PEMODELAN DATA PANEL SPASIAL MENGGUNAKAN MODEL SUR-SAR DENGAN PENDEKATAN BAYESIAN HILMAN DWI ANGGANA

Transkripsi

1 PEMODELAN DATA PANEL SPASIAL MENGGUNAKAN MODEL SUR-SAR DENGAN PENDEKATAN BAYESIAN HILMAN DWI ANGGANA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

2

3 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pemodelan Data Panel Spasial Menggunakan Model SUR-SAR dengan Pendekatan Bayesian adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Januari 2016 Hilman Dwi Anggana NIM G

4 RINGKASAN HILMAN DWI ANGGANA. Pemodelan Data Panel Spasial Menggunakan Model SUR-SAR dengan Pendekatan Bayesian. Dibimbing oleh ASEP SAEFUDDIN dan BAGUS SARTONO. Seemingly Unrelated Regression (SUR) adalah sebuah sistem model yang merupakan perluasan dari model regresi umum ketika terjadi permasalahan adanya hubungan antar model individu yang dibangun secara simultan. SUR merupakan hasil penelitian Zellner (1962) yang pertama mengakomodasi masalah hubungan antar model individu terhadap efisiensi pendugaan parameter dan informasi yang diperoleh. Konsep SUR telah banyak dikembangkan, salah satunya dalam kajian statistika spasial (Anselin 1988). Pada penelitian ini dikaji model individu yang merupakan regresi otoregresif spasial (SAR) yang dibangun berdasarkan tahun yang berbeda. Adanya hubungan model-model SAR ini diakomodasi dengan model SUR sehingga menjadi model SUR-SAR berdasarkan data panel spasial. Permasalahan yang dihadapi model SUR-SAR tidak hanya terbatas pada hubungan model-model individu penyusunnya, tetapi juga terkait permasalahan metode/pendekatan pendugaan parameternya yang memberikan solusi yang tidak closed form dan sulitnya menentukan pengujian parameter secara statistik. Pendekatan Bayesian merupakan salah satu metode pendugaan parameter yang dapat mengatasi permasalahan tersebut karena lebih praktis (Griffiths 2001) dan secara statistika memiliki banyak keuntungan (LeSage 2005). Kajian model SUR-SAR dengan pendekatan Bayesian ini merupakan kajian empiris pada data kejadian DBD dan faktor-faktor penyertanya dari 68 kelurahan di Kota Bogor tahun Proses pendugaan parameter dilakukan menggunakan algoritma Gibbs Sampler dan Metropolis-Hasting melalui simulasi Markov Chain Monte Carlo (MCMC) sampai tercapainya konvergen dalam hal stasioneritas sebaran posterior parameter model. Berdasarkan analisis diperoleh hasil bahwa otokorelasi spasial lag, kontribusi peubah prediktor yang berubah setiap tahun, dan korelasi model individu (tahunan) dapat ditangkap oleh model SUR-SAR yang didukung oleh data. Model SUR-SAR merupakan model yang lebih baik daripada model-model individu SAR dalam mengepas data DBD Kota Bogor karena lebih efisien dalam menduga parameter dan memiliki derajat kecocokan model yang lebih tinggi. Kata kunci: DBD, Panel Spasial, Regresi Otoregresif Spasial, Seemingly Unrelated Regression, Markov Chain Monte Carlo

5 SUMMARY HILMAN DWI ANGGANA. Spatial Panel Data Modeling Using SUR-SAR Model with Bayesian Approach. Supervised by ASEP SAEFUDDIN and BAGUS SARTONO. The Seemingly Unrelated Regression (SUR) is a model system that found by Zellner (1962). The idea of using this model system is to accommodate the problems from relationship among the individual model which built simultaneously. The problems are the efficiency of parameter estimation and the obtained information. SUR concept has been developed, one of them in the study of spatial statistics (Anselin 1988). In this study, the individual models are spatial lag regression or spatial autoregressive models (SAR) which built by different years. The relationship among SAR models is accommodated by the model so that it becomes SUR-SAR model based on spatial panel data. The problems faced by SUR-SAR models are not just limited to the relationship of individual models, but also the problem related to a method/approach on the parameter estimation that provide a closed form solution and has exact statistical test. Bayesian approach is one of the parameter estimation method that can overcome these problems due to more practical (Griffiths 2001) and statistically has many advantages (Lesage 2005). The study of SUR-SAR model with the Bayesian approach is an empirical study on Dengue Hemorrhagic Fever (DHF) data from 68 villages in the city of Bogor during The process of parameter estimation was performed by Markov Chain Monte Carlo (MCMC) simulation with Metropolis-Hasting and Gibbs Sampler algorithms until convergence in stationerity posterior distribution. The analysis showed that the spatial lag autocorrelation, the contributions of predictor variables which varies every year, and the correlation of individual models (yearly) could be captured by SUR-SAR models and then supported by the data. The SUR-SAR model was better than the individual SAR models in fitting DHF data of Bogor during due to had higher level of the efficiency of parameter estimation and the goodnes of fit model. Keywords: DHF, Seemingly Unrelated Regression, Spatial Autoregressive Model, Spatial Panel, Markov Chain Monte Carlo

6 Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

7 PEMODELAN DATA PANEL SPASIAL MENGGUNAKAN MODEL SUR-SAR DENGAN PENDEKATAN BAYESIAN HILMAN DWI ANGGANA Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Statistika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr Ir Kusman Sadik, MSi

9 Judul Tesis : Pemodelan Data Panel Spasial Menggunakan Model SUR-SAR dengan Pendekatan Bayesian Nama : Hilman Dwi Anggana NIM : G Disetujui oleh Komisi Pembimbing Prof Dr Ir Asep Saefuddin, MSc Ketua Dr Bagus Sartono, SSi MSi Anggota Diketahui oleh Ketua Program Studi Statistika Dekan Sekolah Pascasarjana Dr Ir Kusman Sadik, MSi Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr Tanggal Ujian: 9 November 2015 Tanggal Lulus:

10 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga tesis berjudul Pemodelan Data Panel Spasial Menggunakan Model SUR-SAR dengan Pendekatan Bayesian ini berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir Asep Saefuddin, MSc dan Bapak Dr Bagus Sartono, SSi MSi, selaku pembimbing, atas kesediaan dan kesabaran untuk membimbing dan membagi ilmunya kepada penulis dalam penyusunan tesis ini. Terimakasih kepada Bapak Dr Ir Kusman Sadik, MSi selaku penguji luar komisi pembimbing. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan sebesar-besarnya kepada seluruh Dosen Departemen Statistika IPB yang telah mengasuh dan mendidik penulis selama di bangku kuliah hingga berhasil menyelesaikan studi, serta seluruh staf Departemen Statistika IPB atas bantuan, pelayanan, dan kerjasamanya selama ini. Ucapan terima kasih yang tulus dan penghargaan yang tak terhingga juga penulis ucapkan kepada kedua orangtua penulis Bapak Tatang Sasmita dan Ibu Imas Lilis Heryani yang telah membesarkan dan mendidik penulis dengan penuh kasih sayang demi keberhasilan penulis selama menjalani proses pendidikan, juga kakak penulis Riska Liestiana serta seluruh keluarga penulis atas doa dan semangatnya. Terakhir tak lupa penulis juga menyampaikan terima kasih kepada seluruh mahasiswa Pascasarjana Departemen Statistika atas segala bantuan dan kebersamaannya selama menghadapi masa-masa terindah maupun tersulit dalam menuntut ilmu, serta semua pihak yang telah banyak membantu dan tak sempat penulis sebutkan satu per satu. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Bogor, Januari 2016 Hilman Dwi Anggana

11 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN 1 PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Seemingly Unrelated Regression 2 Seemingly Unrelated Regression-Spatial Autoregressive Model 4 Bayesian Model 6 Markov Chain Monte Carlo 7 Algoritma Metropolis-Hasting 7 Algoritma Gibbs Sampler 8 Model Regresi Spasial dengan Pendekatan Bayesian 9 Bayesian Seemingly Unrelated Regression-Spatial Autoregressive Model 12 Diagnostik Konvergensi MCMC 14 Galat Baku Monte Carlo 15 Deviance Information Criterion 15 3 METODE PENELITIAN 16 Data 16 Metode Analisis Data 17 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 19 Hubungan antar Model-model Individu 19 Penduga Model SUR-SAR dengan MCMC 19 Diagnostik Konvergensi MCMC 19 Ringkasan Statistik Posterior 21 Pengujian Keberartian Parameter Model 22 Evaluasi Model Hasil Simulasi MCMC 23 Perbandingan Model SUR-SAR dan Model Individu SAR 24 Nilai Dugaan Model SUR dan Model Individu 24 Analisis Efisiensi Pendugaan Parameter Melalui GBMC 25 5 SIMPULAN DAN SARAN 26 Simpulan 26 Saran 26 DAFTAR PUSTAKA 28 LAMPIRAN 30 RIWAYAT HIDUP 57 vi vi vi

12 DAFTAR TABEL 1 Korelasi sisaan model-model individu 19 2 Uji Geweke hasil simulasi MCMC 20 3 Statistik posterior hasil simulasi MCMC 21 4 Statistik DIC 22 5 Galat baku posterior dan galat baku Monte Carlo hasil simulasi MCMC 23 6 Penduga parameter model SUR-SAR dan model individu SAR 24 7 GBMC SUR-SAR (A) dan GBMC individu SAR 25 DAFTAR GAMBAR 1 Peta Kota Bogor 16 2 Diagram alir simulasi MCMC 18 DAFTAR LAMPIRAN 1 Penurunan Sebaran Posterior Bersyarat Model Bayesian SAR 30 2 Penurunan Sebaran Posterior Bersyarat Model Bayesian SUR-SAR 35 3 Plot diagnostik simulasi MCMC model SUR-SAR 40 4 Matriks W queen contiguity kelurahan di Kota Bogor 52 5 Kode nomor kelurahan di Kota Bogor pada matriks bobot spasial W 56

13 1 PENDAHULUAN 1 Latar Belakang Analisis regresi adalah sebuah analisis statistika yang digunakan untuk mengkaji pola hubungan antar peubah. Pada beberapa kasus ekonometrika, sering terjadi kasus pendugaan banyak model individu (model regresi) secara simultan. Pendugaan model regresi secara simultan ini dapat menimbulkan isu terdapatnya hubungan antar model regresi tersebut seperti halnya konsep pengukuran beberapa peubah secara simultan pada analisis peubah ganda yang mengasumsikan antar peubah saling berhubungan (Tim 2002 dan Sun et al. 2014). Seemingly Unrelated Regression (SUR) yang diajukan oleh Zellner (1962) adalah sebuah sistem model yang merupakan perluasan dari model regresi linier yang dapat mengakomodasi hubungan antar model individu melalui struktur hubungan antar galat model individunya (Sun et al. 2014). Felmlee dan Hargens (1988) menunjukkan bahwa model SUR dapat mengatasi masalah efisiensi pendugaan parameter dan informasi dari data yang hilang pada model-model individu yang memiliki hubungan kesebayaan (contemporaneous correlation) melalui nilai galat baku penduga parameter model SUR yang nilainya lebih kecil dari galat baku penduga parameter model-model individunya. Pada kajian statistika spasial, model SUR telah banyak dikembangkan, diantaranya penelitian yang dilakukan oleh Wang dan Kockelman (2007), Zou dan Kockelman (2009), dan Kakamu et al. (2011). Model SUR digunakan pada data panel spasial dengan membangun modelmodel yang terdiri dari sebuah model regresi spasial pada setiap periode waktu yang diduga untuk sebuah data cross section dari unit-unit spasialnya (Anselin 1988). Keuntungan penggunaan model SUR dalam model-model data panel adalah memerhatikan aspek waktu yang memiliki parameter yang nilainya berubah (time varying parameters) sehingga hal ini berguna bagi peneliti yang tertarik dengan dinamika dari parameter (Kakamu et al. 2011). Walaupun analisis data panel spasial berkembang pesat dalam beberapa area penelitian, model-model panel spasial jarang digunakan dalam ekonometrika. Salah satu alasannya adalah kesulitan mengevaluasi fungsi kemungkinan dari model (Kakamu et al. 2011) Pendugaan parameter pada model SUR memiliki masalah yaitu solusi yang dihasilkan merupakan solusi dalam bentuk persamaan yang tidak closed form sehingga untuk mendapatkan solusinya memerlukan pendekatan analisis numerik yang relatif rumit (Kakamu et al. 2011). Masalah lainnya terkait metode pendugaan parameter adalah solusi numerik yang diperoleh sering menghasilkan statistik yang tidak dapat diuji karena sulitnya menemukan formulasi uji statistik. Salah satu alternatif praktis pendekatan pendugaan parameter yang digunakan untuk model SUR adalah dengan menggunakan metode pendugaan Bayesian (Griffiths 2001). Hal pendukung lainnya, ada beberapa keuntungan penggunaan pendekatan Bayesian dalam pemodelan regresi spasial yang dikemukakan oleh LeSage (2005), diantaranya adalah: pendekatan Bayesian dapat menemukan solusi dari permasalahan pengujian hipotesis dalam pendekatan kemungkinan maksimum yang dihitung secara numerik, mengurangi keketatan asumsi ragam

14 2 galat yang konstan pada metode kemungkinan maksimum, dan fleksibel dalam perbandingan antar model. Berdasarkan uraian di atas, menjadi hal yang menarik untuk mengkaji model berbasis SUR pada data panel spasial seperti yang diungkapkan (Anselin 1988) menggunakan pendekatan Bayesian, dalam hal ini model spasial yang digunakan adalah model otoregresif spasial /spatial autoregressive model (SAR) yang diterapkan pada data kejadian DBD Kota Bogor tahun Tujuan Penelitian Pada umumnya tujuan utama penelitian ini adalah untuk memberikan khazanah baru pengembangan model regresi spasial (SAR) yang saling berhubungan pada data panel spasial berdasarkan masalah efisiensi pemodelan dan kepraktisan pendekatan pendugaan parameter model. Tujuan utama tersebut diperinci kedalam tujuan khusus berikut ini : 1. Mengkaji penggunaan sistem SUR untuk data panel spasial melalui model pembangun regresi SAR dengan pendekatan Bayesian yang diterapkan pada data kejadian DBD Kota Bogor Mengevaluasi kelayakan model yang dihasilkan melalui proses simulasi berdasarkan konvergensi MCMC, efisiensi pendugaan model, dan kecocokan model. 2 TINJAUAN PUSTAKA Seemingly Unrelated Regression Andaikan sebuah sistem model regresi dibangun dari M model regresi (M peubah respon) dengan setiap model mempunyai n unit pengamatan yang sama, vektor peubah respon dalam sistem dinotasikan dengan, matriks-matriks rancangan berisi peubah prediktor dari setiap model dalam sistem berurutan adalah X 1,X 2,..., X m. Sistem model dari M model regresi ini ditulis (Zellner 1962) : (1) Berdasarkan sistem model yang diberi nama Seemingly Unrelated Regression (SUR) ini maka akan terdapat M model regresi dan n unit pengamatan pada data contoh yang digunakan untuk menduga parameter model. Model SUR disajikan dalam bentuk umum untuk setiap model regresi (Zellner 1962) : (2)

15 dengan adalah vektor peubah respon berukuran, adalah matriks rancangan yang bersifat non stokastik berukuran, menyatakan banyaknya peubah prediktor yang dimasukkan pada model ke-m, adalah vektor koefisien regresi yang sifatnya tidak diketahui berukuran dan adalah vektor galat berukuran. Sistem model regresi dalam bentuk vektor-matriks model regresi yang umum ditulis (3) Untuk model sistem SUR, model regresi secara umum ini berisi vektor-matriks sebagai berikut 3 (4) Zellner (1962) mengasumsikan bahwa M model akan memiliki hubungan kesebayaan yang dinyatakan melalui struktur ragam-peragam galat model sistem SUR pada persamaan (5) dan persamaan (6) berikut ( ) ( ) (5) (6) Struktur ragam-peragam galat model SUR yaitu Ω merupakan matriks definit positif yang dibangun berdasarkan nilai ragam-peragam galat model individunya. Andaikan ε m adalah vektor galat model ke-m dan adalah vektor galat model ke-, peragam keduanya dinotasikan dengan ( ) (7) Model SUR tetap mempertahankan asumsi antar pengamatan saling bebas sehingga nilai peragam galat antar unit pengamatan bernilai nol. Berdasarkan hal ini ragam-peragam galat model SUR dapat ditulis dengan adalah matriks identitas berukuran dan Σ adalah matriks definit positif yang dapat ditulis sebagai (8)

16 4 (9) Proses pendugaan parameter model sangat bergantung kepada matriks Ω. Apabila nilai Ω diketahui, penduga generalized least square (GLS) atau metode kuadrat terkecil terampat (MKTT) dari model SUR adalah (10) akan tetapi pada prakteknya Ω tidak diketahui dan harus diduga dari data (Baltagi 2008). Pendugaan parameter dilakukan dengan feasible generalized least square (FGLS) melalui prosedur 3 stage least square (3SLS) atau kuadrat terkecil tiga tahap. Baltagi (2008) menjelaskan langkah-langkah pendugaan ini sebagai berikut : 1. Lakukan pendugaan parameter yaitu dengan mencari menggunakan metode kuadrat terkecil terhadap M model regresi, untuk m = 1,2,..,M. 2. Dari setiap model tentukan vektor sisaannya :, untuk m = 1,2,..,M. 3. Untuk m,m = 1,2, M, duga matriks ragam-peragam antar galat model regresi yaitu hitung melalui : i. Penduga ragam untuk setiap model regresi yaitu. ii. Penduga peragam untuk setiap dua model yaitu ( ). 4. Hitung sehingga diperoleh : ( ). 5. Nilai dapat dicari lagi menggunakan nilai-nilai sisaan hasil dugaan model pada langkah 4 sampai diperoleh nilai yang konvergen sehingga prosedur ini kadang disebut juga prosedur pendugaan model SUR iteratif. Seemingly Unrelated Regression Spatial Autoregressive Model Regresi otoregresif spasial atau spatial autoregressive model (SAR) adalah model regresi biasa dengan penambahan pengaruh spasial pada peubah responnya. Model-model regresi spasial dapat memiliki hubungan kesebayaan. Anselin (1988) mengenalkan konsep SUR spasial terhadap model-model regresi spasial yang dibangun masing-masing untuk satu periode waktu tertentu. Andaikan terdapat T periode waktu, sistem model SUR dari model regresi SAR ditulis (11) dengan mengasumsikan ( )

17 5 Persamaan (11) dapat ditulis ulang dalam bentuk (12) dengan memisalkan dan, persamaan (12) ditransformasi menjadi model regresi umum sebagai berikut dengan y* adalah vektor peubah respon yang sudah ditransformasi berukuran, P adalah matriks diagonal dengan nilai-nilai diagonalnya ρ 1, ρ 2,..., ρ T berukuran T T, W adalah matriks pembobot spasial berukuran n n, X adalah matriks rancangan non stokastik berukuran, menyatakan banyaknya peubah prediktor yang dimasukkan pada model ke-t, β adalah vektor koefisien regresi yang tidak diketahui berukuran, dan ε adalah vektor galat berukuran. Adanya hubungan antar model regresi SAR yang disajikan dalam sistem model SUR-SAR dinyatakan melalui matriks ragam-peragam galat model SUR yaitu (13) Jika adalah galat model SUR-SAR yang sudah dibakukan, Anselin (1988) menyatakan fungsi kepekatan peluang vektor v dapat ditulis dalam bentuk sebaran normal ganda baku sebagai berikut (14) { } (15) Dengan demikian, fungsi kemungkinan bagi model SUR-SAR adalah (Anselin 1988) ( ) { } { } (16) dengan. Logaritma natural dari fungsi kemungkinan model SUR-SAR yaitu ( ) ditulis sebagai berikut

18 6 ( ) { } { } { } Penduga kemungkinan maksimum untuk parameter model SUR-SAR ini dilakukan dengan memaksimumkan fungsi ( ) terhadap parameter yang diduga melalui optimasi secara numerik. Metode pendugaan parameter lainnya adalah dengan menggunakan instrumental variables (IV) dan metode kuadrat terkecil tiga tahap (MKTTT) atau sering disebut FGLS (Anselin, 1988). Metode kemungkinan maksimum, IV, dan FGLS semuanya memberikan solusi yang tidak closed form sehingga diperlukan analisis numerik secara iteratif (Anselin 1988 dan Kakamu et al. 2011). Bayesian Model (17) Pendekatan Bayesian berbeda dengan pendekatan statistika klasik yang mengasumsikan bahwa parameter adalah suatu nilai tidak diketahui yang sifatnya tetap. Chen et al. (2000) dan Gelman et al. (2004) menyebutkan bahwa pendekatan ini didasarkan pandangan subjektif dari peluang, ketidakpastian mengenai sesuatu yang tidak diketahui (parameter) dapat diekspresikan dengan menggunakan aturan peluang melalui optimalisasi informasi dari parameter (prior) dan informasi dari data (fungsi kemungkinan). Sebaran prior mengekspresikan informasi yang tersedia bagi peneliti sebelum data dimasukkan ke dalam analisis. Oleh karena itu, sebaran prior yang digunakan dalam model berbasis Bayesian harus ditentukan terlebih dahulu sebelum melakukan pemodelan (Hajarisman 2013). Jika θ adalah parameter model dan D adalah data pengamatan, berdasarkan teori Bayes sebaran posterior bagi θ bersyarat D ditulis (Chen et al. 2000) : ( ) ( ) ( ) (18) dengan ( ) ( ) merupakan informasi dari data pengamatan setelah memasukan parameter model θ, informasi ini sering disebut juga sebagai fungsi kemungkinan dari parameter model, merupakan sebaran prior bagi θ. Penentuan sebaran prior merupakan hal yang sangat penting dalam modelmodel berbasis Bayesian. Namun, pada umumnya sebaran prior ini tidak diketahui sehingga kita perlu menspesifikasikan sebaran prior yang tidak akan berpengaruh terhadap sebaran posterior (Hajarisman 2013). Biasanya pada kasus seperti ini sering digunakan sebaran prior noninformative. Namun, tidak pada semua kasus, penggunaan sebaran prior noninformative memberikan hasil inferensi pada sebaran posterior menjadi valid karena sebaran posterior menjadi improper (hasil integrasi menjadi tak hingga) diakibatkan sebaran prior yang improper (Ntzoufras 2009).

19 Untuk memudahkan dan menyederhanakan proses inferensi Bayes ketika tidak ada informasi yang diketahui secara pasti mengenai parameter (noninformative) digunakan sebaran prior conjugate (Gamerman & Lopes, 2006). Menurut Ntzoufras (2009), sebaran prior conjugate merupakan sebaran yang memberikan sebaran prior dan posterior yang berasal dari keluarga sebaran yang sama. Sebuah sebaran prior adalah anggota dari keluarga sebaran S dengan parameter α adalah conjugate terhadap sebaran ( ) jika menghasilkan sebaran posterior ( ) yang juga anggota dari keluarga sebaran yang sama. Dengan demikian jika, maka ( ) ( ) dengan α dan adalah parameter dari sebaran prior dan posterior. Penarikan contoh acak dilakukan dengan menggunakan sebaran posterior bersyarat bagi masing-masing parameter dan pendugaan parameter dilakukan dengan menghitung rataan posterior bersyarat dari parameter yang menjadi fokus perhatian dalam model (Carlin & Louis, 2000). Gilks et al. (1996) dan Ntzoufras (2009) mengatakan bahwa proses penarikan contoh acak dari sebaran posterior bersyarat melibatkan integrasi dan komputasi yang rumit sehingga dilakukan simulasi dengan Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Markov Chain Monte Carlo Menurut Gilks et al. (1996), Markov Chain Monte Carlo (MCMC) pada model berbasis pendekatan Bayesian adalah teknik simulasi yang digunakan untuk membangkitkan contoh acak secara berurutan dari sebaran posterior bagi parameter model. Ide simulasi MCMC pada model-model Bayesian berawal dari permasalahan integrasi multidimensi yang tidak bisa diselesaikan secara analitik biasa pada pencarian momen-momen (nilai harapan dan ragam) dari sebaran posteriornya. Teknik MCMC mengkonstruksi contoh-contoh acak dari sebaran posterior sebagai rantai Markov yang konvergen pada sebaran target (stasioner) sehingga prosesnya dilakukan secara iteratif yang mana contoh yang dibangkitkan bergantung pada satu nilai sebelumnya. Dua algoritma popular yang sering digunakan dalam simulasi MCMC adalah algoritma Metropolis-Hasting dan algoritma Gibbs Sampler (Ntzoufras 2009). Algoritma Metropolis-Hasting Algoritma Metropolis-Hasting biasanya digunakan ketika bentuk sebaran posterior dari parameter yang menjadi perhatian penelitian mempunyai bentuk yang tidak pasti sehingga dalam proses pembangkitan contoh acak parameter memerlukan sebaran kandidat (Chen et al. 2000; Gamerman & Lopes 2006; Ntzoufras 2009). Misalkan, untuk setiap tahap ke-s, contoh acak pada tahap selanjutnya ( ) merupakan sebuah nilai kandidat yang berasal dari sebaran kandidat ( ). Sebaran kandidat ini mungkin dapat bergantung kepada nilai saat ini θ. Jika ( )dan ( )berurutan menyatakan sebaran posterior bersyarat (biasanya berbentuk nilai hampiran) dari nilai kandidat dan nilai saat ini, sebuah nilai kandidat hasil pembangkitan dengan menggunakan sebaran kandidat akan dievaluasi dengan menggunakan peluang penerimaan dengan 7

20 8 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) (19) jika nilai kandidat diterima, nilai contoh acak pada tahap selanjutnya menjadi. Sedangkan jika nilai kandidat ditolak, nilai contoh acak pada tahap selanjutnya menjadi. Ntzoufras (2009) meringkas algoritma Metropolis-Hasting dalam inferensi Bayesian sebagai berikut : ( 1) Tentukan nilai inisiasi ). 2) Untuk s=1,2, S, ulangi langkah-langkah berikut : a. Tetapkan b. Bangkitkan nilai kandidat parameter yang berasal dari sebuah sebaran kandidat ( ) c. Hitung ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) d. Ganti dengan peluang ( ); selainnya tetapkan. Salah satu kasus dari algoritma Metropolis-Hasting terjadi ketika nilai sebaran kandidat yang simetris, yang mana berlaku ( ) ( ) ( ). Algoritma Metropolis-Hasting pada kasus ini sering disebut dengan algoritma Random-walk Metropolis dengan ciri utama peluang penerimaan hanya bergantung kepada sebaran posterior target (Gamerman & Lopes 2006). Algoritma Gibbs Sampler Algoritma Gibbs sampler adalah kasus khusus lainnya dari algoritma Metropolis-Hasting yang mana peluang penerimaan selalu bernilai satu untuk setiap iterasi sehingga contoh acak yang dibangkitkan (nilai kandidat) selalu diterima sebagai contoh acak baru pada semua iterasi (Ntzoufras 2009). Pada umumnya sebaran posterior bersyarat dari parameter yang sedang diperhatikan dalam model berbasis Bayesian menggunakan algoritma ini memiliki bentuk sebaran posterior bersyarat yang pasti. Jika sebuah vektor parameter dan nilai inisiasi yang diberikan ( ), untuk iterasi s = 1, 2,, S, maka algoritma Gibbs sampler membangkitkan dari sebagai berikut (Gamerman & Lopes 2006 dan Hoff 2009) : 1) Bangkitkan 2) Bangkitkan 3) Bangkitkan ( ) ( ) ( ) p) Bangkitkan ( )

21 sehingga algoritma Gibbs sampler ini akan memiliki vektor berurutan yang memiliki hubungan sebagai berikut : ( ) ( ) 9 ( ) Untuk setiap tahap, bergantung kepada hanya melalui sehingga bebas bersyarat jika diberikan. Sifat ini merupakan sifat dari rantai Markov sehingga semua contoh acak berurutan pada algoritma Gibbs sampler merupakan sebuah rantai Markov. Model Regresi Spasial dengan Pendekatan Bayesian Menurut LeSage (1997), terdapat dua isu permasalahan pendugaan model regresi spasial menggunakan pendekatan Bayesian melalui simulasi MCMC. Kasus pertama adalah ketika semua sebaran posterior bersyarat bentuknya pasti dan diketahui, misalkan bentuk sebaran posterior bersyarat bagi parameter koefisien regresi adalah sebuah sebaran normal. Sebagai teladan, andaikan sebuah model mempunyai parameter yang sedang diperhatikan adalah β dan σ 2, dengan sebaran posterior bersyarat bagi masing-masing parameter berurutan adalah sebaran normal ganda dan sebaran invers-gamma. Memulai dengan sebuah nilai inisiasi untuk β, sebuah contoh acak dari sebaran invers-gamma dibangkitkan, misalkan hasil bangkitannya adalah, yang digunakan untuk membangkitkan menggunakan sebaran normal ganda, nilai kemudian digunakan untuk membangkitkan contoh acak dari sebaran invers-gamma lainnya yakni untuk mengganti, dan begitu seterusnya. Gelfand dan Smith (1990) menunjukkan bahwa algoritma Gibbs sampler pada simulasi MCMC akan memproduksi sebaran posterior bersama dari β dan σ 2 yang sebarannya konvergen. Jika contoh acak yang dibangkitkan bagi β dan σ 2 saling bebas, berdasarkan hukum bilangan besar nilai harapan bagi β dan σ 2 nilainya diaproksimasi dari nilai rataan contoh. Kasus sederhana ini adalah kasus yang mana sebaran posterior bersyarat parameter model berasal dari sebaran posterior bersyarat yang bentuknya diketahui yang sering disebut conjugate sampling sehingga menimbulkan penggunaan sebaran prior conjugate pada model-model dengan pendekatan Bayesian. Kasus kedua yang lebih kompleks dari kasus pertama adalah sebaran posterior bersama bagi parameter efek spasial, misalkan parameter ρ tidak memiliki bentuk sebaran posterior yang pasti dan sulit dilakukan simulasi dengan algoritma baku pada simulasi MCMC. Penarikan contoh acak bagi parameter efek spasial bergantung kepada rasio dari pendekatan Uniform (Devrove 1986 dalam LeSage 1997), biasanya penarikan contoh acak parameter efek spasial menggunakan bantuan nilai sebaran kandidat berbentuk sebaran Uniform (LeSage 1997). Dengan demikian penggunaan sebaran prior noninformative untuk

22 10 parameter model regresi spasial pada penelitian ini hanya difokuskan pada penggunaan sebaran prior conjugate. Sebaran prior bagi parameter koefisien regresi (β) umumnya sebuah sebaran normal ganda karena pada prakteknya sederhana dan secara komputasi telah banyak dikembangkan (Gelman et al. 2014). Selain itu penggunaan sebaran conjugate berbentuk sebaran normal ganda bagi β pada model-model regresi dengan asumsi galat menyebar normal memberikan hasil pendugaan parameter yang relatif identik dengan pendugaan kemungkinan maksimum karena sebaran prior normal ganda merupakan sebaran yang datar/tidak berpengaruh (flat prior) sehingga model regresi dengan pendekatan Bayesian adalah regresi terboboti dari model regresi dengan pendekatan kemungkinan maksimum (Ntzoufras 2009 dan Gelman et al. 2014). Penggunaan sebaran normal ganda bagi parameter β dalam model-model regresi diantaranya Lindley dan Smith (1972), Ghosh dan Hoekstra (1995), dan Austin (2008). Sedangkan pada model-model regresi spasial dengan menggunakan sebaran normal ganda bagi parameter β diantaranya LeSage (1997) dan Kakamu et al. (2011). Penentuan sebaran prior bagi parameter spasial menggunakan sebaran prior yang mudah dan sering diperlakukan sebagai sebuah konstanta, biasanya menggunakan sebaran Uniform (LeSage 1997). Hal ini dilakukan karena sebaran posterior bersyarat bagi parameter spasial yang digunakan untuk penarikan contoh memiliki bentuk sebaran yang tidak pasti sehingga diperlukan sebuah sebuah prosedur khusus untuk membangkitkan contoh acak. Prosedur khusus ini sering disebut dengan ratio of uniforms sampling (Devrove 1986 dalam LeSage 1997). Proses pembangkitan contoh acak bagi parameter spasial dengan prinsip ratio of uniforms sampling dilakukan dengan algoritma Metropolis-Hastings dengan sebaran kandidat merupakan sebaran normal baku (LeSage 1997). Pada penelitian ini model regresi spasial yang digunakan adalah model regresi otoregresif spasial/spatial autoregressive model (SAR). Model regresi spasial SAR adalah sebuah model regresi umum dengan adanya penambahan pengaruh spasial pada peubah responnya. Menurut LeSage (1997) model regresi spasial SAR dengan pendekatan Bayesian (Bayesian SAR) adalah model regresi SAR dengan adanya penambahan informasi awal pada parameter model berupa sebaran prior conjugate untuk parameter koefisien regresi spasial β dan parameter ragam σ 2, sedangkan parameter koefisien otokorelasi spasial ρ menggunakan sebaran Uniform. Model Bayesian SAR dapat ditulis sebagai berikut (LeSage 1997) : ( ) (20) dengan y adalah vektor peubah respon berukuran, ρ adalah koefisien otokorelasi spasial lag, W adalah matriks pembobot spasial berukuran, X adalah matriks rancangan yang bersifat non stokastik berukuran, k menyatakan banyaknya peubah prediktor yang dimasukkan pada

23 model, β adalah vektor koefisien regresi yang sifatnya tidak diketahui berukuran dan ε adalah vektor galat berukuran. Informasi awal mengenai parameter, parameter β menyebar normal ganda dengan vektor rataan b 0 dan matriks ragam-peragam B 0, σ 2 menyebar mengikuti sebaran invers-gamma dengan parameter dan, dan ρ menyebar mengikuti sebaran Uniform antara kebalikan nilai maksimum dan minimum nilai ciri dari matriks pembobot spasial (W). Sebaran posterior bersama bagi parameter { } dengan mengasumsikan antar sebaran prior saling bebas adalah ( ) ( ) { } { } { } 11 (21) Berdasarkan sebaran posterior bersama ini, akan ditentukan sebaran posterior bersyarat bagi masing-masing parameter yaitu sebaran posterior bersyarat bagi β, σ 2, dan ρ. Sebaran posterior bersyarat bagi β adalah ( ) ( ) (22) dengan dan Sebaran posterior bersyarat bagi σ 2 adalah sebaran invers-gamma dengan parameter a 1 dan d 1 yang ditulis ( ) ( ) (23) dengan dan { } Sedangkan sebaran posterior bersyarat bagi ρ merupakan sebaran pendekatan yang ditulis ( ) ( ) { } (24) Penurunan sebaran posterior bersyarat bagi masing-masing parameter model Bayesian SAR dapat dilihat pada Lampiran 1. Bentuk sebaran posterior bersyarat bagi ρ merupakan bentuk yang tidak pasti sehingga untuk membangkitkan contoh acak bagi ρ diperlukan algoritma Random-walk Metropolis dengan sebaran kandidatnya adalah sebaran normal baku. Nilai kandidat dibangkitkan dengan mempertimbangkan nilai saat ini dan nilai dari sebaran normal baku dengan parameter tuning (c)

24 12 melalui persamaan Kemudian nilai kandidat dievaluasi dengan menggunakan peluang penerimaan dengan formula ( ( ) ( ) ) (25) Bayesian Seemingly Unrelated Regression-Spatial Autoregressive Model Kakamu et al. (2011) mengembangkan model Bayesian SAR dari LeSage (1997) dengan sistem model dari Zellner (1962) yang disebut dengan model Bayesian SUR-SAR. Model Bayesian SUR-SAR ini dibangun dengan beberapa model regresi spasial SAR yang diasumsikan memiliki hubungan antar galat model regresi SAR dengan pendugaan parmeter dilakukan menggunakan pendekatan Bayesian. Berdasarkan penjelasan mengenai informasi sebaran prior yang sering digunakan pada model-model regresi spasial sebelumnya dan seperti pada model Bayesain SAR, model Bayesian SUR-SAR pada penelitian ini menggunakan asumsi sebaran prior conjugate bagi parameter koefisien regresi β dan matriks pembangun ragam-peragam galat model Σ, sedangkan parameter koefisien otokorelasi spasial ρ menggunakan sebaran Uniform. Model Bayesian SUR-SAR dapat ditulis (Kakamu et al. 2011) sebagai berikut : ( ) (26) Informasi awal mengenai parameter, parameter β menyebar normal ganda dengan vektor rataan b 0 dan matriks ragam-peragam B 0, Σ menyebar mengikuti sebaran invers-wishart dengan parameter skala dan derajat bebas, dan ρ menyebar mengikuti sebaran seragam antara kebalikan nilai maksimum dan minimum nilai ciri dari matriks pembobot spasial (W) (Kakamu et al. 2011). Sebaran posterior bersama berdasarkan fungsi kemungkinan pada persamaan (16) dengan asumsi antar prior saling bebas ditulis ( ) ( ) { } { } { } (27) Sebaran posterior bersyarat bagi parameter β, Σ, dan ρ diperoleh berdasarkan sebaran posterior marjinal dari fungsi sebaran posterior bersama pada persamaan (27). Sebaran posterior bersyarat bagi parameter β adalah sebaran normal ganda dengan vektor rataan dan matriks ragam-peragam ditulis sebagai berikut

25 13 ( ) ( ) ( ) (28) dengan ( ) ( ) dan ( ) yang diperoleh dari dan ( ). Sebaran posterior bersyarat bagi Σ adalah sebaran invers-wishart dengan parameter skala dan derajat bebas yang ditulis ( ) ( ) ( ) (29) dengan dan.sebaran posterior bersyarat bagi ρ digunakan untuk setiap model ke-t. Sebaran yang merupakan sebaran posterior marjinal dari sebaran posterior bersama ini adalah sebuah sebaran pendekatan berbentuk ( ) ( ) { } (30) Secara lengkap penurunan sebaran posterior bersyarat bagi masing-masing parameter model Bayesian SUR-SAR dapat dilihat pada Lampiran 2. Bentuk sebaran posterior bersyarat bagi ρ t merupakan bentuk yang tidak pasti sehingga untuk membangkitkan contoh acak bagi ρ t diperlukan algoritma Random-walk Metropolis dengan sebaran kandidatnya adalah sebaran normal baku. Nilai kandidat otokorelasi spasial lag model ke-t dibangkitkan dengan mempertimbangkan nilai saat ini dan nilai dari sebaran normal baku melalui persamaan (31) Kemudian nilai kandidat dievaluasi dengan menggunakan peluang penerimaan dengan formula ( ( ) ( ) ) (32) Nilai ( ) tentunya bergantung kepada nilai sebaran posterior tanpa melibatkan model ke-t yang merupakan fungsi otokorelasi spasial selain model ke-t pada saat ini.

26 14 Diagnostik Konvergensi MCMC Konvergensi dalam simulasi MCMC adalah isu yang sangat penting dalam menghasilkan penduga parameter yang benar dari sebaran posterior yang sedang dikaji. Sebuah masalah dalam simulasi MCMC adalah konvergensi tidak selalu didiagnosis dengan jelas seperti dalam metode optimasi. Peneliti harus menentukan banyaknya iterasi dan burn-in period dari proses simulasi MCMC yang akan dilakukan dalam menganalisis sebaran posterior model. Diagnostik konvergensi mengacu kepada tercapainya stasioneritas dari sebaran posterior model. Ada dua cara yang dapat dilakukan dalam melakukan diagnostik konvergensi MCMC yaitu melalui metode grafis dan metode formal pengujian hipotesis (Ntzoufras 2009). Metode grafis untuk diagnostik MCMC dapat dilakukan dengan menggunakan trace plot, density plot, acf plot, dan ergodic mean plot. Trace plot adalah plot antara nilai contoh acak/rantai Markov yang dibangkitkan dengan indeks iterasinya. Suatu rantai Markov dikatakan stasioner dalam sebaran jika nilai-nilai contoh acaknya tidak berubah sepanjang rantai Markov tersebut atau dapat dikatakan jika rantai Markov tersebut cenderung stabil tidak membentuk trend maupun periode tertentu. Plot rataan ergodik adalah plot antara rataan kumulatif dengan indeks iterasi, jika plot rataan ergodik cenderung stabil maka rantai Markov telah mencapai konvergen dalam hal rataan sebarannya. Karena rantai Markov merupakan yang disimulasikan merupakan proses yang berhubungan dengan waktu, untuk menilai suatu proses simulasi MCMC konvergen atau belum dapat digunakan acf plot dan untuk menyatakan bentuk sebaran dapat digunakan density plot. Uji formal konvergensi MCMC dapat dilakukan dengan statistik uji diantaranya adalah statistik Geweke, statistik Raftery-Lewis, statistik Gelman- Rubin, statistik Heidelberger-Welch, dan statistik Brooks-Gelman (Sinharay 2004). Pada penelitian ini digunakan statistik uji diagnostik konvergensi MCMC yang sederhana dan sering digunakan yaitu statistik uji Geweke. Geweke (1992) mengajukan uji diagnostik konvergensi dari rataan setiap parameter secara terpisah dari contoh acak yang dibangkitkan dari sebuah rantai tunggal. Prosedurnya adalah dengan membagi contoh acak yang telah dibangkitkan menjadi dua kelompok misalkan kelompok contoh acak A dan kelompok contoh acak B, biasanya menjadi 10% awal (A) dan 50% akhir (B) dari total contoh acak yang akan dievaluasi konvergensinya. Uji kesamaan rataan dari kedua kelompok kemudian dilakukan untuk mengetahui apakah kedua kelompok contoh acak yang dibangkitkan berasal dari sebaran yang stasioner atau belum. Uji Geweke berlandaskan teori analisis spektral pada analisis deret waktu, misalkan himpunan contoh acak yang dibangkitkan adalah { }, rataan contohnya adalah dan fungsi kepekatan spektral dari deret waktunya adalah. Galat baku dari rataan contoh dihitung menggunakan persamaan sehingga uji kesamaan rataan kelompok contoh acak A dan kelompok contoh acak B menggunakan formula (33)

27 15 yang secara asimtot mengikuti sebaran normal baku dengan adalah rataan contoh dari kelompok A dan kelompok B, adalah banyaknya iterasi/ukuran contoh kelompok A dan kelompok B, adalah ragam rataan contoh dari kelompok A dan kelompok B. Secara spesifik nilai yang besar, biasanya mengindikasikan terdapat perbedaan rataan antara contoh acak kedua kelompok sehingga rantai Markov yang disimulasikan berasal dari sebaran yang belum konvergen (Ntzoufras 2009). Galat Baku Monte Carlo Hasil yang diperoleh dari simulasi MCMC merupakan himpunan contoh acak yang perlu diketahui ukuran ketidakpastiannya (Ntzoufras 2009). Statistik galat baku Monte Carlo (GBMC) merupakan ukuran ketidakpastian yang menyatakan keragaman setiap nilai dugaan parameter yang diakibatkan proses simulasi. GBMC idealnya memiliki nilai yang kecil untuk memperoleh dugaan parameter yang memiliki presisi yang tinggi. Nilai GBMC merupakan fungsi dari ukuran contoh/banyaknya iterasi sehingga dapat dikontrol oleh peneliti. Secara sederhana GBMC dapat dihitung dengan menggunakan formula [ ] [ ] (34) dengan merupakan himpunan contoh acak yang dibangkitkan dengan banyak iterasi S yang ditentukan setelah burn-in period, [ ] adalah galat baku posterior untuk S iterasi, dan [ ] adalah dugaan otokorelasi contoh acak dengan lag l yang berarti korelasi antara himpunan contoh acak pada iterasi ke-s yaitu [ ] dan pada iterasi ke-(s+l) yaitu [ ]. Salah satu hal penting dalam perhitungan GBMC adalah menentukan panjang lag maksimum, penentuan panjang lag maksimum menggunakan aturan nilai otokorelasi yang mendekati nol biasanya panjang lag ditentukan ketika [ ] (Carlin & Louis 2000). Deviance Information Criterion Deviance Information Criterion (DIC) adalah statistik ukuran kebaikan yang sering digunakan pada model-model berbasis pendekatan Bayesian (Spiegelhalter et al. 2002). Formulasi DIC dituliskan sebagai ( ) (35) dengan ( { ( )}) adalah rataan devians dari semua parameter yang dibangkitkan untuk pendugaan parameter pada simulasi MCMC, ( ) ( { ( )}) adalah devians dari rataan posterior bersyarat semua parameter. Model dikatakan memiliki derajat kebaikan yang tinggi apabila memiliki nilai DIC kecil. Statistik DIC sering digunakan dalam perbandingan model dalam hal mengepas data.

28 16 3 METODE PENELITIAN Data Data yang digunakan dalam kajian empiris ini adalah yang berasal dari penelitian sebelumnya (Rahmat 2014). Data sekunder ini diperoleh dari Profil Kesehatan dan Badan Pembangunan Daerah (Bapedda) Kota Bogor tahun Unit pengamatannya adalah kelurahan yang berada di Kota Bogor berjumlah 68 kelurahan. Sebagai data tambahan, peta Kota Bogor yang terdiri dari 68 kelurahan digunakan untuk membuat matriks bobot spasial berdasarkan konsep berbatasan langsung (contiguity). Gambar 1 Peta Kota Bogor Peubah-peubah penelitiannya adalah banyaknya penderita/pasien DBD sebagai peubah respon (Y), sedangkan peubah prediktornya adalah kepadatan penduduk (X 1 ), mobilitas penduduk (X 2 ), rataan umur penderita (X 3 ), dan banyaknya Puskesmas/Puskesmas pembantu (X 4 ). Peubah tambahan yang menjelaskan adanya otokorelasi spasial lag (otokorelasi spasial pada peubah respon) merupakan perkalian antara bobot spasial dan peubah respon yang disajikan dalam bentuk vektor-matriks sebagai Wy.

29 17 Metode Analisis Data Analisis pendahuluan untuk mengeksplorasi dan mendeskripsikan karakteristik peubah-peubah penelitian tidak dilakukan dalam penelitian karena hal tersebut sudah dilakukan pada penelitian sebelumnya. Hasil eksplorasi yang dilakukan oleh Rahmat (2014) menunjukkan bahwa data dapat mendukung penggunaan regresi spasial dan antar peubah prediktor tidak memiliki kolineritas yang dapat mengakibatkan masalah serius pada model. Secara umum ada beberapa tahapan yang dilakukan dalam menganalisis data DBD Kota Bogor menggunakan model Bayesian SUR-SAR sebagai berikut : 1. Membuat matriks bobot spasial (W) dari peta Kota Bogor menggunakan aturan queen contiguity. Matriks ini dibakukan terhadap barisnya sehingga total elemen matriks setiap baris nilainya satu. Matriks bobot spasial terdapat pada Lampiran 4 dan keterangan kode nomor kelurahan pada Lampiran Menduga model individu SAR untuk data tahunan menggunakan simulasi MCMC seperti yang dilakukan Anggana (2012). Kemudian amati hubungan antar sisaan dari model-model individunya. 3. Menspesifikasikan besarnya nilai-nilai inisiasi sebaran prior dan sebaran posterior model Bayesian SUR-SAR kemudian mulai lakukan proses simulasi MCMC. 4. Membangkitan nilai kandidat koefisien otokorelasi spasial lag untuk model individu ke-t menggunakan algoritma Metropolis-Hastings melalui prosedur Random walk seperti pada persamaan (31). Nilai kandidat kemudian dievaluasi dengan peluang penerimaan pada persamaan (32) dan proses diulang sampai semua model individu memiliki contoh acak sebagai koefisien otokorelasi spasial lag yang dibangkitkan melalui proses simulasi. 5. Membangkitkan contoh acak vektor parameter koefisien regresi SUR-SAR menggunakan algoritma Gibbs Sampler seperti pada persamaan (28). 6. Membangkitkan contoh acak matriks parameter ragam-peragam galat SUR- SAR menggunakan algoritma Gibbs Sampler seperti pada persamaan (29). 7. Mengulangi tahap ke-4 sampai tahap ke-6 hingga diperoleh himpunan contoh acak semua parameter untuk S iterasi. Pisahkan himpunan contoh acak semua parameter dari B iterasi pertama sebagai burn-in period. 8. Melakukan diagnostik konvergensi MCMC secara deskriptif menggunakan trace plot, density plot, acf plot, dan ergodic plot dan melalui pengujian formal menggunakan statistik Geweke. Jika simulasi yang dilakukan belum konvergen dalam hal stasioneritas sebaran posteriornya maka burn-in period (B) dan banyak iterasi (S) ditambah. 9. Menghitung statistik posterior model SUR-SAR diantaranya: rataan posterior, persentil 2.5 posterior, median posterior, persentil 97.5 posterior, dan galat baku posterior. 10. Melakukan uji keberartian parameter menggunakan 95% Credible Interval (CI). Jika nilai persentil 2.5 posterior dan persentil 97.5 posterior berbeda tanda maka parameter berbeda nyata secara statistik pada taraf nyata 5%. 11. Menghitung galat baku Monte Carlo kemudian lakukan evaluasi model menggunakan galat baku posterior (GBP) dan galat baku Monte Carlo (GBMC).

30 Membandingkan dan evaluasi model SUR-SAR dan model individu SAR dengan melihat nilai dugaan parameter model, analisis efisiensi pendugaan parameter, dan kebaikan model dalam mengepas data. Semua proses komputasi dalam analisis data diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman S menggunakan kemasan program statistika R edisi yang dapat diunduh secara gratis. Program R untuk proses simulasi MCMC dapat ditanyakan melalui ke hilmandwianggana@gmail.com. Skema simulasi MCMC dalam membangkitkan contoh acak dari parameter model SUR-SAR digambarkan sebagai berikut : Bangkitkan : Hitung : ( ( ) ( ) ) Bangkitkan : Tidak ( ) ( ) Ya Vektor ρ Bangkitkan : ( ) Bangkitkan : ( ) Himpunan ρ,, dan * garis putus-putus menandakan proses diulang Gambar 2 Diagram alir simulasi MCMC

31 19 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Hubungan antar Model-model Individu Hal pertama yang harus diselidiki ialah hubungan antar model-model individu (model yang dibangun untuk periode tahun tertentu). Adanya hubungan antar model-model individu merupakan langkah awal menduga model dengan menggunakan sistem SUR. Ukuran hubungan antar model-model individu menggunakan statistik korelasi dari sisaan model-model individunya. Model individu pada penelitian ini merupakan model otoregresif spasial (SAR). Karena model SUR yang diajukan diduga dengan menggunakan pendekatan Bayesian, pendugaan parameter terhadap model-model individu dilakukan dengan menggunakan pendekatan Bayesian melalui simulasi MCMC seperti penelitian yang dilakukan Anggana (2012). Tabel 1 Korelasi sisaan model-model individu Tahun Korelasi Statistik t p-value (2009;2010) (2009;2011) (2010;2011) Berdasarkan Tabel 1 dapat dilihat bahwa nilai korelasi sisaan model-model individu relatif tinggi. Nilai korelasi yang relatif tinggi dapat menjadi indikasi bahwa ada hubungan model regresi SAR yang dibangun pada tahun 2009, 2010 dan Hal ini diperkuat dengan pengujian statistik pada taraf nyata 0.05, pengujian keberartian korelasi menggunakan statistik uji t memberikan nilai p- value yang lebih kecil dari 0.05 sehingga cukup bukti untuk mengatakan bahwa terdapat hubungan yang nyata antar galat model-model individu SAR. Dengan demikian penggunaan model regresi SAR dengan sistem SUR dapat dipertimbangkan untuk digunakan pada data DBD Kota Bogor tahun Pendugaan Model SUR-SAR dengan MCMC Regresi SAR untuk tahun 2009, 2010, dan 2011 yang disajikan dalam satu sistem model SUR diduga dengan menggunakan simulasi MCMC. Hal yang sangat penting adalah menentukan banyak iterasi dan burn-in period yang telah menghasilkan rantai-rantai Markov yang konvergen dalam hal stasioneritas sebarannya. Simulasi MCMC dicobakan dengan menentukan banyak iterasi 104,600 dan 20,000 iterasi pertama sebagai burn-in period dan menentukan nilainilai inisiasi parameter. Diagnostik Konvergensi MCMC Konvergensi dalam membangkitkan contoh acak yang merupakan sebuah rantai Markov melalui simulasi MCMC merupakan hal yang harus diperhatikan karena apabila hasil yang diperoleh dari MCMC tidak konvergen dapat menimbulkan kesimpulan yang tidak valid. Istilah konvergensi mengacu kepada

32 20 tercapainya konvergensi dari sebaran posteriornya, dalam hal ini sebaran posterior dari parameter sudah stasioner. Diagnostik konvergensi MCMC dapat dilakukan dengan metode grafik diantaranya trace plot, density plot, acf plot, dan ergodic mean plot serta pengujian hipotesis, misalnya uji Geweke. Berdasarkan plot diagnostik untuk semua parameter model yang terdapat pada Lampiran 3 menunjukkan bahwa simulasi MCMC telah mencapai konvergen dengan banyak iterasi 104,600 dan burn-in period 20,000. Trace plot yang merupakan plot antara indeks iterasi dengan nilai contoh acak hasil simulasi MCMC tidak mengindikasikan terdapatnya kecenderungan tertentu atau periodesitas dari suatu rantai Markov, nilai-nilai yang dibangkitkan masih di sekitar rataannya sehingga dapat diasumsikan bahwa simulasi MCMC untuk membangkitkan semua parameter telah mencapai konvergen dalam hal stasioneritas sebaran posteriornya. Plot fungsi kepekatan peluang menunjukkan setiap parameter model yang dibangkitkan dengan simulasi MCMC merupakan peubah acak yang mempunyai sebaran yang simetris. Plot acf dari contoh acak yang dibangkitkan tidak menunjukkan adanya masalah otokorelasi yang serius sehingga diasumsikan contoh acak yang telah dibangkitkan merupakan rantai Markov yang telah stasioner. Plot rataan ergodik menunjukkan rataan dari kumulatif nilai contoh acak yang dibangkitkan setelah melewati tahap iterasi tertentu adalah stabil sehingga dapat diasumsikan bahwa simulasi MCMC pada proses pembangkitan semua parameter model telah mencapai konvergen dalam hal rataan sebaran posteriornya. Untuk memperkuat hasil diagnostik konvergensi MCMC yang telah dilakukan secara visual maka dilakukan diagnostik lanjutan secara formal melalui pengujian hipotesis dengan menggunakan uji Geweke. Uji Geweke yang dilakukan adalah dengan mengelompokkan contoh acak yang telah dibangkitkan setelah burn-in period menjadi dua kelompok yakni kelompok 1 yang merupakan 10% awal dari contoh acak setelah burn-in period dan kelompok 2 yang merupakan 50% akhir dari contoh acak setelah burn-in period. Tabel 2 Uji Geweke hasil simulasi MCMC Parameter z-score p-value Parameter z-score p-value ρ ρ β 0, β 0, β 1, β 1, β 2, β 2, β 3, β 3, β 4, β 4, ρ Σ β 0, Σ β 1, Σ β 2, Σ β 3, Σ β 4, Σ Tabel 2 menyajikan uji Geweke untuk semua parameter model SUR-SAR yang diduga melalui simulasi MCMC. Pada prinsipnya Uji Geweke ini adalah