Bab III Program dan Verifikasi

Transkripsi

1 Bab III Program dan Verifikasi Bagian pertama bab ini akan menguraikan input pemodelan yang digunakan dalam program yang dibuat beserta diagram alir untuk tiap-tiap langkah dalam analisis modal. Bagian kedua akan memberikan beberapa contoh verifikasi program untuk struktur balok Euler-Bernoully dengan berbagai kondisi perletakan dimana solusi empiriknya tersedia. Penulis menyadari masih banyaknya kekurangan dan mungkin ketidakstabilan dalam pemrograman yang dilakukan. Untuk itu adanya bugs atau errors yang mungkin timbul sehingga menyebabkan eksekusi program dapat terhenti akan dievaluasi per kasus bila ditemukan. III.1 Input Model dan Bagan Alir Pemrograman Input text untuk pemodelan dilakukan sesuai urutan berikut dimana diasumsikan, massa dan kekakuan terdistribusi seragam, penampang balok yang digunakan merupakan penampang persegi dengan material yang elastik-isotropik. M NJ NR NM NRJ NM(i) E(i) ρ(i) ν(i) G(i) NJ(i) X(i) Z(i) M(i) JI(i) JJ(i) B(i) H(i) kv(i) MAT(i) MASSX(i) STIFFX(i) TYPE(i) NJ(i) JR1(i) JR2(i) JR3(i) dimana: M / M(i) = jumlah member pada struktur / member ke-i pada stuktur NJ / NJ(i) = jumlah joint pada struktur / joint ke-i pada struktur NR = jumlah restraint pada struktur NM / NM(i) = jumlah material yang digunakan / material ke-i yang digunakan NRJ = jumlah titik yang memiliki restraint E(i) = modulus elastisitas untuk member ke-i ρ(i) = berat jenis untuk member ke-i ν(i) = poisson rasio untuk member ke-i 31

2 G(i) = modulus geser untuk member ke-i X(i) = posisi absis-x untuk joint ke-i Z(i) = posisi ordinat-z untuk joint ke-i JI(i) = label joint untuk ujung-i untuk member ke-i JJ(i) = label joint untuk ujung-j untuk member ke-i B(i) = lebar penampang member ke-i H(i) = tinggi penampang member ke-i kv(i) = shear area modifier untuk member ke-i MASSX(i) = mass modifier untuk member ke-i STIFFX(i) = moment of inertia modifier untuk member ke-i TYPE(i) = tipe member yang digunakan (a = beam dan b = column) JR1(i) = restraint UX untuk member ke-i (1 = restraint 0 = release) JR2(i) = restraint UZ untuk member ke-i (1 = restraint 0 = release) JR3(i) = restraint RY untuk member ke-i (1 = restraint 0 = release) Data v(i), G(i) dank v(i) walaupun tidak berguna untuk studi ini namun diberikan disini untuk dapat digunakan bila seandainya program akan dikembangkan lebih lanjut. Gambar III.1. Bagan Alir Utama Program Metoda Kekakuan Dinamik 32

3 Bagan alir program utama yang dibuat untuk metoda kekakuan dinamik dapat dilihat pada gambar III.1. Untuk bagan alir pelengkap dan source code dapat dilihat pada lampiran C. III.2 Verifikasi Program Verifikasi program akan dilakukan untuk mendapatkan frekuensi dari balok lentur Euler-Bernoully untuk kasus uncouple lateral-axial vibration dengan memperhitungkan beberapa kondisi batas. Persamaan karakteristik untuk frekuensi naturalnya untuk balok jenis ini sudah diberikan oleh Paz (4). Data-data yang digunakan adalah sebagai berikut: E = MPa; ρ = 2400 kg/m 3 = = N/mm 3 ; = 6000 mm; b = 300 mm; h = 600 mm; g = 9810 mm/det 2 dan m = ρ.a g = N.det 2 /mm 2. a. Balok jepit-jepit E, ρ, A, I Gambar-III.2. Balok Sederhana Jepit-Jepit yang Seragam Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok Euler- Bernoully dengan perletakan jepit-jepit adalah sebagai berikut: Gerak aksial nπ EA m... (III.1a) 33

4 Gerak lentur ( a ).cosh( a) 0 1 cos =... (III.1b) Penyelesaian persamaan (III.1a) dan (III.1b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.1a dan tabel III.1b berikut ini: Tabel III.1a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Jepit-Jepit) N ω(rad/sec) λ (rad 2 /s 2 ) T(sec) Tabel III.1b. Frekuensi Natural Gerak entur Balok Euler-Bernoully (Jepit-Jepit) N a det[a] (a) 2 ω(rad/s) λ(rad 2 /s 2 ) T(s) Dari tabel III.1a dan III.1b di atas dapat dilihat bahwa nilai frekuensi natural paling besar adalah rad/det dari kesepuluh mode yang ditinjau sehingga akan digunakan ω* = 8200 rad/det sebagai fixed chosen frequency untuk program. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut, MODE w2 w T E E E E E E E E E-03 34

5 E E-04 Dari hasil eksekusi di atas diperoleh sebelas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 memberikan frekuensi rad/det yang merupakan frekuensi natural ke-6 untuk gerak lentur jepit-jepit yang tidak diberikan pada tabel III.1b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat. b. Balok jepit-sendi E, ρ, A, I Gambar-III.3. Balok Sederhana Jepit-Sendi yang Seragam Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok Euler- Bernoully dengan perletakan jepit-sendi adalah sebagai berikut: Gerak aksial nπ EA m... (III.2a) Gerak lentur ( a ).cosh( a) cos( a).sinh( a) 0 sin =... (III.2b) Penyelesaian persamaan (III.2a) dan (III.2b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.2a dan tabel III.2b berikut ini: 35

6 Tabel III.2a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Jepit-Sendi) n Ω(rad/sec) λ (rad 2 /s 2 ) T(sec) Tabel III.2b. Frekuensi Natural Gerak entur Balok Euler-Bernoully (Jepit-Sendi) N a Det[a] (a) 2 ω(rad/s) λ(rad 2 /s 2 ) T(s) Dari tabel III.2a dan III.2b di atas dapat dilihat bahwa nilai frekuensi natural paling besar adalah rad/det dari kesepuluh mode yang ditinjau sehingga akan digunakan ω* = 8200 rad/det sebagai fixed chosen frequency untuk program. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut, MODE w2 w T E E E E E E E E E E E E-04 Dari hasil eksekusi di atas diperoleh duabelas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 dan mode ke-11 memberikan frekuensi berturut-turut rad/det dan rad/det yang merupakan frekuensi 36

7 natural ke-6 dan ke-7 untuk gerak lentur jepit-sendi yang tidak diberikan pada tabel III.2b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat c. Balok jepit-bebas E, ρ, A, I Gambar-III.4. Balok Sederhana Jepit-Bebas yang Seragam Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok Euler- Bernoully dengan perletakan jepit-bebas adalah sebagai berikut: Gerak aksial ( 2n 1) π Gerak lentur EA m... (III.3a) ( a ).cosh( ) cos a =... (III.3b) Penyelesaian persamaan (III.3a) dan (III.3b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.3a dan III.3b berikut ini: Tabel III.3a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Jepit-Bebas) N ω(rad/sec) λ (rad 2 /s 2 ) T(sec)

8 Tabel III.3b. Frekuensi Natural Gerak entur Balok Euler-Bernoully (Jepit-Bebas) N a det[a] (a) 2 ω(rad/s) λ(rad 2 /s 2 ) T(s) Dari tabel III.3a dan III.3b di atas dapat dilihat bahwa nilai frekuensi natural paling besar adalah rad/det dari kesepuluh mode yang ditinjau sehingga akan digunakan ω* = 7400 rad/det sebagai fixed chosen frequency untuk program. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut, MODE w2 w T E E E E E E E E E E E-04 Dari hasil eksekusi di atas diperoleh duabelas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 dan mode ke-11 memberikan frekuensi berturut-turut rad/det dan rad/det yang merupakan frekuensi natural ke-6 dan ke-7 untuk gerak lentur balok jepit-bebas yang tidak diberikan pada tabel III.3b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat. 38

9 d. Balok sendi-sendi E, ρ, A, I Gambar-III.5. Balok Sederhana Sendi-Sendi yang Seragam Persamaan karakteristik untuk frekuensi natural gerak aksial dan lentur balok Euler- Bernoully dengan perletakan sendi-sendi adalah sebagai berikut: Gerak aksial nπ EA m... (III.4a) Gerak lentur sin ( a ) = 0... (III.4b) Penyelesaian persamaan (III.4a) dan (III.4b) di atas untuk lima buah mode pertama secara berurutan dari gerak aksial dan lentur diberikan pada tabel III.4a dan tabel III.4b berikut ini: Tabel III.4a. Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler-Bernoully (Sendi-Sendi) N Ω(rad/sec) λ (rad 2 /s 2 ) T(sec)

10 Tabel III.4b. Frekuensi Natural Gerak entur Balok Euler-Bernoully (Sendi-Sendi) n a det[a] (a) 2 ω(rad/s) λ(rad 2 /s 2 ) T(s) Dari tabel III.4a dan III.4b di atas dapat dilihat bahwa nilai frekuensi natural paling besar adalah rad/det dari kesepuluh mode yang ditinjau sehingga akan digunakan ω* = 8200 rad/det sebagai fixed chosen frequency untuk program. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut, MODE w2 w T E E E E E E E E E E E E-04 Dari hasil eksekusi di atas diperoleh dua belas mode di bawah fixed chosen frequency dimana mode ke-9 dan mode ke-11 memberikan frekuensi berturut-turut rad/det dan rad/det yang merupakan frekuensi natural ke-6 dan ke-7 untuk gerak lentur balok sendi-sendi yang tidak diberikan pada tabel III.4b. Hasil perhitungan dengan program memberikan hasil yang akurat. 40

11 e. Balok sendi-bebas E, ρ, A, I Gambar-III.6. Balok Sederhana Sendi-Bebas yang Seragam Persamaan karakteristik untuk balok lentur sendi-bebas adalah sama dengan balok jepit sendi. Sehingga penyelesaian persamaan karakteristik untuk kondisi sendi bebas dapat dilihat pada tabel III.2a dan III.2b. Hasil eksekusi program untuk fixed chosen frequency yang sama adalah sebagai berikut, MODE w2 w T E E E E E E E E E E E E E E-04 Dengan membandingkan tabel III.2a dan III.2b dengan hasil eksekusi, mode pertama pada balok jatuh pada mode kedua dari hasil eksekusi dan seterusnya sedangkan mode pertama memberikan nilai frekuensi sama dengan nol yang menunjukkan ragam dengan rigid body motion. Hal ini menunjukkan kondisi perletakan yang tidak stabil. 41

12 III.3 Solusi Terhadap Masalah Dengan Mode Finding Pada bab II sudah dikemukakan masalah yang dapat timbul pada penentuan eigenvector pada metoda kekakuan dinamik yang berhubungan dengan { X } = 0 (mixed modes maupun local modes) dimana koefisien dari matrik kekakuan dinamik akan sangat besar secara numerik sehingga menyebabkan ill-conditioning pada penentuan eigenvector. Untuk itu baik pada metoda RFV dan metoda Yuan et al dilakukan frequency shifting terhadap nilai frekuensi natural untuk menentukan eigenvector pada nodal-nodal struktur dengan mengorbankan keakurasian dari nilai frekuensi natural namun shifting yang dilakukan tidak boleh terlalu jauh dari frekuensi natural yang seharusnya diperoleh. Analogi ini digunakan juga untuk penentuan eigenvector pada metoda elemen hingga karena akan memberikan konvergensi yang lebih cepat dalam mode finding bila shift dipilih sedekat mungkin dengan eigenvalue yang ingin ditentukan. Yuan et al menggunakan shifting untuk menghindari koefisien matrik yang secara teoretis tak berhingga pada mixed dan local modes dengan memperbesar toleransi kekonvergenan pada saat menentukan eigenvalue menggunakan WWA. Jadi pada saat eksekusi, kondisi menunjukkan N = 1 namun N 0 dan toleransi yang diberikan terpenuhi maka WWA diberhentikan tanpa keakurasian lebih lanjut. v r r 0 > θ u E, ρ, A, I / 2 / 2 Gambar III.7a. Submembering Balok Jepit-Jepit dengan okasi Node di Tengah Bentang 42

13 Illustrasi contoh adalah balok Euler-Bernoully dengan kondisi jepit-jepit yang diberikan sebagai verifikasi program pada subbab III.2 dimana model struktur dilakukan seperti yang ditunjukkan oleh gambar III.7a. Nodal 2 diinputkan pada tengah-tengah bentang sehingga membagi balok menjadi dua member. Perhitungan frekuensi natural memberikan mode ke-6 dan ke-10 dari struktur berimpit dengan frekuensi natural gerak aksial dari kedua elemen dengan kondisi jepit-jepit sehingga secara teoretis [ ( ω) ] = K karena tidak adanya deformasi aksial dari kedua member s pada titik 2 akibatnya kondisi N = 1 dan N 0 akan terjadi. Dengan demikian r strategi yang dilakukan adalah menghentikan perhitungan frekuensi sampai pada batas toleransi yang sesuai. Kalau dilihat dari hasil eksekusi untuk mode ke-6 dan 10 dengan frekuensi natural pada tabel 1a untuk n = 2 dan 4 terlihat terjadi pergeseran frekuensi dari menjadi untuk mode ke-6 dan menjadi untuk mode ke-10. Hal ini menunjukkan keakurasian yang hilang namun tidak signifikan secara digit, akan tetapi frequency shifting ini dapat menghindari [ ( ω) ] = secara tepat. s r 0 > K dan akan memberikan eigenvector yang bersangkutan Strategi lain adalah dengan memindahkan lokasi titik 2 sesuai persamaan (III.25b) seperti dapat dilihat pada gambar III.7b. v θ u () 1... Eq(25. b) E, ρ, A, I ( 2)... Eq(25. b) Gambar III.7b. Submembering Balok Jepit-Jepit dengan okasi Node Sesuai Persamaan (III.25b) 43

14 Persamaan (III.25b) ini dapat digunakan untuk menghindari local modes dan keakurasian dari perhitungan eigenvalue dapat diperoleh karena tidak perlu dilakukan shifting seperti ditunjukkan oleh hasil eksekusi program sebagai berikut: MODE w2 w T E E E E E E E E E E E-04 ( 1 Hasil eksekusi dengan menggunakan ) ( 2 = 1200 mm dan ) = 4800 mm di bawah memberikan akurasi frekuensi yang baik akan tetapi frekuensi natural mode ke-11 struktur akan berimpit dengan frekuensi natural dari member 1 dengan n = 5 yang mana persamaan (III.25a) seharusnya digunakan. 44