PEMODELAN REGRESI TIGA LEVEL PADA DATA PENGAMATAN BERULANG (Studi Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode Statistika Tahun 2008/2009)

Transkripsi

1 PEMODELAN REGRESI TIGA LEVEL PADA DATA PENGAMATAN BERULANG (Studi Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode Statistika Tahun 2008/2009) TRI WURI SASTUTI DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 RINGKASAN TRI WURI SASTUTI. Pemodelan Regresi Tiga Level pada Data Pengamatan Berulang (Studi Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode Statistika Tahun 2008/2009). Dibimbing oleh INDAHWATI dan YENNI ANGRAINI. Pemodelan multilevel adalah pemodelan untuk data yang memiliki struktur berjenjang. Pemodelan ini digunakan pada data berjenjang karena antar amatan pada level yang lebih rendah tidak saling bebas, sehingga hal ini melanggar asumsi kebebasan dalam pendekatan statistika konvensional, misalnya analisis regresi linear satu level. Salah satu studi kasus data berjenjang adalah data nilai capaian mahasiswa pada mata kuliah Metode Statistika. Setiap kelas paralel (level ketiga) terdiri dari sejumlah mahasiswa (level kedua) dan setiap mahasiswa memiliki nilai ujian yang diukur dalam beberapa titik waktu (level kesatu). Pada penelitian ini dihasilkan model regresi tiga level untuk data pengamatan berulang. Faktor-faktor yang paling berpengaruh terhadap nilai capaian Metode Statistika adalah IPK TPB, jenis kelamin, interaksi antara IPK TPB dengan asal daerah, dan interaksi antara waktu ujian dengan jenis kelamin mahasiswa. Berdasarkan komponen keragaman diketahui bahwa terdapat keragaman perbedaan nilai capaian antar kelas, keragaman perbedaan nilai antar mahasiswa dalam kelas, dan juga terdapat keragaman nilai capaian antar waktu dalam mahasiswa dalam kelas.

3 PEMODELAN REGRESI TIGA LEVEL PADA DATA PENGAMATAN BERULANG (Studi Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode Statistika Tahun 2008/2009) TRI WURI SASTUTI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

4 Judul Skripsi : Pemodelan Regresi Tiga Level pada Data Pengamatan Berulang (Studi Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode Statistika Tahun 2008/2009) Nama : Tri Wuri Sastuti NIM : G Menyetujui: Pembimbing I Pembimbing II ( Ir. Indahwati, M.Si) (Yenni Angraini, S.Si, M.Si) NIP NIP Mengetahui: Ketua Departemen, (Dr. Ir, Hari Wijayanto, MS) NIP Tanggal Lulus :

5 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 05 Februari 1988 sebagai anak ketiga dari empat bersaudara dari pasangan Parlan dan Supri Hariyanti. Pada tahun 1999 penulis menyelesaikan pendidikan dasar di Madrasah Ibtidaiyah Nurul Huda Jakarta, kemudian melanjutkan studi ke sekolah menengah pertama di SLTP Negeri 175 Jakarta hingga tahun Pada tahun 2005 penulis menyelesaikan pendidikan menengah atas di SLTA Negeri 38 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI) serta pada tahun 2006 penulis diterima menjadi mahasiswa mayor Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB dengan minor Matematika Keuangan dan Aktuaria Departemen Matematika. Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif mengikuti organisasi kemahasiswaan. Pada tahun 2006/2007 penulis menjadi staf kewirausahaan himpunan profesi Gamma Sigma Beta (GSB). Penulis pernah menjadi asisten dosen Fisika pada tahun 2006/2007 dan pada tahun yang sama penulis menjadi staf pengajar di bimbingan belajar Maestro Depok sampai tahun Penulis juga pernah menjadi validator quick count pemilu dan pemilihan Presiden di Lembaga Survei Indonesia pada tahun Praktik lapang dilakukan penulis di PT Swadaya Pandu Artha pada Divisi Research and Development pada bulan Februari-April 2009 dan penulis juga melakukan magang di Bank Bukopin Tbk pada Divisi Pengembangan UKMK dan Bisnis Komersil pada bulan Mei-November 2009.

6 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam disampaikan kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabatnya. Karya ilmiah ini memiliki judul Pemodelan Regresi Tiga Level pada Data Pengamatan Berulang (Studi Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode Statistika Tahun 2008/2009). Karya ilmiah ini merupakan syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada: 1. Ibu Ir. Indahwati, M.Si selaku pembimbing yang telah meluangkan waktunya untuk membimbing, berdiskusi, serta memberi arahan kepada penulis. 2. Ibu Yenni Angraini, S.Si, M.Si selaku pembimbing yang telah meluangkan waktunya untuk membimbing, berdiskusi, serta memberi arahan dan saran kepada penulis. 3. Mama, Bapak, mba Reri, mas Arif dan Jati atas segala doa, dukungan, dan kasih sayangnya. 4. Srt Mar Eko Yulianto selaku imam dalam hidupku, terima kasih atas rasa sayang, dukungan, perhatian, dan penantian yang dicurahkan kepada penulis. 5. Seluruh dosen Departemen Statistika atas ilmu dan nasihat yang bermanfaat sehingga membantu penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini, serta kepada seluruh staf Departemen Statistika (Bu Markonah, Bu sulis, Pak Iyan, Bu Tri, Bu Dedeh, Bu Aat, Bang Sudin, Mang Herman, Mang Dur) yang telah membantu penulis selama belajar di Statistika IPB. 6. Rekan satu pembimbing (Wiwid, Isna, Miu, Ela, Mega), Wiwi, Trimi, Hafiz, Angga, Mojo, Popi, teman-teman STK 42 lainnya, adik-adik STK 43 dan STK 44. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Desember 2009 Penulis

7 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... viii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN Latar Belakang... 1 Tujuan... 1 TINJAUAN PUSTAKA Data Kelompok dan Pengamatan Berulang... 1 Pemodelan Multilevel... 1 Model Regresi Tiga Level dengan Pengamatan Berulang... 2 Pendugaan Parameter... 2 Pendugaan Koefisien Korelasi Intra Kelompok... 3 Pengujian Hipotesis... 3 Likelihood Ratio Test (LRTs)... 3 Centering Covariates... 3 BAHAN DAN METODE Bahan... 4 Metode... 4 PEMBAHASAN Deskripsi Data... 4 Ilustrasi Keragaman Antar Kelas dan Antar Mahasiswa... 5 Eksplorasi data... 5 Analisis Regresi Tiga Level... 6 Interpretasi Hasil Model Terbaik... 8 KESIMPULAN DAN SARAN... 9 Kesimpulan... 9 Saran... 9 DAFTAR PUSTAKA... 9 LAMPIRAN... 10

8 viii DAFTAR TABEL Halaman 1 Keragaman antara kelas Statistika dengan kelas Ilmu Ekonomi Hasil perbandingan model dalam memilih struktur intersep acak Hasil perbandingan model dalam memilih struktur efek tetap Hasil uji LRT perbandingan model dalam memilih struktur kemiringan acak Nilai dugaan efek tetap pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model Nilai dugaan komponen ragam pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model Hasil perbandingan model struktur kovarian untuk sisaan pada level satu... 8 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Struktur data kelompok dalam pengukuran berulang pada data Metode Statistika Grafik antara nilai capaian dengan waktu pada dua kelas yang berbeda Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan IPK TPB Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan waktu Langkah dalam memilih struktur intersep acak Langkah dalam memilih struktur efek tetap... 7 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Urutan 30 kelas paralel Metode Statistika tahun 2008/ Pengkodean peubah penjelas Kelas paralel yang memiliki nilai tertinggi lebih dari seratus Statistika deskriptif setiap kelas paralel Plot interaksi antara peubah penjelas intra level dan interaksi peubah penjelas antar level 13 6 Korelasi intra kelas dan korelasi intra mahasiswa... 14

9 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Pada kehidupan sehari-hari sering kali dijumpai data yang memiliki struktur berjenjang (hierarchical) atau berkelompok (clustered). Pada struktur berjenjang, individu-individu dalam kelompok yang sama memiliki karakteristik yang cenderung mirip, dengan kata lain antar amatan pada level yang lebih rendah tidak saling bebas, sehingga melanggar asumsi kebebasan dalam pendekatan statistika konvensional, misalnya regresi linear sederhana satu level. Jika pelanggaran asumsi ini diabaikan maka akan mengakibatkan nilai dugaan galat baku koefisien regresi berbias ke bawah sehingga akan banyak ditemukan hubungan yang signifikan secara statistik dalam pengujian hipotesis. Hal inilah yang menjadi salah satu alasan mengapa diperlukan analisis multilevel pada data berjenjang ( Salah satu jenis data berjenjang adalah data pengamatan berulang. Dikatakan data pengamatan berulang jika peubah responnya diukur secara berulang pada unit analisis yang sama berdasarkan faktor pengamatan yang berbeda. Salah satu contoh dari faktor pengamatan yang berbeda adalah waktu. Setiap unit amatan yang sama akan diamati secara berulang berdasarkan waktu yang berbeda-beda. Secara alamiah, pengamatan yang diukur secara berulang pada individu yang sama memiliki keterkaitan (tidak saling bebas). Metode Statistika (STK211) merupakan mata kuliah interdep yang berada di bawah naungan Departemen Statistika sejak berlakunya sistem Mayor-Minor di IPB tahun Pada tahun 2008/2009, kelas paralel mata kuliah Metode Statistika mencapai lebih dari 30 kelas paralel. Pada umumnya setiap kelas paralel terdiri dari satu departemen dan kelas-kelas tersebut di bawah tanggung jawab dosen Departemen Statistika ataupun dosen departemen lain yang sudah terbiasa mengajar mata kuliah ini. Setiap kelas paralel terdiri dari sejumlah mahasiswa dan setiap mahasiswa memiliki nilai ujian yang dilakukan pada beberapa titik waktu. Pada umumnya setiap mata kuliah diuji pada dua titik waktu yaitu pada saat ujian tengah semester (UTS) dan ujian akhir semester (UAS). Namun ada pula dosen yang memberikan ujian sampai tiga ataupun empat waktu. Oleh Karena itu data nilai capaian mahasiswa pada mata kuliah Metode Statistika memiliki struktur data berjenjang pengamatan berulang dengan faktor pengamatan berulang yang digunakan adalah waktu ujian. Selain struktur datanya berjenjang, banyaknya kelas paralel yang terdiri dari mahasiswa dengan IPK TPB yang berbedabeda diduga menimbulkan keragaman dalam capaian nilai mahasiswa dalam mata kuliah ini. Demikian pula faktor jenis kelamin, asal daerah, serta jumlah mahasiswa per kelas. Berdasarkan permasalahan di atas, akan dilakukan pemodelan regresi tiga level pada data pengamatan berulang. Nilai amatan berulang sebagai level kesatu yang tersarang pada level kedua (mahasiswa) tersarang pada level ketiga (kelas paralel). Tujuan Penelitian ini bertujuan untuk: 1. Mengkaji penerapan model regresi tiga level data pengamatan berulang untuk menganalisis hubungan antara capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan faktor-faktor yang mempengaruhinya. 2. Mencari faktor-faktor yang berpengaruh dalam keragaman capaian mahasiswa untuk mata kuliah Metode Statistika, baik pada level kesatu, kedua (mahasiswa) maupun pada level ketiga (kelas paralel). 3. Menduga komponen-komponen ragam capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika. TINJAUAN PUSTAKA Data Kelompok dan Data Pengamatan Berulang Data kelompok merupakan data dimana peubah responnya diukur hanya satu kali pada setiap satuan analisis pada level terendah. Setiap satuan analisis pada data ini tersarang dalam unit kelompok sebagai level yang lebih tinggi. Sebuah data dikatakan data pengamatan berulang jika peubah respon diukur lebih dari satu kali pengamatan pada satuan analisis yang sama dengan memberikan faktor pengamatan yang berbeda. Faktor pengamatan berulang dapat berupa waktu, perlakuan percobaan atau berupa kondisi observasi. (West et al., 2007). Pemodelan Multilevel Struktur multilevel mengindikasikan bahwa data yang akan dianalisis berasal dari beberapa level, dimana level yang lebih

10 2 rendah tersarang dalam level yang lebih tinggi. Pemodelan multilevel merupakan suatu pemodelan statistik untuk menduga hubungan antar peubah yang diamati pada level-level yang berbeda dalam struktur data berjenjang. 1. Model Regresi Tiga Level dengan Pengamatan Berulang Analisis regresi mengkaji pola hubungan antara satu peubah respon dengan satu atau lebih peubah penjelas. Jika datanya memiliki struktur berjenjang atau mengandung data pengamatan berulang yang berjenjang, regresi multilevel lebih tepat digunakan dalam masalah ini. Pada regresi multilevel, satu peubah respon hanya diukur pada level terendah dan peubah penjelas dapat berada pada semua level. Secara konseptual, model dipandang sebagai suatu sistem berjenjang dari persamaan-persamaan regresi. Jika Y tij merupakan peubah respon dalam waktu ke-t pada mahasiswa ke-i dan pada kelas paralel ke-j, dan diasumsikan setiap level memiliki satu peubah penjelas dengan intersep dan kemiringan acak, maka model regresi tiga level pada data pengamatan berulang dapat diformulasikan sebagai berikut: Model Level 1 (Pengamatan Berulang) Y tij = β 0ij + β 1ij T tij + tij Model Level 2 (Mahasiswa) β 0ij = β 00j + β 01j V ti + u 0ij β 1ij = β 10j + β 11j V ti + u 1ij Model Level 3 (Kelas Paralel) β 00j = β β 001 Z t + w 00j β 01j = β β 011 Z t + w 01j β 10j = β β 101 Z t + w 10j β 11j = β β 111 Z t + w 11j Ketiga model di atas dapat digabung menjadi model regresi tiga level sebagai berikut: Y tij = β β 001 Z t + β 010 V ti + β 100 T tij + β 011 Z t V ti + β 101 Z t T tij + β 110 V ti T tij + β 111 Z t V ti T tij + w 01j V ti + w 10j T tij + w 11j V ti T tij + u 1ij T tij + w 00j + u 0ij + tij dimana t=1,2,...,n ij. i=1,2,..,n j, dan j=1,2,..,n. Indeks n ij merupakan banyaknya pengamatan berulang pada mahasiswa ke i dalam kelas ke j. Dalam model tersebut T adalah peubah penjelas pada level satu, V merupakan peubah penjelas pada level dua, dan Z merupakan peubah penjelas pada level tiga. Meskipun demikian, pada pemodelan multilevel tidak diharuskan kehadiran peubah penjelas pada setiap levelnya. Tantular (2009) misalnya, hanya menggunakan satu peubah penjelas pada level terendah dalam analisis regresi tiga level tanpa pengamatan berulang, dan tidak ada peubah penjelas pada level kedua dan ketiga. Secara umum model regresi multilevel dapat diformulasikan melalui catatan matriks dan vektor dalam bentuk model linear campuran (Linear Mixed Model/LMM) sebagai berikut: (West et al., 2007) y = X β + Z u+ ε Tetap Acak u ~ N (0, G) dan ε ~ N (0, R) dimana y merupakan peubah respon berukuran nx1, dimana n merupakan jumlah dari n ij. X adalah matriks rancangan untuk efek tetap dan Z adalah matriks rancangan untuk afek acak. β adalah parameter efek tetap, sedangkan u dan ε masing-masing merupakan vektor parameter efek acak dan sisaan.. G merupakan matriks blok diagonal yang merepresentasikan ragam koragam untuk semua efek acak dalam u, dan R adalah matriks blok diagonal yang merepresentasikan matriks ragam koragam untuk semua sisaan dalam ε. Matriks G dan R keduanya merupakan matriks simetrik dan definit positif. Dalam model dengan pengamatan berulang, sisaan dalam individu yang sama dapat berkorelasi, namun antara u dan ε diasumsikan saling bebas. 2. Pendugaan Parameter Pendugaan parameter (koefisien regresi dan komponen ragam) yang umum digunakan pada pemodelan multilevel adalah metode kemungkinan maximum likelihood (ML) atau Restricted Maximum Likelihood (REML).

11 3 3. Pendugaan Koefisien Korelasi Intraklas Jika kita mempunyai data dengan struktur berjenjang yang sederhana, maka regresi multilevel dapat digunakan untuk memberikan nilai dugaan bagi korelasi intraklas. Korelasi intraklas menunjukkan proporsi keragaman yang dijelaskan oleh struktur kelompok dalam populasi, yang dapat juga diinterpretasikan sebagai korelasi harapan antara dua unit yang dipilih secara acak yang berada dalam kelompok yang sama (Hox, 2002). Korelasi intraklas dapat diperoleh pada setiap level kelompok. Pada model regresi tiga level terdapat dua korelasi intraklas yaitu korelasi intra kelas dan korelasi intra mahasiswa (Goldstein, 1999). Jika efek acak keragaman yang berhubungan dengan level ketiga dilambangkan dengan σ 2 3 dan efek acak keragaman yang berhubungan dengan level kedua yang tersarang pada level ketiga dilambangkan dengan σ 2 2, maka korelasi intra kelas (ρ 3 ) dan korelasi intra mahasiswa (ρ 2 ) dengan asumsi intersep acak dan tanpa peubah penjelas adalah sebagai berikut: Pada regresi tiga level, korelasi intra kelas dan proporsi keragaman yang dapat dijelaskan oleh struktur kelas memiliki formula yang sama, sedangkan proporsi keragaman yang dapat dijelaskan oleh struktur mahasiswa adalah sebagai berikut: Pengujian Hipotesis Hipotesis dalam LMM terdiri dari hipotesis nol (H 0 ) dan hipotesis alternatif (H A ). Hipotesis dapat menjadi formula dalam dua model yang memiliki hubungan tersarang. Model yang lebih umum yang mengandung kedua hipotesis H 0 dan H A disebut model referensi sedangkan model yang hanya mencakup H 0 disebut sebagai model tersarang. Model referensi mengandung semua parameter yang diuji sedangkan model tersarang tidak. Model tersarang merupakan bagian dari model referensi. Uji hipotesis ini biasanya digunakan untuk menentukan model mana yang akan dipilih antara model tersarang dengan model referensi. Likelihood Ratio Test (LRT) LRT digunakan untuk membandingkan nilai fungsi likelihood antara model tersarang dengan model referensi dalam pengujian hipotesis. Fungsi dari LRT dituliskan sebagai: -2 log L tersarang L referensi = -2 logl tersarang -2 log L tersarang 2 ~χ L df referensi - -2 logl referensi Statistik di atas menyebar mengikuti sebaran khi kuadrat dengan derajat bebas selisih dari banyaknya parameter antara kedua model. Pada LRT untuk pengujian efek tetap, pendugaan parameternya menggunakan metode ML. Penghitungan uji statistik dalam pendugaan efek tetap adalah selisih dari -2 ML log-likelihood antara dua model yang menyebar khi kuadrat dengan nilai derajat bebas selisih dari banyaknya parameter efek tetap antara kedua model. Uji hipotesis untuk parameter kovarian dalam LMM menggunakan pendugaan REML baik untuk model tersarang ataupun untuk model referensi. Penghitungan uji statistik untuk pendugaan ini adalah selisih dari -2 REML log-likelihood antara dua model yang menyebar khi kuadrat dengan nilai derajat bebas selisih dari banyaknya parameter acak antara dua model (West et al., 2007). Centering Covariates Centering Covariates berfungsi untuk mengubah interpretasi intersep. Biasanya intersep dimaknai sebagai nilai tengah dari peubah respon saat peubah penjelasnya bernilai nol. Pada kenyataannya nilai nol sering berada di luar wilayah hasil. Untuk menghindari hal tersebut maka dilakukanlah centering. Centering dilakukan supaya makna intersep menjadi nilai tengah peubah respon saat peubah penjelas bernilai tertentu yang pasti terkandung di dalam data (misalnya rataan atau median). Selain itu centering juga dapat mengurangi kolinearitas antar peubah penjelas (West et al, 2007).

12 4 Kelas 2 Kelas 1 Mahasiswa Mahasiswa Mahasiswa Mahasiswa N1 N2 N1 N2 N1 N2 N1 N2 N3 N4 N3 N4 Gambar 1 Struktur data kelompok dalam pengukuran berulang pada data Metode Statistika BAHAN DAN METODE Bahan Data yang digunakan adalah data nilai capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika tahun 2008/2009 pada beberapa titik waktu yang menjadi peubah respon pada level satu. Peubah penjelas pada level satu adalah waktu ujian. Peubah penjelas level dua adalah IPK TPB, jenis kelamin, dan asal daerah. Jumlah mahasiswa per kelas dan persentase nilai Pengantar Matematika minimal berhuruf mutu B merupakan peubah-peubah penjelas pada level ketiga. Struktur data dapat dilihat pada Gambar 1. Metode Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah: 1. Melakukan konversi nilai capaian Metode Statistika untuk kelas paralel yang nilai maksimumnya melebihi Melakukan analisis deskriptif per kelas paralel untuk mendapatkan gambaran umum data. 3. Mengeksplorasi hubungan antara capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan peubah-peubah penjelasnya secara grafis. 4. Melakukan centering terhadap beberapa peubah penjelas, yaitu mengurangkan data dengan rataannya. 5. Mencari model terbaik yang dapat memodelkan hubungan antara capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan peubah-peubah penjelasnya, dengan tahapan: 1. Memilih struktur intersep acak 2. Memilih struktur efek tetap 3. Memilih struktur kemiringan acak 4. Memasukkan interaksi peubah penjelas antar level ke dalam model 5. Memilih struktur kovarian untuk sisaan pada level satu 6. Menduga komponen ragam capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika berdasarkan model yang telah diperoleh. PEMBAHASAN Deskripsi Data Perkuliahan Metode Statistika tahun 2008/ 2009 terbagi menjadi dua waktu yaitu semester ganjil dan semester genap. Jika waktu yang berdasarkan semester itu diabaikan dan data diamati hanya pada satu angkatan (2007), maka diperoleh jumlah kelas paralel seluruhnya sebanyak 30 kelas. Urutan kelas paralel dapat dilihat pada Lampiran 1. Data yang diamati merupakan data nilai mahasiswa yang terdaftar mengambil mata kuliah Metode Statistika tahun 2008/2009. Secara umum pengambilan nilai dilakukan sebanyak dua kali, yaitu pada saat ujian tengah semester (UTS) dan ujian akhir semester (UAS). Namun ada pula dosen yang memberikan ujian lebih dari dua waktu. Dosen kelas TIN memberikan ujian Metode Statistika sebanyak tiga waktu yaitu ujian 1 saat UTS, ujian 2 (antara UTS dan UAS), dan ujian 3 saat UAS. Selain kelas TIN, kelas paralel AGH memiliki empat waktu pengambilan nilai ujian, yaitu ujian1 (sebelum UTS), ujian 2 (saat UTS), ujian 3 (antara UTS dengan UAS), dan ujian 4 (UAS). Meskipun demikian, perbedaan frekuensi ujian antar kelas paralel tidak menjadi masalah dalam analisis ini.

13 5 Secara umum kelas paralel Metode Statistika tahun 2008/2009 memiliki rataan jumlah mahasiswa sebanyak mahasiswa per kelas, rata-rata persentase Pengantar Matematika minimal B per kelas sebesar 49.12%, rata-rata IPK TPB sebesar 2.86, mayoritas mahasiswa berjenis kelamin perempuan (63%), 76% mahasiswa berasal dari Pulau Jawa, rata-rata nilai UTS setiap mahasiswa sebesar 61.33, dan rata-rata nilai UAS setiap mahasiswa sebesar (Lampiran 4). Ilustrasi Keragaman Antar Kelas dan Antar Mahasiswa Untuk menggambarkan adanya keragaman antar kelas, dipilih dua kelas yang memiliki rata-rata nilai ujian tertinggi pada setiap waktu ujian yaitu kelas Statistika yang memiliki ratarata UAS tertinggi dan kelas Ilmu Ekonomi yang memiliki rata-rata UTS tertinggi. Kelas Statistika memiliki rata-rata IPK TPB cukup besar yaitu 3.2 dan 71.21% mahasiswanya memiliki nilai mutu Pengantar Matematika minimal B, sedangkan kelas Ilmu Ekonomi memiliki rata-rata IPK TPB yang cukup kecil yaitu sebesar 2.72 dan % mahasiswanya memiliki nilai Pengantar Matematika dibawah B. Meskipun kedua kelas itu sama-sama memiliki rata-rata nilai ujian tertinggi, namun terlihat jelas keragaman dari dua kelas tersebut berdasarkan peubah tertentu, sehingga menimbulkan pertanyaan apakah peubah-peubah tersebut memiliki pengaruh terhadap nilai capaian atau tidak (Tabel 1). Tabel1 Keragaman antara kelas Statistika dengan kelas Ilmu Ekonomi Peubah Nilai rata-rata STK IE % PM min B Jumlah Mahasiswa IPK TPB % Laki-laki %Luar Jawa UTS UAS Beberapa faktor yang diduga memiliki pengaruh terhadap nilai capaian Metode Statistika terdiri dari peubah kategorik dan numerik. Sebelum dianalisis, dilakukan pengkodean terhadap peubah kategorik yang dapat dilihat pada Lampiran 2. Mahasiswa yang berada dalam kelas yang sama akan memiliki kemiripan. Hal ini kemungkinan karena proses seleksi awal masuk departemen, pengaruh dosen, jumlah mahasiswa, suasana kelas, dan faktor lainnya. Gambar 2 menggambarkan ilustrasi keragaman nilai dalam kelas dibandingkan antar kelas, sebagai contoh diambil kelas MSL dan kelas Kimia Keterangan axis: 0 = UTS MSL 2 =UTS Kimia 1 = UAS MSL 3 = UAS Kimia Gambar 2 Grafik antara nilai capaian dengan waktu pada dua kelas yang berbeda Nilai capaian dua pasang mahasiswa pada dua kelas berbeda yang terpilih secara acak menunjukkan kemiripan yang lebih besar pada mahasiswa dalam kelas yang sama, dimana kelas yang diwakili dengan bujur sangkar adalah mahasiswa pada kelas MSL dan simbol yang diwakili oleh segitiga adalah mahasiswa pada kelas Kimia. Umumnya perubahan nilai untuk mahasiswa-mahasiswa kelas MSL tidak terlalu besar. Eksplorasi Data Ekplorasi dilakukan untuk mendeteksi keberadaan interaksi antar peubah penjelas, baik antar peubah penjelas dalam level yang sama atau interaksi peubah penjelas antar level yang berbeda. Eksplorasi interaksi bermanfaat dalam pemilihan struktur efek tetap dan penambahan interaksi peubah antar level pada analisis regresi tiga level supaya model yang terbentuk lebih efektif. Interaksi peubah yang terjadi dalam level yang sama adalah interaksi antara IPK TPB dengan asal daerah sedangkan interaksi antar level terjadi pada peubah waktu (level 1) dengan peubah pada level 2 yaitu jenis kelamin. Untuk interaksi antar peubah penjelas lainnya tidak nampak adanya interaksi dalam eksplorasi ini karena plot interaksinya menunjukkan pola yang sejajar (Lampiran 5). Selain mendeteksi interaksi, eksplorasi juga diperlukan untuk mendeteksi adanya keragaman perbedaan nilai karena adanya keragaman pengaruh peubah penjelas antar kelas. Untuk pengaruh IPK TPB misalnya,

14 6 dilakukan eksplorasi dengan membuat garis regresi antar nilai capaian Metode Statistika (Y) dengan IPK TPB (X) pada setiap kelas paralel, sehingga akan diperoleh 30 garis regresi. Pada eksplorasi garis regresi ini terdeteksi adanya keragaman pengaruh IPK TPB antar kelas berupa keragaman intersep dan kemiringan garis regresi antar kelas (Gambar 3). Sama halnya dengan peubah IPK TPB, intersep dan kemiringan peubah waktu juga beragam antar kelas (Gambar 4). tersarang dalam kelas dengan nilai-p sebesar sehingga untuk analisis selanjutnya digunakan pengaruh intersep acak terhadap kelas dan terhadap mahasiswa dalam kelas (Tabel 2). M1.1 Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas Nilai Capaian ,50 2,50 3,50 IPK TPB M1.2 Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa dalam kelas Gambar 5 Langkah dalam memilih struktur intersep acak Tabel 2 Hasil perbandingan model dalam memilih struktur intersep acak Gambar 3 Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan IPK TPB Perbandingan model Nilai-P M1.1 dengan M NIlai Capaian ,5 1 1,5 2 Waktu Gambar 4 Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan waktu Analisis Regresi Tiga level Untuk mendapatkan model dugaan regresi tiga level yang terbaik, maka diperlukan beberapa tahapan sebagai berikut: Tahap 1 Memilih struktur intersep acak Pada tahap satu dilakukan pemilihan struktur intersep acak dengan menggunakan metode REML (Gambar 5). Pemilihan struktur intersep ini untuk mengetahui apakah ada keragaman intersep antar mahasiswa jika diketahui terdapat keragaman intersep antar kelas. Hasil uji LRT menyatakan terdapat keragaman intersep antar mahasiswa yang Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa ini dapat memberikan informasi keragaman yang dijelaskan oleh struktur kelas dan struktur mahasiswa, selain itu dapat pula diketahui korelasi intra kelas dan korelasi intra mahasiswa. Proporsi keragaman nilai capaian yang dapat dijelaskan oleh kelas tanpa dipengaruhi oleh faktor apapun sebesar 20.92% sedangkan proporsi keragaman nilai capaian yang dapat dijelaskan oleh struktur mahasiswa dalam kelas tanpa dipengaruhi oleh faktor apapun sebesar 17.61%. Selain itu dapat diketahui pula bahwa korelasi antara dua mahasiswa yang dipilih secara acak yang berada dalam kelas yang sama adalah sebesar 0.21, sedangkan korelasi intra mahasiswa antara dua nilai ujian yang dipilih secara acak yang berada dalam mahasiswa yang sama sebesar 0.39 (Lampiran 6). Tahap 2 Memilih struktur efek tetap Pemilihan struktur efek tetap bermaksud untuk mendapatkan peubah-peubah penjelas yang memiliki pengaruh yang besar terhadap nilai capaian dengan cara memasukkan satupersatu peubah penjelas setiap levelnya pada model (Gambar 6). Pendugaan parameter pada tahap ini menggunakan metode ML.

15 7 Berdasarkan hasil perbandingan model dengan menggunakan LRT yang hasilnya disajikan pada Tabel 3, model yang diterima adalah M2.3 dengan peubah penjelas waktu, IPK TPB, jenis kelamin, asal daerah, dan interaksi antara IPK TPB dengan asal daerah. M2.4 tidak dapat diterima karena setelah diuji LRT, peubah penjelas pada level 3 (persentase nilai Pengantar Matematika dan jumlah mahasiswa setiap kelas) tidak berpengaruh terhadap nilai capaian dengan nilai-p sebesar Tidak berpengaruhnya persentase nilai pengantar Matematika terhadap nilai capaian Metode Statistika mungkin disebabkan kurangnya pendalaman logika dan analisis statistika pada mata kuliah Pengantar Matematika sedangkan dalam mata kuliah Metode Statistika sangat dibutuhkan kemampuan tersebut. M2.1 Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa dalam kelas M2.2 Model dengan peubah penjelas pada level 1 (waktu) dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa dalam kelas M2.3 Model 2.2 ditambahkan dengan peubahpeubah penjelas pada level 2 dan interaksinya M2.4 Model 2.3 ditambahkan dengan peubahpeubah penjelas pada level 3 Gambar 6 Langkah dalam memilih struktur efek tetap Tabel 3 Hasil perbandingan model dalam memilih struktur efek tetap Perbandingan model Nilai-P M2.1 dengan M M2.2 dengan M M2.3 dengan M Tahap 3 Memilih struktur kemiringan acak Setelah melakukan tahap dua, dilanjutkan dengan tahap tiga yaitu memilih struktur kemiringan acak yang berpengaruh terhadap model. Pada tahap ini metode yang digunakan adalah pendugaan REML. Awalnya model tanpa pengaruh kemiringan acak dibuat dengan peubah penjelas sesuai dengan Model 2.3 (M3.1), kemudian model tersebut dibandingkan satu persatu dengan: 1. Model dengan kemiringan waktu acak (M3.2) 2. Model dengan kemiringan IPK TPB acak (M3.3) 3. Model dengan kemiringan jenis kelamin acak (M3.4) 4. Model dengan kemiringan asal daerah acak (M3.5) Berdasarkan hasil uji LRT, pengaruh kemiringan acak yang signifikan terhadap model adalah kemiringan waktu, IPK TPB, dan jenis kelamin (Tabel 4). Tabel 4 Hasil uji LRT perbandingan model dalam memilih struktur kemiringan acak Perbandingan model Nilai-P M3.1 dengan M M3.1 dengan M M3.1 dengan M M3.1 dengan M Tahap 4 Memasukkan peubah penjelas yang menjelaskan interaksi peubah antar level Tahap empat adalah tahap pembentukan model dengan efek tetap dan efek acak yang signifikan serta ditambahkan interaksi peubah antar level (M4.1). Interaksi yang dimasukkan dalam model adalah interaksi waktu dengan peubah penjelas yang berada pada level 2 yaitu interaksi waktu dengan jenis kelamin seperti yang dijelaskan pada eksplorasi data sebelumnya. Nilai dugaan efek tetap pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1 dapat dilihat pada Tabel 5, sedangkan nilai dugaan komponen ragamnya disajikan dalam Tabel 6. Tahap 5 Memilih struktur kovarian untuk sisaan pada level satu Langkah terakhir adalah memeriksa apakah nilai-nilai yang ada pada mahasiswa yang sama saling bebas atau tidak saling bebas. Dari model yang diperoleh pada tahap 4 yaitu model dengan asumsi ragam sisaan antar waktu homogen saling bebas (M4.1), kemudian dibuat model pembandingnya yaitu model dengan asumsi keragaman sisaan antar waktu homogen tidak saling bebas (M5.1). Berdasarkan hasil uji hipotesis diketahui bahwa ragam sisaan antar waktu homogen dan saling bebas (Tabel 7). Dengan demikian tidak

16 8 terbukti ada keterkaitan antar nilai ujian dalam mahasiswa yang sama. Hal ini mungkin disebabkan oleh jumlah titik waktu dominan terlalu sedikit (dua titik), adanya perbedaan tingkat kesulitan antara materi UTS dan UAS, dan kemungkinan dikarenakan adanya perbedaan dosen pada waktu UTS dengan UAS. Dengan demikian Model 4.1 merupakan model terbaik pada data capaian Metode Statistika. Tabel 5 Nilai dugaan efek tetap pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1 Solusi untuk Efek Tetap Efek tetap Nilai duga Nilai -P Intersep <.0001 Waktu IPK TPB <.0001 Jk Asal daerah Ipktpb*Asaldaerah Waktu*Jk <.0001 Tabel 6 Nilai dugaan komponen ragam pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1 Pendugaan Parameter Koragam Parameter Nilai Duga Nilai -P Koragam ; , ; ; , ; , ; ; , ; , ; , ; ; ; <.0001 ; < <.0001 Tabel 7 Hasil perbandingan model struktur kovarian untuk sisaan pada level satu Perbandingan model Nilai-P M4.1 dengan M Interpretasi Hasil Model Terbaik Berdasarkan Tabel 5 dapat diketahui bahwa rata-rata nilai capaian Metode Statistika dari mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan, memiliki IPK 2.86, berasal dari Pulau Jawa, dan pada saat UTS sebesar Selain itu terlihat adanya interaksi IPK TPB dengan asal daerah. Hal ini berarti pengaruh IPK TPB terhadap nilai capaian Metode Statistika tergantung dari asal daerah mahasiswanya. Naiknya IPK TPB sebesar satu satuan mengakibatkan rata-rata nilai capaian untuk mahasiswa dari Pulau Jawa meningkat sebesar , untuk mahasiswa dari luar Jawa meningkat sebesar Interaksi juga terjadi pada peubah waktu dengan jenis kelamin mahasiswa. Pengaruh waktu ujian terhadap nilai capaian Metode Statistika tergantung pada jenis kelamin. Ratarata nilai capaian Metode Statistika dari UTS ke UAS pada mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan menurun sebesar , sedangkan penurunan rata-rata nilai capaian pada mahasiswa yang berjenis kelamin lakilaki sebesar Rata-rata nilai capaian Metode Statistika pada mahasiswa berjenis kelamin laki-laki selalu lebih rendah dari mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan. Pada saat UTS, rata-rata nilai mahasiswa lebih rendah dari mahasiswinya, sedangkan pada saat UAS, rata-rata nilai capaian mahasiswa laki-laki lebih rendah dari rata-rata nilai mahasiswa perempuannya. Berdasarkan Tabel 6, keragaman nilai tidak hanya terjadi antar kelas, keragaman nilai juga terjadi antar mahasiswa dalam kelas dan antar waktu dalam mahasiswa dalam kelas. Keragaman nilai Metode Statistika antar kelas pada mahasiswa yang memiliki IPK TPB 2.86, berjenis kelamin perempuan yang berasal dari Pulau Jawa pada saat UTS sebesar Nilai koragam antara intersep dan kemiringan waktu sebesar yang signifikan menandakan adanya hubungan negatif antara intersep dengan kemiringan waktu. Perbedaan nilai antara UTS dan UAS untuk kelas-kelas dengan intersep rendah lebih besar dari pada kelas-kelas yang memiliki intersep tinggi, demikian pula sebaliknya. Adapun keragaman perbedaan nilai UTS dan UAS antar kelas sebesar Begitu pula dengan IPK TPB dan jenis kelamin, kedua faktor tersebut juga dapat menimbulkan keragaman perbedaan nilai antar kelas. Keragaman kemiringan IPK TPB antar kelas sebesar , sedangkan keragaman perbedaan nilai antara laki-laki dan perempuan antar kelas sebesar

17 9 Dari Tabel 6 juga terlihat adanya keragaman perbedaan nilai antara UTS dan UAS antar mahasiswa dalam kelas sebesar , dan keragaman nilai antar waktu dalam mahasiswa dalam kelas sebesar KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap nilai capaian Metode Statistika adalah IPK TPB, jenis kelamin mahasiswa, interaksi IPK TPB dengan asal daerah dan interaksi antara waktu dengan jenis kelamin mahasiswa. Waktu, IPK TPB dan jenis kelamin yang berbeda-beda menimbulkan keragaman perbedaan nilai antar kelas. Namun keragaman nilai tidak hanya terjadi antar kelas saja, keragaman juga terjadi antar mahasiswa dalam kelas dan keragaman antar waktu dalam mahasiswa dalam kelas. Keragaman nilai terbesar adalah keragaman nilai Metode Statistika antar kelas pada mahasiswa yang memiliki IPK TPB 2.86, berjenis kelamin perempuan yang berasal dari Pulau Jawa dan pada waktu UTS sebesar Saran Pada data struktur berjenjang, amatanamatan yang berada dalam kelompok yang sama cenderung mirip. Namun dalam penelitian ini, keterkaitan antara nilai UTS dan nilai UAS dalam mahasiswa yang sama tidak nampak. Hal ini kemungkinan dikarenakan banyaknya titik waktu pada data pengamatan berulang terlalu sedikit. Supaya korelasi antara nilai ujian dalam mahasiswa yang sama dapat terlihat, maka sebaiknya titik waktu pada data pengamatan berulang diperbanyak, dengan kata lain perlu penambahan frekuensi ujian. DAFTAR PUSTAKA [Anonim]. umentation/mlwin [23 Desember 2008, 10:02:20] Goldstein H Multilevel Statistical Models. Institute of Education, Multilevel Model Project, London. Hox J Multilevel Analysis : Techniques and Applications. New Jersey : Lawrence Erlbaum Associates, Inc. Tantular B Penerapan Model Regresi Linier Multilevel pada Data Pendidikan dan Data Nilai Ujian. [Tesis]. Bogor: Program Pascasarjana. Institut Pertanian Bogor. West B.T., K.B. Welch, dan A.T. Galecki Linear Mixed Models : A Practical Guide Using Statistical Software. New York : Chapman & Hall.

18 10

19 L A M P I R A N

20 11 Lampiran 1 Urutan 30 kelas paralel Metode Statistika tahun 2008/ Statistika (STK) 2. Manajemen Sumberdaya Lahan (MSL) 3. Geo Fisika dan Meteorologi (GFM) 4. Matematika (MTK) 5. Ilmu Komputer (KOM) 6. Fisika (FIS) 7. Bio Kimia 8. Kimia 9. Agronomi dan Holtikultura (AGH) 10. Lanskap 11. Fakultas Kedokteran Hewan (FKH) 12. Budi Daya Perairan (BDP) 13. Manajemen Sumber Daya Perairan (MSP) 14. Teknologi hasil Perairan (THP) 15. PSP 16. Ilmu Teknologi Kelautan (ITK) 17. Ilmu Pakan Peternakan(IPTP) 18. Ilmu Nutrisi Perternakan(INTP) 19. Manajemen Hutan (MENHUT) 20. Teknologi Hasil Hutan (THH) 21. Konservasi Sumberdaya Hutan (KSH) 22. Silvikultur (SILVI) 23. Ilmu Teknologi Pangan (ITP) 24. Teknologi Industri Pertabian (TIN) 25. Ilmu Ekonomi (IE) 26. Ilmu Manajemen (MAN) 27. Ekonomi Sumberdaya Lingkunagn (ESL) 28. Gizi Masyarakat (GM) 29. Ilmu Keluarga dan Konsumen (IKK) 30. Komunikasi dan Pengembangan Masyarakat (KPM) Lampiran 2 Pengkodean peubah penjelas Peubah Penjelas Kode Makna Waktu -1 Ujian Sebelum UTS 0 UTS 1 Ujian diantara UTS dan UAS 2 UAS Jenis Kelamin 0 Perempuan 1 Laki-laki Asal Daerah 0 Jawa 1 Luar Jawa Lampiran 3 Kelas paralel yang memiliki nilai tertinggi lebih dari seratus Kelas Paralel Ujian1 (sebelum UTS) Ujian2 (UTS) Ujian3 (Antara UTS dan UAS) Ujian4 (UAS) STK KIMIA FKH IPTP INTP ITP

21 12 Lampiran 4 Statistika deskriptif setiap kelas paralel % Lakilaki % Luar Jawa Ujian2 (UTS) Ujian4 (UAS) % PM Jumlah IPK Ujian1 Ujian3 No Dept min B mahasiswa TPB 1* STK 71, , ,00-83,68 2* MSL 57, , ,46-53,73 3 GFM 51, , ,24-53,27 4 MTK 76, , ,76-35,36 5 KOM 71, , ,16-48,34 6 FIS 56, , ,24-58,88 7* BIOKIMIA 60, , ,49-70,80 8 KIMIA 58, , ,72-72,15 9 AGH 59, , ,87 61,46 58,03 72,70 10 LANSKAP 70, , ,66-51,66 11 FKH 46, , ,42-60,73 12 BDP 47, , ,59-46,94 13 MSP 40, , ,17-43,36 14 THP 40, , ,02-36,23 15 PSP 32, , ,04-37,87 16 ITK 33, , ,70-52,56 17 IPTP 32, , ,92-65,53 18 INTP 32, , ,82-53,31 19 MENHUT 35, , ,08-44,30 20 THH 38, , ,49-56,78 21 KSH 30, , ,24-52,10 22 SILVI 33, , ,75-44,37 23 ITP 89, , ,22-76,18 24 TIN 63, , ,51 58,11 68,43 25 IE 32, , ,15-69,88 26 MAN 42, , ,49-64,08 27 ESL 36, , ,83-53,35 28 GM 66, , ,29-57,92 29 IKK 34, , ,17-77,10 30 KPM 28, , ,35-53,52 Seluruh kelas *= 1 mahasiswa berasal dari dari departemen Gizi Masyarakat 2* = 5 mahasiswa berasal dari departemen Teknik Pertanian 7* = 1 mahasiswa berasal dari departemen Biologi

22 13 Lampiran 5 Plot interaksi antar peubah penjelas intra level dan interaksi peubah penjelas antar level Plot Interaksi Antara Asal Daerah dengan Jenis Kelamin Asal Daerah Jawa Luar Jawa Plot Interaksi Antara Asal Daerah dengan IPK TPB IPK TPB <2.76 >= Mean Mean Laki-laki Jenis Kelamin Perempuan Jawa Asal Daerah Luar Jawa Plot Interaksi Antara IPK TPB dengan Jenis Kelamin IPK TPB <2.76 >= Mean Laki-laki Jenis Kelamin Perempuan Plot Interaksi Antara Waktu Dengan Asal Daerah Plot Interaksi Antara Waktu Dengan Asal Daerah 62 Asal Daerah Jawa Luar Jawa Jenis Kelamin Laki-laki Perempuan Mean Mean UAS Waktu UTS UAS Waktu UTS Plot Interaksi Antara Waktu Dengan IPK TPB IPK TPB <=2.75 > Mean UAS Waktu UTS

23 14 Lampiran 6 Korelasi intra kelas dan korelasi intra mahasiswa Pendugaan Parameter Koragam Parameter Koragam Pendugaan Sebagai fungsi proporsi keragaman Sebagai fungsi korelasi intraklas