DIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF KOMPLIT BIPARTIT DAN DIGRAF KOMPLIT MULTIPARTIT

Transkripsi

1 JUDUL DIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF KOMPLIT BIPARTIT DAN DIGRAF KOMPLIT MULTIPARTIT skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Abdiyati Ilmiyana JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 011

2 PERNYATAAN Saya menyatakan bahwa skripsi ini bebas plagiat apabila di kemudian hari terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ini maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan perung-ungan Semarang 11 Agustus 011 Abdiyati Ilmiyana NIM ii

3 PENGESAHAN Skripsi yang berjudul disusun oleh Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit Digraf Komplit Multipartit Abdiyati Ilmiyana telah dipertahankan di hadapan sig Panitia Ujian Skripsi FMIPA Unnes pada tanggal 19 Agustus 011 Panitia: Ketua Sekretaris Dr Kasmadi Imam S MS Drs Edy Soedjoko MPd Ketua Penguji Isnaini Rosyida SSi MSi Anggota Penguji/ Pembimbing Utama Anggota Penguji/ Pembimbing Pendamping Dr Mulyono MSi Drs Amin Suyitno MPd iii

4 MOTTO HIDUP من اراد الد نیا فعلیھ بالعلم ومن ارادالاخرة فعلیھ بالعلم ومن ارادھما فعلیھ بالعلم (متفق علیھ ( Barang siapa berharap akan kesuksesan dunia maka wajib baginya dengan ilmu barang siapa berharap akan kesuksesan akhirat maka wajib baginya dengan ilmu barang siapa berharap akan kesuksesan keduaya maka wajib baginya dengan ilmu pula (HR Bukhori Muslim) من جد وجد Siapa yang bersungguh-sungguh pasti akan berhasil (HR Bukhori Muslim) إن مع العسر یسرا Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan (QS Al Insyiroh : 6) والذین امنوا وعملوا الصالحات لنكفرن عنھم سی ي اتھم ولنجزین ھم احسن الذي كانوا یعملون Dan orang-orang yang beriman beramal sholih benar-benar akan dihapuskan dosa-dosa mereka benar-benar akan kami beri balasan yang lebih baik dari apa yang mereka lakukan (QS Al Ankabut : 7) iv

5 PRAKATA Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat hidayah-nya sehingga penulis memperoleh kekuatan untuk menyelesaikan skripsi ini Dalam kesempatan ini penulis menghaturkan terima kasih yang tak terhingga kepada: 1 Prof Dr H Sudijono Sastroatmodjo MSi Rektor Universitas Negeri Semarang yang telah memberikan fasilitas-fasilitas kepada penulis Dr Kasmadi Imam S MS Dekan Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang 3 Drs Edy Soedjoko MPd Ketua Jurusan Matematika Universitas Negeri Semarang 4 Dr Mulyono SSi MSi Dosen Pembimbing I Drs Amin Suyitno MPd Dosen Pembimbing II yang senantiasa mengarahkan membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini dengan penuh kesabaran keikhlasan 5 Ibu Isnaini RosyidaSSi MSi Dosen penguji yang membimbing penulis dalam menyempurnakan skripsi ini dengan penuh ketelitian 6 Bapak Ibu dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan bekal ilmu pengetahuan selama kuliah 7 Ibu Miskiyah sekeluarga yang senantiasa sabar ikhlas mencurahkan kasih sayang mendoakan menasihati membimbing menyemangati penulis serta ayahku Bapak Shodiqun tercinta yang selalu menyayangi mendoakanku di sana 8 Kakak adikku Mbak Hj Hikmah ILc yang menjadi inspiratorku terimakasih untuk kasih sayang doa serta dukungan yang diberikan Mas Abid mbak Etvi mas Edzik adikku Kamilatun Nisa Akmala Ashlihatina yang menjadi semangatku v

6 9 Abah Kyai Al Mamnuhin Kholid Ibu Nyai Istighfaroh SPd Ibu Nyai Al Mau natul Hafidloh SPdi AH Ustadz-Ustadzah Ponpes Al Asror Patemon Gunung Pati Ustadz-Ustadzah di Madrasah Salafiyah Simbang Kulon RA TPQ serta Madrasah Diniyah Al Burhan Terimakasih atas mutiara ilmu nasihat kasih sayang doa yang diberikan 10 Pencinta kalam Tuhan semoga Allah berkenan memasukkan kita ke dalam surga indahnya Amin 11 Teman santriwan santriwati Ponpes Al Asror Specially for 10 bersaudara angkatan 007{mbak tanti mbak im yu end Yu Towi mbak Qibti mbak Isty mbak Pipit mbak Kiki Kang Yasin Kang Febri} maafkan salah ilmi ya? He Klo ngumpul kompak bgt nyenengke Makasih buat doa semangatnya Buat 10 Sister s di Pekalongan yang selalu kurindu buat temanteman matematika 007 khusushon buat riva marya ayu cinta azka mb wini makasih atas dukungan doa semangatnya selama kuliah 1 Segenap pihak yang membantu terselesaikannya skripsi ini studi penulis Semoga Allah SWT berkenan membalas bantuan yang diberikan dengan balasan yang lebih baik berlipat ganda Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca Semarang 10 Agustus 011 Penulis vi

7 ABSTRAK Ilmiyana Abdiyati 011 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit Digraf Komplit Multipartit Skripsi Jurusan Matematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang Pembimbing I: Dr Mulyono SSi MSi Pembimbing II: Drs Amin Suyitno MPd Kata kunci: Eksentrisitas Titik eksentrik Digraf Eksentrik Dewasa ini teori graf telah memantapkan diri sebagai alat matematika yang sangat penting berguna dalam berbagai aplikasi kehidupan Salah satu aplikasi dalam teori graf adalah menentukan kota terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari suatu kota ke kota lain yang terdiri dari kumpulan kota dalam suatu daerah Masalah ini ekuivalen dengan menentukan eksentrisitas titik pada graf Eksentrisitas e(u) dari u dalam G adalah jarak maksimal dari u ke setiap v di G atau dapat ditulis Titik disebut titik eksentrik jika jarak dari ke sama dengan Digraf Eksentrik dari graf G yang dinotasikan dengan ED(G) didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di G dengan arc dari titik v ke u pada ED(G) jika hanya jika u adalah titik eksentrik dari v Segkan Eksentrisitas e(u) dari u dalam Digraf D adalah jarak maksimal dari u ke setiap v di D atau dapat ditulis Titik disebut titik eksentrik jika jarak dari ke sama dengan Digraf Eksentrik dari digraf D yang dinotasikan dengan ED(D) didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di D dengan arc dari titik v ke u pada ED(D) jika hanya jika u adalah titik eksentrik dari v Permasalahan yang dikaji dalam skripsi adalah (1) bagaimana langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf digraf () bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit (3) bagaimana bentuk digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit Penelitian ini merupakan penelitian studi pustaka yang dilakukan dalam tiga tahap yaitu (1) mempelajari mengkaji tentang eksentrisitas titik digraf eksentrik dari graf digraf () menentukan langkah-langkah untuk mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit dengan menggunakan referensi yang ada serta bagaimana membuktikan teorema yang mendukung keberadaannya (3) menggunakan kajian tentang digraf eksentrik untuk menemukan bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit Untuk menentukan langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf digraf digunakan definisi eksentrisitas titik eksentrik digraf eksentrik Kemudian dengan menggunakan langkah-langkah tersebut mulai mencari bentuk digraf eksentrik dari dari graf komplit bipartit digraf komplit multipartit Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh bahwa (1) langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf digraf adalah menentukan jarak vii

8 setiap titik di graf G ke titik yang lain di graf G atau menentukan jarak setiap titik di digraf D ke titik yang lain di digraf D kemudian mencari eksentrisitas titik eksentriknya terakhir menggambar digraf eksentriknya () bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dinotasikan adalah dengan gabungan dari digraf komplit dengan m titik n titik yang sisinya berarah bolak-balik atau diperoleh bentuk umum dengan (3) digraf eksentrik iterasi kedua pada digraf komplit multipartit adalah digraf komplit multipartit itu sendiri Berdasarkan hasil penelitian tersebut penulis menyarankan kepada peneliti lain untuk mengkaji bentuk digraf eksentrik iterasi pertama dari digraf komplit multipartit digraf eksentrik dari graf atau digraf yang lain viii

9 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i PERNYATAAN ii HALAMAN PENGESAHAN iii MOTTO DAN PERSEMBAHAN iv KATA PENGANTAR v ABSTRAK vii DAFTAR ISI viii DAFTAR SIMBOL x DAFTAR GAMBAR xi DAFTAR TABEL xiii BAB 1 PENDAHULUAN 1 11 Latar Belakang 1 1 Perumusan Masalah 13 Tujuan Manfaat 3 14 Sistematika Penulisan 4 BAB LANDASAN TEORI 5 1 Graf 5 Digraf 17 3 Digraf Eksentrik 3 4 Graf Komplit Bipartit 35 5 Digraf Komplit Multipartit 38 BAB 3 METODE PENELITIAN Penemuan Masalah 41 3 Perumusan Masalah Studi Pustaka 4 34 Analisis Pemecahan Masalah 4 35 Penarikan Kesimpulan 43 BAB 4 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Langkah-langkah Mengkonstruksi Digraf Eksentrik 44 ix

10 4 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit 6 BAB 5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan 78 5 Saran 80 DAFTAR PUSTAKA 81 x

11 DAFTAR SIMBOL 1 Graf Digraf 3 Himpunan titik di Graf 4 Himpunan sisi di Graf 5 Graf G dengan order size Graf G reguler dengan derajat 6 7 raf G dengan order size Sub bagian 8 9 Reduksi Digraf D 10 Komplemen reduksi Digraf D 11 Jarak dari ke pada suatu graf 1 Jarak dari ke pada suatu digraf Eksentrisitas dari titik raf eksentrik pada G 15 raf eksentrik pada raf eksentrik iterasi ke Graf komplit dengan 18 Digraf komplit dengan titik titik 19 Himpunan titik di Digraf 0 Komplemen 1 Digraf multipartit dengan partit Graf komplit bipartit 3 Digraf komplit bipartit 4 Komplemen 5 pada raf eksentrik dari 6 Himpunan graf atau digraf ke 7 Tak hingga xi

12 DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman 1 Gambar 11 Graf G 8 Gambar 1 Graf G 9 3 Gambar 13 Graf regular orde Gambar 14 Graf G komplemennya 11 5 Gambar 15 Graf G 1 6 Gambar 16 Graf G 13 7 Gambar 17 Graf G 14 8 Gambar 18 Graf G Sederhana 15 9 Gambar 19 Graf Ganda Graf Semu Gambar 110 Dua Graf Tak Berhingga Gambar 111Graf Berarah Tak Berarah 17 1 Gambar 1 Digraf D Gambar Digraf Subgraf Digraf Gambar 3 Digraf Komplit 0 15 Gambar 4 Graf Berarah 0 16 Gambar 5 Digraf G reduksi digraf G komplemen redusi digraf G 1 17 Gambar 6 Digraf D 1 18 Gambar 7 (a) Digraf Terhubung Lemah (b) Digraf Terhubung Kuat 3 19 Gambar 31 Graf G 3 0 Gambar 3 Graf Hubungan Radius G Diameter G 5 1 Gambar 33 Eksentrisitas 5 Gambar 34 Digraf D 8 3 Gambar 35 Graf G Digraf Eksentrisnya 9 4 Gambar 36 Digraf Eksentrik dari Digraf D 30 5 Gambar 37 Digraf Eksentrik pada iterasi k pada Digraf G 31 6 Gambar 41 Graf Komplit Kn 37 7 Gambar 4 Graf Bipartit K34 37 xii

13 8 Gambar 43 Graf Komplit Bipartit K Gambar 51 Digraf Multipartit K 3 Tak Komplit Gambar 5 Digraf Komplit Multipartit K Gambar 41 Graf Komplit Bipartit K 48 3 Gambar 4 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K Gambar 43 Graf Komplit Bipartit K Gambar 44 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K Gambar 45 Graf Komplit Bipartit K Gambar 46 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K Gambar 47 Graf Komplit Bipartit K Gambar 48 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K Gambar 49 Graf Komplit Bipartit K Gambar 410 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K Gambar 411 Graf Komplit Bipartit K Gambar 41 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K Gambar 413 Graf Komplit Bipartit K Gambar 414 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K Gambar 415 Graf Komplit Bipartit K Gambar 416 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K Gambar 431 Digraf Komplit Multipartit K Gambar 43 Digraf Komplit Multipartit K Gambar 433 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit K Gambar 434 Digraf Komplit Multipartit K Gambar 435 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit K Gambar 436 Digraf Eksentrik Iterasi kedua dari Digraf Komplit Multipartit K Gambar 437 Digraf Eksentrik Iterasi kedua dari Digraf Komplit Multipartit K 3 77 xiii

14 DAFTAR TABEL Tabel Halaman 1 Tabel 31 Eksentrisitas Graf G 6 Tabel 3 Eksentrisitas Digraf 9 3 Tabel 33 Eksentrisitas Digraf D pada Gambar Tabel 34 Eksentrisitas Digraf pada Gambar Tabel 35 Eksentrisitas Digraf pada Gambar Tabel 41 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K 49 7 Tabel 4 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K Tabel 43 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K4 5 9 Tabel 44 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K Tabel 45 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K Tabel 46 Eksentrisitas Graf Komplit Bipartit K Tabel 431 Eksentrisitas Digraf Komplit Multipartit K Tabel 43 Eksentrisitas Digraf Komplit Multipartit K Tabel 433 Eksentrisitas Iterasi Kedua Digraf Komplit Multipartit K Tabel 434 Eksentrisitas Iterasi Kedua Digraf Komplit Multipartit K3 77 xiv

15 BAB 1 PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Dewasa ini teori graf telah memantapkan dirinya sebagai alat matematika yang sangat penting berguna Hal ini sangat berhubungan dengan struktur diskrit yang ada pada sistem Banyak ilmu yang memanfaatkan Teori Graf (Graph Theory) mulai dari proses komputasi sampai dengan Kimia Genetika Sosiologi Kartografi beberapa masalah dalam jaringan komunikasi transportasi ilmu komputer riset operasi lain sebagainya Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit hubungan antara objek-objek tersebut Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah bulatan verteks atau titik Segkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis atau edge Graf dapat digunakan untuk merepresentasikan beberapa struktur objek salah satu aplikasinya adalah menentukan jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari suatu kota ke kota lain yang terdiri dari kumpulan kota dalam suatu daerah Masalah ini ekuivalen dengan menentukan eksentrisitas titik pada graf Kumpulan titik eksentrik yang dihubungkan dengan garis pada suatu graf disebut digraf eksentrik pada suatu graf Segkan kumpulan titik eksentrik yang dihubungkan dengan busur pada suatu digraf disebut digraf eksentrik pada digraf 1

16 Digraf eksentrik pada graf diperkenalkan pertama kalinya oleh Fred Buckley pada tahun 1990-an yakni digraf Eksentrik ED(G) pada graf G didefinisikan sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di G atau V(ED(G))=V(G) di mana arc (busur) yang menghubungkan titik ke jika adalah titik eksentrik dari Segkan Bolland Miller pada tahun 001 mulai memperkenalkan digraf eksentrik pada digraf atau dituliskan didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di D atau dimana arc (busur) menghubungkan titik adalah titik eksentrik dari ke jika hanya jika Berdasarkan deskripsi di atas penulis mempunyai rasa ingin tahu lebih dalam tentang digraf eksentrik baik dari graf maupun digraf untuk mengembangkan penelitian ini penulis tertarik untuk membahas digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit 1 Perumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas maka permasalahan yang dapat dirumuskan dalam penulisan ini adalah sebagai berikut 11 Bagaimana langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf digraf? 1 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit? 13 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit?

17 3 13 Tujuan Manfaat 131 Tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut 1311 Mengetahui bagaimana langkah-langkah mengkonstuksi digraf eksentrik dari graf digraf 131 Mengetahui bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit 1313 Mengetahui bagaimana bentuk digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit 13 Manfaat Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut 131 Bagi penulis Untuk mengembangkan ilmu pengetahuan terutama dalam menentukan bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit 13 Bagi Jurusan Matematika Universitas Negeri Semarang Dapat digunakan sebagai khazanah sumber referensi baru khususnya dalam kajian matematika mata kuliah Matematika Diskrit 133 Bagi pembaca Untuk menambah ilmu pengetahuan terutama dalam hal menentukan bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit

18 4 14 Sistematika Penulisan BAB 1 Merupakan bab pendahuluan yang berisi tentang latar belakang perumusan masalah tujuan manfaat penelitian BAB Menguraikan materi penunjang yang menjadi dasar teori disusunnya skripsi ini BAB 3 Menguraikan tentang metode penelitian yaitu langkah-langkah yang dilakukan peneliti BAB 4 Menguraikan pembahasan tentang langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit BAB 5 Berisi kesimpulan saran dari pembahasan tentang bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit

19 BAB LANDASAN TEORI 1 Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit hubungan antara objek-objek tersebut Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah bulatan atau titik segkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis Sebelum mempelajari teori graf lebih lanjut diperlukan pengantar sebagaimana berikut 11 Sejarah Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang upaya pemecahan masalah jembatan Konigsberg yang sangat terkenal di Eropa Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya teori tersebut tidak ada perkembangan berarti mengenai teori graf Tahun 1847 GR Kirchoff ( ) berhasil mengembangkan teori pohon (Theory Of Trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik Sepuluh tahun kemudian A Cayley ( ) juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon 5

20 6 Pada masa Kirchoff Cayley juga telah lahir dua hal penting dalam teori graf Salah satunya berkenaan dengan konjektur empat warna yang menyatakan bahwa untuk mewarnai sebuah atlas cukup dengan menggunakan empat macam warna sedemikian hingga tiap negara yang berbatasan akan memiliki warna yang berbeda Para ahli teori graf berkeyakinan bahwa orang yang pertama kali mengemukakan masalah empat warna adalah A F Mobius ( ) dalam salah satu kuliahnya di tahun 1840 Sepuluh tahun kemudian A Demorgan dianggap sebagai referensi pertama berkenaan dengan masalah empat warna Masalah empat warna ini menjadi sangat terkenal setelah Cayley mempublikasikasikan tahun 1839 dalam Proceeding of the Royal Geographic Society volume pertama Hal yang penting untuk dibicarakan sehubungan dengan perkembangan teori graf adalah apa yang dikemukakam oleh Sir W R Hamilton ( ) Pada tahun 1859 ia berhasil menemukan suatu permainan yng kemudian dijualnya ke sebuah pabrik mainan di Dublin Permainan tersebut dari kayu berbentuk dodecahedron beraturan yakni berupa sebuah polyhedron dengan 1 muka 0 pojok Tiap muka berbentuk sebuah pentagon beraturan tiap pojoknya dibentuk oleh tiga sisi berbeda Tiap pojok dari dodecahedron tersebut dipasangkan dengan sebuah kota terkenal seperti London New York Paris lain-lain Masalah dalam permainan ini adalah mencari suatu rute melalui sisi-sisi dodecahedron

21 7 sehingga tiap kota dari 0 kota yang ada dapat dilalui tepat satu kali Walaupun saat ini masalah tersebut dikategorikan mudah akan tetapi saat iti tidak ada seorangpun yang menemukan syarat perlu cukup dari eksistensi rute yang dicari Kurang lebih setengah abad setelah masa Hamilton aktivitas penelitian dalam big graf relatif kecil Pada tahun 190-an kegiatan tersebut muncul kembali yang dipelopori oleh DKonig Konig berupaya mengumpulkan hasil-hasil pemikiran para ahli matematika tentang teori graf termasuk hasil pemikirannya sendiri kemudian dikemasnya dalam bentuk buku yang diterbitkan pada tahun 1936 Tiga puluh tahun terakhir ini merupakan periode yang sangat intensif dalam aktifitas pengembangan teori graf baik murni maupun terapan Sejumlah penelitian telah dilakukan ribuan artikel telah diterbitkan lusinan buku telah banyak tertulis Di antara orang terkenal yang banyak berkecimpung dalam big Graf adalah Claude Berge Oysten Ore Paul Erdos William Tutte Frank Harary 1 Definisi Terminologi Dasar Graf Definisi 11 Graf G adalah pasangan ( di mana himpunan berhingga titik-titik (vertices) yang tak kosong adalah adalah himpunan sisi (mungkin kosong) sedemikian hingga setiap sisi (edge) di

22 8 adalah pasangan tak berurutan dari titik-titik di dari dinotasikan dengan dengan Himpunan titik segkan himpunan sisi dinotasikan (Budayasa 1997) Definisi 1 Jika terdapat sisi menghubungkan titik maka sisi Jika dikatakan adalah sisi pada graf maka disebut titik yang berhubungan langsung atau bertetangga (adjacent) Segkan disebut terkait (incident) sama seperti (Chartrand and Lesniak 1996) Contoh v5 Gambar 11 Graf G Pada gambar 11 titik bertetangga dengan titik titik tidak bertetangga dengan titik titik seterusnya tetapi Sisi e1 incident (terkait) dengan sisi e incident (terkait) dengan titik

23 9 Definisi 13 Kardinalitas himpunan titik dari graf atau dinotasikan dengan disebut order dari graf jika graf yang dimaksudkan jelas Segkan kardinalitas dari himpunan sisi disebut size yang dinotasikan atau dengan Suatu graf mempunyai order size (Chartrand and Lesniak 1996) Contoh Graf pada gambar 11 halaman 8 mempunyai order 4 size 5 Definisi 14 Derajat dari titik pada graf adalah jumlah sisi pada yang terkait atau deg Suatu titik dikatakan dengan yang dinotasikan dengan ganjil atau genap sesuai dengan derajat titik tersebut ganjil atau genap (Chartrand and Lesniak 1996) Contoh G v e e e v e Gambar 1 Graf G Pada gambar 1 titik segkan v e v berderajat atau merupakan titik genap berderajat 3 atau merupakan titik ganjil

24 10 Definisi 15 Suatu graf setiap titik di jika deg dikatakan reguler dengan derajat untuk (Chartrand and Lesniak 1996) Contoh Gambar 13 Graf reguler orde 4 Pada gambar 13 graf reguler graf reguler berderajat 0 graf reguler berderajat graf reguler berderajat 1 berderajat 3 Definisi 16 Suatu graf sederhana dikatakan komplit (complete) jika setiap titiknya bertetangga Graf komplit 1 jumlah sisi derajat dengan merupakan graf reguler dengan dinotasikan dengan (Chartrand and Lesniak 1996) Contoh Pada gambar 13 graf reguler adalah graf komplit Definisi 17 Komplemen dari graf himpunan titik (diberi simbol dengan adalah graf dengan di mana dua titik dikatakan bertetangga di jika

25 11 hanya jika titik tersebut tidak bertetangga di (Chartrand and Lesniak 1996) Contoh G: : Gambar 14 Graf G komplemennya Definisi 18 Misal titik-titik pada graf Jalan (walk) pada graf adalah barisan berhingga titik sisi sedemikian hingga panjang dari jalan Suatu jalan disebut terbuka jika 13 dengan disebut tertutup jika (Chartrand and Lesniak 1996) adalah jalan

26 1 Contoh Gambar 15 Graf G Pada gambar 15 jalan adalah jalan tertutup dengan panjang 5 adalah jalan terbuka dengan panjang 6 Definisi 19 Jika semua sisi dalam suatu jalan adalah berbeda maka disebut jejak (trail) jika semua titik dalam suatu jejak juga berbeda maka disebut lintasan (path) (Sutarno 003) Contoh Pada gambar 15 jalan adalah jejak tetapi bukan lintasan segkan adalah lintasan Definisi 110 Lintasan terpendek (shortest path) adalah lintasan dengan jumlah sisi paling sedikit

27 13 Contoh Pada gambar 15 halaman 1 lintasan terpendek dari titik ke adalah dengan panjang lintasan Definisi 111 Jejak tertutup disebut sirkuit Sirkuit yang titik intervalnya berlainan disebut siklus (Cycle) (Sutarno 003) Contoh Pada gambar 15 halaman 1 jalan adalah siklus Definisi 11 Suatu graf dikatakan terhubung jika terdapat lintasan untuk setiap pasang titik di Contoh G: a d H: a b d c b c e Gambar 16 Graf G Pada gambar 16 graf terhubung adalah graf terhubung graf adalah graf tidak

28 14 Definisi 113 Jika terdapat lebih dari dua sisi yang berkaitan dengan sepasang titik pada graf maka sisi tersebut disebut sisi ganda (pararel edges) Segkan loop adalah sisi yang kedua titik ujungnya sama Contoh Gambar 17 Graf G Pada gambar 17 titik (13) merupakan sisi ganda yang dihubungkan oleh sisi e 3 e 4 titik (34) merupakan merupakan sisi ganda yang dihubungkan oleh sisi e 6 e 7 segkan e 8 merupakan loop yang kedua titik ujungnya adalah titik 3 13 Jenis-Jenis Graf Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pang pengelompokannya Pengelompokan graf dapat dipang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau loop berdasarkan jumlah titik atau berdasarkan orientasi arah pada sisi

29 15 Berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau loop pada suatu graf maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis a Graf sederhana (simple graph) Graf yang tidak mengandung loop atau sisi ganda dinamakan graf sederhana Contoh Gambar 18 Graf sederhana b Graf tak-sederhana (unsimple-graph) Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf taksederhana (unsimple graph) Ada dua macam graf tak sederhana yaitu graf ganda (multigraph) graf semu (pseudograph) Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda Segkan graf semu adalah graf yang mengandung loop terkag memiliki sisi ganda pula Contoh (a) Graf ganda (b) Graf semu Gambar 19 (a) graf ganda (b) graf semu

30 16 Berdasarkan jumlah titik pada suatu graf maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis: a Graf berhingga (limited graph) Graf berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya berhingga Dua buah graf pada Gambar 19 adalah contoh graf yang berhingga b Graf tak-berhingga (unlimited graph) Graf yang jumlah simpulnya tidak berhingga banyaknya disebut graf tak-berhingga Dua buah graf pada Gambar 110 adalah contoh graf yang tidak berhingga Gambar 110 Dua buah graf tak berhingga Berdasarkan orientasi arah pada sisi maka secara umum graf dibedakan atas jenis: a Graf tak-berarah (undirected graph) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah Pada graf tak-berarah urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan Jadi (vj vk) = (vk vj) adalah sisi yang sama Tiga buah graf pada Gambar 19 dua graf pada Gambar 110 adalah graf tak berarah b Graf berarah (directed graph atau digraph) Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah Sisi berarah biasa disebut busur (arc) Pada graf

31 merupakan graf berarah (vj vk) (vk vj) menyatakan dua buah busur yang berbeda atau dengan kata lain vj dinamakan titik asal (initial vertex) titik vk dinamakan titik terminal (terminal vertex) Gambar 111 (a) graf berarah (b) graf-ganda berarah Digraf Definisi 1 Graf berarah atau digraf (digraph) D adalah himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut titik dengan himpunan (mungkin kosong) pasangan berurutan dari titik di D yang disebut arc atau sisi berarah atau busur (Chartrand and Lesniak 1996) Contoh : Gambar 1 Digraf D Seperti pada graf himpunan titik-titik dari himpunan sisi dinotasikan dengan dinotasikan dengan Pada gambar 1 digraf dengan Sisi

32 18 Definisi Order dari digraf D adalah kardinalitas himpunan titik dari digraf D dinotasikan dengan n(d) atau Size dari digraf D adalah kardinalitas dari himpunan arc digraf D dinotasikan dengan adalah digraf dengan order size atau Digraf Contoh Pada gambar 1 digraf mempunyai order 3 size 3 Definisi 3 Jika menghubungkan segkan adalah arc dari digraf ke terkait ke bertetangga ke jika Arc terkait dari terkait dari bertetangga dari Titik bertetangga (nonadjacent) jika maka disebut terkait ke Atau dapat dikatakan pada digraf tidak bertetangga ke tidak atau tidak bertetangga dari Contoh Pada gambar 1 halaman 17 misal Titik bertetangga ke titik tetapi Jika terdapat terkait dari tidak bertetangga ke titik dalam dua bentuk yaitu dua busur maka dapat digambarkan dengan satu busur yang arahnya bolak-balik Contoh a v u b a u terkait ke v b Gambar Digraf D dengan arc (uv) (vu) atau cukup

33 19 Definisi 4 Out-neighbours pada digraf bertetangga dari suatu titik adalah himpunan titik di digraf dinotasikan dengan dengan kardinalitas sama dengan derajat keluar In-neighbours pada digraf titik yang bertetangga ke suatu titik yang pada digraf adalah himpunan dinotasikan dengan dengan kardinalitas sama dengan derajat masuk Contoh Pada gambar 1 halaman 17 Definisi 5 Suatu digraf adalah subdigraf dari jika Contoh Gambar 3 Digraf adalah subdigraf dari digraf Definisi 6 Suatu arc disebut pararel arc jika ada lebih dari satu arc pada arah yang sama yang menghubungkan dua titik dalam digraf Digraf yang memuat pararel arc disebut multidigraf (Chartrand and Lesniak 1996) Sebagai contoh graf pada gambar 4(b)

34 0 Definisi 7 Loop adalah busur yang menghubungkan suatu titik pada dirinya sendiri Digraf yang mempunyai pararel arc loop disebut pseudodigraf (Chartrand and Lesniak 1996) Contoh (a) (b) Gambar 4 Graf Berarah Pada gambar 4 (a) pseudodigraf (b) multidigraf Definisi 8 Komplemen digraf dinotasikan dengan mempunyai himpunan titik komplemen yang sama dengan arc Misalkan suatu digraf dengan yaitu digraf yang himpunan titik reduksi dari dinotasikan dengan adalah digraf yang diperoleh dengan menghapus semua arc yang terkait dari titik yang mempunyai derajat keluar 1 Contoh Gambar 5 Digraf D reduksi digraf D komplemen reduksi digraf D

35 1 Definisi 9 Untuk setiap titik di digraf jalan - pada adalah barisan berhingga titik arc sedemikian hingga 13 dengan adalah panjang dari jalan (Chartrand and Lesniak 1996) Contoh b a c d f e Gambar 6 Digraf D Pada gambar 6 jalan adalah jalan dengan panjang 3 Definisi 10 Lintasan berarah (directed path) sama seperti pada lintasan sederhana setiap arc mempunyai arah yang sama ini berarti bahwa setiap titik internalnya mempunyai derajat masuk derajat keluar 1 Titik terjangkau (reachable) dari titik jika terdapat lintasan berarah dari dikatakan ke Definisi 11 Lintasan berarah terpendek (shortest directed path) adalah lintasan berarah dengan jumlah sisi paling sedikit

36 Contoh Pada gambar 6 halaman 1 lintasan yang menghubungkan titik 1 ke titik 3 adalah : Yang memiliki jumlah sisi paling sedikit yaitu lintasan lintasan adalah lintasan terpendek dari titik terjangkau dari titik jadi ke titik karena terdapat lintasan berarah dari ke Titik Definisi 1 Digraf disebut terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik sembarang juga lintasan berarah dari di terdapat lintasan berarah dari ke ke Definisi 13 Digraf dikatakan terhubung lemah (weakly connected) jika tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tak berarahnya Contoh w a x y z (a) c b (b) Gambar 7 (a) digraf terhubung lemah (b) digraf terhubung kuat

37 3 3 Digraf Eksentrik Definisi 31 Jarak terpendek lintasan dari dari di (Chartrand and Lesniak 1996) Jika tidak terdapat ke maka ke pada graf adalah panjang lintasan Contoh Gambar 31 Graf G Gambar 31 = segkan Definisi 3 Eksentrisitas setiap di dari dalam adalah jarak maksimal dari atau dapat ditulis disebut titik eksentrik jika jarak dari ke sama dengan adalah eksentrisitas minimum dari setiap titik di segkan diameter ke Titik Radius dari dapat ditulis dari adalah eksentrisitas maksimum dari setiap titik di dapat ditulis disebut titik sentral (central) jika (Chartrand and Lesniak 1996) Titik Central dari dinotasikan

38 4 adalah subgraf pada yang terbentuk dari titik central Titik dikatakan titik eksentrik dari jika jarak dari eksentrik dari dapat dituliskan ke sama dengan titik Teorema 31 Untuk setiap graf terhubung antara radius diameter terdapat hubungan sebagai berikut: Bukti: Pertidaksamaan adalah suatu konskuensi langsung dari min definisi yaitu max menunjukkan ketidaksaman yang kedua pilih titik hingga Titik ke Kemudian misalkan melalui titik sentral Karena di sedemikian sebagai titik central dari karena jarak panjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan melalui titik sentral Untuk adalah metrik pada di merupakan di jika ke sedemikian hingga terdapat sifat ketaksamaan segitiga (triangle inequality) sebagai berikut Sehingga grafnya dapat digambarkan pada Gambar 3

39 5 Gambar 3 Graf hubungan radius G diameter G Eksentrisitas titik titik eksentrik radius diameter central dari graf dapat dilihat pada gambar 33 Contoh Gambar 33 Eksentrisitas Dari gambar 33 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut

40 Tabel 31 Eksentrisitas Graf G dari Gambar 33 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik a 3 f b c f c 3 f d a f e a c f 3 a c Diperoleh rad (G) = min {333}= diam (G) = maks {333}=3 titik central = b d e sehingga d e b adalah

41 7 Definisi 33 Jarak (berarah) terpendek dari di D Jarak ke adalah panjang lintasan berarah tersebut didefinisikan untuk setiap pasang titik pada digraf terhubung kuat (Chartrand and Lesniak 1996) Jika tidak terdapat lintasan berarah dari ke maka Contoh Pada gambar 7 (a) 1 dari dalam Definisi 34 Eksentrisitas setiap di adalah jarak maksimal dari atau dapat ditulis disebut titik eksentrik jika jarak dari ke Titik sama dengan Radius dari adalah eksentrisitas minimum dari setiap titik di ke dapat ditulis segkan diameter dari adalah eksentrisitas maksimum dari setiap titik di dapat ditulis (Chartrand and Lesniak 1996) Titik sentral (central) jika disebut titik Contoh f e a b d c Gambar 34 Digraf D Dari gambar 34 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut

42 Tabel 3 Eksentrisitas Digraf D dari Gambar 34 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik a 4 d f b 3 d f c b d f d 4 b e 3 b f 5 d Diperoleh rad (D) = min {43435}= diam (D) = maks {43435}= 5 titik sentral D adalah c sehingga adalah c itu sendiri

43 9 Definisi 35 Digraf Eksentrik dari graf (dinotasikan ) didefinisikan sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di atau dengan arc dari titik hanya jika ke di jika adalah titik eksentrik dari Contoh a b b a e c e f d c f d G Gambar 35 Graf G Digraf Eksentriknya Definisi 36 Digraf Eksentrik dari digraf yang dinotasikan dengan didefinisikan sebagai digraf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di dengan arc dari titik hanya jika adalah titik eksentrik dari ke pada jika

44 30 Contoh Dari gambar 34 halaman 8 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut f a e d b c Gambar 36 Digraf Eksentrik dari Digraf D Definisi 37 Diberikan bilangan bulat positif eksentrik digraf pada iterasi pada digraf D ditulis di mana Contoh a b (a) a b (b) e f e f c d c d D

45 31 a (c) b a e c f e d c f d Gambar 37 Digraf Eksentrik iterasi Dari digraf (d) b pada digraf D pada gambar 37 (a) diperoleh digraf eksentrisitas dengan perhitungan sebagai berikut

46 3 Tabel 33 eksentrisitas dari Gambar 37 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik a 4 f b c f c 3 a f d 3 c e 4 c f 5 c Diperoleh diam (D) = maks {43345}= 5 titik sentral D adalah b Dari ED(D) pada gambar 37(b) diperoleh digraf eksentrisitas E (D) dengan perhitungan sebagai berikut

47 33 Tabel 34 Eksentrisitas ED(D) dari Gambar 37 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik a bde b de c bd e d b c e bd f bd e Diperoleh rad ED(D) = min { }= diam ED(D) = maks { }= titik sentral ED(D) adalah abcde f Dari E (D) pada gambar 37(c) diperoleh digraf eksentrisitas E (D) dengan perhitungan sebagai berikut

48 Tabel 35 eksentrisitas E (D) dari Gambar 37 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik a bde b de c bd e d b c e bd f bd e Diperoleh rad (D) = min { }= diam (D) = maks { }= titik sentral D adalah abcde f Pada gambar 37 hanya digambar sampai dengan karena dst 4 Graf Komplit Bipartit Graf Komplit ialah graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke semua titik lainnya Graf komplit dengan dengan buah titik dilambangkan (Munir 001: 04) Lemma 41 Untuk setiap graf G dengan titik sisi berlaku :

49 35 Bukti : Misalkan adalah banyak sisi adalah banyak titik dalam graf Jelas untuk setiap sisi akan terhubung oleh titik == kali banyak sisi Lemma 4 Jumlah sisi pada graf komplit yang terdiri dari buah titik adalah Bukti: Misalkan adalah banyak sisi dalam graf komplit Ambil graf dengan setiap pasang titik di terdapat sebuah sisi yang menghubungkan Karena tiap titik dalam graf komplit selalu dihubungkan dengan titik lain melalui satu sisi maka derajat tiap titik dalam sebuah graf komplit titik adalah 1 dengan

50 36 Berdasarkan lemma 41 maka 1 1 Akibatnya jumlah sisi pada graf komplit yang terdiri dari buah titik adalah Contoh Gambar 41 Graf komplit Pada gambar 41 untuk graf komplit mempunyai 4 buah titik 6 buah sisi Segkan graf komplit mempunyai 5 buah titik 10 buah sisi Kemudian untuk graf komplit mempunyai 6 buah titik 15 buah sisi Graf G di bawah ini adalah graf bipartit karena titik-titikya dapat dibagi menjadi a b g c f e d

51 37 Gambar 4 Graf bipartit Graf bagian Tak Lengkap yang himpunan titiknya dapat dipisah menjadi dua himpunan sehingga setiap sisi pada ke sebuah titik di disebut graf bipartit dinyatakan sebagai Dengan kata lain setiap pasang titik di maka bertetangga dengan semua titik di disebut graf komplit bipartit (complete bipartite graph) dilambangkan dengan Graf menghubungkan sebuah titik di (Munir 001: 06) adalah bukan bipartisi jika himpunan titik tidak dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian menghubungkan sebuah titik di maka setiap sisi pada ke sebuah titik di (Goodaire Parmenter 1998: 550) Contoh a b c e d Gambar 43 Graf bipartisi komplit Pada gambar 4 graf dipartisi menjadi titik di dihubungkan dengan sisi adalah graf komplit bipartit karena dapat sehingga setiap titik di

52 38 5 Digraf Komplit Multipartit Digraf komplit dengan -titik dinotasikan yaitu digraf yang setiap pasang titik-titiknya terhubung dengan sisi dua arah (bidirectional edge) Digraf n-partit (n-partite digraph) didefinisikan sebagai digraf di mana himpunan titik V(D) dapat dipisah menjadi himpunan titik yaitu V1(D) V(D) Vn(D) Busur-busur pada digraf -partit terhubung dari titik-titik pada Vi(D) ke titik-titik pada himpunan titik selain Vi(D) atau adalah komplemen dari Vi(D) Untuk di mana dinamakan bipartit jika = k = l maka digraf bipartit tersebut dinotasikan dengan 3 dinamakan digraf tripartit yang dinotasikan segkan untuk Demikian seterusnya hingga dinotasikan dinamakan digraf multipartit yang Contoh Digraf Multipartit Tak Komplit pada Gambar 51 Digraf Multipartit Komplit terdapat pada Gambar 5

53 39 G G G 4 G Gambar 51 Digraf Multipartit Tak Komplit G G G G Gambar 5 Digraf Komplit Multipartit

54 BAB 3 METODE PENELITIAN Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu sebagai berikut 1 Penemuan Masalah Tahapan ini merupakan tahapan pertama dalam penelitian yaitu dengan pencarian ide atau gagasan materi eksentrisitas suatu titik digraf eksentrik dari graf digraf Kemudian menentukan permasalahan yaitu menentukan digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf komplit multipartit untuk dikaji pada penelitian ini Perumusan Masalah Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan yang telah ditemukan yaitu sebagai berikut 31 Bagaimana langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf komplit multipartit? 3 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit? 33 Bagaimana bentuk digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit? 40

55 41 3 Studi Pustaka Studi pustaka merupakan penelaah sumber pustaka relevan yang digunakan untuk mengumpulkan data maupun informasi yang diperlukan dalam penelitian ini Studi pustaka diawali dengan mengumpulkan sumber pustaka yaitu berupa buku-buku maupun referensi yang menjadi dasar dalam penelitian ini Setelah sumber pustaka terkumpul dilanjutkan dengan penelaahan isi sumber pustaka tersebut Pada akhirnya sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk melakukan penelitian ini 4 Analisis Pemecahan Masalah Pada tahap ini dilakukan analisa pemecahan masalah yaitu dengan langkah-langkah sebagai berikut i Mempelajari mengkaji tentang eksentrisitas titik digraf eksentrik dari graf digraf eksentrik dari digraf ii Menentukan langkah-langkah untuk mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf komplit multipartit dengan menggunakan referensi yang ada serta bagaimana membuktikan teorema yang mendukung keberadaannya iii Menggunakan kajian tentang digraf eksentrik untuk menemukan bagaimana bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf komplit multipartit

56 4 5 Penarikan Simpulan Tahap ini merupakan tahap terakhir dari penelitian Setelah menganalisis memecahkan masalah berdasarkan studi pustaka pembahasannya kemudian dibuat sebagai simpulan sebagai jawaban dari permasalahan yang telah dirumuskan sebelumnya

57 BAB 4 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan kita bahas mengenai langkah-langkah untuk mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf komplit multipartit serta mencari bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf komplit multipartit 41 Langkah Langkah Mengkonstruksi Digraf Eksentrik Pada BAB telah didefinisikan tentang jarak eksentrisitas titik digraf eksentrik Digraf eksentrik pada graf dinotasikan didefinisikan sebagai graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di atau dimana arc menghubungkan titik titik eksentrik dari ke jika adalah (Gafur 008:1) Untuk menentukan digraf eksentrik dari suatu graf langkah-langkahnya sebagai berikut 411 Menentukan jarak setiap titik di dinotasikan dengan dari titik 1 ke titik 1 ke semua titik yaitu panjang lintasan terpendek sehingga diperoleh juga eksentrisitas dari titik 1 disebut titik eksentrik dari titik eksentrisnya Titik 43 jika jarak dari ke

58 44 sama dengan dengan 1 Titik eksentrik dari mungkin tidak tunggal 41 Membangun digraf dengan himpunan titik himpunan arc 1 ) dengan eksentrik dari 1 di mana adalah titik Misalkan digraf D dengan himpunan titik himpunan arc Maka digraf eksentrik dari digraf D dapat dikonstruksi dengan langkah-langkah sebagai berikut 411 Menentukan jarak setiap titik dinotasikan dengan di berarah dari titik 1 ke titik 1 yaitu panjang lintasan terpendek sehingga diperoleh eksentrisitas dari titik 1 disebut titik eksentrik dari sama dengan ke semua titik titik eksentrisnya Titik dengan jika jarak dari ke 1 Titik eksentrik dari mungkin tidak tunggal 41 Membangun digraf dengan himpunan titik himpunan arc ) 1 1 di mana adalah titik eksentrik dari

59 45 4 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit Pada bagian ini akan dibahas tentang bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit Teorema berikut ini akan digunakan untuk mengkonstruksi digraf eksentrik dari graf komplit bipartit Misal graf komplit bipartit himpunan sisi E mempunyai himpunan titik untuk setiap dimana Teorema 41 Eksentrisitas titik pada graf komplit bipartit untuk setiap 13 adalah sebagai berikut Bukti: Dari definisi graf komplit bipartit jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari untuk setiap adalah semua titik di dari 13 adalah dengan titik eksentriknya kecuali dirinya sendiri demikian juga jarak terjauh untuk setiap 1 eksentriknya adalah semua titik di untuk setiap di 13 di adalah dengan titik kecuali dirinya sendiri Jadi Akibat a Titik eksentrik pada graf komplit bipartit adalah sebagai berikut

60 46 Titik eksentrik di adalah dari Titik eksentrik di dengan dari untuk adalah adalah 1 untuk setiap 13 untuk setiap di untuk setiap di untuk di untuk setiap di titik eksentrik dari adalah dengan b Dari teorema 41 titik eksentrik dari Teorema 4 Digraf eksentrik dari graf komplit bipartit himpunan titik untuk untuk 1 1 adalah digraf dengan himpunan arc dengan dengan Bukti: Titik eksentrik dari untuk setiap 13 untuk untuk setiap di 13 sehingga ada arc dari titik eksentrik dari adalah di di ke ke yaitu 1 yaitu untuk Jadi jelas bahwa himpunan titik himpunan arc di untuk setiap untuk setiap sehingga ada arc dari adalah untuk untuk 1 1 dengan dengan

61 47 Dari teorema 4 dapat ditarik kesimpulan bahwa digraf eksentrik dari graf komplit bipartit adalah digraf komplemen himpunan titik titik di demikian juga di dengan dimana arcnya keluar ke semua dengan jumlah arc Teorema 43 Misalkan dengan dengan dapat diperoleh bentuk umum Bukti : Misalkan dengan himpunan titik dari graf Y di mana adalah suatu graf komplit bipartit maka dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian X Berdasarkan teorema 41 disebutkan bahwa jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari vi untuk setiap i=13 m di X adalah dengan titik eksentriknya adalah semua titik di X kecuali dirinya sendiri demikian juga jarak terjauh dari wi untuk setiap i=13 n di Y adalah dengan titik eksentriknya adalah semua titik di Y kecuali dirinya sendiri Maka eksentrisitas titik vi pada graf komplit bipartit dengan adalah e(vi)= untuk setiap i=13 n e(wi)= untuk setiap i=13 m Titik eksentrik dari vi di X adalah vj di X untuk i=13 m titik eksentrik dari wi di Y adalah wj di Y untuk i=13 n

62 48 Dengan demikian himpunan titik di X membentuk digraf komplit dengan m titik segkan himpunan titik di Y membentuk digraf komplit dengan n titik sehingga digraf eksentrik dari graf komplit bipartit adalah dengan Berdasarkan pembuktian di atas bahwa bentuk umum digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dengan adalah gabungan dari digraf komplit Km Kn atau dapat dituliskan dengan dengan Dengan menggunakan langkah - langkah mengkonstruksi digraf eksentrik pada bagian 41 akan dikonstruksi beberapa contoh digraf eksentrik dari graf komplit bipartit a Graf K Graf komplit bipartit K digambarkan sebagai berikut Gambar 41 Graf komplit bipartit K Dari gambar 41 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut 11 11

63 Tabel 41 Eksentrisitas dari Gambar 41 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik Diperoleh rad (G) = diam (G) = Sehingga dari gambar graf 41 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut Gambar 4 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K Bentuk digraf eksentrik dari graf K adalah gabungan dari dua digraf komplit dengan titik sebanyak atau dapat dituliskan

64 50 b Graf K3 Graf komplit bipartit K3 digambarkan sebagai berikut Gambar 43 Graf komplit bipartit K3 Dari gambar 43 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut

65 51 Tabel 4 eksentrisitas dari Gambar 43 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik Diperoleh rad (G) = diam (G) = Sehingga dari gambar graf 43 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut Gambar 44 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3 Bentuk digraf eksentrik dari graf K3 adalah gabungan dari digraf komplit dengan titik sebanyak digraf komplit dengan titik sebanyak 3 atau dapat dituliskan

66 5 c Graf K4 Graf komplit bipartit K4 digambarkan sebagai berikut Gambar 45 Graf komplit bipartit K4 Dari gambar 45 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut

67 53 Tabel 43 eksentrisitas dari Gambar 45 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik Diperoleh rad (G) = diam (G) = Sehingga dari gambar graf 45 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut Gambar 46 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K4 Bentuk digraf eksentrik dari graf K4 adalah gabungan dari digraf komplit dengan titik sebanyak digraf komplit dengan titik sebanyak 4 atau dapat dituliskan

68 54 d Graf K5 Graf komplit bipartit K5 digambarkan sebagai berikut Gambar 47 Graf komplit bipartit K5 Dari gambar 47 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut

69 Tabel 44 eksentrisitas dari Gambar 47 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik Diperoleh rad (G) = diam (G) = Sehingga dari gambar graf 47 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut

70 56 Gambar 48 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K5 Bentuk digraf eksentrik dari graf K5 adalah gabungan dari digraf komplit dengan titik sebanyak digraf komplit dengan titik sebanyak 5 atau dapat dituliskan e Graf K3 Graf komplit bipartit K3 digambarkan sebagai berikut Gambar 49 Graf komplit bipartit K3 Dari gambar 49 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut

71 Tabel 4 eksentrisitas dari Gambar 49 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik Diperoleh rad (G) = diam (G) = Sehingga dari gambar graf 49 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut Gambar 410 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K3 Bentuk digraf eksentrik dari graf K3 adalah gabungan dari digraf komplit dengan titik sebanyak 3 digraf komplit dengan titik sebanyak atau dapat dituliskan

72 58 Berdasarkan Teorema 43 yang menyatakan bahwa jika komplit bipartit dengan dengan adalah graf dapat diperoleh bentuk umum Maka dengan mudah dapat diperoleh digraf eksentrik tanpa harus mengikuti langkah-langkah mengkontruksi digraf eksentrik pada bagian 41 f Graf K33 Graf komplit bipartit K33 digambarkan sebagai berikut Gambar 411 Graf komplit bipartit K33 Sehingga dari gambar graf 411 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut Gambar 41 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K33 Bentuk digraf eksentrik dari graf K33 adalah gabungan dari digraf komplit dengan titik sebanyak 3 digraf komplit dengan titik sebanyak 3 atau dapat dituliskan

73 59 g Graf K34 Graf komplit bipartit K34 digambarkan sebagai berikut Gambar 413 Graf komplit bipartit K34 Sehingga dari gambar graf 413 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut Gambar 414 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K34 Bentuk digraf eksentrik dari graf K34 adalah gabungan dari digraf komplit dengan titik sebanyak 3 digraf komplit dengan titik sebanyak 4 atau dapat dituliskan

74 60 h Graf K35 Graf komplit bipartit K35 digambarkan sebagai berikut Gambar 415 Graf komplit bipartit K35 Sehingga dari gambar graf 415 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut Gambar 416 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Bipartit K35 Bentuk digraf eksentrik dari graf K35 adalah gabungan dari digraf komplit dengan titik sebanyak 3 digraf komplit dengan titik sebanyak 5 atau dapat dituliskan

75 61 43 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit Pada bagian ini akan dibahas tentang bentuk digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit Teorema berikut ini akan digunakan untuk mengkonstruksi digraf eksentrik dari digraf komplit multipartit Misal digraf komplit multipartit mempunyai himpunan titik himpunan busur dengan busur ke : dengan 1 1 di mana adalah busur yang menghubungkan titik ke busur ke titik ke : dengan 1 1

76 6 busur ke : 1 dengan 1 busur ke busur 1 ke 1 : 1 dengan 1 busur ke : 1 dengan 1 busur : dengan ke : 1 dengan 1 Contoh pada digraf komplit multipartit

77 63 Gambar 431 Digraf Komplit Multipartit mempunyai himpunan titik himpunan busur dengan busur ke : dengan 1 1 di mana adalah busur yang menghubungkan titik ke titik ke sehingga busur ke : dengan di mana

78 64 adalah busur yang menghubungkan titik ke titik ke sehingga busur ke : dengan = di mana adalah busur yang menghubungkan titik ke titik ke sehingga Teorema 431 Eksentrisitas titik pada digraf komplit multipartit adalah sebagai berikut untuk setiap 1 Bukti: Dari definisi digraf komplit multipartit jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari untuk setiap 1 di adalah dengan titik eksentriknya adalah semua titik di kecuali dirinya sendiri Selanjutnya jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari untuk setiap 1 di adalah dengan titik eksentriknya adalah semua titik di kecuali dirinya sendiri demikian juga seterusnya jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari untuk setiap 1 di adalah dengan titik

79 65 eksentriknya adalah semua titik di 1 untuk setiap kecuali dirinya sendiri Jadi Akibat a Dari hasil perhitungan mencari jarak setiap digraf komplit multipartit dapat dirumuskan sebagai berikut

80 b Dari pencarian titik eksentrik pada digraf eksentrik pada digraf komplit multipartit adalah sebagai berikut Titik eksentrik di dari adalah untuk 1 Titik eksentrik di dari adalah untuk 1 Titik eksentrik di dari adalah untuk 1 Dari teorema 341 titik eksentrik dari di untuk 1 adalah di untuk setiap 1 dimana Titik eksentrik dari di untuk 1 adalah di untuk setiap 1 dimana Demikian seterusnya sehingga titik eksentrik dari di untuk 1 adalah di untuk setiap 1 dimana

81 67 Ilustrasi untuk mencari titik pada digraf komplit multipatit adalah sebagai berikut 1 Menentukan jarak setiap titik dinotasikan dengan berarah dari titik 1 ke titik 1 yaitu panjang lintasan terpendek sehingga diperoleh eksentrisitas dari titik 1 disebut titik eksentrik dari sama dengan ke semua titik di titik eksentrisnya Titik dengan jika jarak dari 1 Titik eksentrik dari mungkin tidak tunggal Contoh : a Digraf Digraf komplit multipartit digambarkan sebagai berikut Gambar 43 Digraf komplit mutipartit Dari gambar 43 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut ke

82 Tabel 431 eksentrisitas dari Digraf pada Gambar 43 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik Diperoleh rad (G) = diam (G) = Sehingga dari gambar graf 43 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut Gambar 433 Digraf Eksentrik dari Digraf Komplit Multipartit

83 69 b Digraf Digraf komplit mutipartit digambarkan sebagai berikut Gambar 434 Digraf komplit mutipartit Dari gambar 434 diperoleh eksentrisitas sebagai berikut

84 Tabel 43 Eksentrisitas dari Gambar 434 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik Diperoleh rad (G) = diam (G) =

85 71 Sehingga dari gambar digraf 434 diperoleh digraf eksentrik sebagai berikut V W X Gambar 435 Digraf Eksentrik dari Graf Komplit Mutipartit Setelah eksentrisitas titik titik eksentrik pada digraf komplit multipartit diperoleh selanjutnya diperoleh teorema berikut Teorema 34 Digraf eksentrik iterasi kedua pada digraf komplit multipartit adalah digraf komplit multipartit itu sendiri Bukti: Dari akibat kedua pada digraf eksentrik iterasi pertama titik eksentrik dari di 1 adalah di untuk setiap 1 dimana sehingga ada busur dari ke yaitu Titik eksentrik dari di untuk 1 adalah di untuk setiap 1 dimana sehingga ada busur dari ke

86 7 yaitu Demikian seterusnya sehingga titik eksentrik dari 1 adalah di 1 dimana yaitu untuk untuk setiap di sehingga ada busur dari ke Segkan pada iterasi kedua karena tidak ada busur yang menghubungkan antar setiap himpunan titik pada digraf eksentrik iterasi pertama maka jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari titik ke setiap titik yang berbeda himpunan titiknya adalah sehingga titik eksentrik di 1 titik eksentrik dari di adalah semua titik yang tidak berada di semua titik yang tidak berada di eksentrik dari di 1 untuk adalah demikian seterusnya sehingga titik 1 untuk adalah semua titik yang tidak berada di Dari teorema 43 dapat disimpulkan bahwa digraf eksentrik iterasi kedua pada digraf komplit multipartit adalah digraf komplit multipartit itu sendiri atau dengan kata lain = adalah digraf komplit multipartit maka Jadi D Dari gambar 433(digraf eksentrik dari digraf pada gambar 43) diperoleh eksentrisitas sebagai berikut 1

87 Eksentrisitas Tabel 433 eksentrisitas dari Digraf pada Gambar 433 Titik Titik Eksentrik 11

88 74 Sehingga dari gambar graf 433 diperoleh digraf eksentrik (iterasi kedua dari digraf pada gambar 43) sebagai berikut Gambar 436 Digraf Eksentrik iterasi kedua dari Digraf Komplit Multipartit Selanjutnya dari gambar 435 (digraf eksentrik dari digraf pada gambar 434) diperoleh eksentrisitas sebagai berikut 1

89

90 76 11 Tabel 434 Eksentrisitas dari Gambar 434 Titik Eksentrisitas Titik Eksentrik

91 77 Sehingga dari gambar graf 435 diperoleh digraf eksentrik (iterasi kedua dari digraf pada gambar 434) sebagai berikut Gambar 437 Digraf Eksentrik iterasi kedua dari Digraf pada Gbr 434

92 BAB 5 SIMPULAN DAN SARAN 51 Simpulan Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan maka kesimpulan yang dapat diambil mengenai digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf komplit multipartit adalah sebagai berikut 511 Langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari suatu graf adalah sebagai berikut (1) Menentukan jarak setiap titik dinotasikan dengan titik di terpendek dari titik ke titik dari titik jika jarak dari ke () Membangun digraf disebut titik eksentrik dari dengan himpunan titik ) titik eksentrik dari dengan mungkin tidak tunggal himpunan arc mana yaitu panjang lintasan titik eksentrisnya Titik sama dengan 1 Titik eksentrik dari ke semua sehingga diperoleh eksentrisitas di adalah

93 79 51 Langkah-langkah mengkonstruksi digraf eksentrik dari suatu digraf adalah sebagai berikut (1) Menentukan jarak setiap titik dinotasikan dengan titik di berarah terpendek dari titik eksentrisitas dari dengan sehingga diperoleh eksentrisnya Titik 1 1 ke Titik 1 jika jarak dari ke semua yaitu panjang lintasan ke titik titik eksentrik dari 1 titik disebut titik sama dengan eksentrik dari mungkin tidak tunggal () Membangun digraf dengan himpunan titik himpunan arc 1 ) eksentrik dari 1 di mana adalah titik 513 Bentuk digraf eksentrik dari graf komplit bipartit dinotasikan dengan umum adalah gabungan dari digraf komplit dengan m titik titik dengan sisi berarah bolak-balik atau diperoleh bentuk dengan 514 Digraf eksentrik iterasi kedua pada digraf komplit multipartit adalah digraf komplit multipartit itu sendiri

94 80 5 Saran 1 Berkaitan dengan hasil penelitian ada beberapa hal yang perlu mendapat perhatian yaitu penelitian ini hanya mengkaji digraf eksentrik dari graf komplit bipartit digraf komplit multipartit Untuk itu perlu penelitian lebih lanjut tentang digraf eksentrik iterasi pertama dari digraf komplit multipartit pada klasifikasi graf maupun digraf lainnya

95 81 DAFTAR PUSTAKA Budayasa I Ketut 007 Teori Graph Aplikasinya Surabaya: Unesa University Press Chartrand G and Lesniak 1996 Graphs & Digraphs 3rd edition London: Chapman & Hill Gimbert J et al 006 Characterization of Eccentric Digraphs Tersedia di: 11 [14 Agustus 009] Goodaire Edgar G 003 Discrete Mathematics with Graph Theory New Delhi: Prentice Hall of India Private Limited J Boland M Miller 001 The Eccentric Digraph of a Digraph Tersedia di : wwwetsuedu/math/boland/papers/mirkaps [13 September 009] Kumalasari Retno Catur 008 Eksentrik Digraf pada Graf sikel Digraf Komplit Digraf Komplit Multipartit Jurnal Matematika FMIPA UNDIP Semarang Munir Rinaldi 001 Buku Teks Ilmu Komputer Matematika Diskrit Bandung: Informatika Bandung Setyaningrum Vera Widi 010 Eksentrik Digraf dari Digraf Komplit Simetri Siklus Berarah Skripsi Matematika UNNES Semarang Sutarno Heri 003 Matematika Diskrit Bandung: JICA Weisstein Eric W 009 Graph Tersedia di : [13 September 009] Wilson Robin J Walkins John J 1990 Graphs An Introductory Approach: A first Course in Discrete Mathematic New York: John Wiley & Sons Inc