The analysis was focused on heteroscedasticities that based on the magnitude of a regressor that caused non constant residual variances.

Transkripsi

1 Model ARCH dan GARCH On earlier discussion, we have talked about the possibility of having heteroscedasticity in a model. We also have discussed how to overcome this problem to have more efficient parameter estimators. The analysis was focused on heteroscedasticities that based on the magnitude of a regressor that caused non constant residual variances. See the following example: y t = b 0 + b 1 x 1t + b 2 x 2t + e t with var (e t ) = k x 1t 2, heteroscedastis

2 To fix the heteroscedasticity, transform the model as follows: y t /x 1t = b 0 /x 1t + b 1 + b 2 x 2t /x 1t + e * t dengan e* t = e t / x 1t Then, var(e * t ) = k x 1t 2 / x 1t2 = k homoscedastics. Therefore the transformed model when it is estimated using OLS could give efficient parameter estimators. However, heteroscedasticity can be cause not only by independent variables but also by time changed as in time series.

3 Aplikasi yang mempunyai karakteristik seperti ini biasanya pada pemodelan return dari pasar modal, inflasi, dan interest rate. Pada pemodelan ini, ada periode dimana volatilitas sangat tinggi dan ada periode lain yang volatilitasnya sangat rendah. Berarti ada heteroskedastisitas yang disebabkan oleh adanya varians error yang tergantung pada volatilitas error masa lalu. Data yang mempunyai sifat heteroskedastisitas seperti ini dapat dimodel dengan Autoregresive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) yang dikenalkan oleh Robert Engle. Pada intinya, model ARCH dapat dijelaskan sebagai berikut: Misalkan kita mempunyai model: (1) y t = b 0 + b 1 x 1t + b 2 x 2t + e t (2) σ t2 = α 0 + α 1 e 2 t-1 ; σ t2 = var (e t )

4 Perhatikan bahwa var (e t ) dijelaskan oleh dua komponen: - komponen konstanta: α 0 - komponen yang variabel: α 1 e 2 t-1 ARCH yang disebut komponen Pada model ini, e t heteroskedastis, conditional pada e t-1. Dengan menambahkan informasi conditional ini estimator dari b 0, b 1 dan b 2 menjadi lebih efisien. Bagaimana cara mengestimasi b 0, b 1 dan b 2 serta α 0 dan α 1? Teknik yang digunakan biasanya teknik maximum likelihood. Dengan adanya software computer yang makin banyak dan makin canggih, proses estimasi model ini makin mudah dikerjakan.

5 Istilah-istilah: 1.Pada suatu model ARCH yang var(e t ) tergantung hanya pada volatilitas satu periode lalu, seperti pada σ t2 = α 0 + α 1 e 2 t-1, disebut model ARCH (1). 2. Secara umum, bila var(e t ) tergantung pada volatilitas beberapa periode lalu seperti σ t2 = α 0 + α 1 e 2 t-1 + α 2 e2 t α p e2 t-p disebut model ARCH (p) Komentar Pada model ARCH(p) dengan p yang relatif besar akan berakibat pada banyaknya parameter yang harus diestimasi. Makin besar p makin besar parameter yang harus diestimasi yang dapat mengakibatkan presisi dari estimator tersebut berkurang. Hal semacam ini sering dijumpai pada analisis data harian.

6 Untuk mensiasati agar parameter yang diestimasi tidak terlalu banyak, var (e t ) dinyatakan sebagai: σ t2 = α 0 + α 1 e 2 t-1 + λ 1 σ2 t-1 Model yang demikian ini disebut model GARCH (1,1) karena σ 2 t tergantung pada e 2 t-1 dan σ2 t-1 yang masing-masing mempunyai jeda waktu satu. Model GARCH ini juga dapat diestimasi dengan teknik Maximum Likelihood. Secara umum, var(e t ) dapat direpresentasikan dengan bentuk: σ t2 = α 0 + α 1 e 2 t α p e2 t-p + λ 1 σ2 t λ q σ2 t-q dan model ini disebut model GARCH (p,q)

7 Besaran var(e t ) selain diduga tergantung pada e 2 dan σ 2 pada masa lalu, kadangkala besaran varians tersebut diduga tergantung juga pada salah satu regresor seperti: σ t2 = α 0 + α 1 e 2 t-1 + λ 1 σ2 t-1 + γ 1 x 2t Tetapi, dalam implementasinya kita perlu lebih hati-hati terutama bila ada nilai x 2t yang berharga negatif.

8 Dalam memodel data yang ada heteroskedastisitasnya ini, selain merepresentasikan varians residual sebagai fungsi dari volatilitas dan varians residual masa lalu, seringkali persamaan regresinya juga dapat dinyatakan sebagai fungsi dari varians residual sehingga bentuk persamaan regresinya dapat dinyatakan seperti model berikut: Return t = b 1 + b 2 Inflasi t + b 3 σ t2 + e t

9 Model tersebut mencoba menjelaskan return dari suatu saham atau obligasi yang dijelaskan oleh inflasi dan varians bersyaratnya (conditional variance). Sedangkan model yang memunculkan σ t2 pada regresornya disebut model ARCH M (ARCH - in - mean). Var (e t ) = σ t 2 dapat dinyatakan dalam bentuk GARCH (p,q) seperti: σ t2 = a 0 +a 1 e t a p e t-p2 + λ 1 σ 2 t λ q σ2 t-q

10 Kenapa memunculkan σ t2 pada regresor? Pada model tersebut, return dari suatu aset proporsional dengan resikonya yang diproksi dengan varians dari residual.

11 Memodel Suku bunga Jangka Panjang dengan GARCH Besarnya suku bunga obligasi swasta diduga dipengaruhi oleh obligasi pemerintah, Index Produksi (Industri), dan pertumbuhan Index Harga Produsen. Untuk menguji dugaan tersebut, dibangun suatu model regresi yang memperhitungkan adanya volatilitas yang berubah-ubah dan dengan menggunakan data dari tahun 1960 s/d 1996 (data AS) Dari pengamatan data terlihat bahwa suku bunga obligasi swasta cenderung lebih tinggi dari suku bunga obligasi pemerintah (Gambar 10.1, Pindyck)

12 Mula-mula dibuat regresi berganda (tanpa GARCH) yang meregresikan suku bunga obligasi swasta (RAAA) terhadap suku bunga obligasi pemerintah 3 bulanan (R3) saat ini, satu periode lalu, dan dua periode lalu. Selain itu, pada regresor ditambahkan pula Indexs Produksi (IP) saat ini dan periode lalu, serta pertumbuhan Indeks Harga Produsen yang di definisikan sebagai: GPW= (PW-PW -1 )/PW -1. Selain itu, ditambah pula suku bunga obligasi swasta pada satu periode lalu pada regresor. Setelah modelnya diestimasi dengan OLS diperoleh: RAAA t = R3 t R3 t R3 t-2 t: (0.81) (14.70) (-9.26) (1.73) IP t IP t GPW t RAAA t-1 (2.87) (-2.85) (3.09) (116.72) R 2 = ; s = ; DW= 1.49

13 Dari grafik residual regresi (Gambar 10.2) terlihat bahwa pada periode , volatilitas sangat rendah; sedangkan pada periode , volatilitas sangat tinggi. Dengan demikian, volatilitas residualnya tidak konstan sehingga modelnya perlu diperbaiki dengan GARCH (1,1). Untuk mengatasi varians yang heteroskedastis, ditambahkan: σ t2 = a 0 +a 1 e t-12 + b 1 σ 2 t-1 Hasil estimasi dari model GARCH (1,1) sebagai berikut: RAAA t = R3 t R3 t R3 t-2 (0.26) (7.58) (-5.97) (1.06) IP t IP t GPW t RAAA t-1 (1.51) (-1.50) (1.52) (59.29) σ t2 = e t σ 2 t-1 (0.07) (1.22) (2.59) R 2 = ; s = ; DW = 1.49

14 Kalau dibandingkan antara model yang tanpa dan yang dengan GARCH tidak banyak perubahannya pada estimator parameternya. Model dengan GARCH terlihat bahwa hanya 1 parameter saja yang signifikan. Ditambah lagi ada beberapa parameter yang tadinya signifikan menjadi tidak signifikan setelah adanya GARCH. Apakah hasil ini menunjukkan bahwa model GARCH lebih jelek? TIDAK. Hal yang perlu kita sadari adalah bila ada heteroskedastisitas, estimator yang diperoleh melalui OLS tidak efisien, estimator dari standar errornya bias. Dengan demikian perlu disiasati dengan teknik estimasi yang lain. Akan tetapi, model GARCH (1,1) tidak secara signifikan memperbaiki model yang diestimasi dengan OLS.

15 Karena model GARCH yang telah ditawarkan belum dapat memperbaiki model, dicoba dieksplorasi lebih lanjut tentang pola heteroskedastisitas yang mungkin. Sekarang, akan dicoba menambahkan perubahan sukubunga obligasi pemerintah pada persamaan GARCH sebagai berikut: σ t2 = a 0 +a 1 e t-12 + b 1 σ 2 t-1 + c ΔR3 t-1 Model yang baru ini diestimasi lagi dan diperoleh: RAAA t = R3 t R3 t R3 t-2 (0.17) (26.46) (-20.57) (3.96) IP t IP t GPW t RAAA t-1 (7.73) (-7.63) (7.86) (301.87) σ t2 = e t σ t ΔR3 t-1 (6.84) (8.85) (19.98) (3.79) R 2 = ; s= ; DW = 1.49

16 Komentar: Setelah adanya penambahan ΔR3 t-1 pada persamaan σ t 2, uji t membaik yang mengakibatkan bahwa semua slop pada regresor signifikan begitu pula koefisien ARCH dan GARCH. Hal ini mengindikasikan bahwa standar error dari estimator parameter mengecil sehingga estimator menjadi lebih efisien. Ada sedikit perubahan pada besaran parameter yang diestimasi. Secara ekonometri, model yang terakhir ini yang lebih layak dan analisis substansi hendaknya mengacu pada model ini.

17 Return dari Saham: Pendekatan GARCH Akan dilihat pergerakan return dari indeks saham S&P 500. Return dari indeks diduga dipengaruhi oleh interest rate(-) dan pertumbuhan inflasi(-). Berdasarkan teori, bila interest rate meningkat, return menurun, demikian juga bila inflasi meningkat, return juga makin kecil. Variabel yang digunakan ReturnSP t : return dari indeks saham S&P 500 ΔR3 t : R3 t R3 t-1 ; R3 t : suku bunga obligasi 3 bulanan GPW t : inflation rate

18 Dengan menggunakan data bulanan dari tahun 1960 s/d 1995 dan menggunakan OLS diperoleh persamaan regresi berganda sebagai berikut: (tanpa memperhatikan heteroskedastisitas) ReturnSP t = ΔR3 t GPW t t: (6.83) (-2.70) (-3.64) R 2 = ; s=0.0329; DW=1.52

19 Pengamatan: 1. Semua slop signifikan dan tandanya sesuai dengan yang diharapkan. 2. R 2 sangat kecil. Artinya, return dari S&P 500 tidak dapat dijelaskan oleh inflasi maupun suku bunga. Bahkan variabel-variabel lain juga mungkin tidak bisa menjelaskan return tersebut.

20 Plot dari residual regresi tersebut disajikan pada Gambar 10.3 (Pindyck). Gambar ini mengindikasikan adanya pengelompokan volatilitas. Oleh karenanya, model tersebut perlu diperbaiki dengan mempertimbangkan volatilitas yang berubah-ubah ini.

21 Plot dari residual regresi tersebut disajikan pada Gambar 10.3 (Pindyck). Gambar ini mengindikasikan adanya pengelompokan volatilitas. Oleh karenanya, model tersebut perlu diperbaiki dengan mempertimbangkan volatilitas yang berubah-ubah ini. Selanjutnya, model di spesifikasi dengan GARCH (1,1) dan varians errornya dinyatakan dalam bentuk: σ t2 = a 0 +a 1 e t-12 + b 1 σ 2 t-1 Setelah diestimasi, persamaan dari model GARCH(1,1) tersebut adalah: ReturnSP t = ΔR3 t GPW t (8.15) (-3.62) (-4.37) σ t 2 = e 2 t σ2 t-1 (2.37) (4.02) (6.44) R 2 = ; s= ; DW= 1.52

22 Pengamatan: 1. Koefisien ARCH dan GARCH signifikan secara statistik. 2. Parameter yang diestimasi dengan OLS dan yang menggunakan GARCH besarannya agak berbeda tetapi tandanya sesuai dengan yang diharapkan dan semuanya signifikan secara statistik. 3. Model mana yang lebih baik?

23 Pengamatan: 1. Koefisien ARCH dan GARCH signifikan secara statistik. 2. Parameter yang diestimasi dengan OLS dan yang menggunakan GARCH besarannya agak berbeda tetapi tandanya sesuai dengan yang diharapkan dan semuanya signifikan secara statistik. 3. Model mana yang lebih baik? Resiko diduga dapat mempengaruhi return dari S&P 500; oleh karenanya akan dicoba memasukkan resiko pada regresor. Dengan demikian, kita akan mengestimasi model GARCH-M (GARCH-in-mean). Hasil estimasinya: ReturnSP t = ΔR3 t GPW t σ t (-0.23) (-3.23) (-4.97) (1.90) σ t2 = e 2 t σ2 t-1 (2.28) (4.32) (8.07) R 2 = ; s= ; DW= 1.49

24 Pada model GARCH-M ini koefisen σ t tidak signifikan meskipun tandanya sesuai dengan harapan. Untuk itu perlu dicari representasi σ t2 yang lain yang dapat memperbaiki kinerja model. Setelah melalui proses trial and error, dicoba ditawarkan model GARCH (4,2). ReturnSP t = ΔR3 t GPW t σ t (0.21) (-4.52) (-4.85) (3.16) σ t2 = e t e t e 2 t-3 (2.0) (4.57) (0.16) (-0.48) e 2 t σ t σ 2 t-2 (1.97) (-2.37) (7.48) R 2 = ; s= ; DW= 1.51

25 Komentar: 1. Slop σ t sekarang signifikan secara statistik. 2. R 2 masih kecil. Artinya model GARCH (4,2) masih belum dapat menjelaskan return dari S&P Meskipun model GARCH (4,2) ini tidak bermanfaat untuk memprediksi pergerakan return S&P500, model ini dapat membuktikan teori yang mengatakan bahwa: (i). makin tinggi return, makin tinggi resiko (+) (ii). inflasi juga mempengaruhi return (-) (iii). perubahan sukubunga obligasi pemerintah juga mempengaruhi return(-).

26 The end of the lesson Created by Nachrowi D Nachrowi