Dalam kasus-kasus terjadinya heteroskedastisitas, var(e i. ) = σ i2

Transkripsi

1 Heteroscedasticity Before discussing ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity) and GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity) models, we need to review the concept of heteroscedasticity. Recall that one of the requirements of Gauss Markov Theorem is that the variance of the residual is constant. But, for some cases this requirement is difficult to be satisfied. See the following example.

2 Review Coverage How do we know that we have heteroscedasticity in our model? What is the impact of existing heteroscedasticity in our model to the parameter estimators How to fix it? Illustration

3 y = a + bx + e (i). Bila y merupakan sales dari suatu industri; sudah barang tentu varians dari sales untuk industri besar akan beda dengan varians dari sales untuk industri kecil. (ii).bila y merupakan pengeluaran dari suatu keluarga, maka volatilitas pengeluaran untuk keluarga dengan pendapatan tinggi akan lebih besar dari volatilitas pengeluaran untuk keluarga dengan pendapatan rendah.

4 Pada umumnya, data cross-section sering memunculkan varians error yang heteroskedastis. Meskipun demikian, data time series juga dapat mengakibatkan adanya heteroskedastisitas. Dalam kasus-kasus terjadinya heteroskedastisitas, var(e i ) = σ i2 ; varians error tidak konstan melainkan berubah-ubah tergantung individu yang diamati.

5 Dampak adanya heteroskedastisitas pada estimator OLS 1. Estimator masih tidak bias 2. Estimator masih konsisten 3. Estimator tidak efisien yaitu varians dari estimator tidak minimum yang berakibat kurang tepatnya uji t dan lain-lain ukuran. Bagaimana mengatasi adanya heteroskedastisitas. (a). Bila σ i dapat diketahui (dari pengalaman masa lalu) y i = a + bx i + e i

6 masing-masing data pengamatan dikalikan dengan 1/σ i y i /σ i = a/σ i + b x i /σ i + e i /σ i y i* = a * + b x* i + e* i var (e* i ) = σ i2 / σ i2 = 1 homoskedastis Cara ini menjamin hilangnya heteroskedastisitas; akan tetapi, prosedur ini susah diimplementasikan karena tidak mudah mencari varians dari tiap-tiap pengamatan.

7 (b).bila varians error berubah sejalan dengan perubahan X i misalnya Var (e i ) = k X i2 ; k 0 Kalau sifat ini terpenuhi, masing-masing pengamatan dikalikan dengan 1/X i sebagai berikut: y i / X i = a/x i + b + e i /X i e i * = e i /X i Var (e i *) = 1/X i2 Var(e i ) = k konstan Transformasi ini dapat menghilangkan heteroskedastisitas.

8 Example: Housing Expenses We will investigate relationships between yearly income and yearly payment for housing. There are four groups of income observed: Gropus $000 Income $000 Housing Expenses Model offered: y = a + bx + e

9 y: pengeluaran untuk rumah; X: pendapatan. Dugaan: Var (e) tidak konstan karena volatilitas pengeluaran untuk rumah lebih besar untuk kelompok pendapatan lebih tinggi. Bila model tersebut diestimasi dengan OLS, hasilnya sebagai berikut: y i = X i ; R 2 = 0.93; F = t: (4.4) (15.9) Karena diduga ada heteroskedastisitas, estimator tersebut di atas diduga tidak efisien atau varians dari estimator tidak efisien.

10 Akan dicoba dihilangkan heteroskedastisitasnya dengan cara: y i / X i = b + a/x i + e i * ; e i * = e i /X i Setelah transformasi ini, Var(e i *) menjadi konstan dan model tersebut di atas diestimasi dengan OLS dengan hasil estimasi sebagai berikut: y i /X i = /X i ; R 2 = 0.76 ; F=58.7 t: (21.3) (7.7) atau: y i = X i

11 Komentar: 1. Besaran estimator pada model hetero dan model homo berbeda. R 2 juga beda. 2. Model yang mana yang lebih layak digunakan? Apakah kita dapat mengatakan bahwa model hetero lebih baik karena R 2 lebih besar. 3. R 2 model hetero mencerminkan hubungan antara y dan X sedangkan R 2 model homo mencerminkan hubungan antara y/x dan 1/x. 4. Analisis/Interpretasi model selayaknya mengacu kepada model yang sudah tidak ada heteroskedastisitasnya.

12 Beberapa Tes Heteroskedastisitas 1. Tes Goldfeld-Quandt H 0 : σ 12 = σ 22 =... =σ N 2 H 1 : σ 12 = c X i 2 Tahapan: (1). Urutkan variabel yang dicurigai berhubungan dengan Var (e i ) dari kecil ke besar (2). Buang tengahnya sebanyak d pengamatan. d sekitar N/5. (3). Lakukan regresi dengan data yang kecil; (N-d)/2 pertama. Hitung Residual Sum Square, ESS 1. (4). Lakukan regresi dengan data yang besar; (N-d)/2 kedua. Hitung Residual Sum Square, ESS 2 (5). ESS 2 / ESS 1 F (N-d-4)/2 (6). H 0 ditolak bila ESS 2 / ESS 1 terhitung > nilai dari Tabel F

13 Contoh: Pengeluaran untuk rumah dan Pendapatan. Data dibagi menjadi dua berdasarkan pendapatannya. Data I terdiri dari keluarga dengan pendapatan $5000 dan $10000 sedangkan data II terdiri dari keluarga dengan pendapatan $15000 dan $ Hasil dua regresi dengan menggunakan masingmasing data tersebut disajikan sebagai berikut:

14 (1). Pendapatan Rendah y = X; R 2 = 0.94; ESS 1 = t: (3.1) (11.3) (2). Pendapatan Tinggi Y = X; R 2 = 0.55; ESS 2 = t : (1.4) (3.1) ESS 2 / ESS 1 = 6.7 Dari Tabel F dengan degrees of freedom 8 dan α = 5% diperoleh angka 3.44 dengan demikian, H 0 ditolak yang berarti ada heteroskedastisitas pada data tersebut

15 2. Tes Breusch-Pagan Y i = a + b X i + e i σ i2 = f(γ + δ Z i ) Diasumsikan ada relasi antara Var (e i ) = σ i2 dengan variabel bebas Z i. Z i dapat berupa variabel bebas X i atau variabel bebas lainnya. Untuk mengetes adanya heteroskedastisitas, (i). hitung residual e i dari regresi tersebut di atas (ii). estimate, varians, σ 2 = e i2 /N (iii). regresikan: e i2 / σ 2 = γ + δz i + ν i ; hitung RSS (iv). Bila RSS/2 terhitung > nilai Tabel X 12 tolak hipotesis homoskedastis. Berarti ada heteroskedastisitas.

16 Fakta: 1.Bila e normal dan tidak ada heteroskedastisitas, maka Regression Sum Square (dibagai dua), RSS/2 X Scara umum, bila ada p variabel bebas Z i, RSS/2 X 2 p Ilustrasi Lihat kembali contoh Kasus Perumahan dan Pendapatan Misalkan: σ i2 = γ + δx i (i). Lakukan regresi Y i = a + bx i + e i, hitung e i (ii). Hitung σ 2 = e i2 /N = (iii). Regresikan: e i2 / σ 2 = X i, RSS = (iv). RSS/2 = Tabel X 12 = 3.84 ( α = 5%) Berarti RSS/2 terhitung > nilai Tabel X 1 2 Artinya: hipotesis bahwa varians homoskedastis ditolak dan ada heteroskedastisitas pada data.

17 3.Tes White Hampir sama dengan Tes Breusch-Pagan Y i = a + b X i + e i σ i2 = f(γ + δ Z i ) (i). Hitung residual e i dari regresi tersebut di atas (ii). Regresikan e i2 = γ + δ Z i + ν i, hitung R 2 (iii). N R 2 terhitung > nilai Tabel X 12, Tolak hipotesis varians homoskedastis.

18 Ilustrasi Kembali ke contoh Pendapatan vs Perumahan. Asumsi σ i2 = γ + δ X i (i). Hitung residual, e i dari Y i = a + bx i + e i (ii). Regresikan e i2 = γ + δ X i + ν i ; R 2 = 0.36 (iii). N R 2 = 7.2 karena N = 20 Dari Tabel X 12 diperoleh angka 3.84 (α = 5%) Akibatnya, hipotesis homoskedastis ditolak, berarti ada heteroskedastisitas pada data.

19 Komentar Bila Z i = melibatkan X i dan X i 2, akan diperoleh: e i2 = X i X i 2 dan R 2 = Akibatnya, N R 2 = 20 (0.4130) = (ingat: N R 2 X 22 ) Padahal dari Tabel X 22 diperoleh angka 5.99 (α = 5%) Artinya, hipotesis homoskedastisitas ditolak juga

20 nd of esson