PENELITIAN OPERASIONAL I (TIN 4109)

Transkripsi

1 PENELITIAN OPERASIONAL I (TIN 4109)

2 Lecture 10 LINEAR PROGRAMMING & INTEGER PROGRAMMING

3 Lecture 10 Outline: Linear Programming: Dual Simple Integer Programming: Introduction Integer Programming: Cutting Plane References: Frederick Hillier and Gerald J. Lieberman. Introduction to Operations Research. 7th ed. The McGraw-Hill Companies, Inc, Hamdy A. Taha. Operations Research: An Introduction. 8th Edition. Prentice-Hall, Inc, 2007.

4 LINEAR PROGRAMMING DUAL SIMPLEX

5 Dual Simple -basic concept- Variation of simple method Dual feasible but not primal feasible Mirror image of simple method terkait dengan penentuan leaving dan entering variable Mengeliminasi penggunaan artificial variable Digunakan dalam sensitivity analysis Hanya digunakan sebagai pelengkap solusi pada dual problem

6 Dual Simple -contoh- Primal Problem Dual Problem

7 Dual Simple -langkah pengerjaan- 1. Initialization. Convert constraints in to (by multiplying both sides by -1) Add slack variables as needed Find a basic solution (Optimal solution is feasible if the values are zero for basic variables and nonnegative for non basic variables) Go to feasiblity test. 2. Feasibility test. If all basic variables are nonnegative, then it is feasible, therefore optimal Otherwise, go to iteration. 3. Iterasi a. Determine the leaving variable. Select basic variable with most negative value. b. Determine the entering variable. Select non basic variable with most negative coefficient in the leaving variable row. c. Determine the new basic solution. Solve by Gaussian elimination. d. Return to feasibility test.

8

9

10 Contoh: Dual Simple -latihan soal- Min s.t , 2, 3 0 Ma s.t i 0

11 Dual Simple -latihan soal- z RHS z z RHS z z z RHS

12 INTEGER PROGRAMMING INTRODUCTION

13 Integer Linear Programming (ILP) Untuk permasalahan optimasi dengan beberapa atau semua variabel keputusan bernilai bulat(integer). Tidak dapat diselesaikan langsung dengan metode simpleks karena adanya beberapa atau semua variable yang berupa bilangan bulat melanggar salah satu asumsi metode simpleks (semua variable keputusan adalah bilangan real / tidak harus bulat).

14 Klasifikasi ILP Integer programming dapat diklasifikasikan menjadi empat (berdasarkan banyaknya variable keputusan yang bernilai bulat): 1) Pure Integer Programming semua variable keputusan harus bernilai bilangan bulat 2) Mied Integer Programming (MIP) tidak semua variable keputusan berupa bilangan bulat 3) Binary Integer Programming (BIP) semua variable keputusan memiliki nilai berupa bilangan biner (0 atau 1). 4) Mied Binary Integer Programming (MBIP) Jika beberapa variable keputusan memiliki nilai biner, beberapa variable keputusan memiliki nilai integer dan sisanya memiliki nilai real (boleh pecahan).

15 Integer linear Programming Permasalahan yang mengharuskan variabel keputusan bernilai integer diantaranya adalah Investasi Multiperiode Budgeting Routing Knapsack Vehicle Loading Set Covering Scheduling Mied Product Location Distribution Assignment Transportasi.

16 Penjadwalan Pekerja (Scheduling) Bank Swasta buka mulai jam 9 pagi sampai dengan jam 5 sore. Banyaknya konsumen yang datang ke bank cukup bervariasi sehingga banyaknya teller yang diperlukan pada setiap jam juga berbeda. Teller merupakan tenaga outsourcing, pihak bank bisa menentukan pada jam berapa teller tersebut harus mulai bekerja. Setiap teller bekerja selama 5 jam sehari. Tentukan banyaknya setiap teller yang harus masuk pada setiap jam supaya biaya yang dikeluarkan bank minimal! Periode Jumlah teller yang diperlukan

17 Xi: banyaknya teller yang mulai masuk kerja pada jam ke i X1 X2 X3 X4 X

18 Penjadwalan Pekerja (Scheduling) Pengelola obyek wisata pantai sedang merencanakan untuk melakukan perekrutan lifeguard. Lifeguard bertugas untuk membantu pengunjung obyek wisata yang mengalami kesulitan misalnya kecelakan yang membahayakan jiwa, menjadi korban tindak kejahatan, kehilangan barang, terpisah dari keluarga dan lain-lain. Pada hari-hari libur pantai selalu ramai dikunjungi oleh wisatawan sedangkan pada hari-hari kerja pantai realtif tidak ramai. Hal ini menyebabkan banyaknya lifeguard yang diperlukan juga berbeda. senin Selasa rabu Kamis Jumat sabtu Minggu Lifeguard bekerja lima hari dalam seminggu Tentukanlah banyaknya lifeguard yang harus direkrut!

19 Capital Budgeting Punya uang utk investasi Rp Ada 4 jenis kesempatan investasi : Investasi 1 : butuh Rp , akan berkembang mjd Rp Investasi 2 : butuh Rp , akan berkembang mjd Rp Investasi 3 : butuh Rp , akan berkembang mjd Rp Investasi 4 : butuh Rp , akan berkembang mjd Rp

20 Capital Budgeting Model ILP : i = investasi ke i, i=1,2,3,4 i = 0 jika tidak mengambil investasi i = 1 jika mengambil investasi i Maksimasi : Z = Kendala : i {0,1}, i = 1,2,3,4

21 Capital Budgeting Apabila ditambah kendala : Kita hanya dapat membuat paling banyak dua investasi Jika investasi 2 diambil, maka investasi 4 juga diambil Jika investasi 1 diambil, maka investasi 3 tidak dapat diambil Model matematikanya : Maksimasi : Z = Kendala : i {0,1}, i = 1,2,3,4

22 Multiperiod Capital Budgeting Terdapat 4 pilihan investasi yaitu investasi 1,2,3 dan 4. Dana yang dibutuhkan dan laba yang dihasilkan oleh masing-masing investasi adalah sebagai berikut: Dana yang dibutuhkan Investasi A B C D Periode Periode Periode Total Laba Dana yang dimiliki oleh perusahaan dalam tiga periode ke depan adalah 30,35 dan 40. Investasi manakan yang seharusnya dipilih?

23 Knapsack Problem Terdapat 7 jenis barang, setiap jenis barang mempunyai ukuran dan keuntungan yang berbeda sbb : Barang ke Ukuran Nilai Alat angkut hanya mampu mengangkut 40 m 3, barang manakah yang seharusnya diangkut?

24 Vehicle Loading Alat angkut (truck) memiliki batas maksimal muatan yang bisa diangkut. Batas maksimal muatan dibatasi oleh volume dan berat. Jika truck digunakan mengangkut benda dengan berat jenis yang relatif kecil maka batas angkutan akan ditentukan oleh volume dan sebaliknya. Berat maksimal yang bisa diangkut oleh truck adalah 2000 kg dan volume 1000 m3 Tentukan produk mana yang seharusnya diangkut oleh truck supaya mendapatkan laba maksimal! Item Laba $15,500 $14,400 $10,350 $14,525 $13,000 $9,625 Berat(kg) Volume(m3)

25 Pemilihan Lokasi Pabrik Perusahaan berencana untuk mendirikan satu atau beberapa pabrik untuk memenuhi permintaan produk pada berbagai daerah (pasar). Terdapat 4 lokasi dimana pabrik dapat dibangun dan terdapat 12 pasar yang harus dipenuhi oleh perusahaan. Produk akan langsung dikirim dari pabrik ke pasar. Biaya untuk mendirikan pabrik dan kapasitas pabrik di masing-masing lokasi adalah sebagai berikut: A B C D Biaya Investasi Kapasitas Biaya untuk mengirim barang dari suatu pabrik ke pasar adalah sebagai berikut A B C D Permintaan Tentukan dimanakah pabrik 400 harus 100 dibangun 600 dan 400 berapa 200 pabrik 250 yang 200 harus dibangun??

26 Diet Kebutuhan : energy(2000kcal), protein(55g), calcium(800mg) Serving Energy Protein Calcium Price per Ma serving Food size (kcal) (g) (mg) serving (cents) allowed Oatmeal 28g Chicken 100g Eggs 2 large Wholemilk 237cc Cherry pie 170g Pork with beans 260g

27 Formulasi : Minimisasi Pembatas:

28 Blending Perusahaan eaglefood akan memproduksi cereal dalam kemasan sebesar 2 pound. Cereal yang diproduksi harus memenuhi kebutuhan gizi dalam sehari. Kebutuhan gizi dalam sehari dapat dilihat dalam tabel berikut ini: Grain A B C Harga per pound Minimum Daily Requirement Protein per pound Riboflavin per pound Phosphorus per pound Magnesium per pound Terdapat tiga alternatif bahan baku yang dapat digunakan, bahan baku tersebut bisa dicampur untuk memproduksi cereal. Tentukan bagaimana perbandingan(komposisi) bahan baku A, B dan C dalam cereal sehingga biaya untuk memproduksi cereal minimum!

29 Either-Or Constrains Perusahaan Dorian automotif memproduksi 3 tipe model mobil yaitu ; compact (kecil), midsize (menengah), dan large (besar). Ada 6 ton baja dan 60,000 jam kerja tersedia Jika suatu tipe mobil diproduksi, maka mobil itu harus diproduksi paling sedikit 1,000 unit mobil Data produksi seperti terlihat di tabel bawah ini: Compact Midsize Large Kebutuhan baja 1.5 ton 3 ton 5 ton Kebutuhan jam tenaga kerja 30 jam 25 jam 40 jam Profit $2000 $3000 $4000 Formulasikan permasalahan perencanaan produksi tersebut untuk memaksimumkan profit.

30 Model Variabel keputusan i = jumlah mobil tipe ke-i yang diproduksi yi = 1 jika mobil tipe ke-i diproduksi, dan yi=0 jika tidak Formulasi : Maks z = Subject to: 1 M y1 2 M y2 3 M y M (1 y1) M (1 y2) M (1 y3) , 2, 3 0 dan integer y1, y2, y3 = 0 atau 1

31 Set Covering Propinsi sukolilo mempunyai 6 kota Pemerintah berencana untuk membangun kantor pusat pemadam kebakaran. Pada kantor pusat pemadam kebakaran akan ditempatkan kendaraan pemadam kebakaran, peralatan pemadam kebakaran dan personelnya, sehingga jika ada kebakaran maka petugas akan berangkat dari kantor pusat pemadam kebakaran menuju lokasi kebakaran. Petugas tidak boleh mencapai lokasi kebakaran lebih dari 15 menit (waktu tempuh) dari stasiun pemadam kebakaran. Waktu yang dibutuhkan dari kota yang satu ke kota yang lain adalah sebagai berikut. Kota ke Tentukan dimanakah kantor pusat pemadam kebakaran harus dibangun supaya banyaknya kantor yang harus dibangun tidak banyak(minimal) sehingga dana APBD bisa dihemat untuk dialokasikan pada bidang lain?

32 Set Covering Sebuah kota dapat dicover oleh stasiun pemadam kebakaran jika jarak tempuhnya tidak lebih dari 15 menit Covering set untuk setiap kota Kota Covering sets (15 menit) 1 1,2 2 1,2,6 3 3,4 4 3,4,5 5 4,5,6 6 2,5,6

33 Variabel keputusan : i Fungsi tujuan : Set Covering = 1 jika dibangun stasiun pemadam kebakaran pada kota-i = 0 jika TIDAK dibangun stasiun pemadam kebakaran pada kota-i Minimum Z= Fungsi pembatas:

34 Assignment (Penugasan) Pak Ali harus menugaskan stafnya untuk mengerjakan tugas-tugas pada divisinya. Pak Ali memiliki 5 staf yaitu Rita, Tari, Rani, Nira, Tara. Divisi pak ALi harus menyelesaikan 5 tugas. Pak Ali menemui kesulitan dalam menugaskan kelima stafnya karena Rita tidak mempunyai keahlian dalam mengerjakan tugas 2 sedangkan Tari tidak mampu mengerjakan tugas 1. Biaya menugaskan setiap staff adalah berbeda beda karena untuk bisa menyelesaikan tugas dengan baik, staff seringkali harus mendapatkan pelatihan dan biaya akomodasi yang berbeda beda. Biaya menugaskan setiap staff untuk mengerjakan satu tugas adalah sebagai berikut: Tugas Staff Rita Tari Rani Nira Tara Bagaimanakah cara menugaskan kelima staff tersebut supaya biaya yang harus dikeluarkan perusahaan minimal?

35 Assignment (Penugasan) PT. Jaya Selalu membeli tiga buah mesin baru. Tiga mesin tersebut dapat ditempatkan pada empat lokasi yang tersedia dalam pabrik. Penempatan mesin-mesin tersebut harus mempertimbangkan workflow (aliran produk dalam proses pengerjaan) mesin-mesin tersebut dengan stasiun kerja lain. Sebagai manajer produksi anda harus menentukan penempatan mesin-mesin tersebut yang bisa meminimalkan biaya material handling. Biaya penempatan masing-masing mesin pada setiap lokasi adalah sebagai berikut. Mesin 2 tidak boleh ditempatkan pada lokasi 2, karena lokasi 2 dengan tangki bahan bakar dan mesin dua merupakan mesin Oven yang selalu bersuhu tinggi. Assignee (Mesin) Lokasi

36 Cutting Stock(1) PT. Kayubagus menjual kayu batangan untuk berbagai keperluan. Kayu batangan yang dijual oleh PT.Kayubagus memiliki panjang 4 meter, 6 meter dan 8 meter. Perusahaan yang memasok kayu ke PT.Kayubagus mengirimkan kayu dengan panjang 18 meter sehingga sebelum dijual kayu-kayu tersebut harus dipotong terlebih dahulu. Dalam memotong kayu-kayu tersebut PT.Kayubagus menetapkan 7 pola pemotongan sebagai berikut: Pola Pemotongan 4 meter 6 meter 8 meter Sisa (limbah) Jika misalnya PT.kayubagus menerima satu order saja dan order tersebut meminta 100 batang kayu dengan panjang 6 meter maka PT.Kayubagus akan memotong persediaan kayunya yang memiliki panjang 18 meter dengan pola pemotongan 6 sehingga tidak ada limbah sama sekali (tidak ada sisa kayu yang harus dibuang).

37 Cutting Stock(2) PT.Kayubagus menerima order dari berbagai konsumen dengan panjang dan jumlah yang berbeda-beda, misalnya jika PT.kayubagus menerima order 100 batang dengan panjang 4 meter, 50 batang dengan panjang 6 meter, dan 25 batang dengan panjang 8 meter. Berapa banyaknya batangan kayu (yang memiliki panjang 18 meter) yang harus dipotong dengan pola pemotongan 1? Pola pemotongan 2? Pola pemotongan 3? dan seterusnya supaya banyaknya sisa pemotongan(limbah) sesedikit mungkin. Pemilihan kombinasi pola pemotongan akan menentukan banyaknya sisa pemotongan(limbah kayu) yang dibuang atau dengan kata lain pola pemotongan harus dipilih sedemikian rupa sehingga sisa pemotongan (limbah kayu) menjadi sesedikit mungkin.

38 Distribusi Sebuah perusahaan Air Cargo memiliki 8 pesawat tipe 1, 15 pesawat tipe 2, dan sebelas pesawat tipe 3. Pesawat tipe 1 mampu mengangkut barang seberat 45 ton, pesawat tipe 2 mampu mengangkut barang seberat 7 ton dan pesawat tipe 3 hanya mampu mengangkut 5 ton. Hari ini perusahaan harus mengirim barang seberat 20 ton ke kota A dan 28 ton ke kota B. Setiap pesawat hanya bisa terbang sekali dalam sehari. Biaya menerbangkan pesawat dari terminal (bandara) ke kota A dan B adalah sebagai berikut: Pesawat 1 Pesawat 2 Pesawat 3 Kota A Kota B Pesawat manakah yang harus terbang? Dan kemanakah tujuannya?

39 Latihan 1 Perusahaan A adalah perusahaan yang bergerak pada bisnis rumah makan cepat saji (fast food). Perusahaan ini berkembang dengan pesat sehingga berencana untuk membuka cabang baru di beberapa kota besar di Indonesia termasuk Surabaya. Di kota Surabaya terdapat delapan lokasi potensial yang dapat dipilih oleh perusahaan. Lokasi cabang yang dipilih harus bisa memastikan bahwa jika ada konsumen yang memesan maka pesanan harus sudah sampai ke konsumen tidak lebih dari 30 menit setelah pesanan diterima.diperlukan 10 menit untuk menyiapkan pesanan konsumen. Perusahaan berusaha untuk membuka cabang sesedikit mungkin namun bisa mengcover semua permintaan di kota Surabaya. Berikut data lokasi dan waktu tempuh ke setiap daerah. ke Modelkan masalah tersebut!

40 Latihan 2 Selain waktu tempuh, perusahaan juga memilih lokasi berdasarkan besarnya kapasitas cabang dan besarnya permintaan pada setiap lokasi. Kapasitas cabang yang bisa didirikan disetiap daerah dan permintaan adalah sebagai berikut: Lokasi Kapasitas Permintaan a) Modifikasi model anda! b) Tentukan nilai-nilai parameter yang bisa anda coba untuk melakukan validasi! c) Tentukan solusi dari nilai-nilai parameter yang anda cobakan tadi berdasarkan intuisi anda!

41 INTEGER PROGRAMMING CUTTING PLANE METHOD

42 ILP: Cutting-Plane Algorithm Start at the continous optimum LP solution Add special constraint (called cuts) to renders an integer optimum etreme point The cuts do not eliminate any original feasible integer points The cuts must through at least one feasible or infeasible integer point Number of cuts is independent of the size of the problem

43 ILP: Cutting-Plane Algorithm Contoh permasalahan ILP:

44 Solusi: ILP: Cutting-Plane Algorithm -graphical approach-

45 ILP: Cutting-Plane Algorithm Optimum LP tableau: -algebra approach- Develops the cut with assumption that all variables (including slacks) are integer

46 ILP: Cutting-Plane Algorithm -algebra approach- Steps to generate a cut: Choose a source row Factoring the source row Generate fractional cut Form equation of the cut Implement the cut Add constraint (equation) to the optimal tableu Use dual simple to solve the problem, if the tableau is optimal but infeasible Start to generate another cut until all the variables are integer.

47 Sources row: ILP: Cutting-Plane Algorithm -algebra approach- Factoring: 2 -equation factored as: Factorial cut: Cut s equation form:

48 ILP: Cutting-Plane Algorithm New tableau: -algebra approach- Solve with dual simple Result:

49 Start to generate another cut Until all variables are integer Final Result: ILP: Cutting-Plane Algorithm -algebra approach-

50 ILP: Cutting-Plane Algorithm -latihan soal-

51 Lecture 11 Preparation Materi: Metode Branch and Bound

52