3. MesinTuring (Bagian3)

Transkripsi

1 IF5110 Teori Komputasi 3. MesinTuring (Bagian3) Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Magister Informatika STEI-ITB 1

2 Credit Title Semua bahan pada power point ini bersumberkan dari: Hans Dulimarta, Catatan Kuliah Matematika Informatika(BagianMesinTuring), Program Magister Informatika ITB,

3 MesinTuring Universal Emulator: perangkat lunak yang menduplikasi(atau mengemulasi) fungsi suatu sistem komputer(guest) pada sistem komputer lain (host) yang berbeda sedemikian sehingga kelakuan yang diemulasi menyerupai kelakuan sistem sebenarnya(guest). Contoh: emulator ponsel Nokia yang djalankan pada komputer desktop. Dalam hal ini, emulator harus mengetahui karakteristik sistem komputer guest. 3

4 Hal yang serupa dapat pula dilakukan oleh sebuah mesin Turing. Jika karakteristik mesin Turing T disajikan dalam suatu pengkodean tertentu, maka akan dapat dibuat mesin Turing lain (sebut saja U) yang dapat mensimulasikan perilaku T dengan membaca pengkodean tersebut. MesinTuring UsepertiinidinamakanmesinTuring universal 4

5 Pembentukan kode yang menggambarkan karakteristik suatu mesin Turing T= (Q, {0, 1}, {0, 1, B}, δ, q 1, B, {q 2 }) dilakukan dengan cara: (a) Simbol-simbol 0, 1, dan B dilambangkan berturut-turut sebagaisimbolx 1, X 2, danx 3. (b) ArahgerakanLdanRdilambangkansebagaisimbolD 1 dan D 2. 5

6 (c) SetiapgerakanmesinTuring T, δ(q i, X j ) = (q k, X l, D m ), dapat dituliskan sebagai 5-tuple (i, j, k, l, m) yang dikodekan sebagaistring binerc= 0 i 10 j 10 k 10 l 10 m (d) Jika mesin Turing T memiliki sebanyak r gerakan, maka seluruhpergerakanyang adadapatdikodekansebagai: 111C 1 11C C r 111 (e) Rangkaian kode yang menyatakan perilaku mesin T ini dapat dijadikan input bagai mesin Turing U yang kemudian meniru perilaku T. 6

7 Contoh: Misalkan terdapat mesin Turing yang memiliki gerakan seperti pada tabel berikut: 0 1 B q 1 (q 2, 0, R) q 2 (q 3, 1, L) (q 2, 1, R) (q 3, 1, L) q 3 (q 4, 0, R) (q 3, 1, R) (q 4, 0, R) q 4 Pengkodean setiap gerakan ditunjukkan pada tabel berikut: 7

8 Gerakan Kode δ(q 1, 1) = (q 2, 0, R) δ(q 2, 0) = (q 3, 1, L) δ(q 2, 1) = (q 2, 1, R) δ(q 2, B) = (q 3, 1, L) δ(q 3, 0) = (q 4, 0, R) δ(q 3, 1) = (q 3, 1, L) δ(q 3, B) = (q 4, 0, L) Berdasarkankodegerakanyang disajikanpadatabeldiatas, maka kode mesin Turing dapat dituliskan sebagai:

9 SimulasiolehMesinTuring Universal Andaikan mesin Turing universal U akan mensimulasikan pengenalan string masukan w oleh mesin Turing T seperti ditunjukkanpadagambar1. Untuk membantu kerjanya, mesin Turing U dilengkapi oleh tigapita. Pita pertama berisi deskripsi mesin Turing T yang akan disimulasikan, pita kedua berisi rangkaian simbol yang akan dikenalioleht, danpita ketigaberisistatus kinidarimesint. 9

10 Input T T perilaku T Input T status kini Universal (U) Gambar 1. Simulasi T oleh mesin Turing Universal U 10

11 MesinTuring universal U bekerjadengancaraberikut: 1. Pita 2 akandiinisialiasidenganinput T, danpita 3 diisi dengansimbol0 untukmenyatakanstatus awalt, yaituq Jikapita 3 berisisimbol00 makapensimulasikant olehu dihentikan karena berarti mesin Turing sudah mencapai status akhirnya, q 2.(lihatkembalideskripsimesinTuring T yang diberikanpadahalaman4). 3. MisalkanX j adalahsimbolyang sedangdibacapadapita 2 danpita 3 berisisimbol0 i yang menyatakanstatus kiniq i darit. MesinTuring Uharusmemeriksapita 1 untuk menemukanstring yang dimulaidengan110 i 10 j 1 (yang menandakantransisi δ(q i, X j )). Adaduakemungkinankasus yang terjadi: 11

12 Kasus 1: Jika tidak ditemukan string tersebut, maka simulasi dihentikandan berarti input w tidak diterima oleh T. Kasus2: Jikaditemukan, string 110 i 10 j 10 k 10 l 10 m, maka (a) simpan0 k padapita 3 (b) tuliskansimbolx l padaselyang sedangdibacapadapita 2 (c) gerakkanhead2 kearahd m. 12

13 Halting Problem Masalah untuk mengetahui apakah sebuah mesin Turing akan berhenti jika mengolah suatu input dinamakan masalah perhentian(halting problem). Akan ditunjukkan bahwa tidak ada algoritma yang dapat memeriksa keadaan tersebut(tidak ada algoritma untuk menjawabmasalahtersebut). Mesin Turing yang menerima input yang tidak dikenalinya akanmungkinmengalamiinfinite loop. 13

14 Contoh: Tinjau mesin Turing untuk mengenal 111. Gerakan mesinturing diperlihatkanpadatabelberikut: q 1 (q 2, 1, R) 1 B q 2 (q 3, 1, R) (q 1, B, L) q 3 (q 4, 1, R) (q 2, B, L) q 4 (q 5, 1, R) (q 3, B, L) q 5 (q 4, 1, L) (q 4, B, L) Rangkaian deskripsi sesaat mesin Turing dalam mengenali input 11 adalah: q 1 11B 1q 2 1B 11q 3 B 1q 2 1B 11q 3 B Infinite loop 14

15 Bukti bahwa algoritma untuk menjawab masalah perhentianmemangtidakmungkinadaadalahsbb: Misalkan ada sebuah mesin Turing Z yang mengolah input t dan ingin diketahui apakah Z suatu saat akan berhenti jika selesai membaca input t. Seandainya algoritma untuk masalah perhentian ini ada dan dapatditerapkanpadamesinturing universal H yang mempunyai perilaku demikian, maka H menuliskan: 1 jikazberhentisetelahmembacat 0 jikatidak 15

16 Untuk memudahkan pembuktian, perilaku mesin Z dan masukan t ditulis pada pita yang sama(tidak dipisah seperti pensimulasian oleh mesin Turing universal yang dijelaskan sebelumnya), seperti gambar berikut: t Z Akankah Z berhenti setelah membaca t? perilaku Z t H H menuliskan: 1 jika Z berhenti setelah membaca t 0 jika tidak Gambar 2. Pemeriksaan perhentian <Z, t> oleh H 16

17 Misalkan kemudian mesin H diganti oleh mesin H* seperti gambarberikut: perilaku Z t H* mengalami infinite loop jika Z berhenti setelah membaca t H* H* berhentijikaz tidak berhenti setelah membaca t Gambar 3. Pemeriksaan perhentian <Z, t> oleh H* MesinH* memilikiperilaku: H* mengalami infinite loop jika Z berhenti setelah membaca t H* berhentijikaz tidakberhenti(mengalamiinfinite loop) setelah membaca t 17

18 Andaikan perilaku mesin H* dikembangkan lagi menjadi mesin Turing H**. MesinTuring H** membacahanyaperilakuz, kemudian menyalin perilaku tersebut ke bagian kanan, lalu menirukan perilaku H*. Dalamkeadaandemikiandapatdianggapbahwaefekyang terjadi adalah proses pemeriksaan perhentian <Z, Z> oleh H*. Dengan demikian perilaku H** dapat digambarkan sebagai berikut: Jika diberikan deskripsi perilaku mesin Z, maka: - H** mengalami infinite loop jika Z akhirnya berhenti setelah membaca deskripsi perilakunya sendiri, dan - H** akhirnya berhenti jika Z tidak berhenti(mengalami infinite loop) setelah membaca deskripsi perilakunya sendiri. 18

19 H** menyalin perilaku Z H** menirukan perilaku H* copy perilaku input perilaku Z t Z Z H** H** Gambar 4. Pemeriksaan perhentian <Z, Z> oleh H** 19

20 KarenaZpadaGambar4 dapatmenggambarkanmesinturing manapun, maka ia dapat diganti dengan H** sendiri sehingga hal ini dapat digambarkan pada Gambar 5. H** h** perilakuh** H** H** H** H** Gambar 5. Pemeriksaan perhentian <H**, H**> oleh H** 20

21 PerilakuH**: Mengalami infinite loop jika H** berhenti setelah membaca h**. Berhenti jika H** mengalami infinite loop setelah membaca h**. Pada keadaan yang digambarkan oleh Gambar 5, dapat ditunjukkansifat-sifatberikut: - H** mengalami infinite loop jika H** akhirnya berhenti setelah membaca deskripsi perilakunya sendiri, dan - H** akhirnya berhenti jika H** tidak berhenti (mengalami infinite loop) setelah membaca deskripsi perilakunya sendiri. 21

22 Dari kedua sifat di atas terlihat adanya hal yang bertentangan: H** mengalamiinfinite loop jikadanhanyajikah** berhenti. Hal ini tidak mungkin terjadi, sehingga akibatnya dapat disimpulkan: H** tidakada==> H* tidakada==> Htidakada Dengan kata lain, algoritma untuk menjawab masalah perhentian tidak mungkin ada! 22

23 Variasi-VariasiMesinTuring Terdapat beberapa variasi mesin Turing. Meskipun terdapat lebih dari satu variasi, namun tidak ada peningkatan kemampuan pengenalan bahasa dari masing-masing varian. Dengankatalain, variasi-variasimesinturing tersebut merupakan mesin yang ekivalen. Beberapa variasi mesin Turing: 23

24 1. Two-way Infinite tape Mesin Turing ini memiliki pita simbol yang tidak terbatas pada kedua ujungnya. Pada mesin Turing biasa, head tidak dapat bergeraklebihkiridarisisipita. 2. Multitrack Mesin Turing ini memiliki sebuah pita yang memiliki lebih dari satu jalur(track) penulisan/pembacaan simbol. Simbol-simbol yang berada pada kolom yang sama akan dibaca sekaligus oleh sebuahheadtunggal. 24

25 3. Multitape Mesin Turing ini memiliki beberapa pita yang masing-masing dapat dibaca oleh head yang saling bebas. Setiap pita memiliki head tersendiri. Aksi yang dilakukan salah satu head pada pitanya tidak bergantung dari aksi head yang lain. 25

26 4. Non-deterministic Mesin Turing ini memiliki satu pita yang terbatas pada salah satu ujungnya. Untuksetiapkombinasistatus dansimbolpita yang sedang dibaca, mesin ini dapat memiliki sejumlah gerakan berikutnya. 5. Multi-dimensional tape MesinTuring inimemilikipita yang multi dimensi. MesinTuring biasa memiliki pita yang berdimensi satu. Untuk pita dua dimensi berartiheaddapatberpindahdarisatuselkesellain yang terletakpadasuatubidangdatar. 6. Multihead Mesin Turing ini mirip dengan mesin Turing multitape, hanya bedanya mesin Turing multihead hanya satu pita. Setiap head padapita tersebutdapatberaksisalingbebassatusamalainnya. 26

27 Two-Way Infinite Tape Varian mesinturing denganujungkiritakterbatassehinggahead dapat bergerak ke kiri tanpa batas. Meskipun demikian, mesin Turing two-way infinite tape ekivalen denganmesinturing biasa. MisalkanmesinTuring biasaadalaht 1 danmesinturing tanpabatas adalaht 2 : T 1 = (Q 1, 1, Γ 1, δ 1, q 1, B 1, F 1 ) T 2 = (Q 2, 2, Γ 2, δ 2, q 2, B 2, F 2 ) AkanditunjukkanbahwaperilakuT 2 dapatdisimulasikanolehmesin Turing biasat 1 begitujugasebaliknya. 27

28 SimulasiT 2 oleht 1 Hal ini mudah dilakukan MesinT 1 tidakpernahmengerakkanhead-nya melewatisel terkiri pada pita. Sehingga, jikat 1 disimulasikanoleht 2 makasel-seldisebelah kiri simbol masukan tidak akan pernah dimanfaatkan. SimulasiT 1 oleht 2 Hal initidakmudahdilakukankarenaadakemungkinant 2 padabagiankirisementarapita T 1 memilikibataspadabagian kirinya. Sehingga, jikat 1 disimulasikanoleht 2 makasel-seldisebelah kiri simbol masukan tidak akan pernah dimanfaatkan. 28

29 Untuk mengatasi hal ini, maka pita simbol yang digunakan di T 1 memilikiduajalur(track) namunujungkirinyatetap terbatas. Penempatansimbol-simbolpadaT 1 dant 2 adalahseperti pada gambar di bawah ini:... X 0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6... (a) Penempatansimbolpadapita T 2 X 0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X Track 1 Track 2 (b) Penempatansimbolpadapita T 1 29

30 Simbol padajalurbawahpita T 1 digunakanuntukmenandaisel terkiri. SimboliniharusdisisipkanolehT 1 padaawalgerakannya. Pita jalurduapadat 1 dapatdipandangsebagaipita T 2 yang dilipat padaposisiselx 0. Jikahead padapita T 2 bergerakdikananx 0 makaheadpadapita T 1 bergerak pada jalur atas dengan arah yang sama. Jikahead padapita T 2 bergerakdikirikx 0 makaheadpadapita T 1 bergerapadajalurbawahdenganarahberlawanan. Jikasimbol terbacaoleht 1 makaberartiposisilipatanpita terdeteksidant 1 harusberalihdarijalurataskejalurbawahnya, atau sebaliknya. 30

31 .Denganadanyapita duajalurpadat 1, makaheadt 1 selalu membaca dua simbol sekaligus setiap saat. Pasangan simbol inidapatditulissebagai[x, Y], yang dalamhalinixadalah simbolpadajaluratasdanysimbolpadajalurbawah. Walaupunheadmembacaduasimbolsekaligus, namunt 1 tetaphanyamengubahsatusimbolsajasetiapsaat. UntukmengetahuiheadT 1 sedangmengolahsimbolpada jaluratasataujalurbawah, makastatus-status T 1 dituliskan sebagai [q, A] atau[q, B] A menyatakan atas dan B menyatakan bawah 31

32 Model matematis mesin Turing biasa: T 1 = (Q 1, 1, Γ 1, δ 1, q 1, B 1, F 1 ) BagaimanapembentukansetiapkomponenT 1 diatas? Caranyaadalah sebagai berikut: 1. Himpunanstatus Q 1 berisistatus-status dalambentuk[q,a] atau[q, B]. Sukupertamaqberasaldaristatus diq 2. Selainstatus-status diatas, q 1 jugamerupakananggotaq Himpunansimbolmasukan 1 terdiridarisimboldalambentuk[a, B] dansukupertamaaadalahsimbolmasukanpada 2. SimbolBpada komponenkeduadisinimelambangkansimbolblank, bukan bawah seperti status di atas. 3. Himpunansimbolpita Γ 1 akanberisisimbol-simboldalambentuk[x, Y] yaitu menyatakan sepasang simbol yang diambil pada jalur atas dan jalur bawah pita. Simbol khusus yang digunakan untuk menandai tepi kiri pita hanya terdapat pada jalur bawah, sehingga komponen kedua(y) dapat berupa simbol tersebut. 32

33 4. Status akhirf 1 berisisimbol-simboldalambentuk[q, A] atau[q, B] dansukupertamaqberasaldarif Transisi δ 1 dibentukdenganmemperhatikanhal-halberikut: (a) JikaT 2 melakukangerakanawal(kekiriataukekanan), T 1 harus menuliskan simbol pada jalur bawah pita. Hal ini dilakukan melalui dua gerakan berikut: No. MesinT 2 MesinT 1 (1) δ 2 (q 2, a) = (q, X, R) δ 1 (q 1, [a, B]) = ([q, A], [X, ], R) (2) δ 2 (q 2, a) = (q, X, L) δ 1 (q 1, [a, B]) = ([q, B], [X, ], R) Keterangan: - Gerakandiatasdibentukuntuksetiapa {B} - Padagerakan(1), mesint 2 mulaidenganbergerakkekanan sehinggamesint 1 akanmengolahsimbol-simbolpadajaluratas. - Padagerakan(2), mesint 2 mulaidenganbergerakkekiri sehinggamesint 1 akanmengolahsimbol-simbolpadajalur bawah. 33

34 (b) JikaT 2 melakukangerakanyang melintasiposisix 0 (halinidiketahui daerigerakant 1 yang melintasisimbol )makat 1 harusberalihlagi dari jalur atas ke jalur bawah, atau sebaliknya. Hal ini dilakukan melalui gerakan: No. MesinT 2 MesinT 1 (3) δ 2 (p, X) = (q, Y, R) δ 1 ([p, A], [X, ]) = ([q, A], [Y, ], R) (4) δ 2 (p, X) = (q, Y, R) δ 1 ([p, B], [X, ]) = ([q, A], [Y, ], R) (5) δ 2 (p, X) = (q, Y, L) δ 1 ([p, A], [X, ]) = ([q, B], [Y, ], R) (6) δ 2 (p, X) = (q, Y, L) δ 1 ([p, B], [X, ]) = ([q, B], [Y, ], R) Keterangan: - Jikaheadberadapadaposisiterkirapita, makat 1 sedangmembaca simbol dalam bentuk[x, ]. - Munculnyasimbol padakomponenkedua(jalurbawah) menunjukkan bahwa kedudukan head pada jalur atas atau bawah tidakmemegangperananpentingkarenasesungguhnyasimbolyang sedang diolah adalah simbol X. - Hal inimenjelaskanterjadinyaduplikasigerakant 1 padapasangan(3) (4) dan(5)(6). - Peralihanjalur(ataskebawahataubawahkeatas) terlihatjelaspada gerakan(4) dan(5). 34

35 (c) Selain kedua gerakan khusus di atas, gerakan lain merupakan pensimulasiangerakant 2 oleht 1 yang bergerakpadajalur yang sama. Gerakan tersebut adalah: No. MesinT 2 MesinT 1 (7) δ 2 (p, X) = (q, Z, R) δ 1 ([p, A], [X, Y]) = ([q, A], [Z, Y], R) (8) δ 2 (p, X) = (q, Z, L) δ 1 ([p, A], [X, Y]) = ([q, A], [Z, Y], L) (9) δ 2 (p, X) = (q, Z, R) δ 1 ([p, B], [X, Y]) = ([q, A], [X, Z], L) (10) δ 2 (p, X) = (q, Z, L) δ 1 ([p, B], [X, Y]) = ([q, A], [X, Z], R) Keterangan: - Padagerakan(7) dan(8) simbolpita yang berubahterletakpada jaluratasdanarahgerakant 1 samadenganarahgerakant 1. - Pada gerakan(9) dan(10) simbol pita yang berubah terletak padajalurbawahdanarahgerakant 1 terbalikdariaraht 2. 35

36 MesinTuring denganpita BerjalurBanyak MisalkanM adalahmesinturing yang memilikisebuahpita dengankjalur. Karena semua simbol pada kolom sel yang sama dibaca sekaligusolehmesinturing, makafungsi δdarimesinturing iniberbentuk: δ(p, [a 1, a 2,, a k ]) = (q, [b 1, b 2,, b k ], D) Denganmenggantikombinasisimbol [a 1, a 2,, a k ] dan[b 1, b 2,, b k ] dengansimboltunggalbarua danb sehingga δ(p, a) = (q, b, D) maka transisi di atas akan tampak seperti transisi pada mesin Turing biasa. Sebaliknya mesin Turing biasa dengan pita jalur tunggal dapat denganmudahdisimulasikanolehmesinturing denganpita berjalurbanyak. Dalamhalinihanyasalahsatujalursajayang digunakan oleh mesin Turing dengan pita berjalur banyak. 36

37 MesinTuring Non-Deterministik Semua mesin Turing yang dibahas sebelum ini adalah mesin Turing deterministik. Pada mesin Turing deterministik, fungsi transisi δ memiliki nilai tunggal, sedangkan pada mesin Turing non-deterministik untuk pasangan status dan simbol tertentu mungkin dijumpai lebih dari satu aksi. MesinTuring non-deterministikm n dapatdisimulasikanoleh sebuahmesinturing deterministikm d. Dasarpemikirannya: untuksetiapstatus dansimbolpita, M n mungkinmemiliki lebih dari satu aksi yang banyaknya berhingga. Misalkan pilihanaksiinidiberinomor1, 2, 3,, k. Denganpenomoran ini, rangkaian aksi mesin Turing dapat dinyatakan sebagai rangkaian bilangan dari 1 sampai k. 37

38 UntukmensimulasikanM n, mesinturing M d menggunakan tigapita. Pita pertamamenyimpaninput yandiolahm n, pita keduadigunakanuntukmenyimpanrangkaianbilangan1 sampaidengank yang dibangkitkansecarateratur. Rangkaian ini akan dihasilkan dengan urutan mulai dari rangkaianterpendekyang terdiridarisatusimbol, duasimbol, dst. Untuksetiapurutanbilanganyang terdapatpadapita kedua, mesinm d akanmensimulasikanperilakum n secara deterministik, yaitu menggunakan nomor aksi yang sudah dibangkitkan pada pita kedua. 38

39 DengandemikianjikaM n menerimarangkaiansimbol masukan, haruslahadasebuahrangkaianaksiyang menerimanya. Karena rangkaian aksi pada pita kedua dibangkitkan secara teratur, makam d dapatjugasuatusaatmenerimarangkaian simbol masukan tersebut. Sebaliknya, jikam n tidakmenerima, makatidakadarangkaian aksiyang dapatdigunakanolehm d dalammenerima rangkaian simbol masukan tersebut. 39

40 PekerjaanRumah2 Buatlah laporan yang berisi segala hal tentang tiga varian mesinturing yang lain, yaitumesinturing berpitabanyak, mesinturing multi dimensi, danmesinturing multihead. Laporanberisi: - deskripsi/spesifikasi mesin Turing tersebut - ekivalennya dengan mesin Turing biasa(mesin Turing biasa mensimulasikan mesin Turing varian, mesin Turing varian mensimulasikan mesin Turing biasa). 40