BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB 1 PENDAHULUAN 1

2 2

3 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Hubungan Tegangan Regangan Setiap material tentunya memiliki suatu bentuk hubungan antara tegangan dan regangan yang dimiliki material tersebut. Hubungan antara tegangan dan regangan ini menggambarkan kekakuan suatu material. Parameter yang menghubungkan antara tegangan dan regangan ini disebut modulus elastisitas. Modulus elastisitas yang memiliki istilah lain yaitu Modulus Young adalah perbandingan antara tegangan dan regangan aksial (satu dimensi) dalam deformasi yang elastis. Modulus elastisitas menggambarkan kekakuan suatu material yang berarti bahwa apabila suatu material memiliki nilai modulus elastisitas yang besar, maka semakin kecil perubahan bentuk yang terjadi apabila diberi tegangan tertentu. Konsep modulus elastisitas ini menggambarkan bahwa setiap material akan mengalami pertubahan bentuk yang ditandai dengan pertambahan atau pengurangan panjang apabila mengalami tegangan tertentu. Besarnya perubahan panjang yang dimiliki oleh setiap material berbeda-beda tergantung dari besaran elastisitas material tersebut. Sebagai contoh atas perbedaan perubahan panjang ini dapat kita temukan saat kita menarik atau memberi tegangan tarik terhadap karet dan batang baja. Tentunya pada saat menarik material karet lebih mudah dan mengalami perubahan panjang yang jauh lebih besar dibandingkan dengan material batang baja. Tegangan adalah besaran yang menyatakan perbandingan antara suatu besaran gaya terhadap luas penampang yang tegak lurus terhadap gaya tersebut, berikut adalah persamaan matematis untuk tegangan :...(2.1) dimana : σ = Tegangan (N/m 2 ) F = Gaya (N) A = Luas Penampang (m 2 ) Secara umum sifat tegangan memiliki dua buah kondisi, pertama adalah kondisi dimana suatu material mengalami pertambahan panjang akibat tegangan tarik 3

4 dan mengalami perpendekan panjang akibat tegangan kompresional (tekan). Berikut adalah sebuah ilustrasi untuk lebih menjelaskan kedua sifat tegangan tersebut : Tegangan Tarik = Luas Penampang Tegangan Kompresional Gambar 2.1 Tegangan Tarik dan Tegangan Kompresional Sumber : Dalam aplikasinya terdapat beberapa jenis tegangan yang dapat ditemukan, jenis-jenis tegangan tersebut adalah : 1. Tegangan Normal Tegangan normal adalah tegangan yang terjadi pada suatu benda akibat adanya gaya normal atau gaya yang diberikan searah penampang benda. 2. Tegangan Geser Tegangan geser adalah tegangan yang terjadi pada suatu benda akibat adanya gaya geser atau gaya yang diberikan tegak lurus dengan penampang benda. 3. Tegangan Momen Tegangan momen adalah tegangan yang terjadi pada suatu benda akibat gaya yang mengakibatkan benda melekuk atau melengkung. 4. Tegangan Puntir Tegangan puntir adalah tegangan yang terjadi pada suatu benda akibat gaya putar yang mengakibatkan benda menjadi terpuntir. Regangan adalah besaran yang menyatakan suatu perbandingan antara perubahan panjang terhadap panjang awal dari suatu material, berikut adalah persamaan matematis untuk regangan :

5 5...(2.2) dimana : ε = Regangan (m/m) L = Perubahan Panjang (m) L 0 = Panjang Awal (m) Hubungan antara tegangan dan regangan yang dinyatakan dalam modulus elastisitas secara matematis dapat dilihat pada persamaan berikut :...(2.3) dimana : E = Modulus Elastisitas (N/m 2 ) σ = Tegangan (N/m 2 ) ε = Regangan (m/m) Dalam hubungan antara tegangan dan regangan, selain modulus elastisitas terdapat parameter lain yang sangat penting yaitu angka poisson (poisson ratio). Angka poisson adalah angka perbandingan antara regangan horizontal (lateral strain) dan regangan vertikal (axial strain) yang disebabkan oleh beban sejajar sumbu dan regangan aksial (Yoder, E.J. and Witczak, M.W., 1975). Berikut adalah persamaan matematis dan ilustrasi gambar untuk angka poisson : Gambar 2.2 Ilustrasi Angka Poisson Sumber :

6 Persamaan matematis untuk angka poisson :...(2.4) dimana : υ = Angka Poisson (non-dimensional) ε h ε v = Regangan Horizontal (m/m) = Regangan Vertikal (m/m) Dengan adanya angka poisson, modulus elastisitas dapat dibagi menjadi tiga macam, mereka adalah Modulus Young, Modulus Geser, dan Modulus Bulk. Berikut adalah penjelasan lebih lanjut untuk ketiga jenis modulus elastisitas tersebut : 1. Modulus Young Modulus young adalah modulus elastisitas secara umum dimana penggunaan regangan hanya pada satu dimensi saja yaitu regangan panjang. Regangan Tegangan Modulus Young Tegangan Regangan Gambar 2.3 Modulus Young Sumber : 2. Modulus Geser Modulus geser adalah modulus elastisitas dengan regangan berupa regangan geser yang menunjukkan pergerakan benda yang saling bergesekkan. Berikut adalah persamaan matematis untuk modulus geser :...(2.5) dimana : G = Modulus Geser (N/m 2 ) E = Modulus Young (N/m 2 )

7 7 υ = Angka Poisson (non-dimensional) Gambar 2.4 Modulus Geser Sumber : 3. Modulus Bulk Modulus bulk adalah modulus elastisitas dengan regangan berupa regangan volume. Berikut adalah persamaan matematis untuk modulus geser :...(2.6) dimana : K = Modulus Bulk (N/m 2 ) E = Modulus Young (N/m 2 ) υ = Angka Poisson (non-dimensional) Gambar 2.5 Modulus Bulk Sumber :

8 Untuk beberapa material, berikut adalah contoh nilai modulus young, modulus geser dan modulus bulk yang dimiliki beberapa material tersebut : Tabel 2.1 Daftar Nilai Modulus Elastisitas Untuk Beberapa Material Material Modulus Young Modulus Geser Modulus Bulk kpa Besi 100 x x x 10 6 Baja 200 x x x 10 6 Kuningan 90 x x x 10 6 Aluminium 70 x x x 10 6 Beton 20 x Marmer 50 x x 10 6 Granit 45 x x 10 6 Nylon 5 x Tulang 15 x x Air x 10 6 Sumber: : (oleh: Kurnia Utami) Hubungan tegangan dan regangan secara garis kurva dalam grafik pada umumnya memiliki dua kondisi garis, yaitu garis linear dan non-linear. Berikut adalah contoh gambar grafik untuk keadaan yang dimaksud : Gambar 2.6 Grafik Hubungan Tegangan dan Regangan Sumber : (oleh: Maesa Sukardi)

9 9 Pada Gambar 2.6 dapat kita lihat garis linear adalah garis yang dimulai dari keadaan awal hingga titik leleh, sedangkan bagian garis non-linear dimulai dari titik leleh hingga titik putus. Pada Gambar 2.6 juga dapat dilihat adanya bagian daerah elastis dan bagian daerah inelastis. Pengertian dari adanya kedua jenis daerah tersebut adalah dimana daerah elastis berarti benda akan kembali ke bentuk atau kondisi semula apabila benda tersebut hanya mengalami tegangan dan regangan di daerah elastis, sedangkan apabila benda telah mengalami tegangan dan regangan yang berada di dalam daerah inelastis maka benda tidak akan kembali lagi ke bentuk atau kondisi semula. Selain kondisi elastis dan inelastis terdapat juga kondisi necking. Kondisi necking ini adalah kondisi yang hanya timbul apabila benda mengalami tegangan tarik, berikut adalah ilustrasi untuk kondisi necking tersebut : Gambar 2.7 Kondisi Necking Akibat Tegangan Tarik Sumber : Dengan adanya kondisi linear dan non-linear tersebut, perlu diketahui bahwa konsep modulus elastisitas hanya berlaku pada bagian linear dan tidak berlaku pada bagian non-linear. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa nilai modulus elastisitas hanya menggambarkan kekakuan suatu benda sebelum melewati batas titik leleh dari benda tersebut. Necking 2.2 Pengujian Triaxial Test Pengujian triaxial test adalah salah satu pengujian yang banyak dilakukan untuk mengetahui parameter-parameter tanah. Tujuan dari pengujian triaxial test ini adalah untuk mendapatkan parameter-parameter kekuatan tanah (shear strength) seperti kohesi (c) dan sudut geser (φ). Selain parameter kohesi dan sudut geser,

10 melalui pengujian triaxial test ini juga dapat memperoleh nilai parameter kekakuan tanah (soil stiffness) melalui grafik hubungan antara tegangan dan regangan. Pada dasarnya pengujian triaxial test dilakukan dengan cara memberi tegangan keliling (lateral pressure) secara konstan kepada sampel tanah dan dilakukan pembebanan berupa pemberian tegangan aksial (axial stress) secara perlahan dengan dibaca atau dicatat nilai tegangan aksial yang timbul pada setiap nilai deformasi tertentu. Umumnya pengujian ini dilakukan dengan memberi tiga variasi nilai tegangan keliling yang meningkat dua kali dari sebelumnya, seperti apabila dimulai dengan tegangan keliling 20 kpa maka dilanjutkan dengan tegangan keliling sebesar 40 kpa dan 80 kpa. Untuk lebih jelas mengenai alat yang digunakan dalam pengujian triaxial test ini, berikut adalah contoh gambar untuk alat tersebut : Gambar 2.8 Peralatan Pengujian Triaxial Test Sumber : Sampel yang digunakan pada pengujian triaxial test merupakan jenis sampel yang tidak terganggu (undisturbed sample), hal ini dikarenakan untuk mengetahui kondisi tanah asli maka tanah sampel yang diuji harus terjamin kesesuaiannya dengan keadaan asli yang ada di lapangan. Pengambilan sampel yang akan dilakukan pengujian triaxial test ini dilakukan dengan selongsong yang dimasukkan ke dalam tanah dan diambil tanah tersebut. Adapun pada umumnya pengambilan sampel ini juga dibarengi dengan dilakukannya proses pengambilan data borelog yang merupakan salah satu pengujian untuk mengetahui karekteristik tanah secara continue disetiap lapisannya hingga kedalaman tertentu. Sampel yang digunakan berbentuk silinder dan pada umumnya ukuran sampel tersebut berdiameter 38 mm dan tinggi 76 mm.

11 11 Proses pengujian triaxial test terbagi menjadi tiga kondisi. Pembagian ini berdasarkan pada kondisi konsolidasi dan keadaan aliran air pada sampel selama pengujian berlangsung. Berikut adalah penjelasan lebih lanjut untuk ketiga kondisi pengujian triaxial test tersebut : Gambar 2.9 Tampak Potongan Alat Triaxial Test Sumber : assets /pagepdf/000037/part%201%20of%203_.pdf 1. Unconsolidated Undrained Triaxial Test Secara singkat, pengujian jenis ini berarti bahwa sampel tidak dilakukan konsolidasi telebih dahulu dan pada saat pembebanan kondisi air tidak dibiarkan mengalir. Pengujian triaxial test jenis unconsolidated undrained ini merupakan pengujian yang menggunakan waktu sangat singkat karena setelah sampel terpasang dalam rangkaian alat, pembebanan dapat langsung dijalankan dengan kondisi selang drainase tertutup. Kelemahan dari pengujian jenis ini adalah tidak diketahuinya nilai pore pressure yang dialami oleh sampel sehingga hasil yang diperoleh hanya berupa data kondisi total stress. 2. Consolidated Undrained Triaxial Test Tidak seperti pengujian unconsolidated undrained sebelumnya, pada pengujian consolidated undrained ini melakukan proses konsolidasi terlebih dahulu dengan cara diberi cell pressure dan back pressure tertentu hingga sampel tanah tersaturasi

12 secara penuh (fully saturated) dalam jangka waktu tertentu. Setelah proses saturasi selesai, dilanjutkan proses konsolidasi dengan memberikan beban yang tidak lebih besar dari 0,5% dari perkiraan beban saat failure. Dengan kondisi selang drainase yang tertutup, pertahankan nilai back pressure dalam keadaan konstan dan meningkatkan nilai chamber pressure hingga selisih dari kedua pressure ini sesuai dengan effective consolidation pressure. Proses konsolidasi ini dilakukan dalam waktu yang disesuaikan dengan jenis tanah dan dilanjutkan ke proses selanjutnya setelah terkonsolidasi 100%. Setelah sampel melalui proses saturasi dan konsolidasi, diakhiri dengan proses pembebanan yang dilakukan dengan kondisi selang drainase tertutup. Pengujian triaxial jenis consolidated undrained ini merupakan pengujian yang menggunakan waktu yang tidak singkat tetapi masih dapat dikatakan tidak lama karena adanya pengujian lain yang memakan waktu sangat lama yaitu pengujian consolidated drained test. Karena nilai pore pressure yang dapat diukur, menjadikan pengujian jenis ini pengujian yang sangat dianjurkan karena hasil pengujian berupa kondisi effective stress dari tanah dengan waktu yang tidak lama. 3. Consolidated Drained Triaxial Test Pengujian jenis consolidated drained ini merupakan pengujian yang memberikan hasil sangat baik karena hasil yang berupa kondisi effective stress dari tanah dan kondisi drained yang berarti air didalam sampel tanah diizinkan mengalir. Perbedaan pengujian jenis ini dibandingkan dari pengujian consolidated undrained adalah pada saat pembebanan dimana pada pengujian ini selang drainase dibiarkan terbuka sehingga air dapat mengalir keluar. Akan tetapi dibalik tersedianya hasil yang sangat baik, pengujian jenis ini menggunakan waktu yang sangat lama karena pengujian triaxial test ini dilakukan pada tanah yang berbutir halus. Oleh karena nilai permeabilitas dari tanah berbutir halus yang sangat kecil, menyebabkan proses drainase air dari dalam sampel tanah membutuhkan waktu yang lama. Dengan penggunaan waktu yang sangat lama ini menyebabkan pengujian jenis ini membutuhkan biaya yang tidak murah. Dalam penggunaanya, pertimbangan yang bijak harus dimiliki oleh seorang engineer dalam menentukan jenis triaxial test mana yang perlu dilakukan. Beberapa hal yang menjadi bahan pertimbangan untuk pemilihan jenis triaxial test tersebut adalah ketersediaan biaya dan kebutuhan parameter-parameter tertentu guna

13 menciptakan hasil desain yang baik dan efisien. Secara singkat, penjelasan mengenai jenis-jenis triaxial test dapat dilihat dari ilustrasi gambar berikut : 13 Tipe Pengujian Triaxial Tegangan Deviatoric ( σ = q) Apakah Katup Drainase Terbuka? Ya Tidak Apakah Katup Drainase Terbuka? Ya Tidak Gambar 2.10 Jenis-jenis Pengujian Triaxial Test Sumber : Pada penelitian ini, jenis pengujian yang digunakan adalah jenis consolidated undrained triaxial test dengan data mentah berupa data bacaan deformation, load dial, dan pore pressure. Pada umumnya pengujian triaxial test ini dilakukan terhadap tiga buah sampel untuk menghasilkan satu data. Ketiga sampel tersebut dibedakan hanya pada besaran nilai tegangan keliling (σ 3 ) yang diberikan. Adapun besaran tegangan keliling yang diberikan tidak sembarangan melainkan terdapat suatu kaidah atau aturan tertentu guna menghasilkan data yang bersifat representatif. Aturan tersebut adalah nilai tegangan keliling berikutnya merupakan dua kali dari nilai tegangan keliling sebelumnya, sebagai contoh apabila tegangan keliling nomor satu (σ 3-1 ) adalah 50 kpa, maka nilai untuk tegangan keliling nomor dua (σ 3-2 ) adalah 100 kpa, dan nilai tegangan keliling nomor tiga (σ 3-3 ) adalah 200 kpa. Berikut adalah contoh grafik hasil pengujian triaxial test yang merupakan grafik hubungan antara tegangan dan regangan :

14 Gambar 2.11 Contoh Grafik Hasil Pengujian Triaxial Test Dari Gambar 2.11, dapat dilihat bahwa terdapat tiga buah kurva yang menandakan tiga nilai tegangan keliling yang berbeda-beda seperti telah dijelaskan sebelumnya. Sebelum grafik hasil tersebut dapat dibuat, perlu dilakukan beberapa tahap perhitungan terhadap data mentah yang telah diperoleh yaitu deformation, load dial, dan pore pressure. Berikut adalah tahap-tahap perhitungan yang dilakukan guna menghasilkan grafik hubungan antara deviatoric stress dan axial strain : Data awal sebelum pembebanan (loading) dijalankan : Initial Sample Diameter (D 0 ) Initial Sample Area (A 0 ); Initial Sample Heght (H 0 ); Cell Pressure (CP); Back Pressure (BP); Load Ring Calibration (Rc); Deformation Gauge Calibration (Dc); Pore Pressure (u).

15 15 1. Mencari nilai excess pore pressure ( u):...(2.7) 2. Mencari nilai axial strain (ε a ):...(2.8) 3. Mencari nilai corrected area (A c ):...(2.9) 4. Mencari nilai deviatoric stress (q):...(2.10) Proses perhitungan dari persamaan-persamaan yang ada diatas dilakukan menggunakan sistem tabel. Berikut adalah salah satu contoh tabel perhitungan hasil uji triaxial test : Tabel 2.2 Contoh Tabel Hasil Pengujian Triaxial Test [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] Deformation Load Dial Pore Pressure, u Excess Pore Pressure, u Strain, ε a Corrected Area, Ac Deviatoric Stress, q = q' Applied Read Read [3] - BP [1].Dc/Ho Ao/(1-ε a ) [2].Rc/[6] div div kpa kpa % cm 2 kpa 0 0,0 190,0 0,0 0,000 11,341 0, ,0 199,0 9,0 0,526 11,401 35, ,0 210,0 20,0 1,053 11,462 62, ,0 215,0 25,0 1,579 11,523 80, ,0 219,0 29,0 2,105 11,585 93, ,0 222,0 32,0 2,632 11, , ,0 225,0 35,0 3,158 11, , ,0 227,0 37,0 3,684 11, , ,0 229,0 39,0 3,947 11, , ,0 230,0 40,0 4,737 11, , ,0 231,0 41,0 5,263 11, , ,0 232,0 42,0 5,789 12, , ,0 232,0 42,0 6,316 12, , ,0 231,0 41,0 6,842 12, ,

16 2.3 Modulus Elastisitas Tanah Pada tanah, penggunaan modulus elastisitas memiliki pemahaman yang berbeda dengan kekuatan dari tanah tersebut dimana modulus elastisitas mnggambarkan kekakuan dari tanah. Berikut adalah pendekatan pemahaman modulus elastisitas tanah yang diperoleh dari buku An Introduction to The Mechanics of Soils and Foundations yang ditulis oleh John Atkinson pada tahun 1993: Kekakuan dan kekuatan tanah adalah dua hal yang cukup berbeda, dimana yang satu menyatakan deformasi yang timbul dengan tegangan tertentu dan disisi lain adalah maksimum tegangan yang mampu ditopang. Seperti contoh bahwa material besi itu kuat dan kaku, material margarin itu lembek dan lemah, material papan itu kaku dan lemah, dan material karet itu lembek dan kuat. Tegangan Efektif, σ Ultimate Stress = Strength Yield Gradient = Stiffness Regangan, ε Gambar 2.12 Grafik Hubungan Tegangan Regangan (Stress Strain) Sumber : An Introduction to The Mechanics of Soils and Foundations, John Atkinson 1993

17 17 Tegangan Efektif, σ Tangent σ Secant ε Gambar 2.13 Secant Modulus dan Tangent Modulus Sumber : An Introduction to The Mechanics of Soils and Foundations, John Atkinson 1993 Pada gambar 2.13, dapat dilihat adanya dua jenis modulus elastisitas yaitu secant modulus dan tangent modulus. Jenis yang digunakan sebagai modulus elastisitas tanah adalah bagian secant modulus. Penggunaan nilai modulus elastisitas tanah untuk desain struktur tanah menggunakan nilai E 50, dimana E 50 ini adalah nilai modulus elastisitas tanah pada tegangan (stress) 50 % dari tegangan maksimum atau dalam kata lain memiliki faktor keamanan yaitu dua (2). Berikut adalah keberadaan nilai E 50 dalam grafik hubungan tegangan dan regangan : Regangan, ε

18 Tegangan Deviatoric, q 1 E 50 σ 50 ε 50 Regangan, ε Gambar 2.14 Modulus Elastisitas E 50 Sumber : Soil Stifness for Jakarta Silty and Clayey Soils, Gouw, T.L. dan Hiasinta 2008 Berdasarkan Gambar 2.14, nilai modulus elastisitas E 50 dapat disajikan dalam bentuk persamaan matematis seperti berikut :...(2.11) Oleh karena jenis tanah bervariasi berdasarkan ukuran butiran tanah seperti gravel, sand, silt, dan clay, berbeda pula nilai modulus elastisitas E 50 untuk beberapa ukuran butiran tanah tersebut. Berikut adalah kisaran nilai modulus elastisitas E 50 tanah : Tabel 2.3 Daftar Nilai Modulus Elastisitas E 50 Untuk Tanah Berbutir Kasar (MPa) USCS Description Loose Medium Dense GW, SW Gravels / Sand, well-graded SP Sand, uniform GM, SM Gravel / Sand, silty Sumber : Obrzud & Truty 2012, compiled from Kezdi 1974 and Prat et al Tabel 2.4 Daftar Nilai Modulus Elastisitas E 50 Untuk Tanah Berbutir Halus (MPa) USCS Description Very Soft Stiff to Medium to Soft Very Stiff Hard ML Silt with slight plasticity 2, ML, CL Silt with low plasticity 1, CL Clay with low-medium plasticity 0, CH Clay with high plasticity 0, OL Organic Silt - 0, OH Organic Clay - 0, Sumber : Obrzud & Truty 2012, compiled from Kezdi 1974 and Prat et al. 1995

19 19 Seperti diketahui sebelumnya bahwa setiap data pengujian consolidated undrained triaxial test menggunakan tiga buah sample yang dibedakan berdasarkan besaran nilai tegangan keliling yang diberikan. Dengan adanya tiga buah sampel ini mengartikan akan terdapat tiga buah kurva yang masing-masing kurva memiliki nilai modulus elastisitas E 50, sehingga akan terdapat tiga nilai modulus elastisitas E 50 untuk satu data. Dalam aplikasinya, hanya dibutuhkan satu buah nilai modulus elastisitas E 50 untuk satu data yang berarti harus ada nilai modulus elastisitas E 50 yang mampu merepresentasikan ketiga nilai yang ada. Modulus elastisitas E 50 tersebut adalah E ref 50, yang dimana ref mengartikan reference / referensi terhadap tekanan 1 atm (100 kpa). Berikut adalah sebuah ilustrasi grafik yang digunakan untuk mencari nilai modulus elastisitas E ref 50 dari tiga buah nilai E 50 : E 50 ref ref Gambar 2.15 Contoh Grafik Untuk Mencari Nilai E 50 ref Untuk memperoleh nilai E 50 seperti pada gambar 2.15 khususnya pada kondisi undrained dapat menggunakan persamaan garis regresi yaitu y = 129,7x 0,976. Dengan memasukkan nilai x = 100 ke dalam persamaan tersebut, akan diperoleh nilai y = kpa yang dimana nilai y ini adalah nilai E ref 50.

20 2.4 Hardening-Soil Model Hardening-Soil model adalah konsep modelling lanjutan dari model tanah hiperbolik yang diformulasikan dalam konsep hardening plasticity. Perbedaan yang utama dari model ini dibandingkan dengan model Mohr-Coulomb adalah pada pendekatan nilai modulus elastisitas (stiffness). Pada model ini, tanah digambarkan lebih akurat dengan menggunakan tiga jenis nilai modulus elastisitas, mereka adalah triaxial loading stiffness E 50, triaxial unloading stiffness E ur, dan oedometer loading stiffness E oed. Adapun penggunaan model ini memiliki kekuatan dan kelemahan, berikut adalah kekuatan dan kelemahan dari penggunaan hardening-soil model berdasarkan tulisan yang dibuat oleh M. Auleda i Catala, 2005 : Kekuatan : Definisi yang lebih akurat daripada model Mohr-Coulomb; Mempertimbangkan sifat dilatansi dari tanah; Permukaan dapat memperluas karena tegangan plastis.. Kelemahan : Biaya komputasi yang lebih tinggi; Tidak memasukkan efek viskositas; Tidak memasukkan proses pelunakan (softening). 2.5 Metode Hiperbolik Metode Hiperbolik adalah salah satu metode analisa hubungan antara tegangan dan regangan dengan menggunakan metode perhitungan elemen hingga sebagai dasarnya. Metode hiperbolik pada awalnya ditemukan oleh Robert L. Kondner pada tahun 1963 dan dikembangkan oleh James M. Duncan dan Chin-Yung Chang melalui jurnal yang berjudul Nonlinear Analysis of Stress and Strain in Soils pada tahun Rafal F. Obrzud melalui tulisannya yang berjudul On The Use of The Hardening Soil Small Strain Model in Geotechnical Practice menyatakan bahwa perhitungan nilai kekakuan tanah (stiffness) dengan menggunakan model hiperbolik mampu memberikan pendekatan terhadap nilai perpindahan yang lebih akurat dan dapat dipercaya khususnya pada aplikasi dinamik seperti penggalian dengan menggunakan dinding penahan tanah atau penggalian terowongan.

21 Untuk lebih jelas kapan harus menggunakan metode hiperbolik, berikut adalah sebuah gambar yang dapat menjelaskan hal ini: 21 Gambar 2.16 Permodelan Untuk Aplikasi Geoteknik Tertentu Sumber : On the use of the Hardening Small Strain model in geotechnical practice, Rafal G. Obrzud 2010 Metode hiperbolik ada sebagai respon terhadap sifat nonlinear dari garis kurva hubungan antara tegangan dan regangan. Berikut adalah persamaan hiperbolik yang ditemukan oleh Robert L. Kondner :...(2.12) dimana : (σ 1 σ 3 ) = Deviatoric Stress, (kpa) ε = Axial Strain (m/m) a dan b = Konstanta yang diperoleh dari data triaxial test Persamaan tersebut juga dapat dilakukan sedikit perubahan menjadi :...(2.13) Perubahan dari persamaan (2.12) ke persamaan (2.13) dilakukan dengan tujuan memperlihatkan adanya bentuk persamaan garis lurus dengan kemiringan tertentu pada persamaan (2.13). Untuk lebih jelas dapat dilihat melalui dua buah ilustrasi berikut :

22 Tegangan Deviatoric, q 1 Ei = 1/a Asymptote = q ult = 1/b Regangan Aksial, ε Gambar 2.17 Kurva Hiperbolik Antara Tegangan Regangan Sumber : Nonlinear Analyses of Stress and Strain in Soils, Duncan & Chang 1970 Regangan Aksial/Tegangan Deviatoric, ε/q a 1 b Regangan Aksial, ε Gambar 2.18 Transformasi Kurva Hiperbolik Antara Tegangan Regangan Sumber : Nonlinear Analyses of Stress and Strain in Soils, Duncan & Chang 1970 Dengan membuat grafik hubungan antara tegangan dan regangan dengan sedikit modifikasi menjadi seperti pada Gambar 2.18, menjadikan proses pencarian

23 23 nilai konstanta a dan b menjadi sangat mudah. pada Gambar 2.17, dapat dilihat adanya garis asymptote (σ 1 σ 3 ) ult yang sedikit lebih besar dari compressive strength atau bacaan deviatoric stress maksimum dari kurva hasil uji triaxial test. Hubungan antara garis asymptote (σ 1 σ 3 ) ult dengan compressive strength ini dapat dijelaskan melalui persamaan berikut :...(2.14) dimana : (σ 1 σ 3 ) f = Compressive Strength, (kpa) (σ 1 σ 3 ) ult = Nilai Asymptote Tegangan, (kpa) R f = Failure Ratio Selain adanya asymptote pada Gambar 2.17, terdapat dua parameter yang dapat diformulasikan. Kedua parameter tersebut adalah initial tangent modulus dan ultimate deviatoric stress. Berikut adalah persamaan untuk dua parameter tersebut : Initial Tangent Modulus...(2.15) Ultimate Deviatoric Stress...(2.16) Dengan menghubungkan parameter a dan b dengan initial tangent modulus dan ultimate deviatoric stress pada Gambar 2.17 dengan persamaan (2.13), persamaan hiperbolik dapat ditulis kembali menjadi :...(2.17) Kurva hubungan tegangan dan regangan dari hasil metode hiperbolik dan metode grafik atau metode menggunakan data hasil pengujian triaxial test selanjutnya disajikan menjadi satu grafik sehingga dapat terlihat seperti berikut :

24 Tegangan Deviatoric, q Ei (σ 1 σ 3 ) f 1 (σ 1 σ 3 ) ult Actual Hyperbola Regangan Aksial, ε Gambar 2.19 Grafik Kurva Metode Hiperbolik dan Metode Grafik Sumber : Determination of Parameters for a Hyperbolic Model of Soils from The Eastern Province of Saudi Arabia, N. Al-Shayea et al. 2001

25 25 Selain Gambar 2.19, grafik kurva hubungan antara metode hiperbolik dan metode grafik dapat juga dilihat melalui gambar berikut : Hyperbolic Curve Gambar 2.20 Contoh Grafik Kurva Metode Hiperbolik dan Metode Grafik Untuk interpretasi nilai konstanta a dan b seperti pada Gambar 2.20, berikut adalah contoh proses penentuan nilai kedua konstanta tersebut berdasarkan data pengujian triaxial test :

26 ε/q = a + b.ε b a Gambar 2.21 Contoh Grafik Untuk Interpretasi Nilai Konstanta a dan b Melalui Gambar 2.21, dengan menggunakan pendekatan regresi linear akan diperoleh persamaan ε/q = a + b.ε yang selanjutnya dapat ditentukan nilai variabel a dan b tersebut. Untuk melakukan perhitungan nilai modulus elastisitas tanah E 50 dengan menggunakan metode hiperbolik, dapat dilakukan penggunaan persamaan-persamaan yang telah dibahas sebelumnya. Seperti telah disebutkan sebelumnya pada persamaan (2.11) yaitu E 50 = σ 50 / ε 50, dibutuhkan nilai untuk dua parameter yaitu σ 50 dan ε 50. Untuk nilai σ 50 dapat ditentukan dengan cara membagi dua nilai ultimate deviatoric stress dan nilai ε 50 dapat ditentukan dengan merubah sedikit persamaan (2.12) seperti persamaan berikut :...(2.18)...(2.19)

27 27 Melalui persamaan (2.18) dan (2.19), untuk menemukan nilai modulus elastisitas E 50 metode hiperbolik dapat digunakan persamaan :...(2.20) Untuk mempernudah penulisan persamaan (2.20), dilakukan substitusi (σ1 σ3) = q, sehingga persamaan tersebut menjadi :...(2.21) Sama seperti metode grafik sebelumnya, dalam metode hiperbolik juga terdapat modulus elastisitas E ref 50 dengan menghubungkan ketiga hasil E 50 kedalam sebuah grafik dan dicari nilai E 50 untuk reference 1 atm (100 kpa). Variasi hubungan antara Ei dan σ3 dapat dijelaskan melalui persamaan berikut yang diciptakan oleh Janbu :...(2.22) dimana : E i = Initial Tangent Modulus (kpa) P a = Atmospheric Pressure (100kPa) σ 3 = Confining Pressure (kpa) K = Modulus Number n = Modulus Exponent Dari persamaan 2.22, persamaan tersebut dilakukan sedikit perubahan guna memberikan normalisasi terhadap nilai E i yang dapat dibuat grafik seperti berikut :...(2.22)

28 Log (Ei/Pa) n k 1 Log (σ 3 /Pa) Gambar 2.22 Hubungan antara Initial Tangent Modulus dan Confining Pressure Sumber : Strength, Stress-Strain, and Bulk Modulus Parameters for Finite Element Analyses of Stresses and Movements in Soil Masses, Duncan et al Garis Regresi Analisa regresi adalah metodologi statistik yang memanfaatkan hubungan antara dua atau lebih variabel kuantitatif sehingga sebuah respon atau bentuk keluaran dapat diprediksi dari variabel lainnya (Applied Linear Statistical Models, 2005). Garis regresi dalam penelitian ini diperlukan dalam membuat suatu garis yang menggambarkan hubungan antara parameter-parameter tertentu yang selanjutnya dilakukan analisa terhadap hubungan yang ada. Pada penelitian ini terdapat dua macam analisa regresi yang akan digunakan dalam melakukan pendekatan garis regresi. Berikut adalah kedua macam analisa regresi tersebut beserta proses dan rumusan yang digunakan : 1. Regresi Linear Sederhana Dalam melakukan proses pembuatan garis regresi tentu saja tidak lepas dari proses penyusunan dan perhitungan melalui tabel. Berikut adalah tabel dan

29 persamaan yang digunakan dalam melakukan perhitungan garis regresi linear sederhana: Tabel 2.5 Contoh Tabel Perhitungan Regresi Linear Sederhana i Xi Yi Xi - Yi - (Xi - )(Yi - ) (Xi - ) 2 (Yi - ) Total, = Mean = Persamaaan umum :...(2.23) Persamaan variabel a dan b :...(2.24)...(2.25) 2. Regresi Nonlinear Berpangkat (Power) Berikut adalah tabel dan persamaan yang digunakan dalam membuat garis regresi nonlinear berpangkat (power) : Tabel 2.6 Contoh Tabel Perhitungan Regresi Nonlinear Berpangkat (Power) i Yi Xi Zi (ln Yi) Wi (ln Xi) Wi. Zi Wi Total, = Mean = Persamaan umum :...(2.26)...(2.27) Persamaan variabel a 0, a 1, a, dan b :...(2.28)...(2.29)...(2.30)

30 ...(2.31)...(2.32)

31 31

32

33 33