STUDI MENGENAI KURVA PARAMETRIK CATMULL-ROM SPLINES SKRIPSI AZWAR SYARIF

Transkripsi

1 STUDI MENGENAI KURVA PARAMETRIK CATMULL-ROM SPLINES SKRIPSI AZWAR SYARIF PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011

2 2 STUDI MENGENAI KURVA PARAMETRIK CATMULL-ROM SPLINES SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains AZWAR SYARIF PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011

3 3 PERSETUJUAN Judul : STUDI MENGENAI KURVA PARAMETRIK CATMULL-ROM SPLINES Kategori : SKRIPSI Nama : AZWAR SYARIF Nomor Induk Mahasiswa : Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Juni 2011 Komisi Pembimbing : Pembimbing II Pembimbing I Drs. Marwan Harahap, M.Eng Drs. Bambang Irawan, M.Sc NIP NIP Diketahui Oleh: Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP

4 4 PERNYATAAN STUDI MENGENAI KURVA PARAMETRIK CATMULL-ROM SPLINES SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juni 2011 Azwar Syarif

5 5 PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah kurnia-nya kertas kajian ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Drs. Bambang Irawan, M.Sc dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng. selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada penulis untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan profesional telah diberikan kepada penulis agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua Departemen Prof. Dr. Tulus, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah serta tidak lupa kepada Drs. Marihat Situmorang, M.Kom dan Syahriol Sitorus, S.Si, M.IT selaku pembanding pada sidang skripsi ini. Akhirnya, tidak terlupakan kepada Bapak, Ibu dan semua keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan penulis. Semoga Tuhan Yang Maha Esa akan membalas-nya.

6 6 ABSTRAK Kurva secara luas digunakan dalam setiap aspek komputer grafis, terutama splines yang merupakan sepenggal polinomial kurva parametrik. Splines populer dalam Computer Aided Design (CAD) karena kesederhanaan konstruksi, kemudahan dan akurasi evaluasi, serta kapasitas untuk menentukan bentuk kompleks suatu permukaan. Bentuk permukaan objek nyata dapat direpresentasikan di layar komputer dengan menggunakan kurva parametrik. Teknik ini menggunakan fungsi parametrik, di mana bentuk dari kurva parametrik ini akan bergantung pada nilai parameter pembentuk kurvanya. Fungsi parametrik Kubik Bezier, dan B- Splines adalah beberapa fungsi parametrik yang dapat digunakan untuk merepresentasikan objek. Dalam penelitian ini, penulis menggunakan fungsi parametrik Catmull-Rom spline. Kata kunci: Kurva, Fungsi parametrik, Catmull-Rom splines.

7 7 STUDY ON PARAMETRIC CURVE CATMULL-ROM SPLINES ABSTRACT The curves are widely used in every aspect of computer graphics, especially a piece of polynomial splines are parametric curves. Splines popular in Computer Aided Design (CAD) because of the simplicity of construction, ease and accuracy evaluation, and capacity to determine the shape of a surface complex. Real object surface shape can be represented on a computer screen by using parametric curves. This technique uses parametric functions, where this form of parametric curves will depend on the parameter value forming the curve. Cubic Bezier parametric function, and B-Splines are parametric functions which can be used to represent objects. In this study, the authors use a parametric function of Catmull- Rom spline. Keywords: Curve, Parametric function, Catmull-Rom splines.

8 8 DAFTAR ISI Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abtract Daftar Isi Daftar Gambar Daftar Istilah Halaman ii iii iv v vi vii ix xi BAB 1. PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tinjauan Pustaka Tujuan Penelitian Kontribusi Penelitian Metode Penelitian Sistematika Penulisan 5 BAB 2. LANDASAN TEORI Pengertian Grafika Komputer Pemanfaatan Grafika Komputer Kurva Kurva Polinomial Kurva Spline Kontiunitas Titik Kontrol Kurva 25 BAB 3. PEMBAHASAN Catmull-Rom Splines Kurva Parametrik Kurva Parametrik Catmull-Rom Splines Pemrograman GDI+ (Grafik Device Interface) Area Menggambar Sistem Koordinat Menggambar Garis Pada Form Menggambar Grafik Vektor 2 Dimensi Menggambar Garis Dengan Pen Menggunakan Structure Point 39

9 9 BAB 4. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran 45 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

10 10 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 Kerangka Grafik Komputer Interatif 7 Gambar 2.2 Elemen-Elemen Pembentuk Grafik 8 Gambar 2.3 Kurva Polinomial derajat satu 11 Gambar 2.4 Kurva Polinomial derajat dua 11 Gambar 2.5 Kurva Polinomial derajat tiga 12 Gambar 2.6 Koordinat Kurva Spline 13 Gambar 2.7 Kontinuitas Pada Kurva 15 Gambar 2.8 Kurva Dengan Titik Kontrol 16 Gambar 3.9 Kurva Catmull-Rom Spline 17 Gambar 3.10 Perubahan Kurva Pada Nilai 17 Gambar 3.11 Derivasi Kurva Catmull-Rom Splines 18 Gambar 3.12 Garis Singgung Kurva Catmull-Rom spline 22 Gambar 3.13 Interpolasi Kurva Catmull-Rom spline 23 Gambar 3.14 Model Interpolasi Catmull-Rom Splines 23 Gambar 3.15 (a) hasil perubahan dalam Persamaan (1), (b) hasil dari perubahan dalam Persamaan (3) 25 Gambar 3.16 Fungsi Lokal Kontrol Catmull-Rom Saplines 25 Gambar 3.17 Dua Segmen Kurva B-Spline Kubik Seragam 26 Gambar 3.18 Arsitektur GDI+ 28 Gambar 3.19 GDI+ Namespaces dan Class dalam.net 29 Gambar 3.20 Bit Daerah Gambar 30 Gambar 3.21 Koordinat Kartesian 31 Gambar 3.22 Koordinat Display GDI+ 32 Gambar 3.23 Menggambar Garis dari titik (0,0) sampai (120,80) 32 Gambar 3.24 Garis Pada Form 34 Gambar 3.25 Garis Pada Form Dengan Pen 36 Gambar 3.26 Ellipse Pada Form Dengan Pen 37 Gambar 3.27 Arc Pada Form Dengan Pen 38 Gambar 3.28 Pie Pada Form Dengan Pen 38

11 11 Gambar 3.29 Garis Pada Form Dengan Structure Point 39 Gambar 3.30 Poligon 40 Gambar 3.31 Poligon Pada Form Dengan Structure Point 40 Gambar 3.32 Cardinal Splines 41 Gambar 3.33 Cardinal Pada Form Dengan Structure Point 41 Gambar 3.34 Cardinal Tertutup Pada Form Dengan Structure Point 42 Gambar 3.35 Berzier Splines 42 Gambar 3.36 Kurva Brerzier Pada Form Dengan Structure Point 43

12 12 DAFTAR ISTILAH Aerospace, cabang ilmu yang mempelajari tentang angkasa luar. Automotive, sesuatu hal/kegitan yang berhubungan dengan mobil. Approksimasi, untuk menghitung lebih dekat dan mendekati ke nilai yang benar. Curve = kurva, adalah grafik dari persamaan parametrik x = f(t), y = g(t) yang fungsi f dan g kontinu dan domain dari masing-masing adalah sebuah interval tertutup. Curvature, lengkungan. Convex, kurva yang sedemikian rupa garis lurus memotong kurva yang memotong hanya dalam ke dua titik. Dimensi, mengacu pada properti-properti yang disebut panjang, luas, dan volume. Hanya memiliki konfigurasi panjang dikatakan menjadi satu dimensi Diinkremen, ditambahkan. Drop-off, pengurangan. Eksplisit, gamblang. Forward difference, perbedaan maju. Fleksibel, mudah disesuaikan. Geometri, ilmu yang menangani tentang bentuk dan ukuran pada sesuatu benda. Grafik, berkaitan dengan grafik, atau skala gambar. Grafika, gambar yang menunjukkan relasi antara angka set tertentu. Grid, jaringan. Implisit, mutlak Interval, adalah himpunan yang berisi semua angka antara ke dua angka yang diberikan. Interpolasi, proses mencari nilai fungsi antara dua nilai yang dikenal dengan prosedur lainnya dalam membandingkan hukum yang diberikan oleh fungsi itu sendiri. Koordinat, salah satu bilangan mengatur penempatan titik dalam ruang. Kontinuitas, sesuatu hal/kegiatan yang terus menerus.

13 13 Komputasi, tindakan melaksanakan proses matematika. Digunakan terutama dengan mengacu pada aritmatika dan bukan bekerja secara aljabar. Linear, yang berhubungan dengan garis-garis lurus. Matriks, sebuah array segi empat yang memiliki elemen baris dan kolom. Numerik, terdiri dari bilangan, bukan huruf, tentang sifat angka. Parametrik, merupakan keluarga kurva yang memiliki ketentuan, u = konstan dan v = konstan di mana x = x(u,v), y = y(u,v), dan z = z(u,v). Permukaan = Surface, adalah bentuk geometris yang terdiri pada titik-titik koordinat yang memenuhi persamaan apa pun. Polinomial, fungsi yang nilainya dapat dihitung dengan mensubstitusi nilai tentang variabel independen. Poligon, suatu bidang yang terdiri dari titik n. Presisi, ketelitian. Spasial, tata ruang. Step, langkah. Software, perangkat lunak. Shipbuilding, pembuatan kapal. Spline, didefinisikan sebagai gabungan potongan-potongan polynomial yang didefinisikan sepanjang interval tertentu. Tangen, jarak dari titik kontak ke persimpangan pada garis singgung. Tension, ketegangan. Topologi, bahwa cabang geometri yang berkaitan dengan sifat topologi. Vektor, dalam ruang Euclid tiga dimensi, suatu entitas yang dapat digambarkan oleh segmen garis terarah dan tunduk pada operasi tertentu penjumlahan dan perkalian.