Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometrik

Transkripsi

1 PENDAHULUAN Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang memperdagangkannya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor karena saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Selain itu,para investor juga dapat berinvestasi dengan cara membeli turunan dari nilai saham (financial derivative). Salah satu turunan yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi memberikan hak kepada holder tetapi sebaliknya writer harus membeli atau menjual sahamnya kepada holder. Hal ini menyebabkan resiko kerugian, karena itu writer harus mengganti kerugian dengan cara memberi harga pada opsi. Masalah perhitungan harga opsi (option pricing) adalah menghitung harga yang wajar (fair value) dimana opsi bisa dibeli atau dijual. Pada tahun 1900 Louis Bachelier memodelkan pergerakan harga saham mengikuti gerak Brown dengan konstanta drift = 0. Pada tahun 1973 Fischer Black dan Myron Scholes mempublikasikan The Pricing of Options and Corporate Liabilities, suatu paper yang mengubah secara cepat teori dari perhitungan harga opsi. Pada paper tersebut Black Scholes membuat beberapa asumsi,salah satunya adalah nilai asset mengikuti Gerak Brown Geometrik (GBG), dengan drift (ekspektasi dari return) dan volatility (standar deviasi dari return) yang bersifat konstan. Menurut Brigo (2007) return dari harga saham berdistribusi normal dan bersifat independent. Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012 digunakan untuk mengilustrasikan penentuan harga Opsi Eropa menggunakan metode Gerak Brown Geometrik dengan nilai volatility dicari menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation,serta menganggap kedua asumsi diatas telah dipenuhi. Selanjutnya data PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012 digunakan untuk menguji kedua asumsi tersebut sehingga metode Gerak Brown Geometrik dapat digunakan, baik untuk memprediksi pergerakan harga saham maupun untuk menentukan Harga Opsi Eropa. 1

2 Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometrik Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya 1), Bambang Susanto 2), dan Hanna Arini Parhusip 3) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika 1) 2) 3) 2) 3) Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro Salatiga ABSTRAK Pada dasarnya opsi didefinisikan sebagai kontrak antara dua pihak (writer dan holder) dimana writer memberikan hak tetapi bukan kewajiban kepada holder untuk membeli (call option) atau menjual (put option) suatu saham dengan harga yang telah disepakati di masa mendatang. Hal ini jelas akan mengakibatkan kerugian bagi writer. Untuk menghindari hal tersebut, maka writer harus memberi harga pada opsi. Pada umumnya perhitungan harga opsi dilakukan dengan menggunakan model Black Scholes (1973). Dalam penelitian ini akan dibahas cara menentukan harga Opsi Eropa menggunakan metode Gerak Brown Geometri. Pergerakan harga saham dimasa mendatang diasumsikan mengikuti model Gerak Brown Geometri, oleh karena itu dilakukan simulasi untuk memprediksi pergerakan harga saham tersebut yang selanjutnya harga Opsi Eropa dihitung dengan menggunakan fungsi payoff. Sebelum melakukan simulasi tersebut, nilai volatility dari harga saham harus diketahui terlebih dahulu. Estimasi untuk volatility dilakukan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation. Dalam penelitian ini digunakan data harga saham penutupan harian dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari Hasil yang didapatkan dari penelitian ini adalah harga Opsi Eropa seandainya terjadi suatu kontrak opsi antara PT. HM. Sampoerna Tbk. dengan pihak lain. Kata Kunci: Opsi Eropa, Gerak Brown Geometri, Maximum Likelihood Estimation, payoff, volatility PENDAHULUAN Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang memperdagangkan sahamnya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor karena saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Selain berinvestasi dengan cara memiliki secara langsung saham yang diperdagangkan di pasar, investor juga dapat berinvestasi dengan cara membeli turunan dari nilai saham (financial derivative). Salah satu turunan yang telah banyak dikenal dan diperdagangkan oleh masyarakat adalah opsi. Opsi memberikan hak kepada holder tetapi sebaliknya writer harus membeli atau menjual sahamnya kepada holder. Hal ini menyebabkan resiko kerugian, karena itu writer harus mengganti kerugian dengan cara memberi harga pada opsi. Masalah perhitungan harga opsi 1

3 (option pricing) adalah menghitung harga yang wajar (fair value) dimana opsi bisa dibeli atau dijual. Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012 digunakan untuk mengilustrasikan penentuan harga opsi menggunakan model Gerak Brown Geometrik dengan nilai volatility terbaik dicari menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation. DASAR TEORI Opsi Opsi adalah suatu perjanjian atau kontrak dimana seorang writer memberikan hak,bukan kewajiban bagi seorang holder untuk membeli atau menjual suatu saham dengan harga dan waktu yang telah ditetapkan. Dilihat dari hak yang dimiliki holder, opsi dibedakan menjadi dua,yaitu: 1. Opsi beli Opsi beli yang lebih dikenal sebagai call option, adalah suatu hak untuk membeli sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu. 2. Opsi Jual Opsi jual yang lebih dikenal sebagai put option, adalah suatu hak untuk menjual sebuah saham pada harga kesepakatan (strike price) dan dalam jangka waktu tertentu. Dilihat dari waktu pelaksanaan, opsi dibedakan menjadi dua, yaitu : 1. Opsi Eropa Opsi Eropa yaitu suatu kontrak opsi yang hanya bisa di laksanakan pada hari terakhir saat tanggal jatuh tempo masa berlakunya opsi tersebut. 2. Opsi Amerika Opsi Amerika yaitu suatu kontrak opsi yang bisa dilaksanakan kapan saja di dalam masa berlakunya kontrak opsi. Fungsi Payoff Sekarang diperhatikan Opsi Eropa. Pada saat 0 t < T sebelum expiry date dari opsi akan ditemukan kesulitan untuk menghitung nilai opsi (V), tetapi pada saat expiry date T akan mudah sekali untuk menghitung nilai tersebut. Untuk harga Opsi Call Eropa, terdapat tiga kasus yang mungkin, yaitu 2

4 1. Harga saham lebih besar dari Strike Price (S > K) Karena tidak ada biaya transaksi, maka nilai opsi adalah V = S K > 0. Ini adalah alasan bagi holder untuk membeli saham dengan strike price K tetapi sebaliknya untuk Opsi Put Eropa. 2. Harga saham lebih kecil dari Strike Price (S < K) Hal ini akan menyebabkan kerugian karena holder akan membeli saham tersebut dengan harga di atas harga pasar tetapi sebaliknya untuk Opsi Put Eropa. 3. Harga Saham sama dengan Strike Price (S = K ) Dalam kasus ini tidak ada perbedaan apakah holder akan menggunakan haknya untuk membeli(opsi call) atau menjual (opsi put) saham karena akan memberikan nilai V=0. Dari ketiga kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai dari Opsi Eropa pada saat expiry date T adalah V(S, T) = maks{d(s T - K ), 0} (1) dengan d=. Gerak Brown Suatu gerak Brown [,t 0] adalah proses stokastik yang memiliki sifat sifat berikut : 1. B(0) = Untuk t > s : berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t-s. 3. Untuk 0 s t u : dan saling bebas. 4. Lintasan kontinu : adalah fungsi kontinu dari t tetapi tidak terdeferensial dimanapun. Secara khusus gerak Brown dengan mean sama dengan 0 dan variansi sama dengan 1 dinamakan gerak Brown baku (Nugroho). Model harga saham Didalam pemodelan harga saham terdapat dua faktor yang sangat berpengaruh, yaitu keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon saham terhadap informasi baru tentang saham. Berdasarkan kedua faktor ini dapat dikatakan 3

5 bahwa perubahan harga saham mengikuti proses rantai Markov. Proses rantai Markov merupakan proses stokastik dimana harga saat ini berpengaruh untuk memprediksi harga yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan dengan t. Perubahan harga saham dikenal sebagai return. Model umum return dari saham terdiri atas dua bagian, bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan µdt Ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau yang lebih dikenal dengan drift ditunjukkan sebagai µ. Sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan harga saham secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan dengan σdbt. Nilai σ didefinisikan sebagai volatility saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai µ dan σ dapat diestimasi menggunakan harga saham pada hari sebelumnya. Model harga saham yang dipengaruhi oleh nilai µ dan σ dengan masing-masing bergantung pada S dan t dirumuskan sebagai berikut dengan µ : nilai ekspektasi dari return ; σ : volatility saham (standar deviasi dari return) Model dari harga saham diatas dapat dituliskan dalam bentuk (2) dengan merupakan gerak Brown baku sehingga model (2) disebut juga Gerak Brown Geometri untuk harga saham. Dengan mengaplikasikan Lemma Ito untuk f = ln(s(t)), persamaan (2) dapat dituliskan menjadi (Hull,2009). (3) Untuk = 0, maka persamaan (3) dapat dituliskan kembali menjadi atau (4) dengan B(t)= ; Z~N(0,1) dan return. Karena saham merupakan suatu asset yang berisiko (pergerakannya tidak dapat diprediksi), maka diperlukan suatu model agar pergerakan harga saham menjadi tidak berisiko sehingga dapat diprediksi pergerakanya. Selanjutnya dijelaskan pemodelan harga saham yang bebas risiko atau Risk Neutral Pricing. 4

6 Risk Neutral Pricing Hubungan antara suku bunga dan harga saham juga merupakan perhatian dalam finansial. Misalnya hal ini ditunjukan Alam dan Uddin (2009) yang membahas tentang suku bunga dan harga saham diantara negara berkembang. Pada makalah tersebut digunakan analisa runtun waktu dan regresi. Pada makalah ini kita akan membahas suku bunga dalam fungsi diskrit dan fungsi kontinu sebagaimana dibahas pada paragraf berikut. Dimisalkan besarnya tabungan awal F = 1. Besarnya tabungan setelah t periode dinotasikan dengan. Bunga yang dibayarkan untuk periode t sama dengan Jika bunga sebanding dengan besarnya maka dinamakan bunga berganda. Artinya (5) dimana r > 0 dinamakan suku bunga (interest rate). Persamaan (5) dapat dituliskan kembali menjadi (6) dan diambil = F = 1, maka diperoleh dengan adalah besarnya tabungan. Sekarang diandaikan bahwa r suku bunga tahunan yang dibayarkan n kali setiap tahunnya. Kita membagi satu tahun menjadi n subperiode dengan lebar sama, sehingga suku bunga untuk setiap periode, maka besarnya tabungan setelah m periode dirumuskan oleh. (7) Dimisalkan untuk bilangan bilangan asli m dan n, maka besarnya deposito saat t untuk bunga berganda dengan suku bunga r mempunyai rumus. (8) Untuk n mendekati tak hingga maka dipunyai =. Karena = F = 1,maka secara umum dipunyai bentuk atau dapat pula dituliskan dalam bentuk 5

7 dengan disebut sebagai faktor terdiskon. (9) Selanjutnya dimisalkan harga saham pada saat expiry date T dinyatakan dengan S (T) dan diasumsikan bahwa: 1. X = ln ~ N(µT,σ 2 T) 2. S (0) = E(S (T)). Dari asumsi pertama, pdf untuk X dapat dituliskan dengan (10) Sehingga pdf untuk S(T) dapat diperoleh dengan menggunakan teknik transformasi peubah acak melalui persamaan (10). (11) Expected asset dapat diturunkan dengan memanfaatkan asumsi pertama,yaitu E[S(T) / S 0 ] = E[ ] = E[ ] = Sehingga. (12) Dari asumsi kedua dan persamaan (12),dapat diperoleh S 0 = = S 0 sehingga Jadi. (13) Sehingga pdf untuk persamaan (11) dapat dituliskan menjadi ; sehingga (14) Maximum Likelihood Estimation untuk Data Berdistribusi Normal Misalkan sampel acak dengan pdf f(x i,θ),i = 1, 2,...,n dengan θ ϵ Θ. Apabila L yaitu fungsi peluang bersama dari X 1,X 2,...,X n dipandang sebagai fungsi dari θ dan X 1, X 2,..., X n konstan, maka L(θ) = disebut sebagai fungsi likelihood. Misalkan X 1,X 2,...,X n sampel acak dengan pdf f(x i,θ) dan fungsi likelihood L(θ). Nilai = θ(x 1,X 2,...,X n ) yang memaksimumkan L(θ) yakni L( ) L(θ) untuk semua θ ϵ Θ 6

8 dinamakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk θ. Selanjutnya dibentuk fungsi Likelihood Diambil l adalah nilai logaritma dari fungsi Likelihood diatas sehingga diperoleh bentuk. Nilai optimal µ diperoleh dengan kondisi yaitu. Diperoleh. (15) Demikian pula nilai optimal diperoleh dengan memenuhi kondisi, yaitu (16) Untuk mempelajari sifat optimal selanjutnya dibentuk matrik Hessian dr l karena dan det( ) > 0, maka negatife definite (Peressini,1988) yang berarti dan memaksimumkan. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Estimasi Parameter Volatility saham merupakan nilai standar deviasi dari return. Perhitungan menggunakan rumus harga saham yang ditunjukan oleh persamaan (4) berdasarkan data 7

9 saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. yang diambil pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari Data ditunjukkan oleh Gambar 1. Return dari harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. ditunjukkan Gambar 2 yang merupakan selisih dari nilai logaritma harga saham saat t dengan harga saham saat t x 104 Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna 0.2 Nilai Return dari Harga Saham Harga Saham Return Harga Saham waktu (t) Gambar 1. Harga saham PT. HM. Sampoerna Gambar 2 return dari harga saham Dengan menggunakan persamaan (15) dan (16), maka diperoleh = 0,00281, = 0, dan volatility = 0, Simulasi Harga Saham Setelah didapatkan estimasi volatility, maka selanjutnya dilakukan 100 simulasi harga saham dengan expiry date T = 1 tahun menggunakan model harga saham Risk Neutral. Nilai r yang digunakan adalah suku bunga acuan yang dikeluarkan oleh Bank Indonesia atau yang lebih dikenal sebagai BI rate sebesar 5,75% per tahunnya. Hasil dari simulasi pergerakan harga saham selama satu tahun mendatang ditunjukkan oleh Gambar 3 dan untuk hasil simulasi harga saham satu tahun kedepan ditunjukkan oleh Gambar x 104 Simulasi Pergerakan Harga Saham 5.9 x 104 Simulasi Harga Saham Saat Satu Tahun Kedepan Harga Saham Harga Saham waktu simulasi Gambar 3. S 0 = , T = 1 Tahun, σ = 0,02004 dan r = 5,75%. Gambar 4. Hasil simulasi harga saham saat satu tahun kedepan. Perhitungan Nilai Opsi Eropa Selanjutnya dihitung harga Opsi Eropa saat ini menggunakan persamaan (1) dan (9) dapat diperoleh persamaan 8

10 dengan M : Banyaknya simulasi,k : Harga pelaksanaan (Strike Price ) dan d= Karena terdapat tiga nilai K yang mugkin yaitu K<, K=, dan K> maka diambil K dengan nilai , ,dan dan diperoleh hasil yang ditunjukan oleh Tabel 1. Tabel 1. Harga opsi Call dan Put Eropa dengan S 0 = , T = 1 Tahun, σ = 0,02004, r = 5,75% dan K yang berbeda. Strike Price (K) Harga Call Option Harga Put Option Tabel diatas menunjukan harga Opsi Eropa baik Call Option maupun Put Option dari data harga saham penutupan harian PT. H.M. Sampoerna Tbk. Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa harga Put Option bernilai nol jika Strike Price berada dibawah atau sama dengan harga pasar. Sehingga PT. H.M. Sampoerna Tbk. tidak akan menjual sahamnya karena tidak akan menghasilkan keuntungan. KESIMPULAN Pada makalah ini telah dijelaskan bagaimana melakukan perhitungan harga Opsi Eropa dengan menggunakan data harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 maret 2010 sampai 29 februari Metode yang digunakan adalah Gerak Brown Geometri dan diperoleh hasil berbagai harga Opsi Eropa baik Call Option maupun Put Option untuk harga kesepakatan yang berbeda. Jadi jika terjadi kontrak opsi antara PT Sampoerna terhadap pihak lain baik sebagai holder dan sebagai writer maka PT. H.M. Sampoerna Tbk. dapat menentukan harga opsi sehingga tidak terjadi kerugian saat kontrak opsi dilaksanakan. 9

11 DAFTAR PUSTAKA Alam,M.M dan Uddin, G.S Relationship between Interest Rate and Stock Price: Empirical Evidence from Developed and Developing Countries, Journal of Business and Management, Vol 4. No. 3, (diakses pada 24 April 2012). BI Rate, (diakses pada 6 Maret 2012). Black, F. Scholes, M The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of Political Economy, Vol 81. No. 3 Brigo, D. D alessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management, (diakses pada 25 Februari 2012). Higham, Desmond J., An Introduction to Financial Option Valuation. United Kingdom: Cambridge University Press. HMSP.JK Historical Prices, (diakses pada 1 Maret 2012). Hull, John C Options,Futures, And Other Derivatives, 7 th Pearson Education Edition. New Jersey: Nugroho, D. B Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung. Peressini, A. L. Sullivan, F.E. and Uhl, J.J The Mathematics of Nonlinear Programming. New York : Springer-Verlag. Rahman, A Model Black-Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan Pembagian Dividen, Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Wikipedia, (diakses pada 3 Januari 2012). 10

12 Uji Normalitas dan Uji Independensi Dalam Model Gerak Brown Geometrik Untuk Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna Tbk. Kristoforus Ardha Sandhy Pradhitya 1), Bambang Susanto 2), dan Hanna Arini Parhusip 3) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika 1) 2) 3) 2) 3) Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro Salatiga ABSTRAK Pergerakan harga saham tidak dapat ditentukan dengan pasti tetapi dapat diprediksi melalui suatu simulasi. Pergerakannya dimodelkan mengikuti Gerak Brown Geometrik. Terdapat dua asumsi yang ada pada Gerak Brown Geometrik, yaitu return dari harga saham berdistribusi normal dan bersifat independent. Pada penelitian ini akan dibahas mengenai cara menguji kedua asumsi tersebut serta simulasi pergerakan harga saham. Sebelum melakukan simulasi tersebut, nilai volatility dan µ dari harga saham harus diestimasi terlebih dahulu. Estimasi untuk volatility dan µ dilakukan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation. Dalam penelitian ini digunakan data harga saham penutupan harian dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 31 Mei Hasil yang didapatkan dari penelitian ini adalah harga saham penutupan harian dari PT. HM Sampoerna mengikuti Gerak Brown Geometrik dan hasil simulasi Gerak Brown Geometrik untuk harga saham PT. HM Sampoerna juga disertakan. Kata Kunci: Gerak Brown Geometrik, return, distribusi normal, independent, volatility, Maximum Likelihood Estimation PENDAHULUAN Saham merupakan surat berharga sebagai bukti tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan hukum dalam suatu perusahaan, khususnya perusahaan publik yang memperdagangkannya. Investasi dalam bentuk saham banyak dipilih para investor karena saham mampu memberikan keuntungan yang menarik. Pada tahun 1900 Louis Bachelier memodelkan pergerakan harga saham mengikuti gerak Brown dengan konstanta drift = 0. Pada tahun 1973 Fischer Black dan Myron Scholes mempublikasikan The Pricing of Options and Corporate Liabilities, suatu paper yang mengubah secara cepat teori dari perhitungan harga opsi. Pada paper tersebut Black Scholes membuat beberapa asumsi,salah 1

13 satunya adalah nilai asset mengikuti Gerak Brown Geometrik (GBG), dengan drift (ekspektasi dari return) dan volatility (standar deviasi dari return) yang bersifat konstan. Menurut Brigo (2007) return dari harga saham berdistribusi normal dan bersifat independent. Pada penelitian sebelumnya (Pradhitya dkk, 2012) telah dibahas mengenai Gerak Brown Geometrik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah perhitungan harga Opsi Eropa dengan memanfaatkan kedua asumsi dari Gerak Brown Geometrik tersebut. Sedangkan pada penelitian kali ini akan dibahas mengenai pengujian asumsi tersebut sehingga metode ini dapat digunakan. Data dari PT. HM. Sampoerna Tbk. tanggal 1 Maret 2010 sampai 31 Mei 2012 digunakan untuk menguji asumsi tersebut sehingga dapat dilakukan simulasi pergerakan harga sahamnya. PEMBAHASAN Model Harga Saham Dalam pemodelan harga saham terdapat dua faktor yang sangat berpengaruh, yaitu keadaan saham pada waktu lalu yang berpengaruh pada harga saham saat ini dan respon saham terhadap informasi baru tentang saham. Berdasarkan kedua faktor ini dapat diasumsikan bahwa perubahan harga saham mengikuti proses rantai Markov. Proses rantai Markov merupakan proses stokastik dimana harga saat ini berpengaruh untuk memprediksi harga yang akan datang. Harga saham dilambangkan dengan S dan waktu dilambangkan dengan t. Perubahan harga saham dikenal sebagai return. Model umum return dari saham terdiri atas dua bagian, bagian pertama adalah bagian deterministik yang dilambangkan dengan µdt Ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham atau yang lebih dikenal dengan drift ditunjukkan sebagai µ. Sedangkan bagian kedua merupakan model perubahan harga saham secara random yang disebabkan oleh faktor eksternal. Faktor eksternal dilambangkan dengan σdbt. Nilai σ adalah volatility saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi dari return dan dapat dinyatakan sebagai fungsi dari S dan t. Nilai µ dan σ dapat diestimasi menggunakan harga saham pada hari sebelumnya. Dengan demikian model harga saham yang dipengaruhi oleh nilai µ dan σ dengan masing-masing bergantung pada S dan t dirumuskan sebagai berikut dengan µ : nilai ekspektasi dari return ; σ : volatility saham (standar deviasi dari return) 2

14 Model dari harga saham diatas dapat dituliskan dalam bentuk (1) dengan merupakan gerak Brown baku sehingga model (1) disebut juga Gerak Brown Geometrik untuk harga saham. Adapun [,t 0] disebut sebagai Gerak Brown jika memiliki sifat sifat berikut : 1. B(0) = Untuk t > s : berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t-s. 3. Untuk 0 s t u : dan saling bebas 4. Lintasan kontinu : adalah fungsi kontinu dari t tetapi tidak terdeferensial dimanapun. Secara khusus gerak Brown dengan mean sama dengan 0 dan variansi sama dengan 1 dinamakan gerak Brown baku. Dengan mengaplikasikan Lemma Ito, persamaan (1) dapat dituliskan menjadi (Hull,2009) Persamaan (2) dapat dituliskan menjadi. (2) Untuk dan = 0, maka persamaan (2) dapat dituliskan kembali menjadi (3) dengan = harga saham saat T; = harga saham saat ini; T = waktu (dalam tahun). Persamaan (3) menunjukan Gerak Brown Geometrik untuk harga saham berdistribusi log-normal dengan return ln berdistribusi normal dan bersifat independent (Brigo). Data harga saham penutupan harian dari PT. HM Sampoerna yang diambil pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012 ditunjukkan oleh Gambar 1. Return dari harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. ditunjukkan Gambar 2. 3

15 5.5 x 104 Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna 0.2 Nilai Return dari Harga Saham Harga Saham Return Harga Saham waktu (t) Gambar 1. Harga saham PT. HM. Sampoerna. Uji Normalitas (finance.yahoo.com) waktu (t) Gambar 2 return dari harga saham. Terdapat dua metode dalam uji normalitas data, yaitu menggunakan statistik uji dan dengan metode grafis. Berikut ini akan dibahas mengenai uji normalitas data menggunakan metode grafis. Dalam metode grafis terdapat beberapa alat yang dapat digunakan untuk memeriksa apakah data berdistribusi normal atau tidak, misalnya: 1. Histogram Apabila data berdistribusi normal atau mendekati normal maka bentuk histogram akan simetris atau mendekati simetris (seimbang). Hal ini ditunjukkan dengan nilai - nilai frekuensi yang besar berada di tengah tengah histogram. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, model return dari Gerak Brown Geometrik diasumsikan berdistribusi normal. Maka selanjutnya diuji apakah return dari harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. memiliki distribusi normal. Histogram dari return ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut ini Frekuensi Return Gambar 3. Histogram dari return 4

16 Dari histogram yang tersebut,dapat dilihat bahwa return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. terpusat ditengah tengah histogram tepatnya berada disekitar nilai nol. Hal ini menunjukan bahwa return memiliki mean sama dengan nol. Selain itu dapat dilihat pula bahwa bentuk histogram mendekati simetris sehingga dapat disimpulkan bahwa return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. berdistribusi normal. 2. QQ-Plot (Quantile Quantile Plot) QQ plot akan membentuk plot antara nilai nilai quantil teoritis (sumbu x) melawan nilai - nilai quantil dari data (sumbu y). Apabila plot berbentuk linier (garis lurus), maka hal ini merupakan indikasi bahwa data berdistribusi normal. QQ-Plot untuk return dari harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. ditunjukkan oleh Gambar 4 berikut. 0.2 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal 0.15 Quantiles of Input Sample Standard Normal Quantiles Gambar 4. QQ-Plot dari return Dari QQ-Plot tersebut dapat dilihat bahwa return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. mendekati garis lurus sehingga dapat disimpulkan bahwa return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. berdistribusi normal walaupun ujung ujung dari QQ-Plot menyimpang dari garis lurus (Kurniawan). Uji Independensi Sifat penting lainnya dari Gerak Brown Geometrik adalah return bersifat independent. Untuk menjamin Gerak Brown Geometrik sesuai untuk memodelkan harga saham, harus diuji bahwa return dari data yang diamati bersifat independent. 5

17 Data dapat dikatakan independent jika nilai suatu data tidak dipengaruhi oleh nilai dari data yang sebelumnya atau tidak terdapat autokorelasi. Dalam makalah ini metode yang digunakan adalah dengan pengamatan terhadap nilai autokorelasi (ACF). Fungsi autokorelasi untuk lag k didefinisikan oleh: (4) dengan n = banyak data; k = panjang lag; x = return; = variansi dari return; µ = ekspektasi dari return. ACF(k) dapat dikatakan memberikan perkiraan korelasi antara dan. Independensi dapat pula diamati dari fungsi autokorelasi parsial (PACF). PACF(k) memberikan informasi tentang korelasi antara dan dan dapat dedfinisikan dengan dengan dan adalah estimasi terbaik dari dan jika diberikan (Brigo). ACF dan PACF dari return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. yang ditunjukkan oleh Gambar 5 dan Gambar 6 berikut. Sample Autocorrelation Function (ACF) 0.8 Sample Autocorrelation Lag Gambar 5. ACF dari return 6

18 Sample Partial Autocorrelation Function 0.8 Sample Partial Autocorrelations Lag Gambar 6. PACF dari return Dari Gambar 5 dan Gambar 6 dapat dilihat bahwa nilai ACF dan PACF dari return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. mendekati nol. Sehingga dapat disimpulkan bahwa return tidak berkorelasi yang berarti return harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. bersifat independent (Brigo). Maximum Likelihood Estimation untuk Data Berdistribusi Normal Setelah asumsi normal dan independent dari return dipenuhi, selanjutnya model Gerak Brown Geometri dapat digunakan untuk mensimulasi pergerakan harga saham PT. HM Sampoerna Tbk. dimasa mendatang. Sebelumnya nilai volatility dan µ harus diketahui. Untuk mengetahui nilai volatility dan µ digunakan metode Maximum Likelihood Estimation. Misalkan sampel acak dengan pdf f(x i,θ),i = 1, 2,...,n dengan θ ϵ Θ. Apabila L yaitu fungsi peluang bersama dari X 1,X 2,...,X n dipandang sebagai fungsi dari θ dan X 1, X 2,..., X n konstan, maka L(θ) = disebut sebagai fungsi likelihood. Misalkan X 1,X 2,...,X n sampel acak dengan pdf f(x i,θ) dan fungsi likelihood L(θ). Nilai = θ(x 1,X 2,...,X n ) yang memaksimumkan L(θ) yakni L( ) L(θ) untuk semua θ ϵ Θ dinamakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk θ. Selanjutnya dibentuk fungsi Likelihood Diambil l adalah nilai logaritma dari fungsi Likelihood diatas sehingga diperoleh bentuk 7

19 . Nilai optimal µ diperoleh dengan kondisi, sehingga didapatkan. (5) Demikian pula nilai optimal diperoleh dengan memenuhi kondisi, sehingga didapatkan (6) dengan x = return; = variansi dari return; µ = ekspektasi dari return. Dengan menggunakan persamaan (5) dan (6) maka diperoleh = 0,00281, = 0, dan volatility = 0, Simulasi Gerak Brown Geometrik Setelah didapatkan estimasi volatility dan µ, maka selanjutnya dilakukan 100 simulasi harga saham tiga bulan mendatang (T = 1/4) dengan sama dengan yang dilihat dari data harga saham penutupan PT. HM Sampoerna tanggal 29 Februari Untuk simulasi Gerak Brown Geometrik, persamaan (3) dituliskan dalam bentuk : dengan Z adalah bilangan acak berdistribusi normal baku (Brigo,2007) dan dt = T/n. Hasil dari simulasi pergerakan harga saham selama satu tahun mendatang ditunjukkan oleh Gambar 7. 8

20 5.45 x 104 Simulasi Pergerakan Harga Saham Harga Saham(Rupiah) waktu(tahun) Gambar 7. simulasi pergerakan harga saham PT. HM Sampoerna Tbk. selama tiga bulan mendatang. Dari Gambar 7 dapat dilihat adanya variasi perubahan harga saham saat tiga bulan kedepan. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, hal ini disebabkan oleh adanya faktor dari luar yaitu informasi baru tentang saham PT. HM Sampoerna Tbk. Studi Error Karena, artinya nilai saham t menentukan nilai saham pada waktu selanjutnya (t + 1), sehingga nilai juga berpengaruh terhadap kesalahan simulasi pada waktu (terjadi perambatan error). Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012 yang ditunjukan oleh Gambar 8 digunakan untuk mendapatkan nilai error dari simulasi yang ditunjukkan oleh Gambar 7. Prosentase Nilai error didapatkan dengan menggunakan rumus dengan merupakan rata rata dari simulasi ke i dan ditunjukan oleh Gambar 9. 9

21 5.6 x 104 Harga Saham PT. HM Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei Studi Error Harga Saham Error Dari Simulasi (dalam persen) waktu(hari) Gambar 8. Harga Saham Penutupan Harian PT. HM Sampoerna Tbk. Tanggal 29 Februari Sampai 31 Mei 2012 Prosentase nilai error terbesar dari simulasi adalah sebesar 4.95 % waktu(hari) Gambar 9. Nilai Error Dari Simulasi KESIMPULAN Pada makalah ini telah dijelaskan mengenai bagaimana menguji asumsi yang terdapat pada Gerak Brown Geometri serta simulasi Gerak Brown Geometrik. Data yang digunakan data harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari Hasil yang didapatkan adalah return dari harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012 berdistribusi normal dan independent sehingga harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012 mengikuti Gerak Brown Geometrik. Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012 digunakan untuk mengamati nilai error dari simulasi. Dengan mengamati nilai error tersebut dapat disimpulkan bahwa Gerak Brown Geometrik dapat digunakan untuk memprediksi pergerakan dari harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. 10

22 DAFTAR PUSTAKA Black, F. Scholes, M The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of Political Economy, Vol 81. No. 3. Brigo, D. D alessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management, (diakses pada 25 Februari 2012). Higham, Desmond J., An Introduction to Financial Option Valuation. United Kingdom: Cambridge University Press. HMSP.JK Historical Prices, (diakses pada 1 Maret 2012). Hull, John C Options,Futures, and Other Derivatives, 7 th Edition. New Jersey: Pearson Education. Kurniawan, D Regresi Linier, pada 10 Mei 2012). Nugroho, D. B Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung. Pradhitya, K.A.S., Susanto, B., dan Parhusip,H.A.,2012. Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri. Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA,Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta. Rahman, A Model Black-Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan Pembagian Dividen, Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret, Surakarta. 11

23 PENUTUP Hasil analisa dan pembahasan yang didapatkan adalah return dari harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012 berdistribusi normal dan independent sehingga harga saham penutupan harian dari PT. H.M. Sampoerna Tbk. pada tanggal 1 Maret 2010 sampai 29 Februari 2012 mengikuti Gerak Brown Geometri. Data harga saham penutupan harian PT. HM Sampoerna Tbk. tanggal 29 Februari sampai 31 Mei 2012 digunakan untuk mengamati nilai error dari simulasi. Dengan mengamati nilai error tersebut dapat disimpulkan bahwa Gerak Brown Geometri dapat digunakan untuk memprediksi pergerakan harga saham ataupun menentukan harga Opsi Eropa PT. H.M. Sampoerna Tbk. 2

24 DAFTAR PUSTAKA Alam,M.M dan Uddin, G.S Relationship between Interest Rate and Stock Price: Empirical Evidence from Developed and Developing Countries, Journal of Business and Management, Vol 4. No. 3, (diakses pada 24 April 2012). BI Rate, (diakses pada 6 Maret 2012). Black, F. Scholes, M The Pricing of Options and Corporate Liabilities, The Journal of Political Economy, Vol 81. No. 3 Brigo, D. D alessandro, A. Neugebauer, M. and Triki, F A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management, (diakses pada 25 Februari 2012). Higham, Desmond J., An Introduction to Financial Option Valuation. United Kingdom: Cambridge University Press. HMSP.JK Historical Prices, (diakses pada 1 Maret 2012). Hull, John C Options,Futures, And Other Derivatives, 7 th Pearson Education. Edition. New Jersey: Kurniawan, D Regresi Linier, pada 10 Mei 2012). Nugroho, D. B Aplikasi Metode Elemen Hingga Dalam Perhitungan Harga Opsi Asia Pada Traded Account, Thesis, Bandung: Institut Teknologi Bandung. Peressini, A. L. Sullivan, F.E. and Uhl, J.J The Mathematics of Nonlinear Programming. New York : Springer-Verlag. Rahman, A Model Black-Scholes Put-Call Parity Harga Opsi Tipe Eropa Dengan Pembagian Dividen, Skripsi. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Wikipedia, (diakses pada 3 Januari 2012).