sekali magnet yang di sini. Karena

Transkripsi

1 Eko Sulistya/ Simulasi Model Ising 2 Dimensi dengan Algoritma Metropolis pada Lembarkerja Excel 35 Simulasi Model Ising 2 Dimensi dengan padaa Lembarkerjaa Excel Algoritma Metropolis Eko Sulistya Jurusan Fisika, FMIPA UGM, Sekip Utara Kotak Pos Bls 21 Yogyakarta sulistya@ ugm.ac.id Abstrak Pengujiann dan penerapan algoritma Metropolis telah dilakukan pada lembarkerja Excel. Pengujian dilakukan dengan cara mensimulasikan pembalikan spin dan menghitungg magnetisasi bahan feromagnetik berupa model Ising 2D. Ukuran kisi bisa dipilih mulai dari sampai dengan Magnetisasi dihitung sebagai fungsi suhu, mulai dari 0,1 sampai dengan 5 satuan J/k B untuk ukuran kisi Hasil yang diperoleh adalah semakin tinggi suhu, maka magnetisasi semakin kecil, menurun tajam dan mendekati 0 pada T = 2,26 J/k B. Keuntungan menggunakan Excel adalah bahwaa proses pembalikan spin dapat divisualisasikan tanpa memerlukan modul grafik, dan setiap langkah komputasi dapat ditampilkan. Kata kunci: simulasi, feromagnetik, model Ising, algoritma Metropolis Abstractt Testing and application of the Metropolis algorithm has been done on the Excel worksheet. Testing is done by simulating the spin reversal and calculating the magnetization of ferromagnetic materials in the form of a 2D Ising model. The lattice size can be selected from to Magnetization is calculated as a functionn of temperature, ranging from 0.1 to 5 units of J/k B for lattice size The result is the higher the temperature, the magnetization is getting smaller, decreasing sharply and approached zero at T = 2.26 J/k B. The advantage of using Excel is that the spin reversal process can be visualized without the need for graphics module, and each step of computation can be displayed. Key words: simulation, ferromagnetics, Ising model, Metropolis algorithm I. PENDAHULUAN Bahan feromagnetik tersusun oleh banyak sekali atom, yang menyumbangkan momen magnet berasal dari gerakan elektron bebas. Magnetisasi bahan paramagnetik ditentukan oleh keadaan/ /arah dari momen dipol magnet atom-atom penyusunnya. Jika banyak momen dipol magnet yang searah, maka magnetisasinya besar, sebaliknya jika momen dipolnya sebanding antara yang searah dengan yang berlawanan, maka magnetisasinya kecil. Secaraa statistik, magnetisasi bahan adalah nilai ratarata dari keadaan mikroskopis penyusunnya. Karena jumlahnya sangat besar, maka nilai rata-rata tidak bisa (tidak mungkin, atau sukar) diperoleh dengan cara menghitung masing-masing nilai, sehingga caranya adalah melakukan sampling secaraa acak beberapa nilai untuk mewakili keseluruhan, kemudian diambil nilai rata-ratanya, yaitu dengan metode Monte Carlo. Nilai harap yang dicari dengan metode Monte Carlo adalah jumlah dari seluruh hasil kali nilai peluang untuk memperoleh suatu nilai dengan nilai fungsi dari bilangan acak yang dibangkitkan dibagi dengan ba-nyaknya cacah sampling. Cara ini bisa dilakukan jika fungsi distribusi peluang dan bentuk fungsi yang dicari berupa fungsi se- derhana. II. LANDASAN TEORI A. Feromagnetik Dalam feromagnetisme, medan magnit yang ditimbulkan oleh bahan disebabkan oleh spin dari elektron yang tidak berpasangan. Tiap spin tersebut senang menunjuk pada arah yang sama dengan arah spin tetangganya. Alasan mengapa begitu, sepenuhnya adalah fenomena mekanikaa kuantum, yang tidak dibahas di sini. Penyearahan spin-spin itu biasanya terjadi pada daerah-daerahh kecil (sekitar 10 3 mmm 3 ) yang disebut domain. Tiap domain bisa terdiri dari milyaran spin, semuanya searah, tetapi tiap-tiap domain arahnya acak sehingga secara makroskopik medan magnet yang ditimbulkan bahan itu 0. Itulah sebabnya mengapa sepotong besi bukan magnit permanen. Gambar 1 menampilkann contoh domain feromagnetik. Gambar 1. Domain Feromagnetik [Griffiths]. Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012

2 36 Eko Sulistya/ Simulasi Model Ising 2 Dimensi dengan Algoritma Metropolis pada Lembarkerja Excel Salah satu hal yang dapat menghilangkan arah spin yang seragam adalah gerak acak akibat perubahan suhu. Ini terjadi tepat pada suhu Curie, saat sifat feromagnetik tiba-tiba berubah menjadi paramagnetik. B. Magnetisasi Menurut distribusi Boltzmann, peluang bahwa bahan berada pada suatu keadaan S dinyatakan dengan [2] E( S) k T B PS ( ) e (1) dengan E(S) adalah tenaga pada keadaan S, k B adalah konstanta Boltzmann, dan T adalah temperatur mutlak pada keadaan itu. Tidak mudah untuk melakukan sampling dengan bentuk distribusi peluang seperti di atas, sehingga dilakukan sampling dengan cara yang lain. Ada beberapa algoritma yang bisa digunakan untuk menguji model Ising, antara lain: heat bath algorithm, Metropolis algorithm, Single-bond algorithm, Swendsen-Wang algorithm, Wolff s algorithm, dan Propp-Wilson algorithm. C. Algoritma Metropolis Dalam paper aslinya dikatakan bahwa, metode Metropolis[3] merupakan varian dari metode Monte Carlo, yaitu tidak memilih distribusi secara acak kemudian dibobot dengan exp( E/k B T), namun memilih distribusi dengan pe-luang exp( E/k B T) dan membobotnya secara merata. Caranya adalah, sejumlah N partikel diletakkan pada suatu distribusi sembarang, misalnya pada tiap kisi yang beraturan. Kemudian tiap partikel secara berurutan dipindahkan. Pada setiap pemindahan satu partikel, perubahan energi de dari distribusi itu dihitung. Jika de bernilai negatif, berarti terjadi penurunan energi akibat pemindahan satu partikel itu, maka pemindahan itu dibolehkan dan partikel diletakkan pada posisi yang baru. Jika de bernilai positif, pemindahan diperbolehkan dengan peluang exp( E/k B T). D. Model Ising 2 dimensi Model Ising diambil dari nama Ising (1925), yang menyelesaikan model yang diusulkan oleh Lenz (1920) untuk mempelajari fase transisi feromagnetik pada temperatur Curie. Ising menyelesaian kasus untuk 1 dimensi, kemudian Onsager menyelesaikan untuk kasus 2 dimensi 20 tahun kemudian. Gambar 2 merupakan bagian dari lattice ukuran N N, dengan keadaan tiap sel dinyatakan dengan spin-up atau spin-down. Setiap perubahan spin pada suatu sel, akan menyebabkan perubahan energi sistem. Gambar 2. Model sederhana bahan feromagnetik 2 dimensi. Perbandingan distribusi peluang antara dua keadaan A dan B, diperoleh berdasarkan persamaan (1) : PB ( ) exp( EB ( ) / kt B ) = = exp de (2) PA ( ) exp( EA ( )/ kt) kt B B dengan de = E(B) E(A). A adalah keadaan sebelum diubah dan B keadaan setelah diubah. Jika de negatif, maka dari persamaan (2), P(B) lebih besar daripada P(A), sehingga keadaan B bisa diterima. Sedangkan jika de positif, maka terjadi sebaliknya, P(B) lebih kecil daripada P(A), namun tidak berarti perubahan langsung ditolak. Ditolak atau diterima bergantung pada nilai exp( E/kT), dibandingkan dengan suatu nilai acak antara 0 dan 1. Dengan kata lain, tidak apa-apa melakukan kesalahan langkah, dengan peluang sebesar exp( E/kT). Dalam model Ising 2 dimensi seperti pada Gambar 2, tanpa medan magnet luar, de ditentukan oleh interaksi antara sel yang diubah spin-nya dengan nilai-nilai spin sel tetangganya (atas, bawah, kiri, dan kanan) menurut persamaan de = J SiS j i j (3) dengan J suatu konstanta, disebut exchange constant, nilainya positif untuk interaksi feromagnetik, negatif untuk interaksi antiferomagnetik, dan 0 jika tidak ada interaksi. S i adalah spin yang diubah, sedangkan S j adalah spin di sel atas, bawah, kiri, dan kanan. Magnetisasi dihitung berdasarkan persamaan [4] M = S i (4) i III. METODE PENELITIAN/IMPLEMENTASI Dibuat satu file Excel yang terdiri dari 10 lembarkerja yang berturut-turut diberi nama 10 10, 20 20, dan seterusnya sampai Masing-masing lembarkerja mewakili ukuran kisi sesuai dengan namanya. Pilihan berapa ukuran kisi yang akan divisualisasikan dan untuk mengisikan variabel masukan dilakukan pada userform seperti ditunjukkan pada Gambar 3.

3 Eko Sulistya/ Simulasi Model Ising 2 Dimensi dengan Algoritma Metropolis pada Lembarkerja Excel 37 sistem termagnetisasi. Pada keadaan ini, jika iterasi diteruskan, salah satu spin bisa saja membalik, namun hanya sesaat, kemudian kembali sejajar dengan spin-spin tetangganya. Hasil-hasill simulasi yang ditampilkan pada Gambar 4 dan Gambar 5 sesuai dengan simulasi-simulasi yang dihasilkan oleh Jim Ma [5] yang menggunakan Python, dan Velasco [6] yang menggunakan Java. Gambar 3. Form untuk pemilihan ukuran kisi, dan masukan. Keadaan awal spin setiap sel ditentukan secara acak. Keadaan acak diperoleh dengan cara membangkitkan satu bilangan acak. Jika bilangan acak yang diperoleh bernilai lebih besar dari 0,5 maka spin di sel itu ditentukan bernilai +1 dan sel diberi warna putih. Jika bilangan acak bernilaii kurang dari 0,5 maka spin di sel itu ditentukan bernilai 1 dan sel diberi warna merah. Langkah-langkah/algoritmanya adalah sebagai berikut: 1. Pilih suatu sel secara acak. 2. Hitung perubahan energi de dengan persamaan (3) 3. Jika de < 0, terima perubahan (spin dibalik), ke langkah Jika de > 0, bangkitkan bilangann acak 0 < η < 1, terima perubahan jika exp( de / T ) > η, 5. Diulang sebanyak pengulangan yang diinginkan 6. Hitung magnetisasi dengan persamaan (4) Untuk keperluan komputasi, digunakan J = 2, dan satuan untuk T adalah J/k B. a. Keadaan awal c. Setelah 1000 kali iterasi b. Setelah 500 kali iterasi d. Setelah 1500 kali iterasi IV. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Visualisasi Spesifikasi komputer yang digunakan adalah : Prosesor AMD Athlon(tm) II Neo K235 Dual-Core 1,30 GHz, dan RAM 5 GB. Gambar 3 menampilkan urutan keadaan untuk ukuran kisi sel. Pada keadaan awal, spin tiap sel dibangkitkan secara acak. Suhu dipilih pada T = 1 dengan satuan joule/k B B. Dari Gambar 4 terlihat bahwa terjadi penyearahan spin dipol magnit yang berdekatan, menunjukkan pembentukan domain magnit. Setelah kali iterasi, diperoleh keadaan yang ditunjukkann pada Gambar 5a. Gambar 5b dan seterusnya menampilkan keadaan akhir setelah kali iterasi untuk suhu-suhu yang berbeda. Setiap pemilihan suhu yang berbeda, dimulai dari keadaan awal yang acak. Gambar 5 menunjukkan bahwa semakin tinggi suhu, ukuran domain semakin kecil, dan pada suhu yang tinggi keadaan spin menjadi semakin acak. Secara numerik, dengan semakin tingginya suhu, algoritma Metropolis menerima pembalikan spin yang antiparalel. Pada suhu rendah terjadi pengelompokan spin-spin yang searah, dan bisa terjadi penyearahan keseluruhan spin sehingga e. Setelah 2000 kali iterasi f. Setelah 2500 kali iterasi g. Setelah 3000 kali iterasi h. Setelah 3500 kali iterasi i. Setelah 4000 kali iterasi j. Setelah 4500 iterasi Gambar 4. Urutan keadaan spin kisi Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012

4 38 Eko Sulistya/ Simulasi Model Ising 2 Dimensi dengan Algoritma Metropolis pada Lembarkerja Excel dengan Boltzmann. k B 21 5, 0 10 J T = 2, 26 = 409 K k 23 2 B = 1,38 10 J K, adalah konstanta a. T = 1 b. T = 1,5 c. T = 2 d. T = 2,5 e. T = 3 f. T = 4 g. T = 5 h. T = 10 Gambar 5. Keadaan akhir untuk beberapa suhu dan iterasi. B. Magnetisasi Magnetisasi dihitung dengan persamaan (4) dan dinormalisasi. Jika seluruh spin searah maka magnetisasinya 1, atau 100%. Grafik nilai mutlak magnetisasi ternormalisasi sebagai fungsi suhu, mulai dari T = 0,1 J/k B sampai dengan T = 5 J/k B dengan interval 0,1 ditunjukkan pada Gambar 6, cocok dengan yang dihasilkan oleh Ishita Argawal [7], bahwa magnetisasi turun tajam pada T = 2,26 J/k B. Dari persamaan (3), orde besar de sama dengan orde besarnya konstanta interaksi J. Nilai J untuk bahan Ni telah diperoleh oleh P. M. Hemenger dan H. Weik [8], yaitu J = 5, J. Dalam perhitungan untuk komputasi ini telah digunakan nilai J = 2, sehingga bisa diperkirakan besar suhu saat magnetisasi mulai turun, yaitu Gambar 6. Grafik magnetisasi ternormalisasi sebagai fungsi suhu. Nilai suhu yang diperoleh pada Gambar 6 dekat dengan suhu Curie untuk Nikel, yaitu 358K. Di atas suhu ini, bahan feromagnetik berubah menjadi paramagnetik dengan spin dipol magnet yang arahnya acak, ditunjukkan dengan mengecilnya magnetisasi. C. Waktu komputasi Tabel 1 menampilkan waktu yang diperlukan untuk menjalankan algoritma Metropolis, mulai dari ukuran kisi 10x10 sampai 100x100, suhu T = 1 J/k B, dan iterasi. Microsoft Excel dirancang untuk multitasking, sehingga jika dijalankan bersama dengan aplikasi lain, maka akan berpengaruh pada waktu eksekusinya. Hasil yang disajikan pada Tabel 1 bisa saja berbeda-beda untuk tiap komputer, selain karena prosesornya, juga karena aplikasi lain yang dijalankan bersama Excel. Karena program Ising yang dibuat dengan bahasa pemrograman lain tidak membatasi simulasi pada jumlah iterasi tertentu, maka waktu komputasi tidak bisa dibandingkan dengan waktu komputasi dari simulasi Ising yang dibuat dengan Excel ini. Tabel 1. Data waktu komputasi untuk berbagai ukuran kisi. Ukuran kisi Waktu (detik) , , , , , , , , , ,98

5 Eko Sulistya/ Simulasi Model Ising 2 Dimensi dengan Algoritma Metropolis pada Lembarkerja Excel 39 Tabel 2 menampilkan waktu komputasi untuk ukuran kisi untuk beberapa jumlah iterasi. Tabel 2. Waktu komputasi untuk beberapa jumlah iterasi. Jumlah iterasi Waktu (detik) , , , , , , , , , ,86 Nampak bahwa untuk jumlah iterasi yang cukup besar, kali pengulangan, waktu yang diperlukan masih di bawah 1 menit. Ada hubungan antara kesetimbangan sistem dengan jumlah iterasi. Jika jumlah iterasi yang ditentukan tidak cukup besar, maka ada kemungkinan sistem belum mencapai kesetimbangan pada saat iterasi berakhir. Berhubungan juga dengan ukuran kisi. Sebagai contoh, untuk ukuran kisi 10 10, dengan jumlah iterasi 5000 kali, kesetimbangan sistem sudah tercapai, namun belum tercapai untuk ukuran kisi yang lebih besar. V. KESIMPULAN Dari hasil-hasil yang diperoleh dapat ditunjukkan bahwa lembarkerja Microsoft Excel dapat digunakan sebagai perangkat untuk komputasi numerik, simulasi dan visualisasi. Hasil simulasi cocok dengan hasil yang diperoleh dengan program-program lain, yaitu Python dan Java. Kekurangan pada lembarkerja adalah waktu komputasi yang diperlukan cukup lama jika visualisasi ditampilkan serta jumlah data/pengulangan yang besar. PUSTAKA [1] D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, third edition, Prentice Hall [2] K. Binder and D.W. Heermann, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics- An Introducion, 2002, fourth edition, Springer [3] N. Metropolis, Arianna W. Rosenbluth, Marshall N. Rosenbluth, Augusta H. Teller, and Edward Teller, 1953, Equation of state calculations by fast computing machines., 1953, The Journal of Chemical Physics, 21(6): [4] D. Marchand, Classical Monte Carlo and the Metropolis Algorithm: Revisiting the 2D Ising Model, 2005, Department of Physics and Astronomi, University of British Columbia, Vancouver. [5] J. Ma, 2D Ising Model Simulation, 2007, Department of Physics, UCDAVIS, jma@physics.ucdavis.edu [6] E.S. Velasco, A Java Applet to simuate a 2-D Ising system, 1998, Website: diakses pada tanggal 8 Februari 2012 [7] I. Argawal, Numerical Analysis of 2-D Ising Model, March 2011, physics report, University of Bonn. [8] P.M. Hemenger and H. Weik, Determination of the Ferromagnetic Exchange Energy Constant in Ferromagnetic Ni and Ni x Cu Films by Means of Domain Wall Width Measurements, 1965, Journal Applied Physics 36. TANYA JAWAB Ari Setiawan, UGM? Dalam ratlab bisa memvisualisasi dalam 3D. Bagaimana dengan Excell apakah dimungkinkan untuk mengembangkan dalam tampilan 3D. Eko S, UGM Excel tidak memiliki kemampuan untuk menampilkan visualisasi 3 dimensi. Namun perhitungan magnetisasi yang melibatkan spin-spin tetangga (atas, bawah, kiri, kanan, depan, dan belakang, untuk 3 dimensi) bisa dilakukan komputasi numeriknya. Jika 2 dimensi perlu 2 indeks ( i dan j, maka untuk 3 dimensi, perlu 3 indeks I, j, k array 3 dimensi. Visualisasi 3 dimensinya bisa dilakukan dengan program lain (mis pythom) jika angka? Sudah diperoleh dengan excel.