STUDI PERBANDINGAN RESPON MODAL ANTARA METODA ELEMEN HINGGA DAN KEKAKUAN DINAMIK PADA STRUKTUR PORTAL BIDANG TESIS

Transkripsi

1 STUDI PERBANDINGAN RESPON MODAL ANTARA METODA ELEMEN HINGGA DAN KEKAKUAN DINAMIK PADA STRUKTUR PORTAL BIDANG TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung Oleh DONALD ESSEN NIM : Program Studi Rekayasa Struktur INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007

2 ABSTRAK STUDI PERBANDINGAN RESPON MODAL ANTARA METODA ELEMEN HINGGA DAN KEKAKUAN DINAMIK PADA STRUKTUR PORTAL BIDANG Oleh : Donald Essen NIM : Pembimbing : Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME Analisis modal merupakan tahapan paling kritis dalam analisis dinamik. Kebanyakan analisis struktur saat ini dikerjakan menggunakan program-program berbasis metoda elemen hingga yang merupakan metoda diskrit. Akibatnya, massa hanya dapat direpresentasikan dalam nodal struktur dan agar dapat memodelkan distribusi massa yang kontinyu pada struktur, member struktur harus dibagi-bagi menjadi elemen-elemen yang lebih kecil dengan jumlah yang secara teoretis adalah tak berhingga. Respon modal struktur balok dan portal bidang telah dianalisis untuk mempelajari sensitivitasnya terhadap diskretisasi model elemen hingga dan dibandingkan dengan hasil dari metoda kekakuan dinamik. Diamati bahwa, pada struktur balok penggunaan 3xN elemen sebagai jumlah minimum elemen untuk mendapatkan respon modal yang akurat dimana N adalah ragam yang ditinjau, hanya tepat untuk frekuensi natural namun tidak akurat untuk faktor partisipasi modal ataupun perpindahan modal. Dengan demikian untuk struktur balok disarankan untuk membagi balok menjadi elemen-elemen yang lebih kecil sehingga respon modal dapat dihitung secara akurat. Untuk struktur portal bidang diperoleh bahwa jumlah elemen berkurang dengan meningkatnya rasio massa dari balok terhadap kolom dan mengacu kepada struktur portal bidang simetrisberaturan yang tereksitasi oleh beban gempa horisontal, tidak ada mesh yang diperlukan walaupun keakuratan respon modal dapat berkurang dengan makin bertambahnya jumlah ragam yang ditinjau. Untuk portal yang tidak-simetris beraturan dengan dan tanpa dinding geser, hasil analisis menunjukkan bahwa untuk ragam fundamental dan beberapa ragam yang rendah, respon modal yang dihitung sudah akurat tanpa adanya mesh namun tidak pada ragam-ragam tinggi yang berhubungan dengan goyangan samping portal. Kekompleksan bentuk vibrasi dan masalah mesh dalam analisis vibrasi struktur yang tidak simetrisberaturan dengan metoda elemen hingga menunjukkan pentingnya struktur gedung untuk sedapat mungkin memiliki konfigurasi yang simetris-beraturan. Kata-kata kunci: Metoda Elemen Hingga, Metoda Kekakuan Dinamik, Respon Modal, Diskretisasi i

3 ABSTRACT COMPARATIVE STUDY OF MODAL RESPONSE BETWEEN FINITE ELEMENT AND DYNAMIC STIFFNESS METHODS OF PLANE FRAME STRUCTURES By : Donald Essen NIM : Supervisor : Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME Modal analysis is the most critical phase in dynamic analyis. Many structural analysis nowadays are employed using programs that based on finite element method which is discrete method. Because of that, mass can only be represented in structural nodes and in order to get a continuos mass distribution on structure, structural members must be divided into a theoretically infinite number of smaller elements. Modal response of beam and plane frame structures has been analyzed to study its sensitivity to the finite element discretizations and has been compared to the results from dynamic stiffness method. It is observed that in beam structures, the use of 3xN elements as minimum number of element to get an accurate modal response where N is the mode being considered is only correct for natural frequency but not for modal participation factor or modal displacement. Thus for beam structure, it is suggested to divide the beam into many smaller elements as possible so the modal response can be calculated accurately. For plane frame structures, it is obtained that the number of element mesh is decreasing with the increase of beam to column mass ratio and with respect to symmetric-regular plane frame structures excited by horizontal earthquake load, no mesh is needed even though the accuracy of modal response might be decreasing with the increase of number of modes being considered. For unsymmetric-irregular frames with and without shearwalls, analysis result shows that for fundamental mode and few lower modes, modal responses being calculated are accurate enough without mesh but not for higher sidesway modes. The complexity of vibration modes and mesh problem in vibration analysis of unsymmetirc-irregular structure using finite element method shows the importance of building structures to posses as possible, a symmetric and regular configuration. Keywords: Finite Element Method, Dynamic Stiffness Method, Modal Response, Discretization ii

4 STUDI PERBANDINGAN RESPON MODAL ANTARA METODA ELEMEN HINGGA DAN KEKAKUAN DINAMIK PADA STRUKTUR PORTAL BIDANG Oleh Donald Essen NIM : Program Studi Rekayasa Struktur Institut Teknologi Bandung Menyetujui, Pembimbing Tanggal... (Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME) iii

5 PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HAKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung. iv

6 KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan kasih dan kuasa-nya sehingga tesis ini dapat diselesaikan. Penyelesaian tesis ini tidak terlepas dari bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu melalui kesempatan yang baik ini, penulis ingin mengucapkan banyak terima kasih kepada : 1. Prof. Dr. Ir. Bambang Budiono, ME, selaku dosen pembimbing. 2. Dr. Ir. Herlien D. Setio, selaku dosen penguji dan Ketua Program Studi Teknik Sipil Institut Teknologi Bandung. 3. Ir. Made Suarjana, PhD, juga selaku dosen penguji. 4. Staf dosen dan karyawan Program Studi Rekayasa Struktur Institut Teknologi Bandung. 5. Papa, mama, kekasih dan saudara-saudara tercinta yang dengan tulus telah memberikan dukungan dan doa. 6. Ir. Daud Tegasan sebagai komisaris PT. Wiratman & Associates yang membantu sebagian biaya studi. 7. Teman-teman angkatan 2005 S2 Magister Teknik Sipil dengan pengutamaan rekayasa struktur di Institut Teknologi Bandung. 8. Serta pihak-pihak lain yang juga telah membantu dalam penyelesaian tesis ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu Akhir kata penulis tetap terbuka menerima saran dan kritik untuk perbaikan di masa mendatang. Semoga tesis ini dapat bermanfaat sebagaimana mestinya. Bandung, Juni 2007 Penulis v

7 DAFTAR ISI ABSTRAK... i ABSTRACT... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS... iv KATA PENGANTAR... v DAFTAR ISI... vi DAFTAR LAMPIRAN... viii DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR TABEL... xi DAFTAR NOTASI... xiv Bab I Pendahuluan... 1 I.1 Latar Belakang... 1 I.2 Tujuan... 3 I.3 Ruang Lingkup Pembahasan dan Batasan Masalah... 4 I.4 Metodologi Penelitian... 5 I.5 Sistematika Penulisan... 6 Bab II Dasar Teori dan Studi Literatur... 8 II.1 Prinsip Pemodelan Struktur Gedung... 8 II.2 Fundamental dari Metoda Elemen Hingga dan Kekakuan Dinamik... 9 II.3 Perumusan Matrik Kekakuan Dinamik II.3.1 Gerak Lentur Balok Euler Bernoully II.3.2 Gerak Longitudinal Balok Euler Bernoully II.4 Matrik Kekakuan Dinamik Struktur II.5 Persamaan Gerak Bebas Sistem II.6 Prosedur Numerik Untuk Mendapatkan Modal Data II.6.1 Wittrick-Williams algorithm II.6.2 Perhitungan Eigenvector dan Mode Shape II.6.3 Perhitungan Faktor Partisipasi Modal vi

8 II.7 Fungsi Bentuk dan Matrik Massa Pada Metoda Elemen Hingga II.7.1 Fungsi Bentuk Statik Gerak Lentur Balok Euler- Bernoully II.7.2 Lumped Mass II.7.3 Consistent Mass Bab III Program dan Verifikasi III.1 Input Model dan Bagan Alir Pemrograman III.2 Verifikasi Program III.3 Solusi Terhadap Masalah Dengan Mode Finding Bab IV Studi Kasus dan Analisis IV.1 Respon Modal dan Kriteria Penerimaan IV.1.1 Vibrasi Balok IV.1.2 Vibrasi Portal Bidang IV.2 Keandalan Maupun Kelemahan Dari Metoda Elemen Hingga dan Kekakuan Dinamik Bab V Kesimpulan dan Saran V.1 Kesimpulan V.2 Saran DAFTAR PUSTAKA... xvi LAMPIRAN A... A-1 LAMPIRAN B... B-1 LAMPIRAN C... C-1 LAMPIRAN D... D-1 vii

9 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran A Persamaan Gerak Balok dan Perumusan Matrik Kekakuan Dinamik Lampiran B [ K ( ω *)] ω dan ( ω *) Penentuan m, pp pp J pp Lampiran C Lampiran D Bagan Alir dan Source Code Program Tabel Hasil Analisis Studi Kasus viii

10 DAFTAR GAMBAR Gambar I.1 Bagan Alir Metodologi Penelitian... 5 Gambar II.1 Transformasi Derajat Kebebasan Lokal ke Global untuk Portal Bidang Gambar III.1 Bagan Alir Utama Program Metoda Kekakuan Dinamik Gambar III.2 Balok Sederhana Jepit-Jepit yang Seragam Gambar III.3 Balok Sederhana Jepit-Sendi yang Seragam Gambar III.4 Balok Sederhana Jepit-Bebas yang Seragam Gambar III.5 Balok Sederhana Sendi-Sendi yang Seragam Gambar III.6 Balok Sederhana Sendi-Bebas yang Seragam Gambar III.7a Submembering Balok Jepit-Jepit dengan Lokasi Node di Tengah Bentang Gambar III.7b Submembering Balok Jepit-Jepit dengan Lokasi Node Sesuai Persamaan (III.25b) Gambar IV.1a Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Jepit Gambar IV.1b Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Jepit Gambar IV.1c Mode Shape Mode 4 Balok Jepit-Jepit Gambar IV.1d Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Jepit Gambar IV.1e Mode Shape Mode 7 Balok Jepit-Jepit Gambar IV.2a Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Sendi Gambar IV.2b Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Sendi Gambar IV.2c Mode Shape Mode 3 Balok Jepit-Sendi Gambar IV.2d Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Sendi Gambar IV.2e Mode Shape Mode 7 Balok Jepit-Sendi Gambar IV.3a Mode Shape Mode 1 Balok Jepit-Bebas Gambar IV.3b Mode Shape Mode 2 Balok Jepit-Bebas Gambar IV.3c Mode Shape Mode 4 Balok Jepit-Bebas Gambar IV.3d Mode Shape Mode 5 Balok Jepit-Bebas Gambar IV.3e Mode Shape Mode 7 Balok Jepit-Bebas Gambar IV.4a Mode Shape Mode 1 Balok Sendi-Sendi Gambar IV.4b Mode Shape Mode 2 Balok Sendi-Sendi Gambar IV.4c Mode Shape Mode 3 Balok Sendi-Sendi Gambar IV.4d Mode Shape Mode 5 Balok Sendi-Sendi ix

11 Gambar IV.4e Mode Shape Mode 7 Balok Sendi-Sendi Gambar IV.5 Model Portal 1 Lantai 1 Bentang. 65 Gambar IV.6a Antisymmetrical UX-Symmetrical UZ Mode Gambar IV.6b Symmetrical UX-Antisymmetrical UX Mode Gambar IV.7 Model Portal 3 Lantai 3 Bentang Gambar IV.8 Mode ke-5 dari Portal 3 Lantai 3 Bentang Gambar IV.9 Sidesway Modes Portal 3 Lantai 3 Bentang dengan 81 Rigid dan Flexible Girders... Gambar IV.10 Model Portal 10 Lantai 3 Bentang (Portal A Portal Tanpa Dinding Geser dan Portal B Portal Dengan Dinding Geser) Gambar IV.11 Model Portal 10 Lantai Tidak Simetris dengan 87 Vertical Setbacks... Gambar IV.12 Sidesway Modes dari portal 10 lantai tidak beraturan 71 antara model FEM(RF) dan DSM(FF)... Gambar IV.13 Perbandingan Frekuensi Natural dan Kecepatan 93 Komputasi antara Metoda Kekakuan Dinamik dan Metoda Elemen Hingga (Sumber: Referensi 14)... Gambar A1 Elemen Diferensial Balok dengan Vibrasi Lateral A-1 (Deformasi Lentur)... Gambar A2 Balok 3D dan Pasangan Gaya Deformasi... A-4 Gambar A3 Pasangan Gaya dan Deformasi pada Balok 2D dengan Vibrasi Lateral (Deformasi Lentur)... Gambar A4 Elemen Diferensial Balok dengan Vibrasi Longitudinal... Gambar A5 Pasangan Gaya dan Deformasi Titik Kumpul Balok 2D dengan Vibrasi Longitudinal... Gambar A6 Elemen Diferensial Balok dengan Deformasi Torsional... Gambar A7 Pasangan Gaya dan Deformasi pada Balok 2D dengan Vibrasi Torsional... Gambar A8 Elemen Diferensial Balok dengan Vibrasi Lateral (Deformasi Geser)... Gambar A9 Pasangan Gaya dan Deformasi pada Balok 2D dengan Vibrasi Lateral (Deformasi Geser)... A-5 A-7 A-10 A-11 A-13 A-14 A-17 x

12 DAFTAR TABEL Tabel III.1a Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully (Jepit-Jepit) Tabel III.1b Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully (Jepit-Jepit) Tabel III.2a Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully (Jepit-Sendi) Tabel III.2b Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully (Jepit-Sendi) Tabel III.3a Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully (Jepit-Bebas) Tabel III.3b Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully (Jepit-Bebas) Tabel III.4a Frekuensi Natural Gerak Aksial Balok Euler Bernoully 39 (Sendi-Sendi)... Tabel III.4b Frekuensi Natural Gerak Lentur Balok Euler Bernoully 40 (Sendi-Sendi)... Tabel IV.1 Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Jepit (3xN 47 Elemen)... Tabel IV.2 Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Sendi (3xN 51 Elemen)... Tabel IV.3 Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Jepit-Bebas (3xN 55 Elemen)... Tabel IV.4 Modal Data dan Persen Perbedaan Balok Sendi-Sendi 59 (3xN Elemen)... Tabel IV.5 Jumlah Mesh Minimum Model K1 s.d K5 dengan Abs % 67 Difference Kurang Dari 5%... Tabel IV.6 Jumlah Mesh Minimum Model M1 s.d M5 dengan Abs % 69 Difference Kurang Dari 5%... Tabel IV.7 Kategori, MPF(UX) dan % Difference MPF(UX) Model A 74 Tabel IV.8 Perbandingan antara Model Lumped Mass dan Kekakuan 75 Dinamik dengan Jumlah Mesh 30 Elemen untuk Model A Tabel IV.9 Kategori, MPF(UX) dan % Difference MPF(UX) Model B 76 Tabel IV.10 Kategori, MPF(UX) dan % Difference MPF(UX) Model C 77 Tabel IV.11 Tabel IV.12 Tabel IV.13a Tabel IV.13b Respon Modal Sidesway Modes Rigid Frame dengan Balok Fleksibel. Respon Modal Sidesway Modes Rigid Frame dengan Balok Kaku... Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal-A... Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal-B xi

13 Tabel IV.14 Tabel - D1a Tabel - D1b Tabel - D2a Tabel - D2b Tabel - D3a Tabel - D3b Tabel - D4a Tabel - D4b Tabel - D5a Tabel - D5b Tabel - D5c Tabel - D6a Tabel - D6b Tabel - D6c Tabel - D7a Tabel - D7b Tabel - D7c Tabel - D8a Tabel - D8b Tabel - D8c Tabel - D9a Tabel - D9b Tabel - D9c Nilai dan Persen Perbedaan ω & MPF(UX) dari Sidesway Modes antara Model FEM(RF) dengan FEM(FF) dan DSM(FF) untuk Portal dengan Vertical Setbacks... Balok Jepit-Jepit... Modal Balok Jepit-Jepit... Balok Jepit-Sendi... Modal Balok Jepit-Sendi... Balok Jepit-Bebas... Modal Balok Jepit-Bebas... Balok Sendi-Sendi... Modal Balok Sendi-Sendi Model K1 (0.1 x Ib)... Modal Model K1 (0.1 x Ib)... Model K1 (0.1 x Ib)... Model K2 (Ib)... Modal Model K2 (Ib)... Model K2 (Ib)... Model K3 (10 x Ib)... Modal Model K3 (10 x Ib)... Model K3 (10 x Ib)... Model K4 (50 x Ib)... Modal Model K4 (50 x Ib)... Model K4 (50 x Ib)... Model K5 (100 x Ib)... Perbandingan dan % perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal model K5 (100 x Ib)... Model K5 (100 x Ib) D-1 D-3 D-6 D-8 D-10 D-13 D-15 D-17 D-20 D-21 D-21 D-22 D-23 D-24 D-24 D-25 D-26 D-27 D-28 D-28 D-29 D-30 D-31 xii

14 Tabel - D10a Tabel - D10b Tabel - D10c Tabel - D11a Tabel - D11b Tabel - D11c Tabel - D12a Tabel - D12b Tabel - D12c Tabel - D13a Tabel - D13b Tabel - D13c Tabel - D14a Tabel - D14b Tabel - D14c Tabel - D15a Tabel - D15b Tabel - D15c Tabel - D16a Tabel - D16b Tabel - D16c Tabel - D17a Tabel - D17b Tabel - D17c Model M1 (0.1 x swb)... Modal Model M1 (0.1 x swb)... Model M1 (0.1 x swb)... Model M2 (swb)... Modal Model M2 (swb)... Model M2 (swb)... Model M3 (10 x swb)... Modal Model M3 (10 x swb)... Model M3 (10 x swb)... Model M4 (50 x swb)... Perbandingan dan % Perbedaan untuk Faktor Partispasi Modal Model M4 (50 x swb)... model M4 (50 x swb)... Model M5 (100 x swb)... Modal Model M5 (100 x swb)... Model M5 (100 x swb)... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model A... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal model A... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model A... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model B... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model B... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model B... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Frekuensi Natural Model C... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Faktor Partisipasi Modal Model C... Perbandingan dan Persen Perbedaan untuk Perpindahan Modal Model C... D-32 D-32 D-33 D-34 D-35 D-36 D-36 D-37 D-38 D-39 D-39 D-40 D-41 D-42 D-42 D-43 D-44 D-44 D-44 D-45 D-45 D-45 D-46 D-46 xiii

15 DAFTAR NOTASI E I Modulus elastisitas, N/mm 2 Momen inersia, mm 4 m Massa per satuan panjang, N.s 2 /mm 2 ( x t) v, Respon perpindahan sebagai fungsi jarak dan waktu, mm φ( x) f A ω () t Perpindahan modal atau variabel fungsi bentuk dari respon perpidahan, mm Variabel fungsi waktu dari respon perpindahan Luas penampang, mm 2 Frekuensi natural struktur, rad/det [ ] Matrik kekakuan dinamik elemen pada sumbu lokal, S m [ K m ] [ Tm ] [ K s ] [ M s ] [ M m ] N/mm Matrik kekakuan dinamik elemen pada sumbu global, N/mm Matrik transformasi Matrik kekakuan statik struktur pada metoda elemen hingga, N/mm Matrik massa struktur pada metoda elemen hingga, Matrik massa elemen pada sumbu lokal λ Eigenvalue, rad 2 /det 2 { X} [ K ( ω) ] s L ω * J ( ω *) J o( ω *) s [ ( ω *)] K s Eigenvector, mm Matrik kekakuan dinamik atau Frequency dependent stiffness matrix Panjang member, mm Fixed chosen frequency pada Wittrick-Williams Algorithm Jumlah frekuensi natural dibawah fixed chosen frequency Jumlah frekuensi natural di bawah fixed chosen frequency yang berhubungan dengan { X } = 0 Jumlah frekuensi natural di bawah fixed chosen frequency xiv

16 J m ( ω *) J pp ( ω *) [ K m ( ω *)] pp [ K m ( ω ) pp s * ] Δ [ K ( ω *)] s Δ [ K m ( ω *)] pp ω u ω l yang berhubungan dengan K( ω *) = 0 Jumlah frekuensi natural dari member dengan kondisi jepit-jepit di bawah fixed chosen frequency Jumlah frekuensi natural dari member dengan kondisi sendi-sendi di bawah fixed chosen frequency Matrik kekakuan dinamik elemen untuk kondisi sendisendi Jumlah frekuensi natural di bawah fixed chosen frequency yang berhubungan dengan K ( ω *) = 0 Matrik triangular atas dari matrik kekakuan dinamik struktur dengan eliminasi Gauss Matrik triangular atas dari matrik kekakuan dinamik elemen dengan kondisi sendi-sendi dengan eliminasi Gauss Batas atas frekuensi natural dalam Yuan Algortihm Batas bawah frekuensi natural dalam Yuan Algortihm m pp N Jumlah frekuensi natural pada interal ω, ω r N ro Jumlah frekuensi natural dari seluruh member pada kondisi jepit-jepit pada interal ω, ω l u l u MPF FF RF DSM CM LM Faktor partisipasi modal Flexible Frame Rigid Frame Dynamic Stiffness Method Consistent Mass Lumped Mass xv