2. MesinTuring (Bagian2)

Transkripsi

1 IF5110 Teori Komputasi 2. MesinTuring (Bagian2) Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Magister Informatika STEI-ITB 1

2 PerananMesinTuring Bahasa yang diterima oleh mesin Turing dinamakan recursively enumerable (r.e). Istilah enumerable digunakan untuk menunjukkan sifat bahwa himpunan jenis ini anggota-anggtotanya dapat didaftarkan (di-enumerasi) oleh sebuah mesin Turing. Pengertian recursive sama dengan recursion pada programming. Kelasdaribahasar.esangatluasdanmencakupbahasayang tidak dapat ditentukan keanggotaannya. 2

3 Jika L adalah bahasa recursive enumerable, maka bila stringdidalamldikenaliolehm, makamakanberhenti. Sebaliknya bika string bukan anggota L, maka mesin Turing gagal mengenali(mesin Turing tidak akan berhenti). Salahsatucontohkelasr.eadalahhimpunanrekursif, yang dalam hal ini semua string yang menjadi anggotanya akan dikenali oleh sekurang-kurangnya satu mesinturing. Kelas himpunan rekursif merupakan proper subkelas dari kelas r.e. 3

4 Dengan adanya pita yang dapat dibaca maupun ditulis maka mesinturing dapatmenirukanperilakusebuahfinite State Automata (FSA) maupun Push Down Automata (PDA). Dengan kemampuannya ini, maka mesin Turing mampu mengenali bahasa formal yang termasuk ke dalam kelas bahasa regular (bahasa yang dikenali oleh FSA), bahasa bebas konteks(bahasa yang dikenali oleh PDA). Maupun bahasa formal yang termasuk ke dalam kelas yang lebih tinggi. Selain sebagai pengenal bahasa yang termasuk ke dalam kela r.e, mesin Turing juga dapat digunakan untuk: 1. Menyalin(copy) simbol 2. Penghitung fungsi-fungsi integer 3. Mengeksekusi prosedur(subroutine) 4

5 MesinTuring PenyalinSimbol PadacontohmesinTuring pengenal0 n 1 n terlihatbahwa operasicari X (pencariansimboltertentudidalampita) merupakan operasi yang mendasar. Operasi penanganan simbol yang lainnya adalah penyalinan simbol. Kita akan merancang mesin Turing yang dapat menyalin string bineryang terletakdiantarasimbolp danqkesuatuposisisel baruyang ditandaidengansimbolm. 5

6 P Q M... Mesinbekerjadaristatus awalq 1 denganheadpadaposisi simbol P. Algoritmapenyalinansimboladalahsebagaiberikut: 1. Simbol yang akan disalin ditandai dengan simbol khusus 2. Gerakkan head ke kanan hingga dijumpai posisi penyalinan yang tepat. 3. Tuliskan simbol yang disalin pada posisi tersebut. 4. Gerakkan head ke kiri sampai dijumpai simbol khusus di atas. 5. Ganti simbol khusus dengan simbol semula. 6

7 FungsipergerakanMesinTuring: δ(q 1, P) = (q 2, P, R) LongkapsimbolP δ(q 2, 0) = (q 3, α, R) Tandai0 δ(q 3,*) = (q 3,*, R) Longkapkekanansimbol-simbolselainM δ(q 3, M) = (q 4, 0, R) Ganti M dengansimbol0 yang sedangdisalin δ(q 4,*) = (q 5, M, L) Tulis M padaposisibaru δ(q 5,*) = (q 5,*, L) Longkapkekirisimbolselain α δ(q 5, α) = (q 2, 0, R) kembalikan αmenjadi0 δ(q 2, 1) = (q 6, β, R) Tandai1 δ(q 6,*) = (q 6,*, R) LongkapkekanansimbolselainM δ(q 6, M) = (q 7, 1, R) GantiM dengansimbol1 yang sedangdisalin δ(q 7,*) = (q 8, M, L) TulisM padaposisibaru δ(q 8,*) = (q 8,*, L) Longkapkekirisimbolselain β δ(q 8, β) = (q 2, 1, R) Kembalikan βmenjadi1 δ(q 2, Q) = (q 9, Q, R) Q menandakanakhirdata 7

8 MesinTuring PenghitungFungsi BilanganBulat Mesin Turing dapat dipandang sebagai[enghitung fungsi bilanganbulatkebilanganbulat. Untuk dapat melakukan penghitungan ini dibuat konvensi sebagai berikut: 1. Integerbernilaik direpresentasikansebgai0 k (stringyang terdiri dari 0 sebanyak k kali) pada pita masukan. 2. Jikafungsimemilikibeberapaargumensebagaiinput (i 1, i 2,, i m ), makabilanganbulatinidituliskanpadamesinturing yang dibatasioleh 1, dituliskan0 i1 10 i im 3. Hasil penghitungan fungsi(berupa integer p) akan dituliskanpadapita sebagai0 p. 8

9 Sebagai contoh, argumen dari fungsi f(3, 7, 5) dapat dinyatakan sebagai: Jika sebelum mesin Turin bekerja pada pita masukan terdapat rangakiansimbolyang merepresentasikanmargumen, (i 1, i 2,, i m ) danpadasaatmesinturing berhentibekerjapadapita terdapatsimbol0 p, makadidefinisikanf(i 1, i 2,, i m ) = p. 9

10 Jika dalam mengolah input tersebut mesin Turing tidak berhenti bekerja, maka simbol yang tertera pada pita tidak dapat dipandang sebagai hasil perhitungan fungsi. Dalam hal ini dikatakan bahwa nilai fungsi untuk masukan tersebut tidak terdefinisi. Hal ini juga yang membedakan apakah fungsi yang dihitung oleh mesin Turing merupakan fungsi total atau fungsi parsial. Jika fungsi yang dihitung terdefinisi hasilnya untuk setiap nilai yang diberikan, makafungsitersebutdikatakanbersifattotal, Jika tidak maka fungsi tersebut dikatakan bersifat parsial. 10

11 Contoh1: MesinTuring untukmenghitung f(n) = n+ 1 Pada keadaan awal di dalam pita terdapat rangkaian simbol dalambentuk0 n. Untukmenambahkanfungsidengan1, makagerakanyang harus dilakukan adalah menambahkan satu simbol 0 pada sel paling kanan sehingga pada pita terdapat rangkaian simbol dalambentuk0 n+1. Jadi, algoritmanya adalah sebagai berikut: 1. Geserheadkekanansampaidijumpai B 2. Gantisimbol B dengan 0 11

12 FungsipergerakanmesinTuring: δ(q 0, 0) = (q 0, 0, R) δ(q 0, B) = (q 1, 0, R) Geserkanan Ganti B dengan 0 sehingga notasi formal mesin Turing penambah satu adalah: M= ({q 0, q 1 }, {0, 1}, {0, 1, B}, δ, q 0, B, ) dengan definisi δ seperti di atas. 12

13 Contoh 2: Mesin Turing untuk menghitung m n. Pengurangan m n didefinisikansebagaim njikam n, dansamadengan0 jikam< n. Pada keadaan awal di dalam pita terdapat rangkaian simbol dalambentuk0 m 10 n. Mesinberhentibiladipita tercetaksimbol0 m n Algoritmanya: 1. Mmenggantisimbol0 yang pertamadenganb. 2. Kemudian dilakukan pencarian 1 ke kanan yang diikuti dengan 0, mengganti 0 dengan Selanjutnya M kembali bergerak ke kiri sampai ketemu B 4. Kembalike1 13

14 Pengulangan berhenti jika: Kasus1. Ketikapencariankekanansimbol0 mesinmtidak menemukan B. Kasus 2. Mulai pencarian M tidak menemukan 0 untuk diganti dengan B. Fungsi transisinya adalah sebagai berikut: 1. δ(q 0, 0) = (q 1, B, R) Mulai pencarian, ganti simbol 0 pertama dengan B 2. δ(q 1, 0) = (q 1, 0, R) δ(q 1, 1) = (q 2, 1, R) Pencarian ke kanan mencari 1 yang pertama 14

15 3. δ(q 2, 1) = (q 2, 1, R) δ(q 2, 0) = (q 3, 1, L) Melakukan pencarian ke kanan melewati 1 hingga ketemu 0, lalumengganti0 dengan1. 4. δ(q 3, 0) = (q 3, 0, L) δ(q 3, 1) = (q 3, 1, L) δ(q 3, B) = (q 0, B, R) BergerakkekirisimbolB, masukkestatus q 0. 15

16 5. δ(q 2, B) = (q 4, B, L) δ(q 4, 1) = (q 4, B, L) δ(q 4, 0) = (q 4, 0, R) δ(q 4, B) = (q 6, 0, R) Jikadalamstatus q 2 diperolehbsebelum0, kasusnyaseperti nomor1. Masukkestatus q 4 danbergerakkekirimengganti simbol1 denganbsampaimenemukanb. SimbolBditukar dengan0, masukkestatus q 6 danberhenti. 6. δ(q 0, 1) = (q 5, B, R) δ(q 5, 0) = (q 6, B, R) δ(q 5, 1) = (q 6, B, R) δ(q 5, B) = (q 6, B, R) Jiak dalam status q0 ditemukan 1 (bukan 0), kasusnya seperti nomor1. Mmasukkestatus q 0 danmenghapussemuasimbol. 16

17 Contohrangkaiandeskripsisesaat: (1) Pita berisistring 0010 (artinya2 1 ) q Bq B0q 1 0 B01q 2 0 B0q 3 11 Bq q 3 B011 Bq BBq 1 11 BB1q 3 1 BB11q 2 BB1q 4 1 BBq 4 1 Bq 4 B0q 6 (2) Pita berisistring 010 (artinya1 2) q Bq 1 00 B1q 2 00 Bq q 3 B110 Bq BBq 5 10 BBBq 5 0 BBBBq 5 BBBBBq 6 17

18 Fungsi-fungsilainnyayang dapatdihitungolehmesinturing: Fungsi (x,y) = x+ y Π(x,y) = x y E(x,y) = x y F(x) = x! Operasi simbol Pergeseran0 y kekiri Salin0 x sebanyakykali Perkalian Π(x,x) berulangkali Perkalianx(x 1)(x 2) 2 1 Untukmewujudkanfungsiperkalian Π(x, y) diatas, diperlukanpenyalinansimboldarisuatulokasikelokasilain. Hal inidapatdilakukandenganmemanfaatkanmesinturing penyalinsimbol. 18

19 PemanfaatansebuahmesinTuring olehmesinturing lain mirip dengan pemanggilan prosedur atau subroutine oleh program lain (akan dijelaskan nanti). Selain pemanggilan subroutine, cara lain untuk membentuk mesinturing yang besar darisejumlahmesinturing sederhana adalah melalui komposisi fungsi. 19

20 KomposisiFungsi Bagaimanamenghitungf(x) = g(h(x))? Misalkan: h(x) dihitungolehmesinturing H g(x) dihitungolehmesinturing G Algoritmamenghitungf(x): 1. Denganinput 0 x padapita, mesinturing Fmensimulasikan gerakanmesinh. 2. Jika H selesai, output h(x) akan tertera pada pita masukan dalam bentuk0 h(x). 3. MesinTuring MkemudianmensimulasikanGdenganinput 0 h(x) yang sudahterterapadapita. 4. Jika G selesai bekerja, maka pita akan tertera output g(h(x)). 20

21 Dengan demikian, jika kita memiliki mesin Turing G dan H yang masing-masing menghitung fungsi f(x) dan g(x) maka komposisi g(h(x)) dapat diimplementasikan dengan membungkus kedua mesin Turing G dan H dengan sebuah mesinturing barufyang tugasnyamengaktifkanhdang dalam urutan yang benar. Aksi pengaktifan ini dapat dipandang sebagai pemanggilan upa-program yang dilakukan oleh mesin Turing. 21

22 PemanggilanSubroutine Pada contoh penghitungan fungsi di atas, terlihat adanya kebutuhan untuk mensimulasikan gerakan sebuah mesin Turing AolehmesinTuring B. Aksi pensimulasikan ini dapat dipandang sebagai sebuah pemanggilan subroutine B oleh A. Hal ini dapat dilakukan jika himpunan status kedua mesin merupakan himpunan yang saling lepas. UntukmemanggilB, mesinturing Aharusmemasukistatus awal dari B. Transisi B juga otomatis harus merupakan transisi daria. Dari status yang menyatakan B dalam keadaan berhenti maka mesinturing Aakankembalimemasukistatus yang dimilikinya sendiri. 22

23 Contoh: Mesin Turing K akan menghitung perkalian integer m dann, yaitum n. MesinTuring K menerimamasukandalambentuk0 m 10 n. Setelah mesin Turing berhenti, pada pita akan tertera luaran dalambentuk0 mn. Algoritmaperkalianmdannadalahsebagaiberikut: 1. Tuliskansimbol 1 setelah0 m 10 n. 2. Salin0 n kesebelahkanansimbol 1 sebanyakmkali. 3. Setiapkali melakukanpenyalinan0 n hapussatusimbol 0 dari 0 m. 4. Prosespenyalinandihentikanjikatidakadalagisimbol 0 pada0 m, sehinggapadaakhirsikluskerjamesinturing akan tertera0 mn padapita yang menyatakanhasilperkalian. 23

24 Misalkanprosespenyalinan0 n kelokasisimbolbdisebelah kanan dilakukan oleh mesin Turing C. MesinCmulaidengandeskripsisesaat0 m 1a0 n 10 i danberakhir padadeskripsisesaat0 m 1e0 n 10 i+n. Dalamhalini, aadalah status awal dan e adalah status akhir. Perilaku mesin Turing C diperlihatkan oleh Tabel 1 berikut: Tabel B Keterangan a (b, 2, R) (d, 1, L) Statusawal b (b, 0, R) (b, 1, R) (c, 0, L) CariB, ganti dengan 0 c (c, 0, L) (c, 1, L) (a, 2, R) Cari2 d (e, 1, R) (d, 0, L) Cari2 dengan0, sampai ketemu 1 24

25 JikamesinTuring K mulaidenganstatus sdanhead ditempatkanpadaposisipaling kiri, makasebelummesinc diaktifkan, posis head harus ditempatkan pada posisi awal rangkaian0 n yang akandisalin. PengaktifanmesinCdilakukandengancaramemasukistatus a, status awalc. Dengan demikian, sebelum C dapat dipanggil, mesin K harus melakukan beberapa aksi tambahan seperti yang dinyatakan padatabel2 berikut. Aksi-aksiinimengubahsimbol 0 pertama lalu bergerak ke kanan sampai dijumpai 1 untuk kemudian memasuki status a, status awal mesin C. 25

26 Tabel 2. Persiapan pemanggilan C oleh K B Keterangan S (f, B, R) 0 pertama diganti B f (f, 0, R) (a, 1, R) Cari1 kekanan, lalu panggil mesin C Dengan menggunakan tabel di atas, mesin Turing akan mengalamiperubahandeskripsisesaatdariawals0 m 10 n yaitu sebelum proses penyalinan oleh mesin C dilakukan. Proses penyalinan dilakukan oleh mesin C dan akan berhenti padastatus edandiperolehdeskripsisesaatb i 0 m i 1e0 n 10 ni 26

27 Untuk melanjutkan mengulangi proses penyalinan melalui Tabel 1, deskripsi sesaat terakhir harus diubah menjadi B i 1 0 m I 1 1a0 n 10 ni. Hal inidilakukanolehtabel3 berikut: Tabel 3. Penyiapan pemanggilan ulang C B Keterangan e (g, 0, L) Skip 0 tunggaldi kiri g (h, 1, L) Skip 1 tunggaldi kiri h (i, 0, L) (j, B, R) Skip rangkaian0 m I jika ada i (i, 0, L) (s, B, R) Skip rangkaian0 m I sampai ketemu B J (k, B, R) Statusjdank: bersihkan10 n 1 k (k, B, R) 27

28 Sumber: 1. John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman, Introduction To Automata Theory, Languanges, and Computation 3rd Edition, Addison Wesley, Hans Dulimarta, Catatan Kuliah Matematika Informatika (BagianMesinTuring), Program Magister InformatikaITB, JudhiSantoso, CatatanKuliahTeoriKomputasi, Program Magister Informatika ITB 28