BAB 3: Sifat Gelombang dari partikel

Transkripsi

1 Bab 3 Sifat gelombang dari partikel BAB 3: Sifat Gelombang dari partikel Pendauluan Einstein memperkenalkan kepada kita sifat partikel dari gelombang pada tn 1905 (efek potoelektrik). Teori Einstein ini diperkuat ole amburan Compton Tapi, apaka kebalikannya berlaku? Apaka partikel memiliki sifat gelombang? 193, ketika masi sebagai ms pasca sarjana University of Paris, Louis de Broglie mempublikasikan tulisan ringkas dalam journal Comptes rendus yang berisi ide yang revolutionor teradap pemaaman fisika pada level yang paling fundamental: yaitu bawa partikel memiliki sifat gelombang intrinsic Prince de Broglie Pada 197, Davisson dan Germer mengkonfirmasi sifat gelombang dari partikel dengan diffraksi elektron dari kristal tunggal nikel. Werner Heisenberg dan kemudian Erwin Scrödinger mengembangkan teori berdasarkan sifat gelombang dari partikel. Heisenberg Scrödinger

2 3.1 Gelombang de Broglie Ingat bawa poton memiliki energi E=f, momentum p=/λ, dan panjang gelombang λ=/p. De Broglie mempostulatkan bawa persamaan diatas berlaku juga untuk partikel. Secara kusus, partikel dengan masa m dan momentum p memiliki panjang gelombang de Broglie λ =. p Jika partikel bergerak cukup cepat seingga peritungan relativistik diperlukan, maka gunakan persamaan relativistik momentum: λ =. γmv Apa yang diusulkan de Broglie, sepertinya anya sebua permulaan bawa partikel memiliki panjang gelombang? partikel dgn momentum p Digambarkan sbg gelombang Persamaan diatas untuk gelombang, persamaan dibawa adala ide baru untuk partikel. Partikel dgn momentum linear p Gelombang partikel dgn panjang gelombang de Broglie λ = p/ Usulan sifat gelombang dari partikel keluar dari suatu ipotesis yang berani dari seorang maasiswa P.D fisika yang masi muda.* λ = = p γmv Sekarang kita memiliki persamaan yang mengatakan bawa partikel memiliki panjang gelombang. Lalu kenapa selama ini tdk dapat diamati dan apa yang arus kita lakukan untuk membuktikannya? Verifikasi dengan Eksperimen! Agar kita dapat mengamati sifat gelombang dari partikel, panjang gelombang de Broglie arus dapat dibandingkan dengan sesuatu yang berinteraksi dengan partikel; misalnya jarak antara dua slit, atau jarak antara susunan atom dalam kristal. *Postulat ini membawa dia mendapat 199 Nobel Prize. Conto: cari panjang gelombang 46 g bola yang bergerak dengan kecepatan 30 m/s. Dengan kecepatan seperti diatas kita dpt mengitung tanpa relativistik. λ = = non-relativistic: γ=1 γmv mv J s λ = ( kg) 30 m/s -34 λ = m ( ) Adaka sesuatu yang memiliki dimensi fisik sekitar m, dimana gelombang bola golf dapat berinteraksi dengannya? Dapatka kita melakukan eksperimen yang dapat mendeteksi gelombang bola golf?

3 Conto: cari panjang gelombang elektron yang bergerak dengan kecepatan 10 7 m/s. Kecepatanelektronsekitar1/30 c, seingga peritungan nonrelativistik suda cukup. λ = mv J s λ = ( kg) 10 m/s -11 λ = m ( ) Panjang gelombang cukup kecil dan dapat dibandingkan dengan dimensi atomic, seingga kita dapat mempertimbvangkan untuk mengamati sifat gelombang dari elektron jika elektron bergerak cepat melewati zat padat. Gelombang Matter adala fenomena quantum Efek gelombang partikel sulit diobservasi secara makroskopik (kecuali jika dibantu alat kusus) Konstanta yg kecil pada λ = /p membuat karakteristik gelombang dari partikel susa untuk diobservasi jika 0, λ menjadi sangat kecil sekali yang berarti perilaku gelombang dari partikel secara effektif akan berenti dan akan keilangan sifat gelombangnya apabila momentum partikel tidak sebanding dengan ~ Js Dengan kata lain, sifat gelombang partikel anya akan muncul jika skala momentum p sebanding dengan arga Sesuatu yang arus kita pikirkan : Tumbukan akan terjadi seketika, sg partikel betul-betul ada disana dan gelombang yang berubungan dengan partikel bukan partikel yang terambur. Lalu kita akan meliat bagaimana gelombang dari partikel memiliki kecepatan fasa yang lebi besar dari kecepatan caaya, c. Seingga, kecepatan fasa tidak memiliki interpretasi secara fisik. Beberapa persamaan yg dapat kita gunakan: E = f p = /λ ω = πf k = π/λ ħ = /π E = ħω p = ħk Jika benda memiliki panjang gelombang, maka akan ada suatu fungsi fungsi gelombang yang menjelaskan sifat gelombang dari benda tsb. Apaka anda pikir jika kita dapat menemukan fungsi gelombang, dan ukum matematika apa yang dia patui, lalu kemudian barangkali kita bisa belajar tentang partikel yang dijelaskannya? Artinya kita akan meluangkan waktu untuk memikirkan tentang matematika gelombang dan fungsi yang menjelaskannya.

4 3. Apa Jenis Gelombang Partikel? Gelombang air terdiri dari ketinggian air yang berbeda, gelombang suara terdiri dari perbedaan tekanan didalam medium, gelombang E&M terdiri dari osilasi medan listrik dan magnet. Bagaimana dengan gelombang partikel? Dengan kata lain, apa yang secara fisik beruba dalam gelombang partikel? Sesuatu dimana variasinya membentuk gelombang partikel adala fungsi gelombang function, Ψ ("psi", biasa dibaca "si"). Ψ Ψ Ψ Fungsi gelombang dari partikel bukan sesuatu yang dapat diliat atau dirasakan. Dia tidak memiliki arti fisik yang langsung. Ψ Adala solusi Scrödinger. Seperti tela disinggung didepan, Scrödinger mengembangkan teori untuk sifat gelombang partikel. Kita akan mempelajarinya pada bab 5. Ψ adala pd umunya bilangan komplek, dan tidak dapat diukur secara langsung. Rata-rata waktu dan/atau ruang dari Ψ = 0. (ingat- Rata-rata waktu/ruang dr gelombang sinus = 0 tapi gelombang sinus tdk sama dgn 0) Akan tetapi, Ψ dapat mengatakan kepada kita sesuatu tentan partikel yang dia representasikan. Ψ*Ψ mengatakan kepada kita probabilitas menemukan benda yang direpresentasikan dengan Ψ. Secara umum, Ψ adala fungsi dari posisi (,y,z) dan waktu. Probabilitas untuk menemukan objek yang dinyatakan dengan Ψ pada posisi (yz) pada waktu t adala sebanding dengan arga Ψ*Ψ disana. Secara umum, arga Ψ*Ψ adala antara 0 dan 1. Harga yang kecil pada suatu posisi dan waktu artinya probabilitas menemukan objek disana kecil; sebaliknya angka yang besar menunjukan probabilitas yang besar. Jika Ψ*Ψ=0 pada suatu posisi dan waktu, maka objek tidak ada disana. Jika Ψ*Ψ=1 pada suatu posisi dan waktu, objek pasti ada disana. Di bab berikutnya kita akan menemukan bawa ada batasan yang fundamental pada bagaimana dengan tepat kita dapat meletakan objek. jika Ψ comple, maka Ψ*Ψ = Ψ adala real (dan positif).

5 Catatan : perbedaan antara probabilitas kejadian dan kejadian itu sendiri. Jika kita mendeteksi elektron, artinya elektron ada disana, tdk berarti 50% ada disana. Jika probabilitas menemukan elektron pada (yzt) = 50%, tidak berarti bawa elektron 50% ada disana. Ini berarti ½ dari pengukuran kita akan menemukan elektron disana, dan ½ nya lagi tidak menemukan elektron. Jika kita memiliki koleksi partikel identik, maka Ψ*Ψ proporsional dengan densitas aktual dari partikel. Kita sering menyebut Ψ*Ψ sebagai probability density meskipun kita bicara tentang satu partikel.* Mari kita liat lebi jau lagi Untuk sistem partikel yang dijelaskan ole fungsi gelombang Ψ, Ψ*ΨdV adala probabilitas menemukan partikel (atau sistem) dalam elemen volume dv. Untuk mencari probabilitas menemukan partikel disuatu tempat di dlm ruang, kita integrasikan probabilitas seluru ruang. Kita assumsikan bawa probabilitas menemukan partikel disuatu tempat di dlm ruang adala 1, seingga * ΨΨ dv = 1. all space Fungsi gelombang yang dinormalisasi. Ingat, fungsi gelombang menceritakan kepada kita kemungkinan menemukan partikel pada titik tertentu di dalam ruang dan waktu, tetapi partikel tidak tersebar dalam beberapa gelombang. Menentukan Ψ secara benar biasanya suatu masala sulit. Kita akan sering mengasumsikan suatu fungsi gelombang tanpa memasuki bagian detil dari mana itu datang. Ini menyimpulkan diversi yang ringkas ke dalam dunia mekanika kwantum yang akan kita baas pada bab 5. Berapa kecepatan gelombang de Broglie? momentum benda bergerak diubungkan dengan kecepatan yang terukur lewat p = mv Pada sisi lain, de Broglie mengatakan bawa benda yang bergerak memiliki momentum dan panjang gelombang yang diubungkan ole p = /λ Maka secara logika kecepatan gelombang de Broglie (sebut saja v p ) arus sama dengan v Mari kita liat apaka al tsb betul Jika kita mengklaim bawa partikel adala gelombang (tepatnya, memiliki sifat gelombang) maka kita lebi baik mempelajari gelombang lebi detail.

6 Berapa kecepatan gelombang de Broglie? kecepatan gelombang de Broglie diubungkan dgn frekuensi gelombang dan panjang gelombang lewat v p =λ f Dimana panjang gelombang de Broglie λ diubungkan dengan kecepatan benda yang terukur lewat λ = /(mv) Energi yang dibawa ole quantum gelombang de Broglie adala E=f Berapa kecepatan gelombang de Broglie? Seingga diperole, f = mc f = mc / Substitusikan frekuensi de Broglie ke dlm v p =λ f, kita perole v p =(/mv)(mc /) =c /v Energi E arus sama dengan energi relativistik dari benda bergerak, E = mc Berapa kecepatan gelombang de Broglie? v p =c /v Persamaan diatas tidak masala jika partikel adala poton yang bergerak dgn kecepatan c, seingga v p = c Tapi karena partikel tsb bermasa maka akan selalu c /v > c suatu asil yg secara fisik tdk dapat direalisasikan, yaitu kecepatan gelombang de Broglie v p tdk anya tdk sama dgn v tapi juga > c Kita arus memikirkan lagi apa yang dimaksud dengan kecepatan gelombang. Mari kita liat kembali apa itu gelombang. Beiser menggunakan getaran tali untuk mendemontrasikan penurunan persamaan gelombang. Ambil tali, ikat satu ujungnya dan pegang satunya lagi lalu ayunkan. Jika tangan digerakan ke atas, pulsa dikirimkan ke tali: poton: faster tan a speeding bullet matter wave: faster tan a speeding poton? Ada sesuatu yang sala disini Gerakan tangan Ikatkan tali disini

7 pulsa Jika kita lakukan terus menggerakan tangan maka akan terbentuk gelombang berdiri. penjalaran gel tali refleksi (& inverts) bertemu pulsa lainnya pd perjalanan pulang Beiser menurunkan beberapa bentuk persamaan yg ekivalen untuk gelombang ini, yang memberikan simpangan y pada suatu titik pada tali (i.e., pd suatu posisi ) sepanjang waktu. y = A cos πf (t - ) vp y = A cos π (f t - ) λ f adl frekuensi dan v p adl kecepatan gelombang Dgn menggunakan v p = f λ, ω = πf, and k = π/λ, Kita dapatkan y = A cos ( k - ωt ), or r r r r y = A cos ( k - ωt ) in 3 dimensions. Gelombang menjalar dgn kecepatan fasa, yg tdk merepresentasikan kecepatan aktual partikel bermasa. Pada bagian berikutnya kita akan mendefinisikan arti fisis "group velocity." v p y Ini adala gelombang tranversal. Gelombang terpolarisasi pada ara y. Pada Bab kita menurunkan kecepatan fasa dgn cara yang berbeda, tapi merupakan cara yang ekuivalen.

8 v p y 3.4 Kecepatan Fasa dan Group Group gelombang adala superposisi dari gelombanggelombang yg berbeda. Gelombang ini menjalar di dalam ruang. Panjang gelombang (and juga momentum) gelombang terdefinisi dengan baik (ada arganya disetiap tempat). Dimana partikel yang direpresentasikan ole gelombang tsb? Kita tdk dapat menemukannya. Mungkin berada disuatu tempat disepanjang sumbu. Untuk membuat gelombang yg merepresentasikan partikel, kita arus memodulasinya dengan menjumlakan banyak gelombang dgn panjang gelombang dan/atau frekwensi yang berbeda. Kemudian fungsi gelombang akan mempunyai panjang gelombang dan spatial "lengt" yg jelas. Gelobang berinterferensi untuk mengasilkan suatu bentuk dari grup. Karena kecepatan gelombang de Broglie bervariasi td λ, maing-masing gelombang bergerak dgn kecepatan berbeda dgn kecepatan group. Beiser mengitung kecepatan penjalaran, v g, dari grup sederana yang dibuat dari dua gelombang sinus. y 1 = A cos (ωt - k) [ ] y = A cos (ω+dω) t - (k + dk) Dua gelombang adala jumla minimal yang dibolekan untuk membuat gelombang "paket" atau "grup." Dengan sedikit trigonometri, dan menggunakan fakta bawa dω dandkadalakecildibandingω dan k, Beiser menunnjukan : dω dk y1+ y= A [ cos (ωt - k) ] cos ( t - ). Gelombang dinyatakan ole y 1 +y dibangun dari gelombang dgn frekuensi sudut ω dan bilangan gelombang k, dan mempunyai superposisi pada suatu modulasi frekwensi dω/ dan bilangan gelombang dk/. y 1 y 1 +y y dω dk y1+ y= A [ cos (ωt - k) ] cos ( t - ). Gambar ini sedikit tak memuaskan, sebab ini merupakan suatu snapsot pada suatu waktu dari gelombang yang bergerak pada ruang dan waktu. Kecepatan fasa gelombang menjalar adala v p =ω/k, sedangkan group (modulasi) bergerak dgn kecepatan v g =(dω/)/(dk/)=dω/dk. ω v p = k dω v g = dk Gelombang pd gb adala y=sin(t) dan y=sin(1.t).

9 ω v p = k v g dapat > v p atau < v p. dω v g = dk Jika kecepatan fasa v p sama untuk seluru panjang gelombang, seperti untuk caaya dlm vacuum, maka kecepatan fasa dan group adala sama. Tetapi apa pertalian ini dengan partikel? Di mana dlm rumus matematis adala kecepatan partikel? Apaka itu adala v g? Apaka v g konsisten dengan ide kita tentang kecepatan partikel? Frekuensi sudut : Bilangan gelombang: πγmc πmc ω = πf = =. 1- v c π πγmv πmv k = = =. λ 1- v c Gunakan pers. Diatas untuk mengitung ω v p = k dω v g = dk Hasilnya: v p =c /v (kita suda tau ini) dan v g =v (kecepatan partikel). dω vg = dk mc π ω = π f ω = π = γ dω πmc 0 dγ πmv 0 = = dv dv v c π πmv dk π m0 k = = = λ dv v c dω dω dk vg = = / = v dk dv dv ( mc 0 ) ( 1 / ) ( 1 / ) 3/ 3/ Pertanyaan: kita suda menunjukkan bawa kecepatan fasa gelombang dapat lebi besar dari c. Apaka ini berarti kita dapat menemukan suatu jalan untuk memancarkan informasi lebi cepat dari kecepatan caaya c? Menurut relatifitas: kita tdk dapat mempercepat partikel atau energi ke suatu kecepatan lebi cepat dari c. Juga, kita tdk dapat mengamati asil dari suatu kejadian sebelum kejadian itu terjadi Relatifitas tdk benar-benar menunjukan transmisi informasi, tetapi dalam penafsiran ini, informasi ada di dalam modulasi, yang menjalar pada suatu kecepatan yang sama dengan v g, maka kita tidak mentranmisikan informasi pada suatu kecepatan lebi besar dari c

10 Ini adala gambar gelombang paket yang terliat lebi merepresentasikanpartikel: Gelombang grup de Broglie diidentifikasi dengan partikel yg bergerak dgn kecepatan v Cara lain untuk menuliskan gelombang adala y=a e j( k -ωt ). Ingat relasi Euler mengatakan e jθ dibentuk dari sinus dan cosinus. Coba plot gelombang ini menggunakan Matcad atau yg lainnya : Ψ() = ep(- /0.) ep(10jπ). modulasi ossillasi Coba plot Ψ vs.. Juga peratikan bagian real dan imajiner. 3.5 Diffraksi Partikel Diffraksi adala perilaku gelombang. Penjelasan diffraksi partikel dengan menggunakan cara klasik sangatla sulit. Diffraksi partikel anya dapat dijelaskan dengan mekanika kuantum. Tidak ada t pd fungsi diatas, sg tdk menjalar: Gelombang bervariasi dlm ruang tapi tdk dlm waktu. Untuk membuat dia menjalar, kita arus menambakan ketergantungan waktu.

11 Eksperimen Davisson and Gremer DG mengkonfirmasi perilaku gelombang dari elektron yang mengalami diffraksi Bragg Davisson dan Gremer Elektron Termionik yang diasilkan ole ot filamen dipercepat dan difokuskan ke target pada kondisi vacuum. Menurut mekanika klasik searusnya elektron akan diamburkan kesegala ara Tapi kenyataannya elektron diamburkan pada sudut φ ke detektor yang dapat digerakan Bagaimana menginterpretasikan asil dari DG? Diffraksi konstruktif Bragg Elektron didifraksikan ole atom pd permukaan (yg bertindak sbg grating) logam seperti elektron berperilaku sebagai gelombang Elektron berperilaku sebagai gelombang seperti yang dipostulatkan ole de Broglie Elektron didifraksikan ole atom pd permukaan (yg bertindak sbg grating) logam seperti elektron berperilaku sebagai gelombang Puncak yg tajam dr interferensi konstruktif antara gelombang elektron yg diamburkan ole atom yg berbeda pd permukaan kristal Puncak pola diffraksi adala orde ke 1 interferensi konstruktif : dsin φ = 1λ dimana φ = 50 o untuk V = 54 V Dari eksperimen diffraksi Bragg -ray yang dilakukan terpisa, kita mengetaui bawa d =.15 A Seingga panjang gelombang elektron adala λ = dsinθ = 1.65 A φ Elektron berperilaku sebagai gelombang seperti yang dipostulatkan ole de Broglie 1.65 A adala asil yg diperole dari eksperimen dan arus dicek dengan arga yang diprediksi secara teoritis ole de Broglie

12 Nilai teoriti λ elektron Prediksi Teori cocok dgn pengukuran Potensial eksternal V mempercepat elektron melalui EV=EK Pada percobaan DG energi kinetik elektron diakselerasi ke EK = 54 ev (non-relativistic) Menurut de Broglie, panjang gelombang elektron yang deakselerasi ke EK = p /m e = 54 ev memiliki pajang gelombang ekuivalen λ = /p = /(Km e ) -1/ = 1.67 A Dalam bentuk potensial eksternal, λ = /(EVm e ) -1/ Hasil percobaan DG (1.65 Angstrom) ampir mirip dengan perkiraan de Broglie (1.67 Angstrom) Perilakugelombangdarielektronsecaraeksperimen tela dikonfirmasi Sebagai fakta, perilaku gelombang dari partikel mikroskopik diobservasi tdk anya dlm elektron saja tapi juga dlm partikel lain (misalnya neutron, proton, molekule dsb) Applikasi gelombang elektron: Mikroskop Elektron, Nobel Prize 1986 (Ernst Ruska) Panjang gelombang elektron de Broglie dapat diatur lewat λ = /(EVm e ) -1/ Mikroskop elektron dapat memiliki perbesaran sampai (EV 30kV) resolusi 0.1 nm

13 Manifestasi lainnya dari perilaku gelombang elektron Secara eksperimental juga dapat diperole gambar pola diffraksi 3.6 partikel dlm Bo Sekarang kita percaya bawa partikel memiliki perilaku gelombang Apa artinya perilaku gelombang dari partikel? Apaka anya partikel yang nyata, dan gelombang anya sesuatu yang ditemukan fisikawan? Apaka seperti pertama kali yang dipercaya Scrödinger bawa gelombang itu nyata, bukan partikel? Apaka elektron itu gelombang atau partikel? Kedua-duanya ada, tapi tidak simultan. Pada beberapa eksperimen (atau pengamatan empirik) anya satu aspek gelombang atau partikel saja yang dapat teramati. Seperti coin dgn dua muka. Tapi kita anya dapat meliat sala satu sisinya saja pada suatu waktu Ini yang disebut sebagai dualitas gelombang-partikel elektron sbg partikel elektron sbg gelombang Mari kita kembali pada gelombang berdiri yang tela kita baas didepan. Kita medapatkan gelombang berdiri pada tali yang diikat kuat pd satu ujung karena interferensi antara gelombang datang dan gelombang pantul yang berbeda fasa 180 ketika mencapai ujung terikat. Gelombang berdiri terdiri dari deretan pulsa tali yang bergerak naik turun. Ketika pulsa-pulsa bersuperposisi pada fasa yang sama, maka akan kita perole gelombang maimum tapi jika berbeda fasa 180 akan diperole minimum.

14 Kita anya dapat meliat gelombang berdiri pada kecepatan dan panjang gelombang tertentu. Jika bo cukup kecil (dibandingkan dgn panjang gelombang partikel), gelombang partikel terlipat dan terlipat lagi" setiap dipantulkan dinding. visualisai Misalnya gelombang berdiri pada partikel di dalam bo sebela ini. Pada bo dgn panjang L diatas, keberadaan partikel direpresentasikan ole gelombang. Gelombang partikel bergerak dengan partikel dan akan dipantulkan ketika mencapai dinding bo. Segmen gelombang partikel dan pantulannya akan berinterferensi. Jika interferensinya konstruktif, maka partikel dapat berada didalam bo, jika destruktif maka partikel tdk dapat eksis didalam bo. Interferensi konstruktif terjadi bila panjang bo adala kelipatan integer dari ½ panjang gelombang dari gelombangpartikel(l=nλ/), seingga panjang gelombang Broglie dari partikel yang terkrung adala : L λ n =, n = 1,,3... n Karena KE = mv / dan λ = /mv, batasan pada λ juga merupakan batasan pada energi partikel yg diijinkan: n E n =, n = 1,,3... 8mL L λ n =, n = 1,,3... n n E n =, n = 1,,3... 8mL Energi yg diijinkan ini disebut tingkat energi dan n disebut sebagai bilangan kuantum. Pikirkan bo sebagai sumur potensial, dimana didlmnya terdapat partikel. partikel bebas, diluar bo, dapat memiliki sembarang energi dan panjang gelombang. Jika kita simpan partikel dlm bo, anya panjang gelombang dan energi tertentu yang diijinkan (0 tdk termasuk energi yd diijinkan). Kita arus mengurangkan atau menambakan energi untuk dapat meletakan partikel bebas kedalam bo.

15 CONTOH 10 gram marble dlm 10 cm bo : n E = 8mL n -34 ( ) -3-1 ( )( ) n E = n -64 E n = n Joules energi dan kecepatan minimum tdk sama dgn 0, dan marble pd kecepatan tertentu memilki bilangan kuantum pada orde Dengan kata lain, kita tdk dapat merasakan perilaku kuantum marble dalam bo. elektron dlm 0.1 nm (10-10 m) (ukuran atom) bo : n E = 8mL n -34 n ( ) ( )( ) E = n -18 E n = n Joules = 38 n ev energi minimum adala 38 ev, cukup signifikan, dan tingkat energi cukup terpisa sg dapat terukur. 3.7 prinsip ketidak pastian I penurunan berdasarkan sifat gelombang partikel Misalkan partikel dinyatakan dgn grup gelombang disamping ini. Dimana partikel? Berapa panjang gelombangnya? Posisi dapat didefinisikan dgn baik, tapi panjang gelombang tdk terdefinisi dengan baik. Karena itu ada ketidak pastian yang besar pada momentum partikel (ingat-panjang gelombang dan momentum saling berubungan). Sekarang partikel dinyatakan dgn grup gelombang disamping ini. Dimana partikel? Berapa panjang gelombangnya? panjang gelombang keliatannya lebi terdefinisi dibanding posisi partikel. Ada ada ketidak pastian yang besar pada posisi partikel s. Untuk mengetaui kuantitas ketidak pastian dalam posisi dan momentum group gelombang, kita perlu meliat lebi detail pada transformasi Fourier dan representasi group gelombang dgn menjumlakan masing-masing gelombang.

16 grup gelombang dibentuk ole penjumlaan banyak gelombang yang berbeda ω dan k-nya sebesar ω dan k (atau ekuivalen dgn λ)... A 1, k 1 A, k A 3, k 3 A 4, k 4 k = π/λ, maka k/k = λ/λ Hubungan ketidak pastian pada gelombang klasik Paket gelombang arus menuruti prinsip ubungan ketidak pastian untuk gelombang klasik (yg diturunkan secara matematis dgn beberapa pendekatan) λ > λ k > π t ν 1 ~ Akan tetapi perlakuan matematis yg lebi kaku (tanpa pendekatan) memberikan relasi yg eksak λ λ k 1/ 4π ~ 1 ν t 4π Untuk menjelaskan partikel dgn gelombang paket yang berada pd daera sempit memerlukan rentang bilangan gelombang yang besar, yaitu k besar. Kebalikannya, rentang sempit bilangan gelombang tidak dapat mengasilkan paket gelombang pada lokasi jarak yang sempit. gelombang partikel arus mengikuti relasi ketidak pastian yg sama Untuk gelombang partikel, dimana momentum (energi) dan panjang gelombang (frekuensi) diubungkan ole p = /λ (E = ν), ubungan ketidak pastian gelombang klasik di terjemakan menjadi dimana p E t = / π Hubungan Ketidakpastian Heisenberg p E t Perkalian ketidakpastian momentum (energi) dan posisi (waktu) sedikitnya sebesar konstanta Planck Buktikan sendiri (int: mulai dr p = /λ, p/p = λ/λ)

17 Apa artinya p Penetapan batas terenda mungkin ada pada ketidak-pastian dalam mengetaui nilai-nilai p dan, tidak peduli bagaimana baiknya suatu eksperimen dilakukan. Apa artinya E t Jika suatu sistem ada dalam keadaan energi E pada suatu periode terbatas t, maka energi ini adala tidak-pasti dengan ketidakpastian sedikitnya sejumla /(4π t) Adala mustail untuk menetapkan secara serempak dan dengan ketepatan yang tanpa batas momentum linear dan posisi suatu partikel yang bersesuaian. ole karena itu, energi suatu objek atau sistem dapat diukur dengan ketepatan tanpa batas ( E=0) anya jika objek sistem ada pada suatu waktu tak batas ( t ) Variabel Konjugat {p,}, {E,t} adala konjugat variables Konjugat variabel pada prinsipnya tidak bisa diukur (atau diketaui) dengan ketepatan tanpa batas secara serempak CONTOH Kecepatan elektron diukur dengan tingkat akurasi 0.003%. Memiliki arga m/s Cari ketidakpastian pada posisi elektron SOLUSI v = m/s; ( v)/v = 0.003% Dart definisi, p = m e v = Ns; p = 0.003% p = Ns maka, /4π p = 0.38 nm p = (4.56±1.37) 10-7 Ns = 0.38 nm 0

18 Solusi CONTOH SOAL Muatan meson π memiliki energi diam 140 MeV dan lifetime 6 ns. Hitung ketidak pastian energi π meson, dalam MeV dan juga sbg fungsi energi diamnya E = m π c = 140 MeV, τ = 6 ns. E /4π τ = J = MeV; E/E = MeV/140 MeV = Conto : estimasi efek quantum pada partikel macroskopik Estimasi ketidakpastian kecepatan minimum dari bola billard (m ~ 100 g) yg terkurung pd meja billard ukuran 1 m Solusi Untuk ~ 1 m, we ave p /4π = Ns, Sg v = ( p)/m m/s v = m/s (sangat kecil) adala kecepatan bola billard setiap saat yg disebabkan ole efek kuantum Dalam teori kuantum, tdk ada partikel yg secara absolut benar-benar diam akibat dari prinsip ketidak pastian Sekarang kita meliat E ± E eksis untuk τ = 6 ns Sekarang?? v = m/s 100 g bola billard ukuran ~ cm panjang1 m meja billard partikel yang berada pd daera tertebatas arus memiliki minimal EK Sala konsekuensi yang daramatis dari prinsip ketidak pastian adala partikel yang diletakan pada suatu region yg kecil dgn lebar tertentu tidak dapat secara eksak pada keadaan diam. Kenapa???, karena. Jika dia betul-betul diam, momentumnya arus secara pasti = 0, artinya p = 0, yang menyalai prinsip ketidakpastian. Berapa EK ave partikel dlm bo karena prinsip ketidak pastian? Kita dapat mengestimasi minimal EK partikel yg berada dlm bo prinsip ketidakpastian mensyaratkan p (/4π a) maka, besarnya p, secara rata-rata, arus sedikitnya sama dengan p Sg EK, arus rata-rata berada disekitar EK ave = p > ( p) ~ ~ m m 8ma ave > p p

19 EK Zero-point energy ave = p > ( p) ~ ~ m m 8ma av Ini adala zero-point energy, energi kinetik minimal yang mungkin dimiliki partikel kuantum yg berada pada daera selebar a a Kita akan menurunkan persamaan diatas secara formal ketika membaas persamaan Scrodinger untuk partikel dalam bo. > LATIHAN SOAL Misalkan V dari benda bermasa 10-4 kg diukur dengan akurasi ±10-6 m/s. Berapa batas akurasi dimana kita dapat meletakan partikel sepanjang sumbu? Solusi : p ; p= mv; ( mv) = m v = = m v 4π m v m Assumsikan bawa ketidak pastian dlm posisi partikel sama dengan panjang gelombang de Broglie. Berapa minimal ketidak pastian kecepatan, v? A. v /4p B. v /p C. v /8p D. v E. v /p JAWAB: A Eample 3.6 Pada pengukuran posisi proton dengan akurasi ± m. Cari ketidak pastian pd posisi proton 1s kemudian. Assumsikan v << c. Pada waktu pengukuran, ketidak pastian posisi adala 1, dan 1 p p 1 p = (mv ) = m v p v = m m 1

20 t detik kemudian, ketidak pastian posisi adala =t v t m -34 ( 1 )( ) ( )( ) m, or 1.96 miles. 1 proton tdk menyebar, krn pasti ada disuatu tempat, tapi gelombangnya pasti menyebar Conto 3.7 Typical inti atom memiliki radius m. Gunakan prinsip ketidak pastian untuk mencari batas terenda energy yg arus dimiliki elektron jika dia arus menjadi bagian dari inti atom. Soal menanyakan tentang energi elektron yg diletakan pada daera ber-radius m. Maka langka awal kita adala E t Bukan! Kita anya punya informasi tentang elektron. Yaitu = m. Sg kita arus menggunakan p. p. Jika kita setuju bawa p = p,min Maka momentum elektron minimum adala p = Secara klasik, EK = p / m, seingga., Seingga minimum energi (kinetik) elektron adala EK = ( ). 8 m -34 ( ) ( 8 )( )( ) EK =. -11 EK = joules. ( ) p EK = = =. m m 8 m ( )

21 EK= joules. Ada komentar? Seberapa besar energi ini untuk elektron? joules 1 ev / ( joules) = ev ev = 95.5 MeV. Energi elektron diam = MeV/c. KE = p / m ( ) E = mc +p c. Untuk energi dan kecepatan yg secara ekstrim besar, pc >> mc seingga 0 E = ( ) E = mc +p c c E = p ( -34 ) ( 8 ) -14 ( 1 10 ) -1 E = joules = 9.89 MeV Untuk energi yang cukup besar, E pc. Eample 3.9 Atom yang tereksitasi memberikan kembali kelebian energinya dengan cara mengemisikan poton. Periode waktu rata-rata antara eksitasi atom dan emisi poton adala 10-8 s. Cari ketidak pastian frekuensi poton. Kita punya waktu, yg dicari f, tapi E dan f memiliki relasi, sg E t 4π E = f E = f f t f 4π 1 4π t f f 1-8 π ( ) Hz Jika kita mengukur intensitas vs. frekuensi caaya yang diemisikan ole atom ini, spektrum akan memiliki sedikitnya intrinsic linewidt seperti dibawa ini. Applikasi: Biasanya diinginkan garis laser yang sangat tajam, yaitu laser anya memiliki satu warna. Lebar spektrum laser ditentukan ole disain laser. Tapi sepandaipandainya kita mendisain tidak akan perna dapat lebi sempit dari yang ditentukan ole prinsip ketidak pastian. intensity frequency