BAB II DASAR TEORI DAN PEMODELAN PROGRAM SIMULASI

Transkripsi

1 BAB II DASAR TEORI DAN PEMODELAN PROGRAM SIMULASI 2.1 Analisis Kestabilan Lereng Lereng merupakan permukaan tanah (material) terbuka yang membentuk sudut tertentu dengan bidang datar (horizontal). Lereng dapat terjadi secara alamiah atau buatan yang direkayasa oleh manusia. Lereng alamiah seperti bukit dan tebing sungai. Lereng buatan seperti galian, timbunan untuk membuat jalan raya, urugan bendungan, tanggul, dan lereng-lereng penambangan. Longsoran merupakan keruntuhan dari massa tanah (material) yang berada di bagian bawah lereng dan menunjukkan adanya ketidakstabilan dalam lereng. Dalam peristiwa tersebut, terjadi pergerakan massa tanah dari arah bawah ke arah luar. Longsoran dapat terjadi dengan berbagai cara, secara perlahan-lahan, mendadak, dan dengan ataupun tanpa provokasi yang terlihat. Analisis dan perhitungan kestabilan bukan merupakan hal mudah karena adanya ketidaksamaan yang terdeteksi dalam tanah, rembesan dan pemilihan bentuk bidang runtuh. (Terzaghi dan Peck, 1993). Analisis kestabilan lereng melibatkan perbandingan gaya-gaya penahan dalam lereng seperti gaya gesek material dan gaya-gaya penggerak massa material longsoran yang tersedia seperti gaya hidrostatik dari permukaan phreatik air dalam rekahan tarik. Metode kesetimbangan batas dapat menghitung satu atau lebih kesetimbangan persamaan, antara lain kesetimbangan gaya pada arah horizontal, kesetimbagan gaya pada arah vertikal, dan kesetimbangan momen. Ketersediaan teknologi dan kecepatan komputer telah membuat penggunaan metode-metode tersebut memudahkan perhitungan persamaan-persamaan kesetimbangan yang terjadi dalam massa material longsoran, sehingga proses rekayasa (engineering) geometri lereng dapat dikerjakan secara mudah dan cepat dengan bantuan program komputer. 7

2 Tujuan Perhitungan Kestabilan Lereng Dalam praktek, tujuan perhitungan kestabilan lereng sebagai berikut: 1. Merupakan dasar rancangan ulang lereng setelah mengalami longsoran. 2. Memperkirakan kestabilan lereng selama proses konstruksi geometri dan untuk jangka waktu yang panjang. 3. Mencari rancangan yang aman dan murah sesuai dengan spesifikasi persyaratan keamanan sebelum pelaksanaan pembangunan geometri dilakukan. 4. Mempelajari kemungkinan terjadinya longsoran (baik pada lereng alamiah atau lereng buatan). 5. Mempelajari pengaruh tekanan pori air berupa permukaan phreatik air tanah dalam lereng. (Abramson, 1996; Terzaghi dan Peck, 1993) Faktor yang Mempengaruhi Kestabilan Lereng Dalam analisis kestabilan lereng yang baik, dibutuhkan representasi konfigurasi dari lereng, berupa faktor-faktor yang akan mempengaruhi kestabilan lereng, faktor-faktor tersebut adalah: 1. Proses-proses yang menyebabkan naiknya tegangan geser, antara lain: erosi, penggalian, pemindahan dinding penahan, penambahan beban akibat air hujan, penambahan beban akibat adanya bangunan atau kendaraan di puncak lereng, penambahan tekanan lateral akibat adanya air dalam rekahan tarik atau akibat pengembangan lempung. 2. Kondisi-kondisi yang menyebabkan turunnya kekuatan geser, antara lain: bidang perlapisan, pelapukan, kenaikan tekanan pori air, beban atau guncangan berulang (gempa), hilangnya sementasi tanah (material), pengaruh pembekuan dan pencairan. (Abramson, 1996). Dalam penelitian ini, hanya akan dibahas permukaan phreatik air tanah sebagai

3 9 salah satu faktor yang mempengaruhi kestabilan lereng Konsep Faktor Keamanan Lereng Dalam analisis kestabilan dengan metode kesetimbangan batas, faktor keamanan dihitung dengan satu atau lebih dari tiga kesetimbangan persamaan, yaitu, kesetimbangan pada arah vertikal, kesetimbangan pada arah horizontal, dan kesetimbangan momen. Faktor keamanan ( ) didefinisikan sebagai berikut:... (2.1) Lereng diasumsikan berada pada kondisi kritis longsoran ketika sama dengan satu atau gaya-gaya penahan yang tersedia seimbang dengan gaya-gaya penggerak yang terjadi. Secara teori, lereng akan stabil jika, tidak stabil jika, dan berada dalam kondisi kritis jika. Secara umum, probabilitas longsoran kritis akan berkurang seiring dengan meningkatnya nilai faktor keamanan. Bagaimanapun, hubungan unik antara probabilitas longsoran dan faktor keamanan tidak dapat ditetapkan secara tepat karena bermacam-macam ketidaktentuan kondisi lereng dari site ke site. Dalam banyak kasus, ketidaktentuan kondisi lereng yang paling banyak digunakan adalah kekuatan material (soil strength) dan kondisi air bawah tanah (groundwater) Metode Kesetimbangan Batas Kestabilan lereng biasanya dianalisis dengan membagi profil lereng menjadi beberapa bagian irisan dan menghitung faktor keamanan rata-rata dari irisan tersebut dengan metode kesetimbangan batas. Sebagai contoh, profil lereng yang tersusun atas material tanah homogen, faktor keamanan terkadang dihitung dengan menganalisis kestabilan lereng dengan asumsi yang lebih sederhana, seperti dengan metode busur kritis Taylor. Analisis-analisis tersebut membutuhkan pengetahuan terhadap geometri lereng dan perkiraan kekuatan

4 10 material. Metode kesetimbangan batas mengasumsikan bahwa material bertindak sebagai sebuah massa yang kaku atau keras dan tidak membutuhkan sifat regangan geser material tersebut. Asumsi yang umum digunakan bahwa nilai faktor keamanan adalah sama untuk semua irisan dan tegangan geser diterapkan secara simultan pada keseluruhan bidang runtuh longsoran. Kebanyakan longsoran bergerak secara progresif, oleh karena itu, memungkinkan tidak adanya asumsi yang tepat bagi semua kestabilan lereng. Terlepas dari keterbatasan tersebut, penggunaan metode ini tetap berkembang luas dan telah banyak dibuktikan bahwa lereng dapat didesain secara aman, mudah, dan cepat dengan metode ini Metode Irisan Biasa Dalam metode Irisan Biasa (Ordinary Method of Slices), gaya-gaya yang bekerja seperti distribusi tegangan normal efektif pada bidang runtuh harus diketahui. Kondisi ini pada umumnya dianalisis dengan mendiskretisasi massa bidang runtuh lereng menjadi beberapa bagian irisan dan mengasumsikan setiap irisan tersebut sebagai sebuah blok yang meluncur (sliding block). Metode irisan banyak diaplikasikan pada program komputer kestabilan lereng, karena metode ini dapat mengakomodasi persoalan geometri lereng yang kompleks, variabel kondisi material, dan pengaruh beban eksternal.

5 11 Gambar 2.1 Diskretisasi Irisan Lereng 1 ) Semua metode kesetimbangan batas dalam analisis kestabilan lereng membagi bidang runtuh menjadi buah irisan, dimodelkan pada Gambar 2.1. Setiap irisan dipengaruhi gaya-gaya yang bekerja secara umum, dimodelkan pada Gambar 2.2. Dengan melihat Gambar 2.2, persamaan kesetimbangan gaya yang terjadi dapat dimodelkan, namun juga ada beberapa persamaan kesetimbangan yang belum diketahui. Oleh karena itu, persamaan kesetimbangan yang belum diketahui dapat dikurangi dengan membuat beberapa asumsi sederhana. Asumsi yang umum dibuat adalah tegangan normal pada dasar irisan bekerja pada titik tengah irisan. Gambar 2.2 Gaya-gaya dalam Irisan 2 ) 1 ) Sumber: Buku Slope Stability and Stabilization Method 2 nd Edition Halaman ) Sumber: Buku Slope Stability and Stabilization Method 2 nd Edition Halaman 354

6 12 Gambar 2.3 Perumusan Permukaan Bidang Runtuh Penurunan rumus dalam metode irisan biasa banyak menggunakan prinsip persamaan garis lurus dan persamaan lingkaran pada Gambar 2.3, dalam penelitian ini menggunakan analisis dari kiri ke kanan (left to right analysis) pada model lereng, selanjutnya dijabarkan sebagai berikut: Pertama-tama, ordinat puncak pada lereng dan ordinat kaki pada lereng harus ditentukan berdasarkan sistem persamaan garis lurus, didapat persamaan titik ordinat pada puncak lereng :... (2.2) dan, persamaan titik ordinat pada kaki lereng ( ):... (2.3) selanjutnya, sudut (Gambar 2.3) yang mengapit radius busur dengan titik pusat ditentukan dengan persamaan:... (2.4)

7 13 Irisan vertikal lereng dibuat berdasarkan diskretisasi bagian-bagian dari sudut sebanyak irisan yang ditentukan dengan persamaan:... (2.5) kemudian sudut (Gambar 2.3) ditentukan dengan persamaan:... (2.6) lalu sudut (Gambar 2.3) ditentukan dengan persamaan:... (2.7) Jika nilai lingkaran telah diketahui maka dapat ditentukan titik pusat busur tersebut melalui persamaan:... (2.8)... (2.9) setelah titik pusat diketahui, dilanjutkan dengan mencari absis batas kanan dan kiri tiap-tiap irisan dan (Gambar 2.3):... (2.10)... (2.11) dengan didapatnya absis batas kanan dan absis batas kiri, dapat dihitung ordinat batas kanan dan ordinat batas kiri (Gambar 2.3), dengan persamaan:... (2.12)... (2.13)

8 14 kemudian absis titik tengah tiap-tiap irisan dan sudut dasar tiap-tiap irisan (Gambar 2.3), dapat ditentukan dengan:... (2.14)... (2.15) Setelah absis titik tengah diketahui maka ordinat titik teratas dan ordinat titik terbawah tiap-tiap irisan, dapat dihitung dengan persamaan: Irisan sebelum kaki lereng (toe),... (2.16) Irisan antara kaki lereng dan puncak lereng,... (2.17) Irisan sesudah puncak lereng (crest),... (2.18) persamaan sama untuk tiap-tiap irisan:... (2.19) Lalu panjang tali busur yang akan digunakan dalam fungsi faktor keamanan metode Irisan Biasa dihitung dengan:... (2.20) Sebagai langkah terakhir, tinggi irisan tiap-tiap irisan dan lebar tiap-tiap irisan dapat ditentukan dengan persamaan:... (2.21) Catatan:

9 15 Untuk kondisi adanya permukaan phreatik air tanah maka harus ditentukan tinggi air dalam tiap-tiap irisan persamaan. Dalam penelitian ini, persamaan permukaan phreatik air tanah tersebut didapat dari fungsi interpolasi yang telah disediakan dalam MATLAB dan dapat dilihat pada fungsi rutin fungsi_objektif.m terlampir.... (2.22) Akhirnya, semua variabel-variabel telah dirumuskan dan dibutuhkan dalam fungsi persamaan faktor keamanan metode Irisan Biasa:... (2.23) Metode Bishop Sederhana Metode Bishop Sederhana (Bishop Simplified Method) menggunakan prinsipprinsip irisan dalam penentuan faktor keamanan dari suatu massa tanah yang berpotensi mengalami longsoran. Metode ini hanya memenuhi kesetimbangan gaya pada arah vertikal dan kesetimbangan momen pada titik pusat lingkaran bidang runtuh kritis. Akan tetapi, metode ini mengabaikan gaya geser antar irisan ( ). Berikut ini merupakan rangkuman tabel persamaan yang dapat diketahui dan besaran yang belum diketahui dalam metode Bishop Sederhana yang akan digunakan dalam penelitian ini: Tabel 2.1 Persamaan dan Besaran dalam Metode Bishop Sederhana 3 ) 3 ) Sumber: Buku Slope Stability and Stabilization Method 2 nd Edition Halaman 355

10 16 Persamaan yang Diketahui Kondisi n Kesetimbangan momen tiap irisan n Kesetimbangan gaya pada arah vertikal Hubungan Mohr-Coulomb antara tegangan n geser dan tegangan normal efektif 3n Total persamaan yang diketahui Besaran yang Belum Diketahui Variabel 1 Faktor keamanan n Tegangan normal pada dasar tiap irisan, N' n Lokasi tegangan normal, N' n Tegangan geser pada dasar tiap irisan, S m n-1 Asumsi tambahan yang dibuat 4n-1 Total persamaan yang belum diketahui Persamaan yang digunakan dalam perhitungan faktor keamanan ( ) dengan Metode Bishop Sederhana (Hoek dan Bray, 1981) sebagai berikut: Gambar 2.4 Perumusan Metode Bishop Sederhana 4 )... (2.24) Simbol: 4 ) Sumber: Buku Rock Slope Engineering Revised 3 rd Edition Halaman 248

11 17 Keterangan: = gaya kohesi material = berat jenis material = berat jenis air = tinggi material dalam tiap-tiap irisan = tinggi air dalam tiap-tiap irisan = sudut gesek dalam material = lebar tiap-tiap irisan = sudut dasar tiap-tiap irisan = kedalaman rekahan tarik = elevasi dari titik pusat busur kritis sebesar sepertiga kedalaman rekahan tarik = radius busur lingkaran Tegangan Normal Efektif Metode kesetimbangan batas yang telah dikembangkan sejak dulu terkadang menghasilkan kendala persoalan numerik yang disebabkan oleh tegangan normal efektif negatif dalam proses perhitungan analisis menggunakan persamaan (Hoek dan Bray):... (2.25) dengan:... (2.26) Tegangan normal efektif yang bernilai negatif biasanya terjadi pada kasus yang

12 18 melibatkan: Besarnya nilai tekanan pori air ( ). Kombinasi tipisnya lebar tiap-tiap irisan ( ) dengan nilai berat irisan material ( ) dan nilai kohesi irisan material ( ) yang besar. Sudut dasar tiap-tiap irisan ( ) yang tajam. Sudut dasar tiap-tiap irisan ( ), Dari teori tekanan bumi (earth pressure), permukaan longsor atau bidang runtuh dasar tiap-tiap irisan harus berada dalam sudut untuk zona pasif dan sudut untuk zona aktif (SLOPE/W, 2007). Dalam analisis kestabilan lereng, daerah dekat puncak lereng (crest) atau area masuk dianalogikan sebagai zona aktif dan daerah dekat kaki lereng (toe) atau area keluar dianalogikan sebagai zona pasif. Contoh, jika sudut gesek dalam material dalam irisan adalah maka rentang sudut dasar tiap irisan harus berada antara sampai. Kondisi Gambar 2.5 Zona Aktif dan Pasif Tekanan Bumi 5 ) metode Bishop, Jika terdapat sudut yang berada di luar rentang tersebut maka akan menimbulkan kesulitan dalam proses konvergensi faktor keamanan metode Bishop Sederhana yang merupakan persamaan non-linier. Sebagai konsekuensi, kita biasanya akan melihat dari buku literatur representasi formula metode Bishop dengan diikuti 5 ) Sumber: Dokumen PDF Reference Program Slope/W, 2007

13 19 grafik. Ide grafik adalah untuk menggambarkan bahwa kesulitan proses konvergensi persamaan fungsi faktor keamanan dapat timbul secara perlahan dalam analisis jika sudut dasar irisan dekat puncak lereng dan kaki lereng terlalu tajam. Gambar 2.6 Grafik 6 ) Dilihat dari Gambar 2.6, variabel merupakan fungsi kemiringan sudut dasar tiap irisan,, dan. Kesulitan perhitungan terjadi ketika nilai mendekati nol. Situasi ini terjadi ketika nilai kecil dan nilai sangat besar, atau ketika nilai besar dan nilai sangat kecil maka nilai akan mendekati nol. Ketika nilai mendekati nol maka nilai tegangan normal efektif,, akan menjadi sangat besar, sehingga menyebabkan nilai faktor keamanan menjadi tidak proporsional. Kebanyakan masalah tersebut berhubungan dengan analisis kesetimbangan batas yang tidak menentu. Untuk menanggulangi masalah tersebut, dalam program simulasi yang dirancang, input data yang berkaitan dengan masalah di atas seperti penentuan input jumlah irisan lereng dibuat fleksibel dengan memberikan 6 ) Sumber: Dokumen PDF Reference Program Slope/W, 2007

14 20 keleluasaan pengguna untuk mencoba-coba jumlah irisan yang diinginkan sehingga diperoleh nilai faktor keamanan yang telah memenuhi kondisi dan koreksi di atas Tahap Perhitungan Faktor Keamanan Prosedur perhitungan faktor keamanan dengan Metode Bishop Sederhana, sebagai berikut: 1. Geometri lereng dan bidang runtuh Geometri lereng dinyatakan dengan membuat suatu profil berdasarkan penampang vertikal lereng tersebut. Profil harus dibuat se-detail mungkin dan sesuai dengan skala yang ada. Variabel-variabel yang membatasi busur lingkaran (circular failure) berupa,,, dan jika ada harus ditentukan, sebagai variabel yang dioptimasi dalam fungsi persamaan faktor keamanan. 2. Parameter irisan Massa material bidang runtuh dibagi menjadi beberapa irisan berdasarkan metode Irisan. Secara umum, paling sedikit digunakan lima buah irisan untuk kasus yang sangat sederhana. Dalam profil lereng yang lebih kompleks atau melibatkan banyak material dalam massa batuan atau tanah yang runtuh, maka dibutuhkan jumlah irisan yang lebih banyak. Parameter yang harus didefinisikan pada tiap irisan adalah sudut dasar pada tiap-tiap irisan, tegangan vertikal pada dasar irisan yang diwakili oleh parameter tinggi material dalam tiap-tiap irisan dan berat jenis material, tekanan air diwakili oleh tinggi terhadap permukaan phreatik dan berat jenis air, serta lebar tiap-tiap irisan. 3. Parameter tegangan geser Tegangan geser yang bekerja pada dasar irisan diperhitungkan juga dalam analisis kemantapan lereng. Pada kasus material yang homogen dan kriteria failure-nya mengikuti kriteria Mohr-Coulomb, parameter gaya geser dan akan sama di setiap dasar irisan. Jika lereng tersebut terdiri dari beberapa material, parameter gaya geser tiap irisan harus dipilih sesuai dengan material

15 21 terbawah yang ada pada tiap irisan. 4. Iterasi faktor keamanan Setelah parameter irisan dan parameter tegangan geser didefinisikan, maka nilai dihitung untuk tiap irisan. Tekanan air ditambahkan pada. merupakan penjumlahan komponen berat tiap irisan yang bekerja sejajar dengan bidang runtuh. Faktor keamanan awal yang dimisalkan pertama kali adalah faktor keamanan yang dihitung dengan metode Irisan Biasa. Nilai faktor keamanan metode ini selalu lebih kecil dan mendekati nilai faktor keamanan dari metode Bishop Sederhana. Jika faktor keamanan yang dihitung dibandingkan dengan faktor keamaanan awal dari metode Irian Biasa. Selanjutnya, nilai faktor keamanan yang dihitung ulang atau diiterasi sampai diperoleh selisih nilai atau galat yang hampir mendekati nol. Pada kondisi lereng yang sederhana, proses iterasi umumnya dibutuhkan sekitar lima sampai sepuluh kali. 5. Kondisi dan koreksi Ada dua hal kondisi yang harus dipenuhi oleh tiap-tiap irisan dalam analisis kemantapan lereng ini, sebagai berikut: - Kondisi pertama digunakan untuk memastikan tegangan normal efektif pada dasar tiap irisan selalu positif (definit positif), ditentukan dengan persamaan:... (2.27) - Kondisi kedua digunakan untuk memastikan bahwa analisis tidak terganggu oleh adanya suatu kondisi yang kadang terjadi di dekat kaki lereng (toe) yang merupakan lokasi terdalam permukaan bidang runtuh tersebut diasumsikan, dengan persamaan: 2.2 Metode Optimasi... (2.28) Pertama kali, metode optimasi diperkenalkan dalam liniear programming oleh

16 22 George Dantzig tahun Dalam bidang matematika, persoalan optimasi adalah mencari nilai maksimum atau minimum dari sebuah fungsi persamaan terhadap variabel-variabel yang menentukan persamaan tersebut. Sebuah persoalan optimasi dapat direpresentasikan sebagai berikut: Diberikan: fungsi, A merupakan bilangan real. Diminta: elemen dalam yang memberikan untuk semua nilai dalam yang memberikan hasil minimum; atau, elemen dalam yang memberikan untuk semua nilai dalam yang memberikan hasil maksimum. Fungsi tersebut disebut sebagai fungsi objektif atau fungsi harga, kemungkinan solusi yang memberikan nilai minimum atau maksimum dari fungsi objektif disebut sebagai solusi optimal. (Sumber Wikipedia, the free encyclopedia). Berdasarkan deskripsi tersebut maka persoalan optimasi faktor keamanan ( ) minimum metode Bishop Sederhana dalam penelitian ini dapat dimodelkan: Tentukan variabel permukaan bidang runtuh sehingga, mempunyai nilai minimum. Dengan kendala dan Catatan: Persamaan fungsi di atas merupakan penjabaran dari persamaan 2.24, sedangkan merupakan variabel dari fungsi dari persamaan 2.15, 2.21, dan Banyak metode optimasi yang telah dikembangkan, diantaranya adalah Algoritma Genetika dan Quasi-Newton yang digunakan dalam penelitian ini.

17 Algoritma Genetika Algoritma Genetika (AG) pertama kali dikembangkan oleh John Holland dalam bukunya Adaptation in Natural and Artificial System pada tahun AG dapat dipandang sebagai suatu teknik pencarian (searching method) secara stokastik yang idenya diperoleh dari proses evolusi di alam. Algoritma ini meniru mekanisme kerja seleksi alam dan genetika kehidupan manusia dalam menyelesaikan masalah. Dengan kata lain, AG merupakan suatu proses evolusi buatan terhadap sekumpulan titik (individu) yang merupakan kandidat solusi dari suatu masalah (fungsi persamaan) yang terjadi di dalam komputer dan berlangsung secara iteratif beberapa generasi sampai ditemukan individu dengan kriteria terbaik yang memberikan hasil optimum (maksimum atau minimum) Mekanisme Algoritma Genetika Berbeda dengan teknik pencarian konvensional, AG bekerja dalam sekumpulan calon solusi yang disebut sebagai populasi. Sedangkan masing-masing calon solusi disebut sebagai individu atau string. Individu terdiri dari sekumpulan gen atau bit yang merepresentasikan sifat dan karakter dalam satu iterasi atau generasi. Untuk setiap iterasi atau generasi, individu akan mengalami proses evolusi (seleksi alam) dan proses genetika (persilangan dan mutasi) yang nantinya akan menghasilkan generasi populasi baru. Dalam AG dikenal adanya fungsi fitness. Nilai fungsi fitness merupakan ukuran seberapa adaptif suatu individu terhadap lingkungannya. Fungsi ini berkaitan erat dengan masalah (fungsi persamaan) yang akan diselesaikan. Tidak semua masalah (fungsi persamaan) dapat secara langsung diselesaikan dengan AG, melainkan harus dimodifikasi sedemikian rupa menjadi suatu fungsi fitness sehingga dapat diselesaikan oleh AG. Individu dengan nilai fungsi fitness tinggi menunjukkan bahwa individu tersebut merupakan kandidat solusi masalah (fungsi persamaan).

18 24 AG bertujuan untuk mencari individu yang memiliki nilai fungsi fitness yang tinggi. Ada empat perbedaan dasar mekanisme kerja antara Algoritma Genetika dengan metode konvensional, yaitu: 1. Algoritma Genetika bekerja pada suatu kode dari sekumpulan atau himpunan parameter, bukan himpunan parameter itu sendiri. 2. Algoritma Genetika bekerja pada sekumpulan titik, bukan hanya sebuah titik. Dengan bekerja pada sekumpulan titik, peluang AG untuk terjebak dalam optimum lokal dapat dikurangi. 3. Algoritma Genetika bekerja hanya menggunakan informasi fungsi fitness. Hal ini berarti AG tidak memerlukan syarat keterdifferensialan maupun kekontinuan dalam bekerja dan dapat bekerja baik pada fungsi diskret. 4. Algoritma Genetika menggunakan aturan probabilistik, bukan aturan deterministik. Secara umum, ada enam langkah dasar dalam Algoritma Genetika, yaitu: 1. Populasi Pada tahap awal, algoritma secara acak akan membangun populasi dengan jumlah individu. Setiap individu terdiri dari sekumpulan gen atau bit yang pada umumnya merupakan string biner. Jumlah gen dalam tiap individu atau panjang individu biasanya berhubungan dengan berapa ketelitian nilai yang diinginkan. Hubungan ini dirumuskan sebagai berikut: dengan: = = banyak variabel = ketelitian nilai = interval = panjang bit varibel ke-

19 25 2. Evaluasi Setelah terbentuk populasi awal, selanjutnya AG akan mengevaluasi setiap individu ke dalam populasi. Pertama, tiap individu akan dikonversi terlebih dahulu dari kode biner ke nilai riil. Adapun rumus: dengan: = bilangan desimal tiap string biner variabel Setelah semua individu dikonversi ke nilai riilnya, selanjutnya akan dihitung fitness tiap individu berdasarkan fungsi fitness. 3. Seleksi Setelah mengevaluasi tiap individu, pada tahap ini akan dilakukan seleksi calon orang tua berdasarkan fitness yang dimiliki. Individu yang lebih baik, yakni yang mempunyai fitness yang lebih tinggi, mempunyai peluang yang lebih sering dan besar untuk terseleksi ke dalam himpunan calon orang tua. Ada beberapa metode seleksi dalam AG salah satunya metode Roulette Wheel Selection. Metode ini meniru mekanisme permainan roda rolet. Setiap individu mendapat bagian dalam roda rolet proporsional dengan nilai fitness mereka. Individu yang memiliki fitness tinggi akan mendapat porsi roda yang lebih besar. Selanjutnya seleksi individu ke dalam himpunan calon orang tua dilakukan dengan melakukan pemutaran roda rolet secara acak sebanyak jumlah individu. Individu yang memiliki bagian roda rolet yang lebar, yakni mewakili fitness yang tinggi, akan mempunyai peluang yang lebih besar dan lebih sering untuk terseleksi. Berikut ini adalah langkah-langkah dalam Roulette Wheel Selection: Hitung fitness untuk tiap individu. Hitung total fitness dari populasi. Hitung peluang terseleksi untuk tiap individu.

20 26 Hitung peluang kumulatif untuk tiap individu. Pilih bilangan acak r antara [ ]. Jika, maka pilih individu pertama, jika tidak maka pilih individu ke-, sedemikian hingga 4. Persilangan Operator genetika ini bekerja pada dua individu yang dipilih secara acak dari himpunan calon orang tua. Untuk setiap dua individu yang terpilih akan dilakukan rekombinasi untuk menghasilkan individu baru (keturunan). Peluang persilangan atau biasanya tinggi. Ada beberapa jenis metode persilangan, diantaranya adalah: Persilangan 1 titik (one-point crossover) Persilangan 2 titik (two-point crossover) Persilangan bergantian (cycle crossover) One-point crossover, Proses kerjanya adalah dengan memilih sepasang individu dari himpunan calon orang tua lalu menyilangkan mereka dengan titik persilangan acak. Tujuan dari proses persilangan adalah mengeksplorasi daerah solusi sekitar orang tua. Atau dengan kata lain, proses persilangan bertujuan menghasilkan keturunan (individu baru) yang tidak jauh berbeda dari orang tua. Karena orang tua berasal dari individu dengan fitness tinggi, maka diharapkan keturunan yang dihasilkan juga mempunyai fitness yang tinggi. Skema metode one-point crossover, Orang tua 1 Orang tua 2 Keterangan 1 Keterangan Ξ Ξ Prosedur persilangan sebagai berikut: Semua individu dalam populasi dipasangkan dua-dua sehingga terbentuk [ ] pasangan dengan [ ]: bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan. Pilih bilangan acak r k antara [ ] dengan

21 27 Jika maka pasangan ke- mengalami persilangan, lakukan persilangan one-point crossover. Jika tidak, pasangan ke- tidak mengalami persilangan dan langsung terpilih ke populasi baru. 5. Mutasi Selanjutnya, pada individu-individu ini akan dilakukan proses mutasi. Operator genetika ini memodifikasi setiap gen/bit. Pada individu dengan peluang, mutasi jarang terjadi sehingga. Pada individu dengan string biner, jika bit mengalami mutasi maka nilai 0 akan berubah menjadi 1 dan nilai 1 berubah menjadi 0. Prosedur mutasi sebagai berikut: Tentukan bilangan acak antara [ ] dengan. merupakan jumlah keseluruhan bit dalam populasi. Jika maka ubah nilai bit ke- dari 0 menjadi 1 atau sebaliknya dari 1 menjadi 0. Proses mutasi dalam AG mempunyai peranan penting dalam mengeksploitasi daerah solusi global untuk mencari individu terbaik. Dengan mutasi diharapkan solusi untuk terjebak di dalam optimum lokal dapat direduksi. 6. Terminasi Setelah melewati proses evaluasi, persilangan dan mutasi, maka AG akan menghasilkan populasi baru. Selanjutnya, populasi baru ini akan diuji apakah sudah memenuhi kriteria penghentian. Secara umum, ada dua kriteria penghentian, yaitu: a. Uji kekonvergenan Iterasi akan berhenti jika terjadi kestabilan populasi yang ditandai dengan keseragaman hampir semua gen dalam populasi. Misalkan: (Offermans, 1995) : populasi dari individu dengan 1 gen. kromosom pada individu ke dalam dengan. Jika gen stabil maka ada lebih 90% individu dalam dengan dan adalah posisi bit. stabil apabila semua gen pada stabil. b. Uji iterasi

22 28 Iterasi akan berhenti jika sudah mencapai iterasi atau generasi maksimum yang ditetapkan. Algoritma Genetika dengan enam langkah utama yang telah dijabarkan tersebut untuk selanjutnya disebut sebagai Algoritma Genetika Sederhana. (David E. Goldberg, 1989) Diagram Algoritma Genetika Berikut merupakan diagram alir Algoritma Genetika yang akan digunakan dalam penyusunan kode script program: START INISIASI POPULASI (XR, XL, R, Z) GENERASI AWAL I = 1 EVALUASI FUNGSI FITNESS (FS Objektif) GENERASI I = I + 1 FS n+1 MUTASI TIDAK ITERASI FS n+1 FS n < 10-7 YA PERSILANGAN FS n REPRODUKSI KONDISI GENERASI TIDAK YA GENERASI AKHIR (XR, XL, R, Z) FAKTOR KEAMANAN (FS) STOP

23 Quasi-Newton Gambar 2.7 Diagram Alir Algoritma Genetika Dalam penelitian tidak dibahas secara detail tentang Quasi-Newton karena penggunaan metode dalam pemodelan program menggunakan optimization toolbox yang telah ada dalam MATLAB. Oleh karena itu, hanya dijelaskan gambaran umum dari Quasi-Newton tersebut. Persoalan optimasi dengan Quasi-Newton cukup dikenal sebagai algoritma untuk menemukan titik lokal maksimum atau lokal minimum dari sebuah fungsi persamaan. Quasi-Newton berbasis pada metode Newton dalam menemukan titik stasioner sebuah fungsi, dimana gradien fungsi tersebut adalah nol. Dalam metode Newton, fungsi persamaan dapat secara lokal diaproksimasi sebagai persamaan kuadrat di sekitar daerah optimum dan menggunakan turunan pertama (gradien) dan turunan kedua (Hessian) untuk mencari nilai titik stasioner. (Wikipedia: The Free Encycolpedia). Dalam metode Newton, digunakan turunan kedua untuk mencari nilai minimum fungsi. Deret Taylor dari fungsi : dimana merupakan gradien dan merupakan matriks Hessian. Gradien dari deret Taylor itu sendiri sebagai berikut: juga disebut fungsi secant. Dengan menghitung nilai, memberikan langkah selanjutnya: nilai tidak diketahui, sehingga untuk menghitung nilai ini digunakan formula penunjang seperti formula Broyden. Jika nilai sudah diketahui dan nilai diasumsikan maka nilai dapat dihitung, dan iterasi dilakukan sampai

24 30 diperoleh nilai dengan kondisi terminasi yang diinginkan. Nilai terakhir digunakan dalam fungsi persamaan yang menghasilkan nilai minimum. Beberapa perbedaan mekanisme kerja antara Quasi-Newton dengan metode konvensional, yaitu: 1. Quasi-Newton berbasis metode Newton yang membutuhkan proses iterasi dalam mencari solusi optimum sebuah persamaan fungsi. 2. Quasi-Newton memerlukan syarat keterdifferensialan maupun kekontinuan dari persamaan fungsi fitness (fungsi objektif). 3. Quasi-Newton menggunakan aturan deterministik, bukan aturan probabilistik. 2.3 Pemodelan Program Simulasi komputer untuk analisis kestabilan lereng menggunakan MATLAB dibuat dengan memanfaatkan fasilitas formula matematika atau toolbox matematika berupa fungsi matematika, logika, dan grafik yang telah tersedia dalam MATLAB. Pemodelan matematis yang digunakan sebagai pembuatan kode script pemrograman dalam MATLAB terutama didasarkan pada konsep-konsep mengenai jarak antara dua titik, persamaan dan sifat garis lurus, persamaan dan sifat lingkaran, perpotongan lingkaran dan garis lurus, fungsi trigonometri dan koordinat titik polar. Program simulasi ini diberi nama DINI Program MATLAB MATLAB merupakan program komputasi numerik dengan bahasa pemrograman terintegrasi di dalamnya. MATLAB dirancang oleh MathWorks. MATLAB memiliki banyak kemudahan dalam menghitung persoalan-persoalan rekayasa (engineering), seperti: memanipulasi matriks, memplot fungsi persamaan, mengimplementasikan sebuah algoritma, pembuatan objek interface. MATLAB harus ter-install dalam komputer yang digunakan. MATLAB juga dilengkapi dengan toolbox matematika lebih lanjut, seperti: genetic algorithm, optimization, artificial neural network toolbox sehingga pemakai dapat langsung menggunakan toolbox tersebut tanpa harus membuat fungsi-fungsi rutin (routine) berupa m-files.

25 31 Dalam penelitian ini, penyelesaian optimasi dengan Algoritma Genetika tidak menggunakan genetic algorithm toolbox yang telah tersedia dalam MATLAB, namun fungsi-fungsi rutin (routine) berupa m-files dibuat berdasarkan prinsip dan proses Algoritma Genetika itu sendiri. Sedangkan penyelesaian optimasi dengan Quasi-Newton, digunakan optimization toolbox yang telah tersedia dalam MATLAB, penjelasan lebih lanjut pada sub-bab berikutnya Diagram Alir Pemodelan Program Berikut merupakan diagram alir dalam membuat pemodelan program:

26 32 START DATA MODEL LERENG Koordinat, Profil, Properti, Irisan Material Permukaan Phreatik, Rekahan Tarik KONDISI BATAS GEOMETRI BIDANG RUNTUH METODE KESETIMBANGAN BATAS Irisan Biasa, Bishop yang Disederhanakan METODE OPTIMASI ALGORITMA GENETIKA METODE QUASI-NEWTON PROSES OPTIMASI ANALISIS HASIL OPTIMASI (DINI) HASIL OPTIMASI Geometri Bidang Runtuh, Laporan Perhitungan, Faktor Keamanan VALIDASI HASIL OPTIMASI (GALENA) KONDISI DAN KOREKSI TIDAK YA HASIL OPTIMASI AKHIR STOP Gambar 2.8 Diagram Alir Pemodelan Program Proses Pemodelan Program Setelah membuat diagram alir pemodelan program, proses dilanjutkan dengan menuangkan alur pemodelan dalam perancangan kode-kode script program dengan MATLAB berupa m-files. Perancangan program simulasi ini dibagi dalam 5 langkah penting, yaitu: 1. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses pemasukan data (input). 2. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses optimasi dengan

27 33 Algoritma Genetika dan Quasi-Newton. 3. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses pengeluaran hasil (output) berupa perhitungan dan grafik. 4. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses penyimpanan data dan hasil. 5. Penggabungan semua fungsi rutin dari 4 langkah sebelumnya dalam tampilan antarmuka atau graphical user interface (GUI) program simulasi. Fungsi rutin m-files merupakan tempat kode-kode script pemrograman MATLAB yang akan dituangkan. Fungsi rutin tersebut dibuat melalui Objek Editor Pemrograman dalan MATLAB. Semua fungsi rutin m-files dapat dilihat dalam lampiran A Fungsi Rutin M-Files Proses Pemasukan Data Proses awal pemodelan program simulasi ini, diawali dengan perancangan fungsifungsi rutin yang akan membaca atau mengeksekusi data yang akan digunakan dalam proses simulasi. Fungsi-fungsi rutin m-files tersebut, terdiri dari: 1. fungsi_data.m, merupakan fungsi rutin untuk membaca data-data yang digunakan dalam perhitungan kestabilan lereng yang ada dalam file berformat text (*.txt) yang dapat diakses menggunakan Notepad, data-data tersebut seperti geometri lereng, properti material, dan permukaan phreatik air tanah. 2. fungsi_proses_data.m, merupakan fungsi rutin lanjutan dari fungsi_data.m, fungsi ini menjadi media penghantar antara data file berformat text dengan MATLAB, format-format tulisan dalam file tersebut diproses menjadi inputinput variabel yang akan digunakan dalam persamaan fungsi faktor keamanan, seperti nilai c (kohesi) dan variabel lainnya Fungsi Rutin M-Files Algoritma Genetika

28 34 Berdasarkan diagram alir Algoritma Genetika sebelumnya, fungsi-fungsi rutin berupa m-files dibuat untuk mengimplementasikan Algoritma Genetika dalam penyelesaian optimasi faktor keamanan minimum dengan menuangkan kode-kode script pemodelan program simulasi. Fungsi-fungsi rutin m-files tersebut, terdiri dari: 1. fungsi_bit_angka_ga_satu.m, merupakan fungsi rutin untuk mengkonversi bilangan bit (0 dan 1) ke bilangan angka (real) secara individu. 2. fungsi_bit_angka_ga_dua.m, merupakan fungsi rutin untuk mengkonversi bilangan bit (0 dan 1) ke bilangan angka (real) secara jamak atau banyak (array). 3. fungsi_objektif.m, merupakan fungsi rutin yang berisi penjabaran fungsi persamaan faktor keamanan berdasarkan metode Bishop Sederhana. Fungsi rutin ini memuat perhitungan rumus yang telah dijabarkan dalam persamaan 2.1 sampai fungsi_evaluasi_populasi_ga.m, merupakan fungsi rutin untuk mengevaluasi populasi-populasi individu selama proses optimasi apakah telah sesuai dengan kriteria fitness fungsi yang ditentukan. 5. fungsi_generasi_ga.m, merupakan fungsi rutin untuk membuat generasigenerasi individu dalam proses optimasi. 6. fungsi_optimasi_ga.m, merupakan fungsi rutin utama yang menghubungkan semua fungsi-fungsi rutin yang telah dibuat, proses optimasi Algoritma Genetika diinisiasi melalui fungsi rutin ini Fungsi Rutin M-Files Quasi-Newton MATLAB telah menyediakan fasilitas optimization toolbox dengan berbagai pilihan metode optimasi di dalamnya, salah satunya adalah Quasi-Newton. Fasilitas toolbox ini dapat diakses dengan menggunakan perintah syntax fungsi fmincon, syntax ini terdapat di dalam fungsi_optimasi_newton.m. Fungsi-fungsi rutin m-files tersebut, terdiri dari: 1. fungsi_batas_newton.m, merupakan fungsi rutin yang berisi kondisi-kondisi

29 35 batas (constraint) dari variabel-variabel yang menentukan fungsi faktor keamanan. 2. fungsi_objektif.m, merupakan fungsi rutin yang berisi penjabaran fungsi persamaan faktor keamanan berdasarkan metode Bishop Sederhana, sama seperti fungsi objektif yang digunakan dalam Algoritma Genetika. 3. fungsi_iterasi_newton.m, merupakan fungsi rutin untuk melakukan proses iterasi terhadap nilai-nilai faktor keamanan minimum yang dihitung dalam Quasi-Newton. 4. fungsi_optimasi_newton.m, merupakan fungsi rutin utama yang menghubungkan semua fungsi-fungsi rutin yang telah dibuat, proses optimasi Quasi-Newton diinisiasi melalui fungsi rutin ini Fungsi Rutin M-Files Proses Pengeluaran Hasil Jika proses optimasi telah selesai, maka hasil-hasil perhitungan yang terjadi dalam proses optimasi dapat ditampilkan, seperti laporan dan grafik hasil perhitungan. Hal ini dapat dilakukan dengan membuat fungsi rutin yang akan memproses hasil output tersebut. Fungsi rutin tersebut antara lain fungsi_output.m, fungsi rutin ini akan memproses hasil-hasil perhitungan berupa laporan dan grafik. Fungsi ini juga merupakan bagian dalam fungsi_optimasi_ga.m dan fungsi optimasi_newton.m, karena kedua fungsi ini akan mengeksekusi fungsi_output.m dalam setiap proses optimasinya Fungsi Rutin M-Files Proses Penyimpanan Data dan Hasil Bagian penunjang atau tambahan dalam pemodelan program ini, adalah proses penyimpanan data dan hasil dari program simulasi. Fungsi-fungsi rutin tersebut, terdiri dari: 1. fungsi_simpan_data.m, merupakan fungsi rutin untuk memproses penyimpanan data jika terdapat perubahan isi data dalam file berformat text (*.txt).

30 36 2. fungsi_simpan_hasil.m, merupakan fungsi rutin untuk memproses penyimpanan laporan hasil perhitungan ke dalam file berformat text (*.txt) GUI Program Tahapan terakhir dari pemodelan program ini adalah perancangan tampilan antarmuka atau yang lebih dikenal dengan graphical user interface (GUI) program. Sebenarnya dalam pemrograman MATLAB, proses-proses simulasi sudah dapat dilakukan tanpa harus membuat GUI program dengan hanya mengeksekusi fungsi-fungsi rutin m-files yang sudah dibuat sebelumnya pada jendela console atau command MATLAB, tentunya dengan melakukan setiap proses secara manual atau dengan menuliskan syntax yang ada dalam setiap fungsi rutin secara berurutan. Hal ini akan menjadi tidak efisien, sehingga dibutuhkan sebuah fasilitas yang dapat menghimpun semua proses-proses perhitungan, yaitu GUI program. Fungsi-fungsi rutin tersebut, terdiri dari: 1. BUSUR.fig, merupakan fungsi yang berisi objek-objek interface program simulasi dalam MATLAB, seperti objek form, panel, button, edit text, static text, dan axes. Bentuk tampilan (layout) dan isi dari objek-objek program dapat didisain secara bebas dalam BUSUR.fig ini. Proses perancangan dapat dilakukan dengan mengeksekusi perintah guide BUSUR pada jendela console MATLAB. 2. BUSUR.m, merupakan fungsi yang berisi kode-kode script yang memvisualisasikan objek-objek interface yang telah dirancang dalam BUSUR.fig dan fungsi ini juga berisi kode-kode script tambahan untuk menggabungkan semua fungsi rutin yang telah dibuat Penggunaan Program Simulasi Setelah penggabungan fungsi-fungsi rutin m-files dalam GUI program, maka program simulasi sudah dapat dijalankan. Langkah-langkah penggunaan program

31 37 simulasi DINI adalah sebagai berikut: 1. Jalankan program MATLAB, properti window MATLAB akan terlihat seperti pada Gambar 2.9. Pilih lokasi direktori kerja dari fungsi-fungsi rutin m-files (garis merah bagian kanan-atas pada Gambar 2.9), kemudian pilih file START.m dan klik file tersebut (garis merah bagian kiri-bawah pada Gambar 2.9) atau ketik kata START dalam jendela console MATLAB yang ada di bagian panel sebelah kanan. Gambar 2.9 Tampilan Awal Window dalam MATLAB Setelah file START.m diklik atau diketik pada jendela console, maka akan muncul tampilan awal program simulasi DINI, sebagai berikut:

32 38 Gambar 2.10 Tampilan Awal Program Simulasi 2. Proses pemasukan input data diawali dengan membuka file data yang aka dgunakan dalam program simulasi. Klik tombol browse pada tab Data Lereng dan pilih file data yang akan digunakan, kemudian klik open. Gambar 2.11 Proses Input File Data Simulasi 3. Parameter-parameter penunjang seperti metode optimasi, rekahan tarik, dan kondisi batas variabel geometri dapat dipilih dan diisi pada tab Kondisi Batas.

33 39 Gambar 2.12 Proses Input Parameter Penunjang 4. Proses optimasi siap dilakukan dengan mengklik tombol. Selanjutnya, proses optimasi ditunggu sampai selesai ditandai dengan tampilan tombol Stop menjadi tidak aktif dan tampilan grafik optimasi faktor keamanan minimum. Gambar 2.13 Tampilan Faktor Keamanan Minimum 5. Gambar permukaan bidang runtuh dan laporan hasil perhitungan dapat dilihat dengan mengklik tombol Geometry dan tombol Report.

34 40 Output gambar permukaan bidang runtuh: Gambar 2.14 Tampilan Permukaan Bidang Runtuh Output laporan hasil perhitungan: Gambar 2.15 Tampilan Laporan Hasil Perhitungan