan Fraksi_AT Fraksi_Teknologi Kebutuhan_Perkapita Konsumen_rumah_Tangga Angkatan_Kerja Fraksi_Kelahiran Emigrasi Fraksi_Emigrasi Fraksi_Kematian Laju_Konsumen_RT Constant_23 Jumlah_Rumah_Tangga Fraksi_Keluarga Kelahiran Populasi_Penduduk Kematian Jmlh_rata2_anggota_Keluarga Imigrasi Jumlah_Rumah_Tangga Fraksi_Imigasi Gambar 2.7 Diagram Alir Model Sistem Perikanan Lengkap (Kholil M., 2007) 49

65 2.4 Analisis Kebutuhan Pada penelitian yang dilakukan Retnari Dian Mudiastuti dkk, penerapan aplikasi simulasi Alternatif Skenario Kebijakan Peningkatkan Daya Saing UKM Mebel dengan Pendekatan Sistem Dinamik. Permasalahan kemampuan daya saing UKM mebel merupakan sistem yang kompleks karena terdapatnya berbagai macam aliran seperti material, uang, informasi dan aktivitas, dimana aliran tersebut memiliki interdependensi satu sama lainnya, terdiri dari berbagai stakeholder (pemangku kepentingan) selain produsen dalam hal ini UKM, juga konsumen (lokal maupun mancanegara) yang melakukan permintaan dari waktu ke waktu, penyedia bahan baku, serta pemerintah yang berperan sebagai regulator pengembangan bisnis serta faktor tenaga kerja. Tahapan dalam penelitian ini dijelaskan sebagai berikut. Tahapan Identifikasi variabel, dimana dilakukan studi literatur dari berbagai penelitian sebelumnya terkait kemampuan teknologi UKM serta kunjungan lapangan untuk mendapatkan data terkait variabel berpengaruh dan kondisi nyata di UKM mebel di Kota Pasuruan. UKM mebel yang terpilih adalah UKM-UKM skala kecil yang berpengalaman memproduksi mebel kayu jati ekspor. Data yang dibutuhkan berupa data profile UKM, pola permintaan produk, proses produksi, kemampuan mesin produksi, kemampuan tenaga kerja, biaya operasional dan kebijakan UKM daerah dan pusat Interaksi Antar Variabel Pola interaksi antar variabel digambarkan pada Gambar 2.8, dimana dijelaskan hubungan yang saling 50

66 mempengaruhi antar variabel yang ada. Kapasitas produksi mempengaruhi kemampuan pemenuhan oleh importir dan kapasitas produksi dipengaruhi oleh kemampuan teknologi (mesin) dan tenaga kerja. Rendahnya kapasitas produksi mempengaruhi jumlah pemenuhan permintaan yang selanjutnya berpengaruh terhadap keuntungan UKM, Nur, dkk. Jumlah keuntungan dan kapasitas produksi merupakan indikator daya saing UKM mebel pada penelitian ini. Pada interaksi variabel digambarkan skenario berupa kebijakan yang akan diterapkan untuk melihat perubahan terhadap model yang dikembangkan dengan tujuan peningkatan keuntungan dan kapasitas produksi dalam kurun waktu 120 bulan atau 10 tahun. Skenario yang dikembangkan dalam pemodelan simulasi ini adalah investasi mesin semi modern maupun mesin modern, dan investasi peningkatan kemampuan tenaga kerja bantu untuk menjadi tenaga ahli. 51

67 Gambar 2.8 Interaksi Antar Variabel Awal Diagram Stock And Flow Tujuan pembuatan diagram stock and flow adalah menggambarkan interaksi antar variabel sesuai logika struktur dengan bantuan software Ventana Simulator (Vensim). Pemodelan interaksi variabel pada diagram stock and flow dari submodel teknologi (mesin dan tenaga kerja), submodel permintaan dan produksi, submodel keuangan, dan submodel kebijakan investasi Perancangan diagram stock and flow juga bertujuan mengetahui pola perilaku variabel dalam model kemampuan UKM mebel. Berikut dijelaskan mengenai diagram stock and flow dan beberapa formulasi pada masing-masing submodel pada Gambar 2.9, 2.10, 2.11,

68 <signal investasi pendidikan> ta mesin semi modern total ta fraksi ta modern jumlah mesin semi modern baru pemilihan tingkat pendidikan <jumlah mesin semi modern baru> fraksi ta ta mesin modern <signal investasi pendidikan> fraksi tb SMP tb SMP jumlah mesin semi modern eksisting jumlah mesin modern baru fraksi tb SMA tb SMA auxiliary unit month/kontaineer <jumlah mesin semi modern baru> <jumlah mesin modern baru> lama pengerjaan perkontainer produk dibuat kapasitas produksi perbulan WIP <jumlah mesin semi modern baru> produk dikirim Gambar 2.9 Submodel Teknologi <jumlah mesin semi modern baru> jumlah mesin semi modern eksisting jumlah mesin modern baru auxiliary satuan kontainer auxiliary unit month/kontainer auxiliary satuan month <jumlah mesin modern baru> lama pengerjaan perkontainer produk dibuat kapasitas produksi perbulan WIP actual order produk dikirim pembayaran order (DP) <Time> bulan <jumlah mesin semi modern eksisting> kesenjangan produksi (permintaan - kapasitas) <jumlah mesin semi modern baru> permintaan ekspor perbulan Gambar 2.10 Submodel Permintaan dan Produksi 53

69 <auxiliary satuan month> kapasitas produksi per bulan bulan produk dibuat permintaan ekspor perbulan <Time> fraksi Bonus Tahunan <tb SMP> actual order <produk dikirim> Bonus Tahunan auxiliary satuan kontainer WIP produk dikirim pembayaran order (DP) harga per kontainer jumlah pegawai kualitas bahan baku signal produk selesai <jumlah mesin semi modern baru> <total ta> <auxiliary satuan kontainer> persen DP pelunasan <produk dibuat> persen biaya produksi <harga per kontainer> pemasukan biaya produksi per kontainer biaya produksi <produk dibuat> fraksi modal awal <jumlah mesin semi auxiliary satuan modern eksisting> kontainer/month <tb SMA> pemasukan modal awal fraksi biaya ta signal pemakaian order fix cost perbulan akumulasi pendapatan pengeluaran jual mesin existing signal in <Bonus Tahunan> fraksi biaya sma ahli <jumlah mesin semi modern eksisting> harga bekas <Time> biaya manpower biaya perawatan mesin <signal investasi pendidikan> signal out biaya maintenance perperawatan <auxiliary satuan month> <auxiliary satuan month> <signal in> fraksi biaya tb SMP biaya beli mesin <tb SMP> fraksi biaya tb SMA biaya investasi tenaga kerja Gambar 2.11 Submodel Keuangan signal investasi pendidikan signal masuk pemasukan akumulasi pendapatan multiplier satuan rupiah <auxiliary satuan month> pengeluaran <Time> aktifkan biaya investasi tenaga kerja biaya pelatihan per unit mesin modern investasi pendidikan fraksi biaya investasi multiplier satuan rupiah per month <auxiliary satuan month> biaya investasi pendidikan <jumlah mesin semi modern eksisting> <jumlah mesin modern baru> <jumlah mesin semi modern baru> <auxiliary satuan month> biaya beli mesin <jumlah mesin modern baru> beli mesin modern <Time> harga mesin modern beli mesin semi modern <jumlah mesin semi modern baru> harga mesin semi modern Gambar 2.12 Submodel Kebijakan Investasi 54

70 2.5 Simulasi Hasil Pemodelan UKM Berdasarkan hasil simulasi kondisi eksisting, ditemukan bahwa keterbatasan kapasitas produksi yang dipengaruhi oleh kemampuan mesin dan kemampuan tenaga kerja mempengaruhi profit atau keuntungan UKM. Pengaruh kemampuan mesin dan tenaga kerja signifikan berpengaruh pada jumlah keuntungan UKM. Terkait dengan hasil wawancara dengan pelaku UKM, diharapkan adanya peningkatan kapasitas produksi melalui penambahan mesin produksi dan tenaga ahli mebel. Sehingga pada skenario yang diajukan adalah penggantian mesin semi modern ke mesin modern, penambahan mesin modern dan investasi tenaga ahli. Skenario yang diajukan adalah mengganti 4 unit mesin modern, mengganti 8 unit mesin modern, menambah 4 unit mesin modern dan investasi tenaga ahli mebel. Berdasarkan penetapan skenario yaitu mengganti 8 unit mesin semi modern dengan 4 unit mesin modern, 8 unit mesin modern, atau menambah 4 unit mesin modern dan investasi tenaga ahli mebel, maka hasil skenario terlihat pada Gambar

71 4 B keuntungan 2.95 B 1.9 B 850 M -200 M Time (Month) keuntungan : Investasi Tenaga Ahli keuntungan : Menambah 4 unit mesin modern keuntungan : Mengganti 8 unit mesin modern keuntungan : Mengganti 4 unit mesin modern keuntungan : Eksisting rupiah rupiah rupiah rupiah rupiah Gambar Hasil Simulasi Skenario Pada skenario dilakukan untuk mendapatkan strategi terbaik dengan parameter nilai keuntungan yang tertinggi sebagai indikator daya saing UKM. Pada kondisi eksisting, nilai keuntungan pada tahun ke-10 sebesar 1,4 miliar rupiah. Setelah menerapkan 4 skenario yaitu menggunakan 4 unit mesin modern, 8 unit mesin modern, penambahan 4 unit mesin modern dan investasi tenaga ahli, maka strategi dengan nilai keuntungan UKM tertinggi senilai 2,173 miliar rupiah dengan melakukan investasi 4 unit mesin modern. Keuntungan terendah senilai 762,17 juta rupiah pada skenario penambahan 4 unit mesin modern. Pemilihan strategi jangka pendek dapat dipertimbangkan dengan mengganti mesin modern menjadi 4 unit mesin, sedangkan dengan memperhatikan kemampuan modal UKM dan untuk menghasilkan ketersediaan tenaga ahli 56

72 mebel kayu sehingga dapat berdampak positif pada jangka menengah dan jangka panjang, maka pelaksanaan scenario investasi tenaga ahli dapat dipertimbangkan. Sehingga ketika terjadi keputusan perubahan mesin dan adanya kepastian permintaan mebel, maka UKM tidak memiliki kesulitan terkait tenaga ahli lagi sehingga demikian daya saing UKM dapat meningkat. 2.6 Rangkuman Sistem dinamik diaplikasikan pada system manufaktur dan jasa terdiri dari elemen-elemen yang saling berhubungan dan berfungsi secara interaktif untuk menghasilkan produk tertentu. Sistem dinamik terdiri dari entitas, sumber, aktivitas, dan kontrol yang disimbolkan dengan diagram atau alur. Metrik kinerja sistem atau variabel respon biasanya berupa waktu, utilisasi, inventori, kualitas atau yang berhubungan dengan biaya. Sedangkan optimisasi sistem berupaya menemukan penentuan nilai variabel keputusan yang paling tepat yang memaksimumkan atau meminimumkan nilai variabel respon tertentu. Dengan menerapkan memahami pendekatan sistem model Causal Loop Diagram (CLD) maka dapat digunakan untuk menvisualisasikan lebih jelas bahwa strategi masalah baik secara internal maupun eksternal semata yang biasa dilakukan, tapi banyak beberapa hal yang perlu di perhatikan secara cermat di karenakan setiap unit dapat saling mempengaruhi atau mengakibatkan dampak antara satu dengan yang lainnya. 57

73 LATIHAN 1. Buatlah diagram simulasi sistem bandara, jjika sebuah bandar udara dianggap sebagai sebuah system, deskripsikan selengkap mungkin system tersebut. Ambillah sebuah contoh kasus yang ada dalam bandara dan definisikan modelnya (apa yang akan menjadi fungsi tujuan, batasan, dsb). Tidak perlu dibuat detail model matematikanya. Buatlah diagram simpal kausal loopnya dan alur sistem! 2. Buatlah pemodelan dinamis pada perkiraan Jumlah Penduduk di Kabupaten Bangkalan dengan diagram simpal kausal dengan mempertimbangkan efek pendapatan daerah dan factor-fator lainnya. (tugas sebagai projek mandiri) DAFTAR PUSTAKA 1. Forrester, J.W. (1961), Principles of Systems. MIT Press. 2. Borshchev, A., and Filippov, A. From System Dynamics and Discrete Event to Practical Agent Based Modeling: Reasons, Techniques, Tools The 22nd International Conference of the System Dynamics Society. Oxford, England, Han, X., Wen, Y., and Kant, S. (2009), The global competitiveness of the Chinese wooden furniture Forest Policy and Economics Vol.11, pp industry. 4. Law, A.M., Kelton, W.D. (2000), Simulation Modeling and Analysis, McGraw-Hill, Singapore. 5. repository.unhas.ac.id/.../full%20paper%20iwobe%20iqbal.d oc?

74 6. Muhammad Kholil dkk, Model Simulasi Pengembangan Industri Perikanan Di Konawea Selatan Dengan Pendekatan Sistem Dinamik Artikel_ pdf 7. Sumber: Harrell, C., B.K. Ghosh and R.O. Bowden, Jr., Simulation Using Promodel, 2nd ed., McGrawHill, Singapore,

75 60

76 BAB III SISTEM TUNGGU 61

77 BAB III SISTEM TUNGGU Tujuan Intruksional Umum 1. Mahasiswa dapat membuat model antrian dan menggunakan rumus-rumusnya untuk mendapatkan solusi optimal, sehingga diharapkan dapat membuat program aplikasinya. Tujuan Intruksional Khusus 1. Mahasiswa dapat menentukan elemen dasar model antrian. 2. Mahasiswa dapat menjelaskan proses pure birth dan pure death. 3. Mahasiswa dapat memahami distribusi Poisson dan Eksponensial Teori Antrian Suatu antrian adalah suatu garis tunggu dari pelanggan/pengunjung yang memerlukan layanan dari suatu atau lebih pelayanan (fasilitas layanan). Kejadian garis tunggu tersebut timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan sehingga pengantri/pengunjung yang tiba tidak bisa mendapatkan pelayanan, sedangkan masalah yang timbul dalam antrian adalah bagaimana mengusahakan keseimbangan antara biaya tunggu (antrian) terhadap biaya mencegah antrian itu sendiri guna memperoleh keuntungan yang maksimal. Dalam 62

78 kehidupan sehari-hari, kejadian antrian sering kita jumpai misalnya antrian saat melakukan transaksi di bank, antrian ditempat praktek dokter, antrian saat pembayaran rekening listrik atau telepon dan banyak lagi contoh antrian yang lain. Umumnya tiap orang pernah mengalami kejadian seperti ini dalam hidupnya, jadi antrian bisa dikatakan sudah menjadi bagian dari kehidupan setiap orang. Dalam banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya kepadatan antrian akan tetapi, biaya karena memberikan pelayanan tambahan akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin sampai dibawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya timbulnya antrian akan mengakibatkan hilangnya para langganan atau nasabah Komponen Proses Antrian Komponen dasar antrian adalah kedatangan, pelayanan dan antri komponen ini disajikan pada gambar dibawah ini : Gambar 3.1 Komponen Dasar Antrian 63

79 a. Kedatangan Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, unsur ini sering dinamakan proses input. Proses input ini meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan Calling Population dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan proses Random atau acak. b. Pelayanan Pelayanan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih fasilitas pelayanan, contohnya pada sebuah check out counter dari suatu super market terkadang hanya ada seorang pelayan, padahal bisa juga diisi seorang kasir dengan pembantunya untuk memasukan barang-barang kekantung plastik. Pada kasus pendaftaran mahasiswa baru UNIKOM dapat ditambahkan bagian teller dari bank yang bersangkutan untuk menampung uang pendaftarannya, agar tidak terjadi penumpukan uang di loket pendaftaran, dan juga meringankan tugas bagian pelayanan karena hanya mengerjakan satu pekerjaan saja yaitu menerima calon mahasiswa baru yang mendaftarkan diri. c. Antrian Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. Faktor lain yang penting dalam antrian adalah disiplin antri. Disiplin antri adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantri. Misalnya datang awal dilayani terlebih dahulu, datang terakhir 64

80 dilayani terlebih dahulu, berdasarkan abjad, berdasarkan janji dan sebagainya. Berikut beberapa jenis disiplin antrian, diantaranya : o FIFO ( First In First Out ) o LIFO (Last In Last Out ) o SIRO ( Service In Random Order ) o PS ( Priority Service ) Jika tidak ada antrian berarti terdapat pelayanan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan. Proses antrian pada umumnya dikelompokan kedalam empat struktur dasar menurut sifat fasilitas pelayanan, yaitu : a. Satu Saluran Satu Tahap Gambar 3.2. Antrian Satu Saluran Satu Tahap 65

81 b. Banyak Saluran Satu Tahap Gambar 3.3. Antrian Banyak Saluran Satu Tahap c. Satu Saluran Banyak Tahap Gambar 3.4. Antrian Satu Saluran Banyak Tahap d. Banyak Saluran Banyak Tahap Gambar 3.5. Antrian Banyak Saluran Banyak Tahap 66

82 Banyaknya saluran dalam proses antrian adalah jumlah pelayanan parallel yang tersedia, banyaknya tahap menunjukan jumlah pelayanan beruntun yang harus dilalui oleh setiap kedatangan. Empat kategori yang disajikan diatas merupakan kategori dasar, masih terdapat banyak variasi struktur antrian yang lain. Pada pembahasan ini mempelajari mengenai sistem tunggu yang terdiri dari beberapa jenis tergantung dari jumlah server dan buffernya. Pada pembahasan sebelumnya mengenai distribusi engset dan binomial tidak terdapat buffer didalamnya. Dalam sistem delay ini akan terdapat buffer yang menjadi tempat user sebelum dilayani oleh sistem Model-Model Antrian Adapun sistem tunggu akan dibahas pada bab ini adalah sebagai berikut ; Gambar 3.6. Model Antrian 67

83 Empat model antrian : 1. Model M/M/1/I/I Gambar 3.7 Model Antrian Model M/M/1/I/I Rumus : Jumlah individu rata-rata dalam antrian n q 2 ( - ) Jumlah individu rata dalam sistem total n t - Waktu rata-rata dalam antrian t q ( - ) Waktu rata-rata dalam sistem total t t 1 - Probabilitas jumlah n individu dalam sistem 68

84 Pn 1 - n Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan P Contoh Tuan Indra memiliki usaha pompa bensin dengan hanya satu pompa. Mobil yang ingin mengisi bensin datang mengikuti distribusi poisson dengan rata-rata 25 mobil per jam. Bila pompa bensin sedang melayani kustomer maka kustomer yang datang akan pergi ke tempat lain. Waktu yang diperlukan untuk mengisi bensin mobil-mobil tersebut mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 30 mobil per jam. Dia ingin menganalisa sistem antriannya dengan mempergunakan teori antrian. Tentukan : a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan pompa bensin. b. Jumlah rata-rata langganan dalam antrian. c. Jumlah rata-rata langganan dalam sistem. d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian. e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem. f. Probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem dan lebih dari empat mobil dalam sistem. 69

85 Penyelesaian : Diketahui : = 25 orang per jam = 30 orang per jam a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan restaurant. P = 25 = 0, Rata-rata bagian pelayanan sibuk 83,33% dari waktunya. b. Jumlah rata-rata langganan dalam antrian. 2 n = q ( - ) 25 2 = 4,1667 mobil 30 (30-25) c. Jumlah rata-rata langganan dalam sistem. n t = = 5 mobil d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian. t q ( - ) 25 t q = 0,1667 jam atau 10 menit 30 (30-25) e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem. 1 t t = = 0,2 jam atau 12 menit 70

86 f. Probabilitas lebih dari satu mobil dan lebih dari empat mobil dalam sistem. Probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem Dengan Pn 1 - n P 0 = (1 0,8333) (0,8333) 0 = 0,1667 P 1 = (1 0,8333) (0,8333) 1 = 0,1389 P(n > 1) = 1 P(n 1) = 1 (P 0 + P 1 ) = 1 (0, ,1389) = 1 (0,3056) = 0,6944 = 69,44% Probabilitas lebih dari empat mobil dalam sistem Dengan Pn 1 - n P 0 = (1 0,8333) (0,8333) 0 = 0,1667 P 1 = (1 0,8333) (0,8333) 1 = 0,1389 P 2 = (1 0,8333) (0,8333) 2 = 0,1158 P 3 = (1 0,8333) (0,8333) 3 = 0,0965 P 4 = (1 0,8333) (0,8333) 4 = 0,0804 P(n > 4) = 1 P(n 4) = 1 (P 0 + P 1 + P 2 + P 3 +P 4 ) 71

87 = 1 (0, , , , ,0804) = 1 (0,5983) = 0,4017 = 40,17% 2. Model M/M/S/I/I Gambar 3.8 Model Antrian Model M/M/S/I/I Rumus : Jumlah individu rata-rata menunggu dalam antrian n q ( S 1)!(S - ) S 2 P 0 Jumlah individu rata-rata dalam sistem total n t n q 72

88 73 Waktu menunggu rata-rata dalam antrian S t 2 0 q S 1- S(S! ) P Waktu menunggu rata-rata dalam sistem 1 t q t t Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan S P Probabilitas tidak ada individu dalam sistem 1! n! S S P S S n n Probabilitas menunggu dalam antrian S S P P S W 1! 0

89 Contoh 1. Sebuah bank memperkerjakan tiga teller. Nasabah datang mengikuti distribusi poisson, selama periode waktu 8 jam rata-rata nasabah datang sebanyak orang. Jika seorang nasabah mendapati semua teller sedang sibuk ia akan menggabung pada antrian yang dilayani oleh ketiga teller. Waktu trsansaksi antara nasabah dan teller mempunyai distribusi eksponensial dengan rata-rata 0,5 menit. Tentukan : Jawab Diketahui : a. Tingkat kedatangan nasabah per jam. b. Tingkat kegunaan teller. c. Probabilitas tidak ada nasabah. d. Jumlah nasabah rata-rata menunggu untuk dilayani. e. Jumlah nasabah dalam sistem. f. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian. g. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem. h. Probabilitas untuk menunggu dalam antrian. S = 3 teller = nasabah / 8 jam = 218,75 nasabah per jam = 60 menit/ 0,5 menit = 120 nasabah per jam 74

90 a. Tingkat kedatangan panggilan per jam. = 120 nasabah per jam b. Tingkat kegunaan karyawan. P = S 218,75 3(120) = 0,6076 = 60,76% c. Probabilitas tidak ada panggilan. P 0 S 1 n0 n! n 1 S S! 1 S 1 0! (218,75/120) (218,75/120) 1! 2! 1 2 (218,75/120) 3!(1 218,75/ 360) 3 = 1 11,8229 1,6615 2,5731 = 0,1417 = 14,17% d. Jumlah pedagang rata-rata menunggu untuk dilayani. n q ( S 1)!(S - ) S 2 P 0 75

91 218,75 (218,75)(120) 120 = (0,1417) 2 (3 1)!( ,75) = 0,5647 nasabah e. Jumlah pedagang dalam sistem. 3 n t n q = 0, ,8229 = 2,3876 nasabah f. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian. t q P S(S! ) 1- S 0 2 S = 0, ,75 120(3)(3!) , = 0,00258 jam atau 0,1548 menit g. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem. t t t q 1 = 0, = 0,01091 jam atau 0,6546 menit 76

92 h. Probabilitas untuk menunggu dalam antrian. P W S P 0 S! 1 S = 218, , ,75 3! = 0, Sebuah bank memperkerjakan tiga teller. Nasabah datang mengikuti distribusi poisson, selama periode waktu 8 jam rata-rata nasabah datang sebanyak orang. Jika seorang nasabah mendapati semua teller sedang sibuk ia akan menggabung pada antrian yang dilayani oleh ketiga teller. Waktu trsansaksi antara nasabah dan teller mempunyai distribusi eksponensial dengan rata-rata 0,5 menit. Bank tersebut telah menerima keluhan-keluhan dari banyak nasabah bahwa waktu pelayanan terlalu lama. Karena itu, manajer bank sedang mempertimbangkan penambahan satu teller lagi untuk mengurangi waktu menunggu dalam sistem. Dia merasa bahwa biaya pelayanan total akan naik karena penambahan teller. Bila seorang teller berpenghasilan Rp 3.500,- per jam (termasuk semua gaji dan jaminan lainnya) dan biaya mendapatkan seorang nasabah check out sedang menunggu adalah Rp ,- per jam (gaji, tunjangan, kehilangan keuntungan karena penundaan dan biaya-biaya lainnya), tentukan apakah lebih baik tetap 77

93 Jawab mempunyai 3 teller atau 4 teller yang menangani nasabah tersebut. Diketahui : = nasabah / 8 jam = 218,75 nasabah per jam = 60 menit/ 0,5 menit = 120 nasabah per jam S = 3 teller (dari soal no. 1 dengan 3 teller n 2,3876 ) S 2 = 4 teller C S = Rp 3.500,- per jam/ teller C W = Rp 5.200,- per jam Total biaya sekarang per jam dengan tiga teller. t C t S S C W SC S n C t W = 3 (Rp 3.500) + 2,3876 (Rp 5.500) = Rp ,8,- Rp ,- Total biaya per jam dengan empat karyawan. P 0 S 1 n0 n! n 1 S S! 1 S 78

94 = 1 0! (218,75/ 120) 1! 218,75/ 120 2! 2 1 (218,75/ 120) 3! 3 4 (218,75/ 120) 4!(1-218,75/ 480) = 1 11,8229 1,6615 1,0096 0,8454 = 0,1577 n q ( S 1)!(S - ) S 2 P 0 4 = (218,75)(120)(218,75/120) (0,1577) 2 (4 1)!( ,75) = 0,1116 nasabah n q n t = 0, ,8229 = 1,9345 nasabah. C t S S C W SC S n C t W = 4 (Rp 3.500) + 1,9345 (Rp 5.500) = Rp ,75,- Rp ,- Kesimpulan : Total biaya antrian dengan tiga teller sebesar Rp ,- dan total biaya antrian dengan empat teller sebesar Rp ,-. Karena total biaya antrian dengan memperkerjakan tiga teller lebih murah maka tidak perlu direkomendasikan untuk penambahan satu teller lagi. 79

95 80 3. Model M/M/1/I/F Gambar 3.9. Model Antrian Model M/M/1/I/F Rumus : Jumlah individu rata-rata dalam antrian ) ( q n Jumlah individu rata-rata dalam sistem n t

96 Probabilitas jumlah n individu dalam sistem. P n n Contoh Sebuah restaurant fast food mengoperasikan sebuah pintu yang melayani pembeli. Restaurant tersebut terletak pada jalan yang ramai tetapi restaurant mempunyai tempat parkir yang terbatas. Tempat parkir yang tersedia hanya 6 ruangan. Tingkat kedatangan pelanggan adalah 21 mobil per jam dan mengikuti distribusi Poisson sedangkan tingkat pelayanan restaurant 36 mobil per jam dan juga berdistribusi Poisson. Tentukan : a. Jumlah mobil rata-rata dalam antrian. b. Jumlah mobil rata-rata dalam sistem. c. Probabilitas ada 10 mobil dalam sistem. Jawab Diketahui : = 21 mobil per jam = 36 mobil per jam = 6 ruangan 81

97 82 a. Jumlah mobil rata-rata dalam antrian ) ( q n = ) ( = (0,3403) 0,4003 0,1970 0, = 0,6730 mobil. b. Jumlah mobil rata-rata dalam sistem t n =

98 1 0,2758 0,1379 = (0,5833) 0,4071 = 1,2352 mobil. c. Probabilitas ada 10 mobil dalam sistem. Pn n 4. Model M/M/S/F/I = = 0,4167 0,0046 = 0,00196 mobil 0,9770 Gambar Model Antrian Model M/M/S/F/I 83

99 Notasi antrian sumber terbatas : U : Waktu rata-rata antar kedatangan per unit T : Waktu rata-rata pelayanan per unit H : Jumlah rata-rata unit yang sedang dilayani J : Jumlah rata-rata unit sedang beroperasi N : Jumlah unit dalam populasi M : Jumlah channel pelayanan X : Faktor pelayanan (proporsi waktu pelayanan yang diperlukan) D : Probabilitas bahwa suatu kedatangan harus menunggu F : Faktor efisiensi menunggu dalam garis (antrian) Rumus : Faktor pelayanan. X = T T U Jumlah unit rata-rata menunggu untuk dilayani. n q = N (1 F) Jumlah unit rata-rata dalam sistem. 84

100 n t = N J atau n t = n q + H Waktu menunggu rata-rata pelayanan. t q n q (T U) N n q Waktu menunggu rata-rata dalam sistem. n (T U) q t t + T N n q Jumlah rata-rata unit sedang dilayani. H = F.N.X Jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi. J = N.F (1 X) Contoh : Sebuah rumah sakit menginformasikan bahwa ratarata setiap pasien dari 20 pasien yang ada memerlukan tipe-tipe perawatan tertentu setiap 4 jam. Ada dua orang dokter yang melayani pasien-pasien tersebut dengan ratarata waktu pelayanan selama 10 menit per pasien. Tingkat kedatangan dan tingkat pelayanan mengikuti distribusi eksponensial, tentukan: a. Waktu antar kedatangan rata-rata dari setiap pasien. b. Jumlah pasien rata-rata menunggu untuk dilayani. c. Waktu menunggu rata-rata pelayanan. 85

101 d. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem. e. Jumlah pasien rata-rata yang sedang dilayani. f. Jumlah pasien rata-rata yang sedang beroperasi. g. Jumlah pasien rata-rata dalam sistem. h. Probabilitas bahwa pasien akan menunggu untuk dilayani. i. Jumlah rata-rata fasilitas pelayanan menganggur. Penyelesaian : Diketahui : U = 4 jam per tipe-tipe perawatan N = 20 pasien T = 10 menit per pasien = 2 dokter a. Waktu antar kedatangan rata-rata dari setiap pasien. U = 4 jam tipe-tipe perawatan = 240 menit per tipe-tipe perawatan Dengan : X = T T U = = 0,04 b. Jumlah pasien rata-rata menunggu untuk dilayani. Diketahui : N = 20, X = 0,04 dan M = 2, dari tabel 86

102 diperoleh F = 0,994. n q = N (1 F) = 20 (1 0,994) = 0,12 pasien tidak ada pasien yang menunggu. c. Waktu menunggu rata-rata pelayanan. t q n q (T U) N n q = 0,12(10 240) 20 0,12 = 1,5 menit. d. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem. t t = t q + T = 1, = 11,5 menit. e. Jumlah pasien rata-rata yang sedang dilayani. H = F.N.X = (0,994) (20) (0,04) = 0,7952 pasien 1 pasien. 87

103 f. Jumlah pasien rata-rata yang masih dalam ruangannya. J = N.F.(1 X) = 20 (0,994) (1 0,04) = 19 pasien. g. Jumlah pasien rata-rata dalam sistem. n t = N J = = 1 pasien. atau, n t = n q + H = 0,12 + 0,7952 = 0,λ152 pasien 1 pasien. h. Probabilitas bahwa pasien akan menunggu untuk dilayani. D = 0,202 (diperoleh dari tabel) = 20,2% i. Jumlah rata-rata fasilitas pelayanan menganggur. I = M H = 2 0,7952 = 1,2048 dokter 1 dokter. 88

104 3.3. Aplikasi Antrian Pada Layanan Bandara Pada penelitian yang dilakukan oleh Reynold Tri Kristiono pada tahun 2011 melakukan analisis pelayanan penumpang bagian counter check-in di bandara adisutjipto Yogyakarta, dengan peningkatan permintaan akan sarana transportasi udara akan mengakibatkan peningkatan jumlah lalu lintas penerbangan baik itu pesawat maupun penumpangnya. Jumlah penumpang angkutan udara yang terus menerus mengalami peningkatan mengakibatkan terjadinya kepadatan di bandara. Salah satu dampak dari kepadatan tersebut adalah mempengaruhi tingkat pelayanan di Check-in counter. Melihat kondisi yang terjadi sekarang dimana sering terjadi antrian yang panjang dan penumpukan penumpang di counter check-in khususnya pada jam padat, yang mengakibatkan banyaknya keluhan dan komplain dari calon penumpang dan pengguna jasa bandar udara yang terlambat menyelesaikan proses check- in. Masalah kepadatan penumpang di Bandar Udara Internasional Adisutjipto Yogyakarta saat ini semakin meningkat tiap tahunnya. Sehingga sering terjadi antrian yang panjang dan penumpukan penumpang di check-in counter khususnya pada jam padat. Dengan segala kemampuan jumlah tenaga kerja, sarana dan prasarana serta fasilitas atau peralatan melaksanakan berbagai macam pelayanan dan usaha untuk mencapai tujuan perusahaan. Berdasarkan kepada intensitas arus penumpang dari hari ke hari yang menunjukkan peningkatan di Bandar udara Internasional Adisutjipto, maka PT. (Persero) Angkasa Pura I Cabang Bandara Internasional Adisutjipto Yogyakarta berupaya untuk meningkatkan pelayanan terhadap pemakai jasa bandar udara. 89

105 Di Bandara Adisutjipto Yogyakarta saat ini terdapat 6 maskapai penerbangan yang beroperasi secara berjadwal dengan berbagai macam tujuan penerbangan seperti : Jakarta, Denpasar, Mataram, Surabaya, Balikpapan, Banjarmasin, Pontianak, Ujung Pandang dan Halim Perdana Kusuma. Tabel 3.1 Maskapai Penerbangan Yang Beroperasi di Bandara Adisutjipto Yogyakarta Jadwal penerbangan Batavia Air di Bandara Adisutjipto Yogyakarta saat ini memiliki 4 kali kegiatan operasi penerbangan dalam sehari dengan berbagai macam tujuan seperti dijelaskan pada tabel di bawah ini : 90

106 Tabel 3.2 Jadwal Penerbangan Reguler Batavia Air Tabel 3.3 Waktu Kedatangan PenumpangCheck-In Batavia 91

107 Tabel 3.4 Waktu Pelayanan PenumpangCheck-In Batavia Sumber : Hasil pengolahan dan perhitungan (Reynold Tri Kristiono, 2011) Pengolahan Data Waktu Kedatangan Berdasarkanpada data waktu kedatangan, tahapan pengujian adalah sebagai berikut: Batavia 1. Menentukan range atau sebaran data pengamatan Range = H L = Data terbesar Data terkecil = 8,35 1,03 = 7,32 92

108 2. Menentukan jumlah kelas K = 1 + 3,322 log N dengan N = 60, maka : K = 1 + 3,322 log 60 = 6, Menentukan lebar kelas I = R / K = 7,32 / 6,87 = 1,07 4. Pengujian distribusi data Data waktu kedatangan beserta frekuensinya dapat dilihat pada tabel dibawah ini: Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Waktu Kedatangan 93

109 1. Uji Keseragaman Data Pengujian ini dilakukan untuk menyeleksi data yang pantas diikutkan dalam perhitungan selanjutnya. Data yang tidak pantas akan disebut data ekstrim dan selanjutnya dibuang. Suatu data akan dianggap ekstrim jika data diatas batas kontrol atas atau dibawah batas kontrol bawah. Xi X n = 206,21 60 = 3,44 N( Xi 2 ) ( N( N 1) Xi) (937,07) (206,21) = 1,97 60(60 1) BKA = X + 3 = 3, (1,97) = 9,34 BKB = X - 3 = 3,44-3 (1,97) = -2,46 Dari hasil perhitungan diketahui bahwa data tertinggi yang terkumpul (8,35) lebih kecil dari BKA (9,34) dan data terendah yang terkumpul (1,03) lebih besar dari BKB (-2,46) maka dapat disimpulkan bahwa data tersebut sudah seragam. 2. Uji Chi Kuadrat Uji yang akan dilakukan untuk menentukan distribusi ini adalah uji chi kuadrat. Dengan ketentuan sebagai berikut: 94

110 a. Ho = Waktu Antar Kedatangan Penumpang Berdistribusi Eksponensial Hi = Waktu Antar Kedatangan Tidak Berdistribusi Eksponensial b. Tingkat kepercayaan 99 % dan tingkat ketelitian α 1% 2 V = 7 1 = 6 tabel = 0.01;6 =16,80 c. Kriteria penolakan 2 Ho = diterima jika hitung < 2 tabel 2 Hi = ditolak jika hitung > 2 tabel 2 d. Perhitungan hitung Langkah langkah perhitungannya adalah sebagai berikut: 1) Menentukan probabilitas teoritis F(t) untuk distribusi eksponensial tiap kelas dengan rumus F(t) = e -t1/ x - e -t2/ x 2) Menentukan frekuensi harapan untuk selang kelas dengan rumus ei = F(t) x jumlah data Sebagai contoh perhitungan sel kedua 95

111 ei = F(t) x N = e -2,11/3,44 e -3,18/3,44 x 60 = 8,69 Dengan diketahui nilai oi dan ei maka suatu ukuran deviasi antara frekuensi amatan dan frekuensi teoritis dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut : 2 = ( oi ei) ei 2 Dimana : oi = Frekuensi yang diamati sel ke i Sebagai contoh perhitungan ei = Frekuensi harapan sel ke i dimana ei = 8,69 dan oi = 14 diperoleh 2 untuk sel kedua 2 = (14 8,69) 8,69 2 = 3,25 Untuk seluruh perhitungan tersebut dapat diringkas dalam tabel sebagai berikut: 96

112 2 Tabel 3.6 Hasil Perhitungan Untuk Waktu Kedatangan Penumpang 2 Dari hasil perhitungan diketahui hitung (12,13) < 2 2 tabel (16,80) berarti hitung terletak 2 diluar daerah kritis. Karena hitung lebih kecil dari 2 tabel maka Ho diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa waktu antar kedatangan penumpang berdistribusi eksponensial Pengolahan Data Waktu Pelayanan Berdasarkanpada data waktu pelayanan, tahapan pengujian adalah sebagai berikut: Batavia 1. Menentukan range atau sebaran data pengamatan Range = H L = Data terbesar Data terkecil 97

113 = 9,40 1,02 = 8,38 2. Menentukan jumlah kelas K = 1 + 3,322 log N dengan N = 60, maka : K = 1 + 3,322 log 60 = 6, Menentukan lebar kelas I = R / K = 8,38 / 6,87 = 1,22 4. Pengujian distribusi data Data waktu pelayanan beserta frekuensinya dapat dilihat pada tabel dibawah ini: Tabel 3.7 Distribusi Frekuensi waktu Pelayanan 98

114 5. Uji Keseragaman Data Pengujian ini dilakukan untuk menyeleksi data yang pantas diikutkan dalam perhitungan selanjutnya. Data yang tidak pantas akan disebut data ekstrim dan selanjutnya dibuang. Suatu data akan dianggap ekstrim jika data diatas batas kontrol atas atau dibawah batas kontrol bawah. Xi X n = 220,48 60 = 3,67 N( Xi 2 ) ( N( N 1) Xi) (1089,62) (220,48) = 2,18 60(60 1) BKA = X + 3 = 3, (2,18) = 10,21 BKB = X - 3 = 3,67-3 (2,18) = -2,87 Dari hasil perhitungan diketahui bahwa data tertinggi yang terkumpul (9,40) lebih kecil dari BKA (10,21) dan data terendah yang terkumpul (1,02) lebih besar dari BKB (-2,87) maka dapat disimpulkan bahwa data tersebut sudah seragam. 6. Uji Chi Kuadrat Uji yang akan dilakukan untuk menentukan distribusi ini adalah uji chi kuadrat. Dengan ketentuan sebagai berikut: 99

115 a. Ho = Waktu Antar Pelayanan Penumpang Berdistribusi Eksponensial Hi = Waktu Antar Pelayanan Tidak Berdistribusi Eksponensial b. Tingkat kepercayaan 99 % dan tingkat ketelitian α 1% 2 V = 7 1 = 6 tabel = 0.01;6 =16,80 c. Kriteria penolakan 2 Ho = diterima jika hitung < 2 tabel 2 Hi = ditolak jika hitung > 2 tabel 2 d. Perhitungan hitung Langkah langkah perhitungannya adalah sebagai berikut: 1) Menentukan probabilitas teoritis F(t) untuk distribusi eksponensial tiap kelas dengan rumus F(t) = e -t1/ x - e -t2/ x 2) Menentukan frekuensi harapan untuk selang kelas dengan rumus ei = F(t) x jumlah data Sebagai contoh perhitungan sel kedua ei = F(t) x N = e -2,25/3,67 e -3,46/3,67 x

116 = 9,13 Dengan diketahui nilai oi dan ei maka suatu ukuran deviasi antara frekuensi amatan dan frekuensi teoritis dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut : 2 = ( oi ei) ei 2 Dimana : oi = Frekuensi yang diamati sel ke i ei = Frekuensi harapan sel ke i Sebagai contoh perhitungan 2 untuk sel kedua dimana ei = 9,13 dan oi = 15 2 diperoleh = (15 9,13) 9,13 2 = 3,78 Untuk seluruh perhitungan tersebut dapat diringkas dalam tabel sebagai berikut: 2 Tabel 3.8 Hasil Perhitungan Untuk Waktu Pelayanan Penumpang 101

117 2 Dari hasil perhitungan diketahui hitung (10,19) < x 2 2 tabel (16,80) berarti 2 hitung terletak diluar daerah kritis. Karena 2 hitung lebih kecil dari tabel maka Ho diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa waktu antar pelayanan penumpang berdistribusi eksponensial Perhitungan Variabel Model Antrian Dari hasil pengumpulan dan pengujian data maka dapat disimpulkan bahwa waktu kedatangan dan waktu pelayanan penumpang Batavia, Lion, Wings, Merpati, dan Mandala mengikuti distribusi eksponensial sedangkan Garuda tidak mengikuti distribusi eksponensial, sehingga hanya lima maskapai yang dapat diteruskan kedalam perhitungan variabel model antrian. Dari hasil pengujian waktu antar kedatangan penumpang Batavia didapat ( X ) = 3,44 berarti tingkat 1 1 kedatangan penumpang = X = x 60 menit = 17 3, 44 Dari hasil pengujian waktu pelayanan penumpang Batavia didapat ( X ) = 3,67 berarti tingkat pelayanan 1 1 penumpang = X = x 60 menit 3, 67 = 16 penumpang/jam. 102

118 Perhitungan nilai nilai variabel antrian Batavia : Diketahui : Tingkat kedatangan penumpang 17 penumpang/jam Tingkat pelayanan penumpang 16 penumpang/jam a. Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan P = = 17/16 =1,06 = 106 % Hasil diatas 100 % menunjukkan bahwa fasilitas check-in sibuk sehingga tidak ada kesempatan menganggur bagi petugas pelayanan check-in. b. Tingkat menganggur fasilitas 1 P = 1 1,06 = - 0,06 = - 6 % Hasil dibawah 0 % menunjukkan bahwa tidak ada kesempatan menganggur bagi petugas counter check-in. c. Jumlah rata rata penumpang dalam antrian Lq = 2 ( ) = (16 17) = - 18 Dengan demikian jumlah rata rata penumpang dalam antrian sebanyak -18 penumpang. Sedangkan nilai negatif menunjukkan bahwa sistem tidak mampu menampung penumpang sehingga terjadi penumpukan penumpang. 103

119 d. Jumlah rata rata penumpang dalam sistem Ls = = = - 17 Dengan demikian jumlah rata rata penumpang dalam sistem sebanyak -17 penumpang. Sedangkan nilai negatif menunjukkan bahwa sistem tidak mampu menampung penumpang sehingga terjadi penumpukan penumpang. Jumlah rata rata penumpang pada sistem harus lebih besar dari pada jumlah dalam antrian hal itu disebabkan karena jumlah penumpang dalam sistem adalah jumlah antrian ditambah satu orang yang sedang dilayani. Sehingga apabila diaplikasikan dalam bentuk matematika maka menjadi S istem = A ntrian + P elayanan sehingga S = = -17. e. Waktu rata rata menunggu penumpang dalam antrian Wq = ( ) = 17 16(16 17) = - 1,06 jam = - 63,75 menit Dengan demikian bila jumlah penumpang dalam antrian sebanyak -18 penumpang maka rata rata waktu antriannya adalah -63,75 menit, sedangkan untuk rata rata waktu antrian per penumpang adalah 3,54 menit. Sedangkan nilai negatif menunjukkan bahwa sistem tidak mampu melayani penumpang dengan maksimal sehingga terjadi antrian atau penumpukan penumpang. 104

120 f. Waktu rata rata penumpang dalam sistem 1 1 Ws = = = - 1 jam = - 60 menit Dengan demikian bila jumlah penumpang dalam sistem sebanyak -17 penumpang maka rata rata waktu antriannya adalah -60 menit. Sedangkan nilai negatif menunjukkan bahwa sistem tidak mampu melayani penumpang dengan maksimal sehingga terjadi antrian atau penumpukan penumpang. Waktu rata rata dalam sistem harus lebih besar dari jumlah rata rata antrian karena waktu dalam sistem adalah penjumlahan dari waktu antrian ditambah dengan waktu pelayanan di sini diketahui bahwa waktu antrian adalah -63,75 menit dan waktu pelayanan 3,75 menit sehingga waktu dalam sistem adalah -63,75 menit+ 3,75 menit = -60 menit Rangkuman Setiap masalah antrian diuraikan dalam 3 karateristik, yaitu : kedatangan, antrian dan pelayanan Model antrian adalah model probabilistik (stochastic) karena unsur-unsur tertentu proses antrian yang dimasukkan dalam model adalah variabel random. Variabel random ini sering digambarkan dengan distribusi probabilitas. Asumsi yang biasa digunakan dalam kaitannya dengan distribusi kedatangan (banyaknya kedatangan per unit waktu) adalah distribusi Poisson. 105

121 LATIHAN 1. Dalam suatu ruang praktek dokter, setiap 5 menit datang 1 pasien. Untuk melayani setiap pasien dibutuhkan waktu 5 menit. Jam kerja praktek dokter adalah jam Hitunglah: a. Banyaknya pasien yang bisa dilayani selama jam kerja. b. Rata-rata banyaknya pasien dalam sistem. c. Rata-rata panjang antrian. d. Rata-rata waktu menunggu seorang pasien dalam sistem. e. Rata-rata waktu menunggu tiap pasien sebelum menerima pelayanan (antri). 2. Kedatangan penelpon ke suatu telepon umum mengikuti fungsi poisson dengan rata-rata waktu 10 menit antara kedatangan satu dengan lainnya. Lamanya satu pembicaraan telepon rata-rata 3 menit dan mengikuti distribusi eksponensial. Hitunglah: a. Probabilitas bahwa seorang penelpon yang datang ke telepon umum tersebut harus menunggu. b. Rata-rata panjang antrian yang tidak kosong. c. Perusahaan telepon akan mendirikan tempat telepon umum yang kedua dengan syarat waktu menunggu suatu kedatangan penelpon hingga memperoleh giliran paling sedikit 3 menit. Berapa seharusnya banyaknya kedatangan sehingga tempat telepon umum yang kedua tersebut mempunyai alas an kuat untuk didirikan? 106

122 DAFTAR PUSTAKA 1. Gottfried, Byron S., Elements of Stochatic Process Simulation, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, Law, Averill M., W. David Kelton, Simulation Modeling & Analysis, Mc. Graw-Hill Inc., Singapore, Soepono Soeparlan, Pengantar Simulasi, Penerbit Gunadarma, Jakarta, Mendenhall, William, A course in Business Statistics, Duxbury Press, Boston, elearning.upnjatim.ac.id/courses/mk/document/2._antrian.d oc? Reynold Tri Kristiono, Analisis Pelayanan Penumpang Bagian Counter Check-In Di Bandara Adisutjipto Yogyakarta Universitas Pembangunan Nasional Veteran Yogyakarta 107

123 108

124 BAB IV PEUBAH ACAK 109

125 BAB IV PEUBAH ACAK Tujuan Intruksional Umum 1. Mahasiswa mampu memahami peubah acak diskrit, peubah acak kontinu, fungsi distribusi, fungsi peluang. 2. Mahasiswa mampu memahami pemodelan statistika yang menitikberatkan pada kajian peluang secara matematik. Tujuan Intruksional Khusus 1. Mahasiswa mampu memahami dan membedakan peubah acak diskrit dan kontinu. 2. Mahasiswa mampu menghitung peluang pada nilai peubah acak dan mampu mengidentifikasi ruang sampel dan event dari contoh penerapan peluang acak. 3.Mahasiswa mampu menentukan fungsi distribusi dan transformasi peubah acak (serta distribusi peluang yang menyertainya) 4.1 Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret Suatu peubah acak diskret tiap nilai yang mungkin mendapatkan nialai peluang tertentu. Dalam kasusu melantunkan mata uang tiga kali. Peubah acak X yang menyatakan banayaknya muka yang muncul mendapatlan 2 dengan peluang 3/8.pada contoh kemungkinan banyaknya anak 110

126 laki-laki yang lahir bila pasangan suami istri merencanakan 2 anak cukup disajikan pada table berikut : Perhatikan jumlah peluangnya sama dengan 1(satu), karena x menyatakan suatu yang mungkin. Fungsi nilai numeic dari x dinyatakan f(x), g(x). r(x) dan sebagainya jadi f(x) =P(X=X) Dari contoh diatas maka f(2) = P(X=2) =1/4 Misalkan dalam suatu kandang terdapat 15 ekor ayam broiler 5 ekor diantaranya adalah jantan. Jika seorang peternak mengambil 3 ekor ayam broiler secara acak carilah sebaran peubah acak X yang menyatakan banyaknya anak ayam jantan yang terambil. Ayam broiler jantan yang mungkin terambil adalah 0,1,2 atau tiga ekor denagn peluang yangberbeda seperti disajikan pada table berikut : Catatan ( 10) ( 9 ) ( 8 )= 720 = 24 coba cari yang lain Kerap kali kita igin menggambarkan grafik suatu sebaran peluang diskret. Ada dua macam grafik yang biasa digunakan adalah diagram batang atau histogram. Sebagai contoh kita gambar sebaran peluang peubah acak banyaknya muka (M) yang peluang muncul bila 4 mata uang seimbang dilantunkan. Adapun sebaran peluang seperti table berikut : 111

127 a. Grafik batang b. histogram Gambar 4.1 Grafik sebaran peluang diskret Pada mekanisme percobaan yang sering kali dilakukan akan mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama berhasil atau gagal. Misalnya saja dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Dan salah satu di antara keduanya ditentukan sebagai berhasil dan yang lainnya sebagai gagal. Percobaan tersebut mempunyai ciri-ciri bahwa ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar 1/2. Percobaan semacam ini disebut percobaan binom. Jika suatu ulangan binomial mempunayi peluang keberhasilan p dan pelang kegagalan q = 1 p, maka distribusi probabilitas bagi peubah acak binomial X, yaitu bayaknya keberhasilan dalam n ulangan bebas, adalah : 112

128 Definisi Distribusi Peluang Binomial b(x;n,p) C n x n-x x p q Dimana: x = 0,1,23,...,n n: banyaknya ulangan x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X p: peluang berhasil pada setiap ulangan q: peluang gagal = 1 - p pada setiap ulangan Secara ringkas, Percobaan Binomial adalah percobaan yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut: 1. Percobaan diulang n kali 2. Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas; Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL" ("YA" atau "TIDAK"; "SUCCESS" or "FAILED") 3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p tidak berubah. Peluang gagal = q = 1- p. 4. Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain. 113

129 Contoh Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang! Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1" Jawab x = 3 n = 5 pelemparan diulang 5 kali p = 1 6 q = = 5 6 b(x;n,p) C n x n-x x p q b( 3 ; 5, ) C ) 3 ( 6) ( 6 = 5! 3! 2! = = Contoh: 10 % dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A : semuanya, sebuah, dua buah, paling sedikit sebuah, 114

130 paling banyak dua buah tentukan rata-rata terdapatnya kategori A. Jawab Artikan R = banyak benda kategori A. Peluang benda termasuk kategori A = 0,10. Semuanya tergolong kategori A R = 30 P (R = 30) = 30! 30!(30 30)! (0,10) 30 (0,90) 0 = Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol. Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1 P (R = 1) = 30! 1!(30 1)! (0,10) 1 (0,90) 29 = 0,1409 Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A = 0,1409 Disini X = 2, sehingga : P (R = 2) = 30! 2!(30 2)! (0,10) 2 (0,90) 28 = 0,2270 Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti X = 1, 2, 3,.., 30. Jadi perlu P(R = 1) + P(R = 2) + + P(R = 30). Tetapi P(R = 0) + P(R = 1) + + P(R = 30) = 1, sehingga yang dicari = 1 P(R = 0). P(R= 0) = 30! (0,10) 0 (0,90) 30 = 0, !(30 0)! 115

131 Jadi, peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A = 1 0,0423 = 0,9577 Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti R= 0, 1, 2. Perlu dicari P(R = 0) + P(R = 1) + P(R = 2) = 0, , ,2270 = 0,4102. = 30 (0,1) = 3 artinya, rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang terdiri atas 30 Contoh Aplikasi: Debit puncak banjir sungai Citarum-Nanjung priode T=5 tahun adalah 359m 3 /det. Tentukan dalam waktu 10 tahun peluang debit banjir tersebut: Tidak terjadi? Terjadi satu kali? Terjadi dua kali? Terjadi tiga kali? Rata-rata dan deviasi standarnya? Jawab Dari soal didapat: T=5 tahun, maka P=1/T=1/5=0,2 Q=1-P=1-0,2=0,8 N=10 116

132 P(R)= C N x P x Q N x, maka: o Peluang debit banjir tidak terjadi, berarti x=0, sehingga ! 0 10 P(R=0)= C 0 P Q (0,2) (0,8) 0, 107 0!(10 0)! o Peluang debit banjir terjadi satu kali, berarti x=1, sehingga: ! 1 9 P(R=1)= C 1 P Q (0,2) (0,8) 0, 268 1!(10 1)! o Peluang debit banjir terjadi dua kali, berarti x=2, sehingga: ! 2 8 P(R=2)= C 2 P Q (0,2) (0,8) 0, 308 2!(10 2)! o Peluang debit banjir terjadi tiga kali, berarti x=3, sehingga: ! 3 7 P(R=3)= C 3 P Q (0,2) (0,8) 0, 201 3!(10 3)! o Peluang debit banjir dengan T=5 tahunan, rata-rata terjadi selama 10 tahun, sehingga : NP =(10)(0,2)=2 kali. Artinya, waktu 10 tahun, rata-rata akan terjadi debit banjir dengan priode 5 tahunan adalah 2 kali, dengan deviasi standar dihitung dari: NPQ = 117

133 10.0,2.0,8 1,26kali 4.2 Sebaran peubah Acak Kontinu Suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada setiap titik x. mungkin hal ini mengejutkan pada permulaan, tetapi akan mudah dipahami dengan contoh berikut. Pandanglah peubah acak berat sapi bali yang berumur dua tahun maka sapi tersebut mempunyai berat normal antara Kg. ternyata banyak sekali sapi bali yang berumur 2 tahun yang mempunyai berat Kg salah satu diantaranya adalah sapi bali yang beratnya 210 kg. peluang terpilihnya sapi bali yang beratnya tepat tidak kurang sedikitpun atau persisi 210 kg mendekati 0 atau sama denagn nol karena 1 : banyak sekali (1 : tak hingga). Kenyataan diatas menyebabkan : P(a<x b) = P (a<x<b) + P (x=b) = P (a<x<b) + 0 = P(Ax<b) Jadi tidaklah menjadi masalah apakah titik ujung diikut sertakan ataupun tidak. Sebaran peluang kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk table,tetapi rumusnya ada. Seperti sediakala sebaran peluang akan dinyatakan denagn fungsi f(x).sebaran peluang kontinu f(x) biasa disebut fungsi padat atau fungsi kepekatan, dimana x berada dalam selang dua nilai tertentu di dalam ruang contoh sehingga grafik f(x) digambarkan secara seimbang. 118

134 . 20 f(x) 0 a X b Gambar P(a<x<b) = b a f ( x) dx Gambar grafik diatas disebut grafik fungsi kepekatan f(x) fungsi kepekatan peluang digambarkan oleh luas daerah dibawah kurva yang bersangkutan dan diatas sumbu x. bila digambar secara keseluruhan maka luas kurva tersebut = 1 artinya total peluang diri - ~<x<+~ adalah sama denagn satu. Peluang bagi semua nilai x yangberada dalam selang (a,b) sama denagn luas dibawah kurva kepekatan antara x=a sampai x=b. Jadi fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu x yang didefinisikan diatas terdefinisi pada semua bilangan nyata (real) R bila : 1. f(x) 0, untuk semua x=r ~ 2. f (xdx 1 ~ 119

135 3. P(a<x<b) = f ( x) dx Sebaran Peluang Bersama b a Setelah kita pelajari peubah acakdan sebaran peluangnya pada ruang sample berdimensi satu dangan kata lain hasil percobaan berasal dari peubah acak yang tunggal ternyata pada banyak keadaan diperelukan pencatatan hasil beberapa peubah acak secara serempak,jadi deminsi pengamatan lebih dari satu. Bila X dan Y dua peubah acak sebaran peluang terjadinya secara serempak dapat dinyatakan denagn fungsi f(x,y0. biasanya f(x,y) disebut peluang bersama (gabungan) X dan Y. jadi dalam kasusu diskret f(x,y0 = P(X=x,Y=y) yaitu f(x,y) menyatakan peluang bahwa X dan Y terjadi bersama-sama. Sebagai contoh bila X menyatakan umur (tahun) sapai bali betina dan Y menyatakan banyaknya kali kelahiran maka f(3,4) berarti sapi bali betina umur 3 tahun dan telah melahirkan sebanyak 4 kali. Contoh Dua ekor anak anjing Kintamani dipilih secara acak dari dalamkeranjang seorang pedagang anjing yang berisi 3 ekor warna putih, 2 ekor warna hitam dan 3 ekor warna kemerahan. Bila X menyatakan anak anjing kintamani yang bulunya berwarna putih dan Y anak anjing Kintamanai berwarna hitam terambil/terpilih. Hitunglah: 1. fungsi peluang bersama f(x.y) 2. P [ (x,y) ЄA] bila A daerahnya { (x,y) x + y 1} 120

136 Jawab 1. Pasangan harga (x,y) yang memungkinkan adalah : (0,0), (0,1) (1,0)(1,1)(0,2)atau(2,0) Banyaknya cara yang berkemungkinan sama memilih dua ekor anak anjing kintamani dari 8 ekor (3+2+3 ekor) yang bulunya berwarna putih dan hitam adalah ( 8 2) = 8/2!(8-2)! = 28 Misalkan f(0,1) menyatakan peluang bahwa anak anjing Kintamani yang warna bulunya kemerahan dan hitam yang terpilih dapat dicari denagn cara : f ( 0,1) )( ( 8 ( 2 )( ) 3 1) (1)(2)(3) Jadi f ( x, y) )( )( x y 2x y ( 8 ( 2 ) ) Dengan jalan yang sama dapat dihitung peluang untuk kasus yang lainnya.hasil perhitungannya disajikan pada table dibawah ini. Table sebaran peluang bersama x dan y serta peluang marginalnya. 121

137 2. P[(x,y) ЄA] = P[(x + y) 1] = f (0,0) + f(0,1) + f(1,0) = 3/29 + 6/28 + 9/28 = 18/28 Sebaran peluang bersama f(x,y) yang dihasilkan oleh peubah acak diskret x dan Y sehingga diperoleh sebaran peluang berdeminsi satu g (x) bagi peubah x dan h(x) bagi peubah y,maka g(x) dan h (x) disebut sebaran marginal bagi X dan Y Misalnya kita mencari g(0) : f(x/y) = f(x,y) h(y) f(x,y) = h(y),f(x/y) jika f(x/y) =g(x) maka f(x,y) = g(x),h(x) Apabila X dan Y adalh peubah peubah acak diskret atau kontinu yang sebaran peluangnya f(x.y) dan sebaran marginalnya adalag g(x) dan h(x) maka X dan y dikatakan bebas secara statistika jika dan hanya jika : f(x,y) = g(x),h(x) untuk semua nilai-nilai x dan y misalkan contoh soal diatas kita ambil f(0,20 g(0) dan h(2) maka f(0,2) g(0),h(2) 122

138 3/28 (15/28)(3/28) Jadi contoh diatas tidak bebas secara statsitika(tidak indevenpen) 4.4 Rangkuman Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh setiap anggota dalam ruang sampel. Peubah acak diskret adalah peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang mengandung titik sampel berhingga banyaknya. Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang mengandung titik sampel tak berhingga banyaknya dan sama banyaknya dengan titik pada sepotong garis. Fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskret X jika, untuk setiap hasil x yang mungkin: (1) F (x) 0 (2) f ( x) 1 x (3) P(X =x ) = f (x) LATIHAN 1. Peluang turun hujan per hari secara rutin diketahui p=0,7. Berdasarkan pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah: a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu? 123

139 b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu? 2. Curah hujan dikota Malang diketahui penyebarannya secara normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 30 mm dan ragam 27 mm2. Hitunglah: 1. Curah hujan di kota Malang kurang dari 10 mm? 2. Curah hujan di kota Malang antara 10 mm sampai 20 mm? 3. Curah hujan di kota Malang di atas 30 mm? 4. Jika dikatakan Malang mempunyai peluang 10% curah hujan tertinggi, berapa batas curah hujan tersebut! DAFTAR PUSTAKA 1. Ronald E. Walpode, Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan, Penerbit ITB, Jay L.Devore, Probability & Statistics for Engineering and the Sciences, Wadsworth,Inc, Bethea, Robert M., Statistical Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker,Inc, Ronald E. Walpole and raymond H. Myers, Probability and Statistic for engineers and scientists,ed.2, Macmillan publishing Co,Inc, 5. Ronald E. Walpole, Pengantar Statistika, Edisi Terjemahan, PT. Gramedia, Jakarta,

140 6. Anto Dayan, Pengantar Metode Statistik, Jilid 1&2, LP3S, Jakarta,

141 126

142 BAB V NILAI HARAPAN (EKSPETASI) 127

143 BAB V NILAI HARAPAN (EKSPETASI) Tujuan Intruksional Umum 1. Mahasiswa mampu memahami Satu konsep yang penting di dalam teori peluang dan statistika adalah ekspektasi matematik atau nilai ekspektasi.. Tujuan Intruksional Khusus 1. Mahasiswa mampu memahami ukuran yang menyatakan harapan dari hasil yang dapat diperoleh dari suatu percobaan statistika dinyatakan secara matematis sebagai ekspektasi matematika. 2. Mahasiswa mampu memahami aplikasi dan contoh penerapan nilai harapan dalam aplikasi system 5.1. Gambaran Nilai Harapan Dari 16 orang ibu rumah tangga yang ikut program keluarga berencana (KB) catur Warga( cukup punya anak dua)ternyata 4 keluarga mempunyai anak keduanya perempuan, 7 keluarga satu anak laki satu anak perempuan dan 5 keluarga keduanya anak laki-laki. Coba perhatikan jika x menyatakan anak laki-laki dari keluarga tersebut maka x bisabernilai 0,1 dan 2 bila kita ingin mencari nilai rata-rata anak laki-laki yang lahir dari 16 orang ibuyang ikut program KB maka x= 0(4/16) + 1(7/16)+2(5/16) = 17/16=1,06 128

144 hasil rata-rata ini mendekati 1 yaitu nilai yang mungkin terjadi namun nilai rata-rata tersebut biasanya (secara teoritis) akan mendekati 1,keluarga yang ikut KB yang dicatat semakin banyak.sesuatu yang mungkin ini adalah sesuatu yang diharapkan terjadi,jadi nilai kemungkinan yang diharapkan terjadi ini disebut Nilai harapan (Ekspetasi). Nilai harapan ini biasanya diberi symbol atau ntasi E(x),dapat dicari dari definisi peluangnya atau dalam uraian diatas adalah dari kemungkinan anak laki-laki yang lahir dari ibu-ibu yang ikut KB Catur Warga tersebut yaitu : f(0) = P(X=0)=( 2 0)/2 2 =1/4 f(1) =P(X=0) =( 2 1)/2 2 =2/4 f(2)=p(x=0) =( 2 2)/2 2 =1/4 jadi E[x] =0(1/4) +1(2/4)+2(1/4)=1 Hal ini berarti bila semua ibu rumah tangga yang KB Catur waga dicatat (sample diperbanyak) maka rata-rata banyaknya anak laki-laki yang dilahirkannya sama dengan 1(setengah anak-anak yang lahir dari ibu-ibu yang ikut program KB Catur warga adalah laki-laki hal ini memang yang kita harapkan, kenapa? Bila x adalah suatu peubah acak yang memiliki sebaran peluang(peluang teoriis) seperti table berikut : 129

145 Table 5.1. Sebaran peluang Maka nilai harapan E[x] bagi x adalah: bila diskret : E[ x] n i1 xif ( xi) bila kontinu ; x. f ( x) dx 1 ~ ~ Bila x adalah peubah acak dengan sebaran peluang f(xi0, untuk i=1,2,3,..,n maka nilai harapn fungsi g(x) yang merupakan fungsi dari peubah X adalah : Contoh E[ x] n i1 g( xi) f ( xi) Tentukan nilai harapan banyaknya perempuan dalam panitia yang terdiri dari 3 orang dipih secara acak 4 orang perempuan dan 3 orang laki-laki! Jawab Misalkan X menyatakan banyaknya wanita yang terpilih, maka 130

146 rumus peluang X adalah : x f ( x), x = 0,1,2, Sehingga, f(0)= ; f 1 ; f 2 ; dan f Jadi, E(X) = Ini artinya, bahwa, jika pemilihan tersebut diulang bekali-kali, 5 maka rata-rata wanita terpilih adalah 1 tiap pemilihan. 7 Contoh Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai fungsi pada: f(x) = 2X, 0, untuk 0 X 1 untuk X lainnya Jawab 1 2 E(X) = xf xdx x,2 xdx x Contoh: Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang seperti table berikut ; 131

147 Hitunglah nilai harapan g(x) =(x-1) 2 Jawab: E[x-1] 3 = x0 (x-1) 2 f(x) = (0-1) 2 f(x) + (1-1) 2 f(1) + (2-1) 2 f(2) + (3-1) 2 f(3) = (1)(1/3) + (0)(1/2) + (1)(0) =(4)(1/6) =1 Bila X dan Y merupakan peubah acak dengan sebaran peluang gabungan f(x,y) maka nilai harapan fungsi g(x,y) adalah: n n E[g(x,y)] = g( xi, yjf ( xi, yj [ x, y] Contoh: i1 j1 Dua puluh sample daging sapi diperiksa phnya sebagai peubah acak X dan warnanya sebagai peubah acak Y kedua peubah tersebur diberikan ekor 0,1 dan 2.Skor tersebut menunjukkan dibawah normal,normal dan diatas normal, hasilnya disajikan pada table berikut : 132

148 Maka 3 E[x,y] = xiyjf ( xi, yj i1 3 j Kaedah-kaedah Nilai harapan Dengan mengetahui kaedah-kaedah atau sifat-sifat dari nilai harapan akan memungkinkan kita menghitung suatu nilai harapan melalui nilai harapan melalui nilai harapan yang telah diketahui atau pun dapat mempermudah perhitungan. Hal ini berlaku untuk peubah acak diskret maupun konyinu. Jika a dan b merupakan suatu konstanta atau tatapan maka: E[aX + b] =ae[x] = b Bila diambil a=0 maka E[b] =b Bila diambil b=0 maka E[aX]=aE[X] Jika X dan Ydua buah peubah acak yang saling bebas maka E[XY] =E[X].E[Y] 133

149 Contoh Dua puluh ekor anjing Bali jantan diperiksa tinjanya,untuk mengetahui apakah ada atau tidaknya cacing (x=0,1).disamping itu juga diperiksa kadar Haemoglobin darahnya untuk mengetahui apakah dibawah normal,normal ata diatas normal(y=0,1,2) datanya seperti table berikut: Tentukan distribinal dan peluang marginal dan bersama serta tunjukkan apakan X dan Y bebas secara statistika E[XY] = (0) (0)(λ/20)+(0)(1)(3/20) + +(2)(1)(1/20) = 3/20 E[X] = (0)(12/20)+(1)(4/20)+(2)(4/20) = 12/20 E[Y] = (0)(15/20)+(1)(15/20) = 5/20 E[XY] = E[X].E[Y] 3/20 = (12/20)(5/20) 3/20 = 3/20 Jadi X dan Y saling bebas statistika 134

150 Contoh Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah mangga yang harus diambil oleh Dilla dari dalam tas yang berisi 4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah sekaligus! Jawab Distribusi peluangnya adalah : E[ X ] E[ X 2 ] x 2 Jadi Contoh x xf ( x) 0. x f ( x) Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan sebagai : 2( x 1) f ( x) 0 1 x 2 untuk x laiinya hitunglah Rataan dan Variansi 135

151 136 Jawab ) ( ( ) ( 2 1) ( 2 ] [ x x dx x x dx X X X E ) ( dx x x X E Sehingga diperoleh rataan 3 5 ) ( X E dan varians Nilai Harapan Khusus Bila g(x) =x k menghasilkan nilai harapan yang momen ke k disekitar titik asal peubah acak X yang dinotasikan denagn 3 k. jadi bila X diskret maka: 3 k =E[x k ] = n i xi xif 1 ) ( bila k=0 maka diperoleh 3 0 = 1 hasil ini merupakan total peluang didalam ruang sample bila k=1 maka diperoleh 3 1 = E[X] Hasil ini merupakan nilai tengah populasi biasanya ditulis x atau jadi = x = E[X]

152 Bila k=2 maka diperoleh 3 2=E[X 2 } dan seterusnya. Bila g(x) =(x-) k memberikan nilai harapan yang disebut momen ke k disekitar rata-rata peubah acak X,yang dinyatakan dengan k jadi k = E [x-) k ] Bila k =2 maka 2 mempunyai makna khusus karena memberikan gambaran penyebaran pengukuran disekitar ratarata.jadi 2 disebut gaman/variasi peubah acak X dan dinyatakan denagn α 2 x atau α 2 Jadi α 2 = 2 = E [(x- ) 2 ] = E[(x 2-2 x + 2 )] =`E[x 2 ] E[2 x ] +E[ 2 ] = E[x 2 ] 2E[x] + 2 = E [x 2 ] = E[x 2 ] = E[x 2 ] - 2 Jadi keragaman peubah acak X α 2 = E [x 2 ] 2 Jika pengamatan/observasi kita ukur dengan ukuran tertentu misalkan meter maka = E[X] mempunyai satuan meter pula,sedangkan α 2 =E[(x-) 2 ] mempunyai satuan pengukuran meter kuadarat (m 2 ). Untuk menyeragamkan satuan ukurannya,mengakarkan ragamnya ( α 2 ) hasilnya disebut standar deviasi atau simpangan baku dan dinyatakan dengan α atau disingkat SD. 137

153 Contoh Berdasarkan teori peluang lahirnya anak jantan sama denagn betina dari seekor induk sapi Bali. Jika seorang peternak mempunyai 5 ekor sapi Bali betina bunting maka: hitunglah rata-rata anak sapi bali jantan yang mungkin lahir dan simpangan bakunya. Jawab Kemungkinan anak sapi bali jantan (x) yang lahir yaitu x=0,1,2,3,4 dan 5 Peluang lahir anak sapi Bali jantan f(x) =P(X=x) = f(0) =P(X=0) = 5 ( 0 ) ( x ) 2 5 f(1) =P(X=1) = 5 ( 1) f(2) =P(X=2) = f(3) =P(X=3) = 5 ( 2 ) ( 0 ) f(4) =P(X=4) = f(5) =P(X=5) = (4 5 ) ( 5 )

154 Jadi : E[X] =0(1/32) + 1(5/32) +2(10/32)+3(10/3)+4(5/32)+5(1/32) = 80/32=2,5 jadi =2,5 E[X 2 ] = 0 2 (1/32) (5/32)+2 2 (10/32) (10/3) (5/32) (1/32) = 240/32 =7,5 α 2 =E(X 2 )- 2 =7,5-(2,5) 2 =1,25 jadi SD= 1,25 =1.11 Bila g(x,y) =(x-x)(y-y) dengan x=e[x] dan y =E[Y] maka akan menghasilkan suatu nilai harapan khusus yang disebut kovariasi atau keragaman X dan Y yang diberikan notasi αxy atau kov (xy) jadi αxy=e[(x-x)(y-y)] = E[(xy-yx-xy+xy)] =E[xy]-yE[x]-xE[y]+xy =E[xy]-2yx+ xy =E[(xy)-xy Jadi αxy = kov (xy) =E[XY]- xy Harga kovariasi tergantung pada satuan pengukuran X dan Y biasanya kita menginginkan suatu ukuran yang menyatakan hubunga dua peubah yang tidak tergaantung dari pada satuan ukurannya. Hal ini dapat diperoleh denagn membagi kovariasinya denagn standar deviasi peubah X dan Y 139

155 Ukuran hubungan yang diperoleh dinamakan koefisien korelasi antara peubah X dan Y yang diberikan notasi kor (X<Y) atau r Jadi : Kor (X,Y) = r = Kov (XY) αx αy 5.4. Sifat-sifat Koefisien korelasi (r) Kor (X,Y) adalah bilangan yang harganya antar -1 dan 1 (- 1 r 1). Harga -1 dan 1 dicapai bila hubungan peubah X dan Y sangat erat yaitu sebagai suatu garis lurus dengan koefisien arah negative dan positif Kor (X,Y) tidak berubah apabila peubanya ditambah ata dikalikan bilangan konstan yang tandanya sama. Misalnya Z= 5x + 2 dan v=2y+3 maka Kor(Z,V) =Kor(X,Y). Analisis korelasi banyak jenisnya, ada sembilan jenis korelasi yaitu : Korelasi pearson Product Moment (r) ; Korelasi Ration (y); Korelasi Spearman Rank atau Rhi ( r s atau p); Korelasi Berserial (r b ); Korelasi Korelasi Poin Berserial (r pb ); Korelasi Phi (0); Korelasi Tetrachoric (r t ); Korelasi Kontigency (C); Korelasi Kendall s Tau (8), Bagaimana cara menggunakannya? tergantung pada jenis data yang dihubungkan. Berdasarkan sembilan teknik analisis korelasi tersebut, maka dipilih dan dibahas ialah Korelasi Pearson Product Moment (r) karena sangat populer dan sering dipakai oleh mahasiswa dan peneliti. Korelasi ini dikemukakan oleh Karl Pearson tahun Kegunaannya untuk mengetahui derajat hubungan dan kontribusi variabel bebas (independen) dengan variabel terikat (dependent). 140

156 r xy { n n XY ( X )( Y) X ( X ) }{ ny ( Y) 2 } Korelasi dilambangkan (r) dengan ketentuan nilai r tidak lebih dari harga (-1< r < + 1). Apabilah nilai r = -1 artinya korelasinya negatif sempurna; r = 0 artinya tidak ada korelasi dan r = 1 berarti korelasinya sangat kuat. Sedangkan arti harga r akan dikonsultasikan dengan tabel interpretasi nilai r sebagai berikut. Interpretasi Koefisien Korelasi Nilai r Interval Koefisien Tingkat Hubungan 0,80 1,000 0,60 0,799 0, ,20 0,399 0,00 0,199 Sangat Kuat Kuat Cukup Kuat Rendah Sangat Rendah Selanjutnya untuk menyatakan besar kecilnya sumbangan variabel X terhadap Y dapat ditentukan dengan rumus koefisien diterminan sebagai berikut. KP = r 2 x 100% Dimana KP r = Nilai Koefisien Diterminan = Nilai Koefisien Korelasi 141

157 Pengujian lanjutan yaitu uji signifikansi yang berfungsi apabila peneliti ingin mencari makna hubungan variabel X terhadap Y, maka hasil korelasi tersebut diuji dengan uji Signifikansi dengan rumus : t hitung r n 2 1 r 2 Dimana: t hitung = Nilai t r n = Nilai Koefisien korelasi = Jumlah Sampel Contoh Hitung hubungan antara motivasi dengan Kinerja Dosen STAI Daruttaqwa Gresik Motivasi (X) : 60; 70; 75; 65; 70; 60; 80; 75; 85; 90; 70; dan 85 Kinerja (Y) : 450; 475; 450; 470; 475; 455; 475; 470; 485; 480; Pertanyaan ; 475;dan 480. a. Berapakah besar hubungan motivasi dengan kinerja dosen? b. Berapakah besar sumbangan (kontribusi) motivasi dengan kinerja dosen? c. Buktikan apakah ada hubungan yang signifikan motivasi dengan kinerja dosen? 142

158 Jawab Langkah-langkah menjawab: Langkah 1. Membuat Ha dan Ho dalam bentuk kalimat : Ha : ada hubungan yang signifikan motivasi dengan kinerja dosen. Ho : Tidak ada hubungan yang signifikan motivasi dengan kinerja dosen. Langkah 2. Membuat Ha dan Ho dalam bentuk statistik; Ha μ r 0 Ho : r = 0 Langkah 3. Membuat tabel penolong untuk menghitung Korelasi PPM: No X Y X 2 Y 2 XY

159 Statistik X Y X 2 Y 2 XY Jumlah Langkah 4. Mencari r hitung dengan cara masukkan angka statistik dari tabel penolong dengan rumus ; r xy r xy { n n XY ( X )( Y) X ( X ) }{ ny ( Y) 12( ) (885).(5.460) 2 2 {12.(66.325) (885) }.{12.( ) (5.640) } 2 } 144

160 r xy ,02 0,465 Langkah 5. Mencari besarnya sumbangan (konstribusi) variabel X terhadap Y dengan rumus : KP = r 2 x 100% = 0,465 2 x 100% = 21,62 %. Artinya motivasi memberikan konstribusi terhadap kinerja dosen sebesar 21,62% dan sisanya 78,38% ditentukan oleh variabel lain. Langkah 6. Menguji signifikan dengan rumus t hitung : t hitung r n 2 1 r 2 0, ,684 2,15 3,329 0,88 Kaidah pengujian : Jika t hitung t tabel, maka tolak Ho artinya signifikan dan t hitung t tabel, terima Ho artinya tidak signifikan. Berdasarkan perhitungan di atas, α = 0,05 dan n = 12, uji dua pihak; dk = n - 2 = 12 2 = 10 sehingga diperoleh t tabel = 2,228 Ternyata t hitung lebih besar dari t tabel, atau 3,329 > 2,228, maka Ho ditolak, artinya ada hubungan yang signifikan motivasi dengan kinerja dosen. 145

161 Langkah 7. Membuat kesimpulan 1. Berapakah besar hubungan motivasi dengan kinerja dosen? r xy sebesar 0,465 kategori cukup kuat. 2. Berapakah besar sumbangan (konstribusi) motivasi dengan kinerja dosen? KP = r 2 x 100% = 0,465 2 x 100% = 21,62%. Artinya motifasi memberikan konstribusi terhadap kinerja dosen sebesar 21,62% dan sisanya 78,38% ditentukan oleh variable lain. 3. Buktikan apakah ada hubungan yang signifikan motivasi dengan kinerja dosen? terbukti bahwa ada hubungan yang signifikan motivasi dengan kinerja dosen. Ternyata t hitung lebih besar dari t tabel, atau 3,329 > 2,228, maka Ho ditolak, artinya ada hubungan yang signifikan motivasi dengan kinerja dosen Sifat-Sifat Ragam/Variasi Bila dimisalkan g(x) sebagai fungsi peubah acak X maka rata-rata dan variasi g(x) akan dinyatakan denagn g (x) dan α 2 g(x) Teorema : misalkan X peubah acak denagn sebaran peluang f(x) maka variasi g(x) adalah : Var [g(x)] = E[{g(x) g (x)} 2 ] (sesuai dengan teorema ragam) 146

162 Teorema ; Bila X suatu peubah acak dan b suatu konstanta atau tetapan maka : α 2 (x+b) = α 2 x =α 2 Bukti: α 2 (x+b) = E[{x+b) (x+b) } 2 ] Oleh karena (x+b) = E[X+b] =E[X] + b = + b Sehingga μ α 2 (x+b) = E[(X + b -b) 2 ] = E[(X ) 2 ] = α 2 Rumus/teorema ini menyatakan bahwa ragam /variasi tidak berubah bila suatu konstanta/tetapan ditambahkan ke ataupun dikurangkan dari suatu peubah acak. Penambahan atau pengurangan suatu konstanta hanyalah mengeser harga x ke kanan ata kekiri dan tidak akan mengubah ragamnya. Teorema : Bila X suatu peubah acak digandakan denagn a dan a adalah suatu konstanta maka : α 2 ax =a 2 α 2 x =a 2 α 2 (coba buktikan pembaca membuktikan ) Teorema ini menyatakan bila suatu peubah acak dikalikan atau dibagi denagn suatu konstanta maka variasinya dikalikan atau dibagi denagn kuadrat konstanta tersebut Teorema : Bila X dan Y peubah acak denagn sebaran peluang gabungan f(x,y) maka α 2 a +by =a 2 α 2 x +b 2 α 2 y +2abα 2 xy 147

163 Contoh Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah mangga yang harus diambil oleh Dilla dari dalam tas yang berisi 4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah sekaligus! Jawab Distribusi peluangnya adalah : E[ X ] E[ X 2 ] 2 Jadi Contoh x x xf ( x) 24 7 x f ( x) Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan sebagai : 2( x 1) f ( x) 0 1 x 2 untuk x laiinya hitunglah Rataan dan Variansi 148

164 149 Jawab ) ( ( ) ( 2 1) ( 2 ] [ x x dx x x dx X X X E ) ( dx x x X E Sehingga diperoleh rataan 3 5 ) ( X E dan varians Teorema chebyshev Dalam suatu peubah acak memberikan gambaran mengenai penyebaran pengamatan disekitar nilai tengahnya. Bila variasi ataupun aimpangan baku suatu peubah acak kecil nilainya maka umumnya pengamatan mengelompokkan dekat disekitar nilai tengahnya,sebaliknya jika variasi ataupun simpangan bakunya semakin besar nilainya maka umumnya pengamatan lebih menyebar /jauh dari nilai tengahnya. Keadaan ini berlaku pada sebaran diskret maupun kontinu. Perbandingan tersebut dapat digambarkan dengan kurva berikut ;

165 Gambar penyebaran pengamatan peubah acak kontinu disekitar nilai tengah disini αx<αy Chebyshev,seorang matematikawan berkebangsan rusia menemukan bahwa bagian paling luas dua nilai tengahnya berkaitan denagn simpangan bakunya. Karena luas dibawah sebaran peluang peubah acak sama denagn 1 maka luas antara bilangan sembarang menyatakan peluang peubah acak yang bersangkutan mendapat nilai antara kedua bilangan tersebut. Teorema Chebyshev menyatakan bahwa peluang setiap peubah acak X mendapat nilai k simpangan baku dari nilai ratarata adalah paling sedikit (1-1/k 2 ) yaitu : P( kα <X<+kα 1-1/k 2 Teorema tersebut memberikan taksiran yang berhati-hati (konservatif) tentang peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam jarak kesimpangan baku dari harga rata-rata. Misalkan untuk k=2 teorema menyatakan bahwa peubah acak X mempunyai peluang paling sedikit 1-1/2 2 =3/4 mendapat nilai dalam jarak dua simpangan baku dari nilai rata-rata. Yaitu ¾ atau lebih pengamatan setiap sebaran terletak dalam selang ± 2α 150

166 Contoh Suatu peubah X mempunyai rata-rata =8 dan ragam α 2 =9 sedangkan sebaran tidak diketahui Hitunglah P(-4 < X <20) dan P ( x-8 >6) Jawab P(-4<X<20) = P(8-(4)(3)<X<8 + (4)(3) Dalam hal ini digunakan k=4 maka P(-4<X<20) 1-1/4 2 P(-4<X<20) 15/16 P( x -8 ) >6 = 1-P( x - 8 <6) P( x -8 ) >6 = 1-P( -6<x -8<6) P( x -8 ) >6 = 1-P( 8-6<x<8 +6) P( x -8 ) >6 = 1-P( 8-(2)(3)<x<8 + (2)(3) Dalam hal ini diperoleh/digunakan k=2 maka : P( x -8 ) 1-(1-1/2 2 ) P( x -8 ) 1-1-1/4 P( x -8 ) 1/4 Teorema Chebyshev berlaku untuk setiap sebaran pengamatan oleh karena itu hasilnya biasanya lemah. Hasil yang diberikan teori tersebut hanyalah batas bawah. Yaitu kita tahu bahwa peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam jarak dua simpangan baku dari harga rata-rata tidak mungkin kurang 151

167 dari ¾. Tetapi kita tidak tahu lebih dari itu (nilai sesunguhnya) hanya bila sebaran peluangnya diketahui baru peluangnya yang tetap dapat ditentukan Rangkuman Pada nilai harapan maka dalam suatu percobaan tentu ada hasil yang diharapkan. Untuk mendapatkan hasil yang baik dan kesimpulan hasil yang akurat, maka percobaan statistika tersebut dilakukan berulang kali. Hal tersebut dimaksudkan untuk memperoleh suatu hasil yang benar-benar mendekati,sehingga kesimpulan yang dihasilkan valid. Ukuran yang menyatakan harapan dari hasil yang dapat diperoleh dari suatu percobaan statistika dinyatakan secara matematis sebagai ekspektasi matematika. Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan X atau harapan matematika X didefinisikan sebagai E( X ) xf ( x) x. f ( x) dx Jika X diskret Jika X kontinu Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka nilai harapan matematik fungsi g(x,y) ditentukan oleh E g x x g g x x f f x x dx,. Jika x diskret, Jika x kontinu 152

168 LATIHAN 1. Seratus ekor anjing yang sedang beranak dicatat periode kelahiranya sebagai peubah acak X dan jumlah anaknya sebagai peubah acak Y datanya seperti tabel berikut : Hitunglah: a. rata-rata anak anjing yang lahir dari seekor induknya. b. Ragam peubah acak X dan Y c. Korelasi (X,Y) 2. Beradasarkan hasil penelitian didapatkan bahwa perkawinan antara ayam buras jantan berbulu putih denagn ayam buras betina berbulu hitam anak ayam yang menetas terdiri atas 15%putih, 20 % hitam dan 65% bulu campuran (warna lain) Sedangkan jenis kelaminnya 60%jantan. Jika warna bulu dianggap e=sebagai peubah X dan jenis kelamin sebagai peubah Y hitunglah 153

169 a. E[X] dan E[Y] b. Keragaman peubah acak X dan Y c. Kovariasi (XY) d. α 2 x+y e. α 2 2x-2y 3. Suatu peubah acak X mempunyai 12 dan ragam 4 denagn menggunakan teorema Chebushev hitunglah : a. P ( x-12 3) b x-12 <3) c. P(6<x<16) d. harga c sehingga P( x-12>c ) 0,04 DAFTAR PUSTAKA 1. Matematika Teknik 2 nd Edition. JA.Kastroude, Prentice Hall K.H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, McGraw-Hill, New York, 5 th Edition, K.A. Ross, C.R.B. Wright, Discrete Mathematics, Prentice-Hall, New Jersey, 4 th Edition, V. Bryant, Aspect of Combinatorics: A wide-ranging introduction, Cambridge Univ. Press, Great Britain, Djarwanto, dkk Statistik Induktif. BPFE :Yogyakarta 6. Harinaldi Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Erlangga : Jakarta. 154

170 7. ftp.gunadarma.ac.id/handouts/s1.../probabilita%20dan%20statis tika.doc 8. Drs. Ach. Nur Syamsudin, M.Pd. bahan ajar, pearson-prod xa.yimg.com/kq/groups/ / /name/binomnenny.doc 155

171 156

172 BAB VI SEBARAN PELUANG DISKRET 157

173 BAB VI SEBARAN PELUANG DISKRET Tujuan Intruksional Umum 1. Mahasiswa mampu menjelaskan dan menanalisa hasil penentuan eksperimen acak meliputi prosedur, observasi dan model 2. Mahasiswa mampu mengidentifikasi ruang sampel dan event dari eksperimen acak Tujuan Intruksional Khusus 1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar tentang eksperimen acak dan penentuan ruang sampel serta event dari suatu eksperimen tersebut. 2. Mahasiswa mampu dan paham definisi tentang eksperimen acak, ruang sampel dan event tersebut dilengkapi dengan beberapa contoh yang berguna untuk memberikan penjelasan secara utuh tentang konsep- konsep tersebut Sebaran Seragam Pada sebaran peubah acak akan dihasilkan dari percobaan statistika mempunyai sifat-sifat yang sama dan pada dasarnya dapat dinyatakan dalam sebaran peluang yang sama. Dalam bab ini akan dibahas beberapa sebaran peluang diskret yang sering muncul dalam percobaan statistika. Sebaran peluang diskret yang paling sederhana ialah sebaran yang peubah acaknya 158

174 memperoleh semua harga denagn peluang yang sama sebaran peluang semacam ini disebut sebaran seragam atau uniform. Bial peubah acak X mendapat harga x1,x2,..xk dengan peluang yang sama maka sebaran seragam disket diberikan oleh f(x;k) =1/k, X=x1,x2,..xk Notasi f(x:k) dipakai sebagai penggati f(x) untuk menunjukkan bahwa sebaran seragam tersebut bergantung atas parameter k. Rata-rata dan variasi sebaran seragam disket f(x;k) adalah : k =1/k Xi dan α 2 k = 1/k i1 i1 (xi ) 2 Contoh : Bila sebuah dasu dilantunkan maka tiap ekemen ruang sample S =(1,2,3,4,5,6) muncul dengan peluang yang sama yaitu 1/6 Jadi merupakan sebaran seragam f( x:6) =1/6 disini x= 1,2,3,2,3,4,5,6 Demikian juga misalkan kita memilih 5 ekor anak ayam betina secara acak dari seekor induk yang mempunyai 6 ekor anak betina. Banyaknya kombinasi yang mungkin = ( 6 5) = 6 kombinasi karena satiap anak ayam mempunyai peluang yang sama untuk terpilih berarti sebaran sampelnya mengikuti sebaran saragam f(x;6=1/6 untuk X=1,2,3,4,5,6 159

175 Kedua contoh diatas mempunyai gambar histogram sebagai berikut : Gambar 6.1 histogram dari sebaran seragam f(x:6) =1/ Sebaran Binomial dan Multinomil Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa uaha/trial,bial setiap usaha memberikan hasil salah satu dari dua kemungkinan yang dinamakan sukses atau gagal, maka percobaan demikian disebut percobaan binomial. Dalam percobaan binomial pendifinisian atau menentukan kejadian sukses harus jelas dn kita dapat menentukan atau memilih salah satu hasil sebagai sukses. Misalkan pada pelantunan 3 mata uang yang seimbang maka muncul salah satu muka kita sebut kejadian sukses, demikian pula kekahiran anak sapi perah, bila lahir anak betina bisa disebut suatu kejadian sukses. Syarat-syarat suatu percobaan binomial adalah sebagai berikut : 160

176 1. percobaan terdiri atas n usaha yang berulang 2. tiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan dengan sukses atau gagal. 3. peluang sukses dinyatakan denagn p tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha berikutnya. 4. tiap usaha bebas denagn usaha lainnya. Pandanglah suatu percobaan binomial pemeriksaan tiga sample tinja ayam mengenai ada tidaknya cacing. Bila diketemukan cacing pada ayam tinja tersebut dianggap sukses dan berdasarkan teori atau hasil penelitian, peluang ditemukannya cacing tersebut p=0,75=3/4 Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak yang harganya adalah bilangan bulat dari 0 sampai 3 Kedelapan hasil yang mungkin harga x dan peluangnya disajikan dalam tabel berikut: Catatan T (tidak diketemukan cacing atau gagal) C(ditemukan cacing atau sukses) 161

177 Sebaran peluang diatas dapat disajikan lebih ringkas seperti tabel dibawah ini : Sebaran acak binomial yang menggambarkan banyaknya sukses x dan N usaha diberikan notasi b(x;n,p), karena nilai sebaran ini tergantung dari banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p) Jadi untuk contoh diatas sebaran peluang X bila X menyatakan kemungkinan ditemukannya 2 sampel berisi cacing dari tiga sample tinja ayam adalah P(X=2) =f(x) =b(2;3,3/4)=27/64 Jika percobaan bernoulli sebanyak N kali secara independen, x = menghasilkan peristiwa A dan sisanya (N x) = A. Jadi 1 P = P( A ), maka peluang terjadinya peristiwa A sebanyak X = R kali di antara N, dihitung oleh: Dimana: P( R) C N x x P Q N x P(R)=peluang terjadinya sebesar R untuk N kejadian. N = jumlah kejadian. R = jumlah kejadian yang diharapkan =0,1,2,,n P = peluang terjadinya kejadian (parameter distribusi) Q = peluang kegagalan (tidak terjadi) = 1-P 162

178 C N x N!, jumlah kombinasi N dan x pada 1 (satu) x!( N x)! satuan waktu dengan N!= (N-1).N dan 0!=1. Parameter distribusi binomial antara lain adalah: (1) rata-rata hitung (mean) NP 2 (2) Variansi NPQ (3) Deviasi standar NPQ (4) Kemencengan CS 3 3 Q P NPQ 1 6PQ (5) Koefisien Kurtosis CK 3 NPQ Untuk N tak hingga, maka distribusi binomial cendrung menjadi fungsi normal. Contoh : (1) Peluang untuk mendapatkan 6 muka G ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang homogin sebanyak 10 kali adalah : P (R = 6) = C 10 6 ( ½ ) 6 ( ½ ) 4 = (210) ( ½ ) 10 = 0,2050 Dengan R = jumlah muka G yang nampak 163

179 (2) Undian dengan menggunakan 10 buah dadu homogin sekaligus. Berapa peluang nampaknya mata 6 sebanyak 8 buah, yaitu: P (mata 6) = 1/6 dan disini N = 10, R = 8 dimana R berarti muka bermata 6 nampak disebelah atas, maka : P (R=8) = 10 C 8 (1/6) 8 (5/6) 2 = 0, Berarti undian dengan 10 dadu akan diperoleh mata 6 sebanyak 8 kali, terjadi kira-kira 15 dari tiap sejuta. (3) 10 % dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A : Jawab: a. semuanya, b. sebuah, c. dua buah, d. paling sedikit sebuah, e. paling banyak dua buah f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori A. a. Artikan R = banyak benda kategori A. Peluang benda termasuk kategori A = 0,10. Semuanya tergolong kategori A R =

180 b. P (R = 30) = 30! 30!(30 30)! (0,10) 30 (0,90) 0 = Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol. c. Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1 P (R = 1) = 30! 1!(30 1)! (0,10) 1 (0,90) 29 = 0,1409 Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A = 0,1409 d. Disini X = 2, sehingga : P (R = 2) = 30! 2!(30 2)! (0,10) 2 (0,90) 28 = 0,2270 e. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti X = 1, 2, 3,.., 30. Jadi perlu P(R = 1) + P(R = 2) + + P(R = 30). Tetapi P(R = 0) + P(R = 1) + + P(R = 30) = 1, sehingga yang dicari = 1 P(R = 0). P(R= 0) = 30! (0,10) 0 (0,90) 30 = 0, !(30 0)! Jadi, peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A = 1 0,0423 = 0,9577 f. Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti R= 0, 1, 2. Perlu dicari P(R = 0) + P(R = 1) + P(R = 2) = 0, , ,2270 = 0,

181 g. = 30 (0,1) = 3 artinya, rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang terdiri atas 30 Distribusi multinomial ialah perluasan dari distribusi binomial. Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwaperistiwa E 1, E 2,, E k dengan peluang 1 = P(E 1 ), 2 = P(E 2 ),, k = P(E k ). Terhadap eksperimen ini kita lakukan percobaan sebanyak N kali. Maka peluang akan terdapat x 1 peristiwa E 1, x 2 peristiwa E 2,, x k peristiwa E k diantara N, ditentukan oleh distribusi multinomial berikut : P(x 1, x 2,, x k ) = N! x1 x2 x k k x! x!... x! 1 2 k x 1 + x x k = N dan k = 1, 0 < I < 1, i = 1, 2,, k. Eskpektasi terjadinya tiap peristiwa E 1, E 2,, E k berturut-turut adalah N 1, N 2,, N k Variansnya N 1 (1-1 ), N 2 (1-2 ),, N k (1 - k ). Contoh : 1) Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang terdapat mata 1, mata 2, mata 6 masingmasing tepat dua kali adalah 12! 2!2!2!2!2!2! 1/ 6 2 1/ 6 2 1/ 6 2 1/ 6 2 1/ 6 2 1/ 6 2 = 0,

182 2) Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh mesin C. kecuali dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya mengenai barang tersebut sama. Sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya dilihat, lalu disimpan kembali kedalam kotak. Tentukan peluang diantara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian terdapat 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C. Jawab : Jelas bahwa P (dari mesin A) = 12 3, P (dari mesin B) = 12 4 dan P (dari mesin C) = 5/12. Dengan rumus di atas didapat: P (1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C) = 6! 1!2!3! = 0, Sebaran Hipergeometrik Untuk mempelajari sebaran hipergeometrik kita perhatikan contoh berikut. Dalam sebuah kandang berisi 50 ekor anak itik 10 ekor diantranya jantan dan sisianya betina seorang peternak mambenli 3 ekor anak itik diambil secara acak dari kandang itu (jadi pengambilan tanpa pengembalian ) dan kemudian diadakan sexing terhadap anak itik yang telah diambil/dibeli. Apakah anak itik yang telah diambil jantan atau betina yang terambil jiak jantan yang diambil pembeli 167

183 mengangap sukses dan kita berikan lambang x maka nilia numeric x = 0,1,2,atau 3 Secara lebih umum dapat kita pandang persoalan diatas sebagai berikut. Misalkan dalam kandang tersebut a ekor anak itik jantan, dan b ekor anak itik betina,sehingga seluruh itik yang ada N =a + b ekor jadi b = N-a kita ambil tanpa pengembalian n ekor (1 n N) sedemikian hingga ( N n) himpuna bagian mempunyai peluang yang sama yaitu ( 1 N) akan terambil jadi ada N benda yang terdiri dari a benda yang akan diberi nama sukses sedangkan sisanya N-a diberi nama gagal.umumnya yang akan dicari adalah peluang memilih x sukses dari sebanyak a yang tersedia dan n-x gagal dari sebanyak N-a yang tersedia. Bila sample ukurannya n diambil N benda. Ini dikenal percobaan hipergeometrik denagn sifat-sifat sebagai berikut : 1. sample acak ukuran n diambil dari N benda 2. sebanyak a benda dapat nama sukses sedangkan sisanya N-a diberi nama gagal. Banyaknya X dalam percobaan hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik dan diberi notasi h(x;n,n,a) disini : a h(x;n,n,a) = ( x )( n N x a ) /( N n ) Jadi kemungkinan anak itik jantan yang terambil dapat diselesaikan denagn rumus sebaran hiepergeometrik:. h(0;50,3,10) = ( 10 )( ) / 50 ( 3 ) = h(1;50,3,10) = ( )( 1 )/( ) =

184 h(2;50,3,10) = ( 10 )( ) / 50 ( ) = h(3;50,3,10) = 10 )( ( ) /( 3 ) = Dalam bentuk tabel dapat disajikan sebagai berikut : Dari contoh diatas kita dapat mencari nilai tengah () dan ragamnya (α 2 ) sebagai berikut : = 0(0,504) +1(0,393) +2(0,092)+3(0,006) = 0,6 α 2 = {(0 2 (0,504)+1 2 (0,393) +3 2 (0,006)}-0,6 2 = 0,46 Dapat dicari rumus untuk menghitung nilai tengah () dan ragamnya (α 2 ) sebagai berikut : = n N a dan α 2 = n N a (1- N a ) [(N-n)/(N-1)] Jadi μ = (3)(10/50)=0,6 α 2 = (3)(10/50)(1-10/50)[(50-3)/(50-1)] = (0,6)(0.8)(959) =0,46 Rumus nilai tengahdan ragam identik denagn rumusrumus untuk sebaran binomial bila n kecil dibandingkan N maka peluang penarikan/pengambilan hanya berubah cukup kecil.jadi 169

185 pada dasarnya percobaan adalah binomial sehingga sebaran hipergeometrik dapat dihampiri denagn sebaran binomial denagn p=a/n Jadi nilai tengah dan ragamnya dapat pula dihampiri denagn rumus sebagai berikut = np = n a/n dan α 2 =npq= n a/n(1-k/n) jadi terlihat rumus nilai tengah sama sedangkan rumus ragam ada perbedan denagn factor koreksi [N-n)/(N-1)] basarnya factor koreksi dapat diabaikan jika n cukup kecil bila dibandingkan denqagn N atau jika N cukup besar dibandingkan n. Contoh Dalam program vaksinasi ayam buras disuatu propinsi dikirim 1000 ampul vaksin diantaranya terdapay 200 ampul yang rusak bila pada suatu desa mendapat jatah 5 ampul berapa peluangnya terdapat satu ampul yang rusak Jawab Karena n =5 cukup kecil dibandingkan dengan N=1000 maka peluangnya dapat dihampiri dengan menggunakan sebaran binomial jadi peluang mendapatkan 1 ampul vaksin yang rusak adalah h(1 1000,5,200) = b(1;5,0,2) ( 200 )( ) = ( 5)(0,2) 1 (0,8) 5-1 ( ) 170

186 0,407λ = 0,4096 Jadi peluangnya bisa didekati dengan 0, Sebaran Poisson Percoban yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numeric yaitu banyaknya sukses dalam selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu disebuit percobaan poisson panjang selang waktu tertentu dapat berupa apa saja, bis saja semenit, sehari,seminggu,sebulan setahun dan sebagainya. Seperti pada peubah acak binomial X yang menunjukkan banyaknya sukses dalam n usaha independent, namun pada peubah acak Poisson terjadi bila n cukup besar, tetapi p sangat kecil mendekati 0. Dalam hal ini misalnya X mungkin menyatakan tikus sawah dalam sehari yang matai,banyaknya bakteri pathogen yang tumbuh pada suatu media dalam waktu tertentu dan sebagainya. Perhatikan sebaran peluang peubah acak binomial mx yaitu : f(x) =P(X=x) = ( n ) p x (1-p) n-x x=0,1,..,n. x Misalkan n cukup besar tetapi p sangat kecil mendekati nol (p 0) misalkan hasil kali p denagn n kita tulis =np sehingga p =/n. maka nilai tengah dan ragamnya dapat kita tulis : = dan α 2 = (1-/n) Jika dibuat konstan n diperbesar dan p mendekati 0 ( sehingga p =/n 0) maka ragamnya akan mendekati harga konstan yaitu α= Jadi untuk peubah acak binomial X dengan n cukup besar 171

187 dan p mendekati nol dan np= maka nilai tengah dan ragamnya keduanya akan mendekati harga yang sama yaitu sebagai contoh misalkan =2 maka peubah acak binomial dengan : n = 4 p=0,5 maka =4(0,5) =2 α 2 =2(0,5) =1,0 n = 20 p=0,1 maka =20(0,1) =2 α 2 =2(0,9) =1,8 n = 100 p=0,02 maka =100(0,02) =2 α 2 =2(0,98) =1,96 n = 300 p=0,01 maka =300(0,01) =2 α 2 =2(0,99) =1,98 jadi jika n bertambah besar dan np diambil konstan maka dan α 2 keduanya mendekati limit yang memuat dan x. hal ini dapat ditunjukkan memang demikian adanya. Jika np= dan n cukup besar maka untuk sembarang harga tertentu x, maka fungsi peluang f(x) =P9X=x) = ( x n)(/n) x (1-) n-x harga fungsi peluang ini mendekati suatu limit seperti rumus berikut : f(x) = P(X=x) = e - x, disni e= 2,71828 x! sebaran peubah acak ini disebut sebaran poisson dan dinyatakan denagn P(x ) karena nilainya hanya tergantung dari x dan yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu dan oleh karena = maka f(x) =P(X=x) = e - x ; x=0,1,2,.. x! nilai-nilai sebaran poisson telah disajikan dalam tabel (lihat lampiran) 172

188 Contoh Berdasarkan teori/penelitian banyaknya telur cacing hati yang menetas dalam air yang mengandung Furadan dengan konsentrasi 2 gram/liter sebanyak 2 butir telur dari 100 butir telur yang ditetaskanbila kita juga menetas dengan cara yang sama berapa peluang bahwa : a. 4 butir telur yang menetas b. Antara 0 dan 4 (0<x<4) yang menetas Jawab Jadi x= 4 dan =2, maka coba lihat tabel poisson) P(4;2) = e = (0,1353)(16) = 2,1648 =0,0902 4! Σ P(x 2) =P(1 2) + Pλ2 2) + Pλ3 2) x=1 = 0, , , = 0, Distribusi Poisson dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binomial. N cukup besar dan P(A), sangat dekat kepada nol sehingga = Np tetap, distribusi binomial menjadi distribusi Poisson, dilakukan pendekatan N 50 sedangkan Np < 5. Dirumuskan menjadi: R e P( R) dimana: R! P(R) = peluang terjadinya sebesar R dalam jumlah kejadian N. 173

189 R = jumlah kejadian yang diharapkan =0,1,2,,N = rata-rata hitung (mean) distribusi Poisson. N = jumlah kejadian. e = 2,71828 Dengan parameter statistiknya sebagai berikut:: (1) Rata-rata hitung (mean) NP 2 (2) Variansi NPQ (3) Deviasi standar NPQ (4) Kemencengan CS Q P NPQ Contoh 1 6PQ (5) Koefisien Kurtosis CK 3 NPQ 1) Banyak orang yang lewat melalui muka pasar setiap hari, tetapi sangat jarang terjadi seseorang menemukan barang hilang dan mengembalikannya kepada si pemilik atau melaporkannya kepada polisi. 2) Dalam tempo setiap 5 menit, operator telepon banyak menerima permintaan nomor untuk disambungkan, diharapkan jarang sekali terjadi salah sambung. 3) Misalkan rata-rata ada 1,4 orang buta huruf untuk setiap 100 orang. Sebuah sampel berukuran 200 telah diambil. 174

190 4) Jika R = banyak buta huruf per 200 orang, maka untuk kita sekarang = 2,8. Contoh Peluangnya tidak terdapat yang buta huruf adalah : 2,8 0 e ( 2,8) 2, 8 P(R=0) = e 0, ! Sedangkan peluang terdapatnya yang buta huruf sama dengan ( ) = 0,9392. Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik = 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang yang mendapat reaksi buruk: a) tidak ada b) ada 2 orang c) lebih dari 2 orang, dan d) ada berapa orang akan mendapat reaksi buruk. Jawab a) Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson kepada distribusi binomial, maka = Np = 4000 X 0,0005 = 2. R = banyak orang yang mendapat reaksi buruk akibat suntikan, maka: e P(R=0) = 0, ! 175

191 b) Dalam hal ini X = 2, sehingga : e P(R=2) = 0, ! Peluang ada 2 orang mendapat reaksi buruk ialah 0,2706. c) Yang menderita reaksi buruk lebih dari 2 orang, ini berarti X = 3, 4, 5,.... Tetapi P(R=0) + P(R=1) +... = 1, maka P(R=3) + P(R=4) +... = 1- P(R=0)- P(R=1) P(R=2). Harga-harga P(R=0) dan P(R=2) sudah dihitung di atas e P(R=1) = 0, ! Peluang yang dicari = 1 (0, , ,2706) = 0,3235. d) Tiada lain diminta menentukan rata-rata, yaitu = 2. Contoh Aplikasi: Dalam suatu DPS dibangun dam pengendali banjir dengan umur bangunan 100 tahun. Berapa peluang terjadinya banjir 550 m 3 /det dengan priode ulang 200 tahun selama priode umur dam tersebut, apabila ditentukan dengan Distribusi Poisson? Jawab Priode ulang banjir 200 tahun, maka peluang terjadinya 1 kali banjir adalah: 1 1 P 0,005, dan NP 100.0,005 0, 5 T

192 sehingga: R e 1 0,5 0,05.2,71828 P( R) = 0, 308 R! 1! Artinya, pada DPS itu dengan umur dam pengendali banjir 100 tahun, selama priode umur tersebut akan terjadi banjir priode 200 tahun dengan peluang 0,308%. 6.5 Sebaran Binomial Negatif dan Geometrik Percobaan binomial negative adalah suatu percobaan yang berbagai sifatnya sama dengan percobaan binomial, kecuali bahwa disini usaha diulang sampai terjadi sejumlah sukses tertentu.jadi jika n tetap maka ingin diketahui peluang bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke x. Sebagai contoh dalam usaha meningkatkan mutu ternak sapi Bali dan efisiensi penguunaan pejantan maka dilakukan kawin suntik atau inseminasi buatan (IB). jika diketahui keberhasilan IB 60 % ingin dicari peluang sapi betina yang ke 7 yang di Ib. nyatakan sapi Bali betina yang bunting (sukses) denagns dan yang gagal atau tidak beruntung denagng maka salah satu kemungkinan adalah SSGSSGS Kemungkinan susunan lain dari S dan G dapat disusun sedemikian rupa asalkan memenuhi syarat yang terakhir harus S (sukses) yang ke lima. Jumlah semua urutan yang mungkin sama dengan banyaknya cara memisahkan (menyekat keenam usaha yang pertama menjadi dua kelompok yaitu kelompok pertama mengandung dua G dan kelompok ke dua yang mengandung empat S jadi ada ( 6 ) =15 cara yang berlainan itu 4 177

193 yaitu : GGSSSSS, GSGSSSS, GSSGSSS, GSSSGSS, GSSSSGS SGGSSSS, SGSGSSS, SGSSGSS, SGSSSGS, SSGGSSS, SSGSGSS, SSGSSGS, SSSGGSS, SSSGSGS, SSSSGGS Jadi merupakan peluang mendapatkan 4 kejadian sukses p=0,6 dari 6 kejadian yang terjadi karena kejadian yang ke 7 selalu sukses. Sehingga dapat dihitung besar peluang denagn sebaran binomial sebagai berikut \; b(4;6,0,6) = ( 6 ) (0,6) 6 (0,4) 4-2 = 0,112 4 Sebaran ini sangat menyerupai sebaran binomial sehingga disebut sebaran binomial negative dan diberikan notasi atau lambing b* (x,k,p) Berdasarkan ilustrasi diatas maka bila usaha yang saling bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal denagn peluang q=1 p maka sebaran peluang acak X yaitu banyaknya usaha yang tepat pada sukses ke k adalah : b * (x; k,p) = ( x - 1 ) p k q x-k disini x =k, k+1, k+2, k - 1 Contoh Seekor sapi bali yang diperiksa kesehatannya mungkin jinak (berhasil diperiksa) mungkin juga liar (gagal diperiksa )kemungkinan berhasil atau gagal adalah sama yaitu 0,5 tergantung dari cara pemeriksaannya. Jika seorang doketr hewan memeriksa dengan cara tertentu berapa peluanng sapi yang ke 5 dalam keadaan jinak yang kedua : 178

194 Jawab Dengan menggunakan sebaran peluang binomial negatip maka x=5,k=2 dan p=0,5 Sehingga : 5 - b * (5; 2,0,5) = ( ) (0,5) 2 (0,5) 5-2 =0,125 Pada sebaran binomial negatip yang bersifat khusus dimana k=1 maka diperoleh sebaran peluang denagn satu S didalam sejumlah usaha yang dilakukan.misalkan pada contoh diatas yaitu pada pemerikasaan kesehatan 5 ekor sapi Bali. Seandainya 4 ekor sapi yang diperiksa gagal/tidak mau jinak maka eluang sapi yang kelima mau jinak menjadi b * (x; 1,p) =pq x-1 untuk x=1,2,3,. Yang suku-suku ekspansinya membentuk persamaan yang meningkat secara geometric. Oleh karena itu sebaran yang demikian disebut sebaran geometric yang dinotasikan dengan g(x;p). umumnya percobaan ini terus menerus dilakukan dn baru berhenti setelah berhasil/sukses,namun saja terus gagal karena peluang berhasil/sukses akan semakin kecil bila percobaan terus dilakukan. Mungkin akan lebih besar kemungkinan akan berhasil jika teknik/cara percobaan yang diruber. Sebaran geometric terjadi,bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali sampai mencapai sukses,denganpeluang sukses p dan peluang gagal q=1-p maka sebaran peluang peubah acak X yaitu banyaknya yang berakhir sukses yang pertama adalah : g(x;p) =pq x-1 ; x=1,2,3,.. 179

195 Contoh Telah diketahui bahwa peluang untuk mendapatkan parasit cacing tertetu pada jantung seekor penyu adalah 0,30 jika seorang dokter hewan memeriksa jantung penyu ditempat pemotongan penyu dan dokter hewan tersebut mempunyai keyakinan jik apeluang untuk mendapatkan parasit cacing tersebut pada jantung penyu 0,01 maka penyu-penyu yang dipotong ditempat pemotongan tersebut semuanya bebas dari parasit cacing tersebut. Berapa ekor penyu paling sedikit harus diperiksa untuk meyakinkan bahwa penyu-penyu di rumah potobf tersebut bebas dari parasit pad jantungnya. Jawab Dengan menggunakan sebaran peluang geometric p=0,30 dan q =1-0,30 =0,70 maka Gg(x;p) =pq x-1 0,001= (0,3)(0,7) x-1 Log0,01 = log[(0,3) (0,7) x-1 ] Log 0,01=Log0,3 + (x-1)log 0,7-2 =-0,523 +(x-1)-0,155-2= -0,523-0,155x + 0,155 0,155x=1,632 X=10,5 180

196 Karena dokter hewan tersebut baru yakin jika peluangnya 0,01 maka diperiksa minimal 11 ekor dank e 11 ekor yang diperiksa menunjukkan negatip/tidak ada cacing pada jantungnya. 6.6 Rangkuman Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh setiap anggota dalam ruang sampel. Dmana peubah acak diskret adalah peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang mengandung titik sampel berhingga banyaknya. Sedangkan Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang mengandung titik sampel tak berhingga banyaknya dan sama banyaknya dengan titik pada sepotong garis. Jika distribusi peluang f(x,y), peubah acak X dan Y diketahui, maka distribusi peluang X dan Y sendiri adalah : Untuk hal diskret g(x) = f ( x, y); h( y) f ( x, y) y Untuk hal kontinu g(x) = f ( x, y) dy; h( y) f ( x, y) dx g(x) dan h(y), masing-masing didefinisikan sebagai distribusi marginal X dan Y. x LATIHAN 1. Untuk memeriksa kepalsuan susu serbuk jenis tertentu yang beredar di kota denpasar,maka diperiksa 10 sampel took penjual susu serbuk secara acak dan sample yang diambil berturut-turut 181

197 diberikan kode 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10 dan seluruh sample disimpan dlam kotak a. jika pemeriksa mengambil satu sample secara acak berapa peluang bahwa yang terambil adalah sample yang kode 4 b. jika ada dua kemungkinan yang sma yaitu palsu dan tidak berapa peluang semua sample yang diperiksa tidak ada yang palsu 2. Berdasrkan hasil pemeriksaan pravalensi infestasi cacing Ascaridia galli pada tinja itik Bali jantan adalah 22 %. Bila diperiksa 15 ekor itik jantan hitunglah : a. paling sedikit 9 ekor didapatkan cacing tersebut. b. antara 2 sampai 6 ekor didapatkan cacing tersebut c. tepat 5 ekor ditemukan cacing tersebut d. bila anda yakin pasti salah satu itik yang diperiksa atau minimal satu ekor yang diperiksa pada tinjanya terdapat cacing tersebut, bila peluang ditemukannya 0,99 berapa ekor minimal itik Bali tinjanya harus diperiksa 3. Dua belas butir telur ayam konsumsi yang masing-masing 2,4 dan 6 butir diberi zat pengawet A,B dan C dan kemudian disimpan pada suhu 37 C.jik a telur yang diambil seua diberikat pengawet B 4. Disuatu rumah pemotongan hewan (RPH) dalam jangka waktu satu tahun yang rata-rata memotong sapi betina 50 ekor per hari hanya ada 2 ekor sapi betina bunting yang dipotong berapa peluang dalam jangka waktu satu tahun. 182

198 a. kurang dari 2 ekor sapi betina bunting b. antar 1-3 ekor sapi betina bunting yang dipotong c. tidak ada sapi betina bunting yang dipotong. 5. Untuk membuktikan suatu obat yang baru ditemukan dapat menyembuhkan suatu penyakit tertentu pada ternak kambing kacang dalam jangka waktu 3 hari maka obat tersebut disuntikkan pada beberapa ekor kambing penderita. a. berapa peluang kambing yang ke 7 diobati merupakan sembuh yang ke 3 kalinya dalam jangka waktu 3 hari b. bila pemakai obat tersebut baru yakin obat itu dapat diandalkan jiak semua ternak diobatiberturut-turut sembuh peluangnya lebih kecil daro 0,01 berapa ekor ternak penderita menimal diobati berturut-turut sembuh. 6. Daging babi yang dipasarkan disekitar kota denpasar disinyalir 20 % tercemar bakteri Salmonella. Untuk yakin 99% bahwa daging babi yang dijual di suatu kias daging bebas dari bakteri salmonella berapa paling sedikit jumlah sample daging yang harus diperiksa DAFTAR PUSTAKA 1. Ronald E. Walpode, Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan, Penerbit ITB, Jay L.Devore, Probability & Statistics for Engineering and the Sciences, Wadsworth,Inc,

199 3. Bethea, Robert M., Statistical Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker,Inc, Ronald E. Walpole, Pengantar Statistika, Edisi Terjemahan, PT. Gramedia, Jakarta, Anto Dayan, Pengantar Metode Statistik, Jilid 1&2, LP3S, Jakarta,

200 BAB VII SEBARAN NORMAL 185

201 BAB VII SEBARAN NORMAL Tujuan Intruksional Umum 1. Mahasiswa mampu memahami konsep distribusi normal dalam pengukuran. 2. Mahasiswa paham akan penerapan metode distribusi normal yang benar saat melakukan proses pengukuran. Tujuan Intruksional Khusus 1. Mahasiswa memahami dan mampu mengimplementasikan metode distribusi normal hasil pengukuran dengan benar 2. Mahasiswa mampu memahami kebenaran teoritis untuk ide-ide statistik dari berbagai bukti beberapa hasil penelitian yang terkait dengan pengembangan aplikasi. 7.1 Kurva Normal Peubah-peubah yang menggunakan skala rasional seperti pengukuran berat,panjang,volume,waktu dn sebagainyabiasanya mengikuti sebaran peluang kontinu. Salah satu sebaran peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah sebaran normal. Grafiknya disebut kurva normal berbentuk lonceng atau genta seperti gambar dibawah ini : 186

202 Gambar 7.1 kurva normal Pada distribusi normal (Distribusi Gauss) merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistic dalam penerapan pemodelan untuk data riil diberbagai bidang antara lain karakteristik fisik mahluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan dll). Adapun kesalahan-kesalahan pengukuran dalam eksperimen ilmiah pengukuran-pengukuran intelejensia dan perilaku, dimana nilai skor berbagai pengujian dan berbagai ukuran dan indikator ekonomi sebagai berikut: Distribusi normal terjadi secara alamiah. Seperti diuraikan sebelumnya banyak peristiwa di dunia nyata yang terdistribusi secara normal. Beberapa variable acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah ditranformasikan menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal. Ada beberapa hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan benar jika model distribusinya berupa distribusi normal 187

203 Pada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada populasinya Namun distribusi ratarata sampel yang diambil secara random dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal. Pada tahun 1733 De Moive menemukan persamaan matematika kurva normal yang menjadi dasar bayak teori statistika induktif. Sebaran normal disebut juga sebaran Gaus untuk menghormati Gauss ( ) yang juga menemukan persamaan waktu menghitung kesalahan penelitian (galat penelitian)dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama Suatu peubah acak X yang sebarannya berbentuk Genta seperti gambar diats disebut peubah acak normak. Persamaan matematik sebaran peluang peubah acak normal kontinu tergantung pada dua parameter yaitu dan α, yang biasa disebut rata-rata hitung dan simpangan baku jadi fungsi pada X biasanya dinotasikan dengan n(x,α) persamaan μ Nn(x;,α) = 1 e (1/2)[(x-)/α] 2 2πα Disini ~<x<+~ dengan π =3,1415λ dan e=2, Secara ringkas sebaran peluang peubah acak normal sering ditulis X ~N(x,αx) dan dibaca peubah X menyebar normal dengan nilai tengah x dan simpangan baku αx. Bila danα diketahui maka seluruh kurva normal diketahui sebagai contoh bila =60 dan α=8 maka ordinat n(xμ 6o,8) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dan kurvanya dapat digambar. 188

204 Bila nilai nilai dan α tertentu maka akan menghasilkan kurva dengan gambar tertentu pula. Coba perhatikan gambar dibawah ini Gambar 7.1 Kurva Normal Gambar kurva A dan B memiliki nilai tengah (rata0rata hitung) yang sama,tetapi simpangan baku yang berbeda. Sedangkan kurva B dan C memiliki nilai tengan yang berbeda tetapi simpangan bakunya sama. Kurva A dan C memiliki nilai tengan dan simpangan baku yang berbeda. Dengan kurva serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari nilai n(x,α) dapat diperoleh lima sifat kurva normal sebagai berikut : 1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x =. 2. Kurva staangkup terhadap garis tegak yang nilainya sma dengan 3. Kurva mempunyai titik belok pada x= +α dan x=-α cembung ke atas bila -α < x< +α dan cembung ke bawah untuk harga x lainnya. 189

205 4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar (sumbu x) bila harga x bergerak menjauhi baik dari ke kiri maupun ke kanan. 5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar (sumbu X )sama dengan 1,0 (100%) 7.2 Luas Daerah Di bawah Kurva Normal Kurva setiap semaran peluang atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas kurva diantara kedua koordinat x= x 1 dan x= x 2 sama dengan harga peubah acak X mendapat harga antar x= x 1 dan x=x 2. jadi untuk kurva normal seperti bi bawah ini: Gambar 7.2 Kurva Normal f(x 1 <x<x 2 ) = luas daerah yang diarsir Jadi bagi suatu fungsi padat tertentu yang memiliki danα lain akan menghasilkan peluang P (x 1 <x<x 2 ) yang berbeda pula besarnya, walaupun letak x1 dan x2 tetap. Sehingga setiap kali ingin menghitung besarnya peluang tersebut harus mencari interval terhadap bentuk fungsi f(x) = n(x,α) itu ini merupakan pekerjaan merepatkan dan kurang efisien. Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat 190

206 normal, maka dibuat tabel luas kurva normal,sehingga memudahkan penggunaannya. Akan tetapi mungkin membuat tabel yang berlainan untuk setiap harga dan α. Untuk itu peubah acak normal dapat ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan baru yang dikenal peubah acak normal Z. Sebaran normal Z disebut pula sebaran normal baku yang memiliki nilai tengah z = 0 dan simpangan baku αz = 1 jadi biasanya ditulis Z ~ N(0,1) dan dirumuskan dengan : Z x - x x Bila diketahui bahwa peubah acak X ~ N(, α) maka semua nilai Xi yang berada pada selang (x 1, x 2 ) dapat ditransformasikan menjadi peubah baku Z yang berada dalam selang Z 1 =( x 1 )/α dan Z 2 = (x 2 )/α.. sehingga P(x 1 <x<x 2 ) dapat dicari dengan cepat menggunakan P( Z 1 <Z<Z 2 ) berdasarkan nilai tabel (lihat tabel Z pada lampiran) Untuk setiap distribusi populasi dari suatu variabel acak yang mengikut sebuah distribusi normal, maka 68,26% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 1 x dari x, 95,46% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 2 x dari x, 99,73% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 3 x dari x 191

207 7.3 Gambar hubungan antara luasan dan N(, 2 ) Contoh Sapi bali jantan yang berumur 2 tahun rata-rata beratnya 250 kg dan simpangan bakunya 11,05 kg. bila diasumsikan berat sapi tersebut mengikuti sebaran normal berapa % (peluangnya) : a. Berat Sapi Bali jantan antara kg b. Berat sapi Bali jantan kurang dari 235 kg Jawab Untuk menyelesaikan soal diatas kita transformasikan dulu nilai-nilai x1 =240, x2=260 dan x3 =235 menjadi Z1, Z2 dan Z3 Z 1 = x 1 = = α 11,05 192

208 Z 2 = x 2 = = 0.90 α 11,05 Z 3 = x 3 = = α 11,05 dengan menggunakan tabel Z maka : a. P(Z 1 <Z<Z 2 ) = P(-0,90<Z<0,90) Karena kurva simetris dan luasnya = 1 maka P(-0,90<Z<0,90) = 1-2(P(Z<90) = 1- (0,1841) = 1-0,3684 =0,6316 Jadi sekitar 63,16 % sapi Bali jantan yang berumur 2 tahun berat antara kg b. P(Z<Z 3 ) = P(Z<-1,36) = P(Z>1,36) = 0,0869 Jadi sekitar 8,69 % sapi bali jantan umur 2 tahun beratnta kurangf 235 kg. 7.3 Pendekatan Normal terhadap Binomial. Peluang yang berkaitan dengan percobaan binomial secara langsung dapat diperoleh dari rumus sebaran binomial atau dari tabel binomial pad alampiran, n cukup kecil (n<25). Bila n besar atau tak tersedia dalam tabel, maka peluang binomial dapat dihitung dengan pendekatan sebaran normal. 193

209 Pada uraian sebelumnya sebaran poisson dapat dipakai untuk menghampiri peluang binomial, jika n cukup besar dan p mendekati 0. Sedangkan jika n cukup besar dan p tidak cukup dekat denagn 0 atau 1 maka sebaran binomial dapat dihampiri oleh sebaran normal dan hampiran itu sangat baik bila n cukup besar dan p mendekati 0,50. Bila X peubah acak binomial dengan nilai tengah = np dan α 2 =npq, bila n cukup besar maka betuk limit sebaran normal baku n(z;0,1) adalah x- np Z = npq Untuk melihat pendekatan normal terhadap sebaran binomial perhatikan conoth berikut :mula-mula lukislah histogram b(x; 16, 0,5) dan kemudian letakkan kurva normal dengan rata-rata dan ragam yang sama dengan peubah binomial X sehingga keduanya saling tumpang tindih. Untuk itu lukislah kurva normal denagn = np = 16 (0,5) =8,0 dan α 2 =npq =16(0,5)(0,5)=4,0 Histogram b(x;16,0,5) dan kurva normal padanannya yang seluruhnya telah tertentu oleh rata-rata dan ragamnya seperti gambar dibawah ini. Gambar 7.3 Hampiran Kurva Normal terhadap b(x;16,0,5) 194

210 Tingkat akurasi (ketepatan) pendekatan tergantung dari sejauh mana kurva normal yang dihasilkan dapat mendekati histogram dari binomial. Dari contoh diatas kita dapat menghitung peluang yang tepat bahwa X berharga 4 sama dengan luas persegi panjang dengan yang titik tenganya x= 4 yaitu b(4;16,0,5) = 0,0278 luas ini dengan pendekatan normal identik dengan luas daerah dibawah kurva normal antar x 1 =3,5 dan x 2 =4,5.jiak diubah kedalam sebaran normal Z maka Z 1 = x 1 = 3,5 8,0 = -2,25 α 4 Z 1 = x 2 = 4,5 8,0 = -1,75 α 4 jadi P (-2,25 <Z<-1,75) = P(Z.1,75) P (Z>2,25) = 0,0401 0,0122 = 0,0279 Jadi nilainya sama bila kita ambil 3 angka dibelakang koma yaitu 0,028. Contoh Berdasarkan pengalaman 30 % dari itik Bali yang dibeli pada peternak adalah invertil (tidak bisa menetas) jika seorang pengusaha peternakan menetaskan 250 butir telur berpa peluang bahwa yang invertil kurang dari 60 butir. 195

211 Jawab Banyaknya telur yang invertil mengikuti sebaran binomial dengan parameter n =250 dan p =0,30 karena ukuran sample cukup besar an p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1 maka dapat digunakan pendekatan sebaran normal baku yaitu = np = 250 (0,30)=75 α 2 =npq = 250(0,30)(0,70) =52,5 dan α = 52,5 =7,25 untuk mendapatkan peluany yang ditanyakan harus dicari luas daerahnya yaitu : Z 1 = x 1 = = -2,07 α 7,25 jadi P(x<60) = P (Z< -2,07) = P(Z.2,07) = 0,0192 Contoh 1. Diketahui data berdistribusi normal dengan mean = 55 dan deviasi standar = 15 a) P(55 x 75) = = = P(0 Z 1,33) = 0,4082 (Tabel Z) Atau Tabel Z A = 0,

212 7.2 P(60 x 80) = P(0,33 Z 1,67) = P(0 Z 1,67) P(0 Z 0,33) = 0,4525 0,1293 = 0,3232 Z1 = = 0,33 B = 0,1293 Z2 = = 1,67 A = 0,4525 C = A B = 0,

213 7.3 P(40 x 60)= A + B = P(-1,00 Z 0,33) = P(-1,00 Z 0) + P(0 Z 0,33) = 0, ,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = = -1,00 A = 0,3412 Z2 = = 0,33 B = 0,

214 7.4 P(x 40) = 0,5 A = 0,5 0, P(x 85) = 0,1588 e. P(x 85) = 0,5 + A = 0,5 + 0,4772 = 0, Rangkuman Distribusi Normal adalah model distribusi kontinyu yang paling penting dalam teori probabilitas. Distribusi Normal diterapkan dalam berbagai permasalahan. Distribusi normal memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris. Karena 199

215 distribusi frekuensi probabilitas disusun berdasarkan teori peluang maka pengetahuan tentang distribusi teoritis menjadi sangat penting untuk membuat estimasi atau meramalkan variasi-variasi yang mungkin dapat timbul pada suatu keadaan yang tidak pasti. Dua parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan / ekspektasi () dan standar deviasi (σ). LATIHAN 1. Diketahui peubah acak X yang menyebar normal dengan ratarata 16 dan simpangan baku 2,5 hitunglah : a. P(X<5) b. Nilai k sehigga P(x<k) = 0,2578 c. P(17<x<21) d. Nilai k sehingga P(x>k) =0, Berat badan sapi Bali jantan 2 tahun mengikuti sebran normal dengan rata-rata 250 kg simpangan baku 8,30kg. bila sebuah rumah pemotongan hewan memotong 200 ekor sapi Bali jantan umur 2 tahun berapa ekor dapat diharapkan. a. Beratnya kurang dari 240 kg b. Beratnya antara 235 dan 265 kg c. Beratnya lebih dari 270 kg 200

216 3. Hitunglah galat (kesalahan) dalam pengampiran dengan kurva normal sebaran binomial dibawah ini a. 10 Σ b( x 10, 0,3) x = 0 b. 20 Σ b( x 20, 0,3) x = 0 c. 20 Σ b( x 20, 0,5) x = 9 d. 20 Σ b( x 30, 0,3) x = 0 e. 10 Σ b( x 30, 0,5) x = 0 4. Suatu perusahaan farmasimengatakan bahwa suatu jenis obat tertentu dapat menyembuhkan rata-rata 80 % penyakit kulit pada kelinci. Untuk menguji kebenaran maka obat tersebut dicoakan pada 100 ekor kelinci penderita : 201

217 a. berapa peluang 75 ekor ikelinci atau lebih dapat disembuhkan. b. Bila peluang kesembuhan 0,95 diputuskan obat tersebut masih bisa diterima leh pemakai obat, berapa menimal jimlah ternak yang diharapkan sembuh. c. Bila ingin mengurangi jumlah kelinci penderita yang dipakai mencoba obat tersebut, berapa jumlah minimal kelinci penderita yang diperlukan jika peluang semua ternak yang diinginkan sembuh maksimal 0,01. DAFTAR PUSTAKA 1. Walpole E. Ronald, Myers H. Ronald, Ilmu Peluang dan Satatistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan (terjemahan), edisi 2, ITB, Denis Anderson, Sweeney J., Williams A. Thomas, Statistics for Businees and Economics, West Publishing Company, USA, Boediono, Koster Wayan, Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas, Rosdakarya, Bandung,

218 BAB VIII PENGEMBANGAN MODEL 203

219 BAB VIII PENGEMBANGAN MODEL Tujuan Intruksional Umum 1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian dasar dari model pengembangan simulasi sebagai suatu pendekatan dalam kasus 2. Mahasiswa mengetahui inisialisasi parameter, waktu dan penerapan berbagai jenis pengembangan model Tujuan Intruksional Khusus 1. Mahasiswa mampu mengikhtisarkan pentingnya model simulasi dalam berbagai kasus 2. Mahasiswa mampu menggunakan simulasi dalam penerapan program simulator 3. Mahasiswa mampu membandingkan sistem dan model dalam setiap kasus, serta menyimpulkannya untuk kebutuhan simulasi. 8.1 Pemodelan Simulasi Kejadian Diskrit Dinamis Semua aspek pemodelan yang sudah dipelajari sebelumnya akan digunakan dalam bagian ini:formulasi masalah yang didasarkan pada sistem nyata dan sampling dari distribusi probabilitas variabel model. Simulasi kejadian diskrit memodelkan sistem yang berubah sesuai waktu melalui suatu 204

220 representasi dimana variabel status berubah secara langsung pada titik terpisah dalam waktu. Titik terpisah dalam waktu adalah keadaan dimana suatu kejadian terjadi. Kejadian didefinisikan sebagai kejadian langsung yang dapat mengubah status sistem. Meskipun simulasi kejadian diskrit dapat dilakukan secara manual, jumlah data yang harus disimpan dan dimanipulasi dalam dunia nyata mengharuskan penggunaan komputer digital. Pada simulasi jarum Buffon adalah simulasi kejadiandiskrit statis dalam artian bahwa simulasi itu terdiri dari serangkaian kejadian acak dimana setiap kejadian tidak dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Waktu bukan bagian dari simulasi. Menjatuhkan jarum dilakukan berulang-ulang, memberikan perkiraan yang lebih baik akan probabilitas jarum menyentuh atau memotong garis, tapi simulasi akan tetap sama jika ke 3000 jarum dijatuhkan secara bersama-sama atau dijatuhkan satu demi satu sebanyak 3000 kali. Lebih sering, simulasi bersifat dinamis, dimana interaksi antara kejadian acak dan waktu adalah bagian dari simulasi. Karena sifat dinamis ini, kita harus mengikuti nilai waktu tersimulasi selama simulasi dijalankan, dan kita juga perlu mekanisme mengembangkan waktu tersimulasi dari satu nilai ke nilai lainnya. Kita sebut variabel model simulasi yang memberikan nilai waktu tersimulasi saat ini dengan simulation clock. Unit waktu simulation clock tidak pernah dinyatakan secara eksplisit ketika pemrograman model dibuat dengan bahasa pemrograman umum seperti FORTRAN, Pascal atau C, dan diasumsikan dalam unit yang sama dengan parameter input. Juga, secara umum tidak ada hubungan antara waktu tersimulasi dengan waktu menjalankan simulasi dalam komputer. 205

221 Dua pendekatan prinsipal disarankan untuk menjalankan simulation clock yaitu next-event time advance dan fixedincrement time advance. Pendekatan pertama digunakan hampir semua bahasa simulasi dan bahasa umum (general purpose language), karena itu kita akan menggunakan pendekatan ini. Dalam next-event time advance simulation clock diinisiasi dengan 0 dan waktu terjadinya kejadian di masa mendatang ditentukan. Simulation clock kemudian bertambah (maju) dengan waktu terjadinya kejadian berikutnya yang pertama, dimana pada suatu titik status sistem diperbaharui setelah terjadinya suatu kejadian, dan pengetahuan kita akan waktu kejadian berikutnya juga diperbaiki. Proses penambahan simulation clock berlanjut terus dari satu kejadian ke kejadian lainnya sampai kondisi penghentian yang sudah didefinisikan dipenuhi. Karena semua status berubah hanya pada waktu kejadian model simulasi kejadian-diskrit, periode tidak aktif diloncat dari waktu kejadian ke waktu kejadian. Harus diperhatikan bahwa loncatan berurutan simulation clock secara umum bervariasi dalam ukuran (tidak sama). 8.2 Teknik Representasi kejadian sistem Model simulasi kejadian-diskrit dapat digambarkan sebagai sebuah model interaksi kejadian diskrit yang terjadi dalam sistem dan variabel status sistem. Interaksi ini dapat ditunjukkan dengan graf dimana simpul (verteks) menunjukkan kejadian dan cabang berarah (ruas) menunjukkan penyebab langsung terjadinya suatu kejadian hanya jika kondisi dipenuhi. 206

222 Kejadian, penghubung tidak terkondisi penghubung terkondisi Jika ruas yang menghubungkan dua kejadian adalah garis terputus, itu menunjukkan bahwa terjadinya satu kejadian bisa menyebabkan pembatalan kejadian lainnya. Jika ada penundaan antara dua kejadian terhubung, penundaan ditunjukkan pada ruas di antara kedua kejadian. Jika terjadinya suatu kejadian bersifat kondisional, referensi terhadap kejadian penting ditunjukkan ruas penghubung. Contoh : i 1 t j Pada diagram di atas menunjukkan bahwa kejadian i akan mengarah ke kejadian j setelah penundaan selama t dan kondisi 1 terpenuhi. Sebagai contoh sistem kejadian-diskrit, perhatikan sekumpulan mesin yang ditangani sekelompok operator. Setiap mesin rusak perlu diperbaiki oleh operator. Setelah diperbaiki, mesin akan berfungsi kembali. Variabel status sistem adalah sebagai berikut: 207

223 M(i) status mesin i 0 = menunggu perbaikan 1 = sedang diperbaiki 2 = beroperasi O(j) status operator 0 = menganggur 1 = sibuk Kejadian diskrit yang terjadi adalah: 1(i) mesin i menunggu diperbaiki M(i) diatur jadi 0 2(ij) operator j mulai memperbaiki mesin i M(i) bernilai 1 O(j) bernilai 1 3(ij) operator j menyelesaikan perbaikan mesin i O(j) bernilai 0 4(i) mesin i mulai beroperasi M(i) bernilai 2 Kondisinya adalah: C(1) C(2) beberapa O(j) = 0 (ada operator menganggur) beberapa M(i) = 0 (ada mesin sedang mengunggu 208

224 diperbaiki) Penundaan kejadian : T(r) T(s) waktu mesin dijalankan di antara panggilan perbaikan waktu yang dibutuhkan untuk memperbaiki mesin Graf kejadian sistem tersebut adalah: 1(i) c(1) 2(i,j) 4(i) 3(i,j) t(s) t(r) c(2) Gambar 8.1. Graf kejadian sistem perbaikan mesin 8.3 Simulasi Monte Carlo Sebelum mengembangkan model simulasi kompleks, kita bicarakan dulu list processing dalam simulasi. Untuk model simulasi sederhana, kita dapat menemukan tidak ada list atau maksimum hanya satu list record dengan 1 atribut. Tapi untuk model simulasi kompleks kita harus berhadapan dengan beberapa list yang memuat banyak records juga dengan banyak atribut. Sering pemrosesan FIFO (First In First Out) tidak efisien. Jika jumlah besar informasi ini tidak disimpan dan dimanipulasi secara efisien, eksekusi model akan membutuhkan waktu yang lama dan memori penyimpanan yang besar akan mengakibatkan model simulasi tidak layak. 209

225 Ada dua cara penyimpanan list records dalam komputer yaitu alokasi sekuensial dan terhubung (linked). Pendekatan alokasi-sekuensial meletakkan records berdekatan secara fisik dalam lokasi penyimpanan, satu demi satu record sesuai dengan hubungannya. Dalam pendekatan alokasi penyimpanan terhubung, setiap record memuat atribut dan pointer (link). Pointer menunjukkan relasi logik dari satu record ke record lainnya dalam list. Sehingga record dalam list yang saling berhubungan tidak harus diletakkan berdekatan. Pendekatan kedua ini (alokasi penyimpanan terhubung) lebih disukai dalam pemodelan simulasi karena memiliki beberapa keuntungan, yaitu: 1. waktu pemrosesan yang dibutuhkan untuk jenis list tertentu dapat dikurangi secara signifikan. 2. pemrosesan list-kejadian untuk model simulasi dimana daftar (list) kejadian memuat sejumlah besar record kejadian secara simultan dapat dipercepat 3. untuk beberapa model simulasi, kapasitas memori komputer yang dibutuhkan untuk menyimpan bisa lebih kecil. 4. menyediakan kerangka umum yang memungkinkan menyimpan dan memanipulasi banyak daftar secara simultan dengan mudah, dimana records dalam daftar berbeda dapat diproses dengan cara berbeda. 210

226 8.4 Sistem Komputer Time-Shared Perhatikan sistem komputer time-shared, dimana pemakai dihubungkan ke sistem melalui jaringan telepon. Hanya ada sedikit jumlah port untuk koneksi seperti ini, dan ketika semua port digunakan ketika panggilan masuk, maka pengguna akan menerima signal sibuk dan harus mencoba membuat koneksi di lain waktu. Sekali koneksi tersambung, port tidak akan dapat digunakan lagi oleh pemakai lain sampai pemakai saat itu memutus hubungan dengan menutup telepon. Skematik sistem ditunjukkan oleh Gambar 1. Gambar 8.2. Sistem komputer time-shared Dengan maksud menyederhanakan permasalahan, kita akan mengasumsikan bahwa pemakai berusaha menghubungi komputer pada waktu acak sepanjang hari dengan laju rata-rata 211

227 panggilan 35 per jam. Data historis rata-rata lamanya waktu, termasuk perhitungan dan bukan perhitungan, 25 menit. Meskipun saat ini ada 14 port, tidak jarang bagi pemakai menemukan bahwa semua port sibuk saat mereka melakukan pemanggilan. Permintaan memperbesar memori CPU dan menambah jumlah port dan kecepatan transmisi sudah sering diajukan untuk meningkatkan level pelayanan. Port relatif mahal karena biaya perangkat keras dan biaya pelayanan telepon per bulan. Harga perangkat keras untuk setiap port sekitar Rp10,000,000,- dan biaya pelayanan telepon serta perawatan setiap port per bulan sebesar Rp250,000,-. Sistem komputer hanya dapat mendukung 32 port dan kapasitas perhitungan sistem terbatas. Dipercaya bahwa dengan meningkatkan laju transmisi antara sistem komputer dengan pemakai yang memanggil dari 120 kpd (karakter per detik) menjadi 960 kpd, lama sesi dapat dikurangi. Diyakini bahwa lama sesi rata-rata dapat dikurangi tiga menit menggunakan laju transmisi lebih tinggi. Peningkatan dari 120 ke 960 kpd membutuhkan biaya Rp4,000,000,- untuk setiap 100 terminal yang dapat dikoneksikan ke sistem. Studi pendahuluan menunjukkan bahwa kinerja sistem akan diperbaiki jika memori CPU diperbesar. Pengaruh peningkatan seperti itu akan menjadi sesi paling sensitif dimana pemakai akan terhubung ke sistem dalam jangka waktu singkat. Memori CPU saat ini 1MB dan dapat diperbesar ke 2 MB atau 3 MB. Tabel 1 menunjukkan biaya dan pengurangan waktu koneksi untuk memori 1MB, 2 MB dan 3 MB. Dengan maksud mengevaluasi kegunaan penambahan port, peningkatan kecepatan transmisi, atau menambah memori, 212

228 disarankan untuk mempelajari kinerja sistem dan biaya yang berhubungan dengan bantuan model analitik, model simulasi dan keduanya. Tabel 8.1. Biaya dan pengurangan waktu koneksi dengan beberapa alternatif memori Waktu perhitungan rata-rata Biaya (dolar) peningkatan ,000 30,000 Konfigurasi saat ini Memori 1M-Byte Memori 2M-byte Formulasi Masalah Untuk memformulasikan masalah, kita perlu menjawab pertanyaan : 1. Apa yang kita harapkan untuk dipelajari dengan membangun model simulasi kasus ini? 2. Informasi apa yang kita inginkan disediakan simulasi? Pertanyaan-pertanyaan ini bisa dikembangkan lagi dan tidak selalu diungkapkan secara eksplisit. 213

229 Kita dapat menggunakan model simulasi untuk memprediksi kinerja sistem sebagai parameter perubahan sistem atau lebih disukai, model simulasi dapat digunakan untuk mengarahkan pengoptimuman beberapa tujuan yang dibatasi oleh sumber daya terbatas. Untuk kasus di atas, dengan mencoba konfigurasi sistem berbeda, kita dapat mengamati ukuran kinerja sistem. Pertanyaan yang akan dijawab bisa dalam bentuk: 1. Berapa probabilitas penghubungan ke sistem sebagai fungsi jumlah koneksi terminal (port)? atau 2. Berapa jumlah rata-rata port sibuk, sebagai fungsi memori, koneksi terminal dan kecepatan transmisi? atau 3. berapa level kepuasan pemakai sebagai fungsi peningkatan sumber daya? Berbagai pertanyaan lain dapat dibentuk, setiap pertanyaan membantu analis untuk fokus pada tujuan pemodelan simulasi. Alternatifnya, kita dapat menyatakan fungsi objektif yang akan dioptimalkan bersamaan dengan pembatas yang harus dipenuhi untuk mendapatkan solusi layak. Sebagai contoh, kita mungkin memilih dari salah bentuk di bawah ini untuk tujuan dan pembatas : maksimumkan (kepuasan pengguna) terhadap : biaya total pengeluaran < C 0 atau 214

230 minimumkan (total pengeluaran) terhadap : kepuasan pemakai > S 0 atau minimumkan (lama rat-rata sesi per pemakai) terhadap : biaya total < C 0 atau minimumkan (total biaya) termasuk biaya pemakai dan biaya sumber daya Beberapa dari tujuan dan pembatas ini perlu diklarifikasi, yang merupakan langkah penting dalam formulasi masalah. Tanpa mengidentifikasi dengan jelas dan lebih dini pertanyaan yang harus dijawab dari model simulasi, proses pemodelan simulasi akan berakhir dengan sendirinya dan analisis akan sangat mudah kehilangan wawasan tujuan akhir dari pemodelan. Detil dan level kompleksitas model harus merefleksikan penggunaan akhir model. Model tidak perlu lebih kompleks atau lebih detil dari pertanyaan yang harus dijawab yang dibuat di awal analisis. Karena tujuan pengembangan model adalah untuk mendukung pengambilan keputusan, maka selanjutnya kita harus mempertimbangkan kriteria pengambilan keputusan termasuk tujuan dan kendala yang dihadapi. Berbagai kriteria keputusan ada, tapi jika kita membatasi pilihan pada pengukuran biaya dan level pelayanan, kita dapat mempertimbangkan kriteria seperti berikut: 215

231 1. minimumkan TC 2. minimumkan TC dengan kendala P K < P 0 3. minimumkan P K dengan kendala TC < TC 0 4. minimumkan biaya total sistem (termasuk nilai waktu pemakai, biaya perangkat keras dan telepon). Kriteria terakhir ini adalah yang umum, tapi kita akan menghadapi model yang lebih kompleks. Kompleksitasnya ada karena kita harus mengukur nilai waktu pemakai. Untuk selanjutnya kita akan menggunakan kriteria keputusan no. 2. Nilai P 0 dibuat 0.02 dan level pelayanan paling tidak Model Analitik Sebelum mengembangkan model simulasi, pertamatama harus selalu dipertimbangkan apakah model analitik dapat digunakan. Pengembangan dan penggunaan model analitik lebih murah dibandingkan model simulasi, dan bahkan jika model analitik sempurna tidak dapat dikembangkan, model analitik pendekatan akan sangat berguna untuk menganalisis sistem. Model analitik untuk kasus komputer time-shared di atas dapat dikembangkan dengan membuat beberapa asumsi terlebih dahulu : Waktu koneksi berdistribusi secara eksponensial dengan rata-rata konstan. 216

232 Waktu antara dua panggilan berdistribusi eksponensial dengan rata-rata konstan. Pengaruh jumlah awal pemakai yang terhubung ke sistem pada permulaan hari menghilang dengan cepat Distribusi waktu di antara panggilan tidak berubah (paling tidak secara mendasar) ketika semua port terpakai. Misalkan : P i = peluang secara tepat sejumlah i pemakai terhubung, i = 0, 1,..., K maka, = 1/waktu rata-rata antara kedatangan = 1/rata-rata waktu terhubung P0 K i0 i! i 1 (1) dan P1 i P 0 i (2) 1 i K Dalam model ini, P K adalah probabilitas bahwa semua port digunakan atau probabilitas bahwa pengguna yang mau masuk ke sistem tidak dapat terhubung. 217

233 Menggabungkan kedua persamaan di atas akan diperoleh: K K! K P i K 0 i i (3) ada 108 pilihan alternatif berbeda (2 kecepatan transmisi, 3 ukuran memori dan sampai 18 ports). Dari sudut pandang model antrian, setiap alternatif pilihan dapat direpresentasikan dengan waktu koneksi rata-rata ( 1 ) dan jumlah port K. menggunakan persamaan (3), level pelayanan P C dapat dihitung untuk setiap alternatif. Tabel 1 menunjukkan waktu terhubung rata-rata untuk himpunan bagian pilihan kecepatan transmisi dan 3 memori. Tabel 1. Waktu terhubung rata-rata Diagram Model Simulasi (graf) kejadian untuk sistem di atas adalah: 218

234 t(a) t(s) 1 c(1) 2 3 Gambar 8.3 Graf kejadian untuk sistem komputer timeshared Variabel status : N(t) = jumlah port sibuk Kejadian : 1. pemakai berusaha koneksi ke sistem 2. pemakai terhubung dan sesi mulai 3. pemakai menyudahi sesi Kondisi : C(1) : n(t) < K Penundaan : t(a) = waktu sampai pemakai berikutnya berusaha masuk t(s) = jangka waktu pemakai terhubung dengan sistem 219

235 Variabel model : Variabel Eksogenus tidak dapat dikontrol Variabel Eksogenus dapat dikontrol (variabel keputusan) Variabel Endogenus variabel status Variabel Endogenus ukuran kinerja Parameter simulasi 220

236 Function dan Subroutines Logika pemrograman menggunakan metode penjadwalan kejadian waktu berlanjut ditunjukkan Gambar 8.4. Gambar 8.4. Logika pemrogaman time-shared computer 221

237 8.4.3 Pertimbangan Pemrograman dan Struktur Data Usaha perhitungan dalam simulasi pada umumnya melibatkan banyak kejadian, seperti identifikasi kejadian paling dekat berikutnya dan penjadwalan kejadian berikutnya. Program simulasi akan jauh lebih efisien jika kejadian yang dieksekusi diurutkan berdasarkan waktu kejadian berikutnya, daripada disimpan tidak terurut. Daripada mencari sekumpulan kejadian berikutnya secara fisik di dalam komputer, akan lebih baik melakukan pencarian secara logika. Menggunakan metode penstruktur data, efisiensi simulasi komputer dapat ditingkatkan secara signifikan, khususnya saat simulasi mempunyai banyak kejadian berikutnya dijadwalkan Penambahan Waktu dalam Model Simulasi Penambahan waktu dalam model simulasi harus diperhatikan. Dua sisi sering harus dihadapi dalam penambahan waktu mode simulasi. Pertama, dalam banyak kasus, waktu (T) ditambah dengan selisih waktu (T+delta) tanpa ada kejadian selama interval waktu (T, T+delta), menyebabkan pencarian kejadian selama interval waktu menjadi sia-sia. Kedua, akan terjadi kehilangan akurasi jika kejadian dimungkinkan terjadi hanya pada waktu delta dan kelipatannya. Jika delta dinaikkan, permasalahan yang pertama akan dikurangi tetapi akan menyebabkan penurunan akurasi. Sebaliknya, ukuran delta dikurangi. Keakuratan akan lebih baik, tetapi frekuensi pembaharuan (dan pencarian berurutan kejadian) meningkat, menyebabkan komputasi model tidak efisien. 222

238 Metode alternatif untuk memperbaharui waktu (T) adalah dengan memeriksa semua kejadian di masa mendatang secara berurut dan memperharui T dengan waktu kejadian paling dulu terjadi. Dengan melangkah ke kejadian terjadwal terdekat, baik permasalahan pembaharuan yang tidak penting dan akurasi dapat dihilangkan, tapi logika yang agak lebih kompleks.pada kebanyakan simulasi kejadian-diskrit, pelacakan kejadian adalah metode yang paling disukai dalam penambahan waktu dan merupakan metode paling banyak dilakukand alam bahasa simulasi. 8.5 Aplikasi Pemodelan Simulasi untuk Sistem Antrian Kesehatan Pada penelitian Nia pada tahun 2009 melakukan analisa system antrian kegiatan di Puskesmas Kelurahan Sadang Serang, puskesmas tersebut melayani pasien dewasa dan anakanak. Puskesmas Sadang Serang memiliki fasilitas dokter umum (untuk pasien dewasa), dokter anak, dokter gigi dan apotek. Jam operasinya hanya empat jam, yaitu dari jam s/d WIB. Hal tersebut yang mengakibatkan panjangnya antrian pasien. Antrian pendaftaran dan dokter umum yang panjang mengakibatkan banyak pasien di jam tertentu tidak mendapatkan tempat duduk di ruang tunggu. Mau tidak mau pasien tersebut harus menunggu, karena kondisi yang tidak sehat harus segera disembuhkan. Hal tersebut pula mendorong peneliti untuk memecahkan masalah tersebut. Agar pasien yang datang ke puskesmas merasa nyaman dan setidaknya dapat menstimulus pasien agar cepat sembuh dari penyakit yang dideritanya. 223

239 Adapun masalah yang kami temukan dilapangan adalah adanya antrian yang panjang pada jam-jam tertentu setiap fasilitas puskesmas. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui berapa jumlah tempat duduk yang harus tersedia untuk menampung pasien dewasa dan anak-anak pada jam sibuk (peak hour) dan menentukan jumlah server yang tepat sehingga rata-rata waktu menunggu lebih singkat Kejadian kondisional diskret Simulasi kejadian diskret (discrete time simulation) merupakan simulasi dengan perubahan status dari model simulasi terjadi pada titik-titik waktu yang diskret yang dipicu oleh kejadian. Dalam simulasi kejadian diskret, variabel status berubah jika suatu kejadian terjadi. Sedangkan simulasi kontinyu, variabel status berubah dengan berubahnya waktu. Kejadian yang dipicu oleh suatu kondisi tertentu. Contoh dalam sistem antrian adalah kejadian seorang pelanggan mulai dilayani (yang dipicu oleh kejadian orang sebelumnya selesai dilayani) Pemrosesan Kejadian Kejadian memicu eksekusi dari logika yang berkaitan dengan kejadian. Contohnya adalah jika suatu entitas membebaskan suatu sumberdaya, variabel status dan statistik diperbarui dan daftar tunggu diperiksa untuk memeriksa aktivitas apa yang akan diproses berikutnya. 224

240 Pada sistem nyata, kejadian-kejadian dapat terjadi bersamaan. Dalam simulasi komputer, hanya ada satu aktivitas yang diproses pada suatu saat. Diperlukan suatu metode atau aturan untuk menentukan kejadian yang terjadi pada saat yang bersamaan Kejadian (Event) Dua kejadian yang mengubah status system adalah kedatangan (arrival) dan kepergian (departure). Kejadian kedatangan terjadi jika pelanggan tiba di antrian. Tiap pemrosesan kedatangan pelanggan mencakup penjadwalan kedatangan pelanggan berikutnya. Jika pelanggan dilayani ATM, kepergian dijadwalkan berdasarkan lamanya waktu pelayanan. Untuk penghentian simulasi disebut kejadian penghentian (termination). Sedangkan pada deskripsi sistem dapat digambarkan sebagai berikut : 1. Lokasi puskesmas terlatak di daerang sadang serang. 2. Terdapat fasilitas pelayanan didalamnya, diantaranya pelayanan dokter umum, dokter anak dan apotek. 3. Jam pelayanan dibatasi hanya 4 jam, yaitu dari jam 08:00 WIB 12:00 WIB. Pada model konseptual untuk penerapan antrian puskesmas maka digambarkan pemodelannya sebagai berikut: 225

241 Gambar 8.5 Model Konseptual Adapun analisis data input meliputi : 1. Pengujian independensi data, dilakukan dengan scatter plot, autocorelation plot dan run test 2. Pengujian data mempunyai distribusi identik, yang dilakukan dengan uji Kruskal Wallis 3. Fitting terhadap distribusi teoritis tertentu, dilakukan dengan uji Chisquare Diagram aliran entitas : Antrian Klinik ( FIFO) Layanan Klinik Kedatangan pasien Antrian Pendaftaran ( FIFO) Layanan Pendaftaran Antrian Apotek ( FIFO) Layanan Apotek Kepergian pasien Antrian Klinik ( FIFO) Layanan Klinik Gambar 8.6 Aliran Diagram Entitas 226

242 Hasil analisis data input dapat dilihat pada Tabel 1. Urutan kedatangan pasien di puskesmas hingga meninggalkan apotek dapat dilihat pada Gambar 3. Tabel 1. Hasil Analisis Data Input Proses Simulasi Pro Model Berikut ini adalah beberapa gambar dari proses running pada software Pro Model Gambar 8.7 Contoh gambar Simulasi Pro Model 227